Aplicações de Derivada
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Aplicações de Derivada


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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DAPARAÍBA. 
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - CAMPUS JOÃO PESSOA 
 
Curso: Engenharia Elétrica Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Aluno(a): Matrícula: 
Professora: Kalina Aires 
 
 
Material de aula: 
 
Aplicações de Derivada: 
 
1) Regra de L\u2019Hôpital: 
 
Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no 
próprio a. Se f(x)/g(x) tem a forma indeterminada 0/0 ou 
\uf0a5\uf0a5 /
, em x = a , e se o 
)x(g
)x(f
lim
ax \uf0a2
\uf0a2
\uf0ae
existir, 
ou se esse limite for 
\uf0a5\uf02b
ou 
\uf0a5\uf02d
, então 
)x(g
)x(f
lim
)x(g
)x(f
lim
axax \uf0a2
\uf0a2
\uf03d
\uf0ae\uf0ae
 . 
 
Obs.: Esta afirmação é válida também no caso de \uf02b\uf0ae ax , \uf02d\uf0ae ax , \uf0a5\uf0aex ou \uf02d\uf0a5\uf0aex . 
 
 
Exemplo: Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
arctgx
x2
lim
0x\uf0ae
 b) 
xtgx
xsenx
lim
0x \uf02d
\uf02d
\uf0ae
 c) 
x
xln
lim
x \uf0a5\uf0ae
 
 
Solução: Substituindo-se x por 0, em a e b, encontramos 0/0. Assim, é possível usarmos a regra de 
L\u2019Hôpital. 
 
a) 2
1
)x1(2
lim
x1
1
2
lim
arctgx
x2
lim
2
0x
2
0x0x
\uf03d
\uf02b
\uf03d
\uf02b
\uf03d
\uf0ae\uf0ae\uf0ae
. 
b)
2
1
2
xcos
lim
xcos
senx2
senx
lim
tgx.xsec2
senx
lim
1xsec
1xcos
lim
xtgx
xsenx
lim
3
0x
3
0x20x20x0x
\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf03d
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9 \uf02d
\uf03d\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf0ae\uf0ae\uf0ae\uf0ae\uf0ae
. 
c) Quando 
\uf0a5\uf0aex
 encontramos 
\uf0a5
\uf0a5
, logo, é possível aplicar a regra de L´Hôpital.. 
 
.0
x
1
lim
1
x
1
lim
x
xln
lim
xxx
\uf03d\uf03d\uf03d
\uf0a5\uf0ae\uf0a5\uf0ae\uf0a5\uf0ae
 
 
2 
 
x
y
P
t
f(a)
a
Qf(x)
x
s
x
y
P
t
f(a)
a
Q f(x)
x
s
x
y
P
a
f(a)
x
y
t
n
P
x
y
t
n
P
2) Reta tangente 
 
Considere a função f cujo gráfico está representado na Figura 
1. Queremos determinar a equação da reta tangente t à f, por 
P(a, f(a)). 
Determinando outro ponto Q(x, f(x)) da função, e passando 
por P e Q a reta secante s, temos que o coeficiente angular de s é 
dado por: 
ax
)a(f)x(f
ms
\uf02d
\uf02d
\uf03d
 (veja Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como mostra a Figura 3, fazendo 
ax \uf0ae
, temos que 
).a(f
ax
)a(f)x(f
limm
ax
t \uf0a2\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf0ae
 Desta forma, 
a equação da reta tangente à f por P, pode ser obtida usando a fórmula ponto coeficiente angular: 
 
)ax.(m)a(fy t \uf02d\uf03d\uf02d . 
 
 
Definição: Se f é diferenciável, então a reta normal n 
em um ponto P(a, f(a)) do gráfico de f, é a reta que passa 
por P e é perpendicular à reta tangente t (Figura 4). 
Temos que: 
 
 
\u25cfSe 
0)a(f \uf0b9\uf0a2
, o coeficiente angular da reta normal é 
.
)a(f
1
m
1
m
t
n
\uf0a2
\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d
 
 
\u25cfSe 
0)a(f \uf03d\uf0a2
, a reta tangente é horizontal e, nesse caso, 
a normal é vertical, logo não possui coeficiente angular. 
Sua equação é x = a (Figura 5). 
 
 
 
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Figura 5 
3 
 
x
y
t
n
P
Exemplo: Considere a função definida por 
x3x)x(f 4 \uf02d\uf03d
. Determine as equações das retas tangente e 
normal à f por 
).2,1(P \uf02d
 
 
Solução: Temos que: 
3x4)x(f 3 \uf02d\uf03d\uf0a2
. Logo, 
1)1(fm t \uf03d\uf0a2\uf03d
. 
Sendo assim, a equação da reta tangente é dada por 
.3xy)1x.(12y \uf02d\uf03d\uf0de\uf02d\uf03d\uf02b
 
 
O coeficiente angular da reta normal é 
1mn \uf02d\uf03d
. A equação da 
normal é 
.1xy)1x.(12y \uf02d\uf02d\uf03d\uf0de\uf02d\uf02d\uf03d\uf02b
 
Portanto, as equações das retas tangente e normal são, 
respectivamente, 
3xy \uf02d\uf03d
 e 
1xy \uf02d\uf02d\uf03d
, como ilustra a 
Figura 6. 
 
 
3) Velocidade instantânea: 
 
Seja P um móvel em movimento retilíneo, e considere que o seu deslocamento pode ser 
representado através da função s(t), em que o tempo t é dado no intervalo [a, a+h]. Temos que: 
 
i) A velocidade média de P nesse intervalo é dada por: 
.
aha
)a(s)ha(s
t
s
Vm
\uf02d\uf02b
\uf02d\uf02b
\uf03d
\uf044
\uf044
\uf03d
 Ou seja, 
.
h
)a(s)ha(s
Vm
\uf02d\uf02b
\uf03d
 
 
ii) A velocidade instantânea de P em t = a é dada por: 
.
h
)a(s)ha(s
limV
0h
a
\uf02d\uf02b
\uf03d
\uf0ae
 Ou seja, 
 
).a(sVa \uf0a2\uf03d
 
 
Exemplo: Seja P um móvel em movimento retilíneo, cuja função deslocamento é dada por 
t4t2t)t(s 23 \uf02d\uf02b\uf03d
. Em que s é dada em km, e o tempo t, é dado em horas. Determine: 
 
a) A velocidade média no intervalo de tempo [2, 5]. b) A velocidade instantânea em t= 3 h. 
 
Solução: 
 a) .h/km49V
3
8155
25
)2(s)5(s
V mm \uf03d\uf0de
\uf02d
\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d 
 
b) Temos que: 4t4t3)t(s 2 \uf02d\uf02b\uf03d\uf0a2 . Logo, 3541227)3(sVa \uf03d\uf02d\uf02b\uf03d\uf0a2\uf03d . Assim, .h/km35Va \uf03d 
 
4) Taxa de variação instantânea: 
 
Seja y = f(x), onde f é definida em um intervalo aberto contendo a. 
 
i) A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a, a+h] é 
 
Figura 6 
4 
 
.
h
)a(f)ha(f
ym
\uf02d\uf02b
\uf03d
 
 
ii) A taxa instantânea de variação de y em relação a x em a é 
 
.)a(f
h
)a(f)ha(f
limy
0h
a \uf0a2\uf03d
\uf02d\uf02b
\uf03d
\uf0ae
 
 
 Exemplo: Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a área A da 
superfície da mancha varia em relação ao raio r do círculo para 
 
a) r arbitrário b) r = 200m. 
 
Solução: Temos que: 
.rA 2\uf070\uf03d
 
 
a) Derivando A em relação a r, encontramos: 
.r2
dr
dA
\uf070\uf03d
 
b) Para r = 200, temos: .m/m400200.2
dr
dA 2
200r
\uf070\uf03d\uf070\uf03d
\uf03d
 
 
Exemplo: Suponha que o custo para produzir uma quantidade x de um certo aparelho eletrodoméstico 
seja 
2x1,0x1002000)x(c \uf02d\uf02b\uf03d
 em reais. 
 
a) Determine o custo médio para a produção dos 100 primeiros aparelhos. 
 
b) Determine o custo marginal para a produção de 100 aparelhos. 
 
Obs. Na Economia, o custo de produção c(x) é uma função de x, o número de unidades produzidas. 
O custo marginal da produção é a taxa de variação do custo em relação ao nível de produção, isto 
é, dc/dx. 
 
Solução: 
 
a)O custo médio cm é dado por 
90
100
2000000.11
0100
)0(c)100(c
cm \uf03d
\uf02d
\uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d
(reais). 
 
b) O custo marginal é 
x2,0100)x(c \uf02d\uf03d\uf0a2
. Assim, o custo marginal para produzir 100 aparelhos é: 
 
 
\uf0de\uf02d\uf03d\uf02d\uf03d\uf0a2 20100100.2,0100)100(c
 
80)100(c \uf03d\uf0a2
 (reais). 
 
Exemplo: A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, a pressão P, dada em 
N/m
2 
, e o volume V de um gás confinado estão relacionados por P=C/V, para alguma constante C. 
Se, para certo gás, C= 200 e V está aumentando, determine a taxa de variação de P em relação a V 
para um volume igual a 10. 
 
5 
 
Solução: Temos que 
2V
C
dV
dP \uf02d
\uf03d
. Logo, para V= 10, temos que a taxa de variação de P é dada por: 
2
100
200
dV
dP
10V
\uf02d\uf03d
\uf02d
\uf03d
\uf03d
 N/m
2
. 
 
Obs. Esse resultado significa que em V= 10 a pressão está decrescendo a uma taxa de 2 N/m
2
 . 
 
Exemplo: O fator limitante na resistência atlética é o 
desempenho cardíaco, isto é, o volume de sangue que o 
coração pode bombear por unidade de tempo durante uma 
competição atlética. A figura ao lado mostra um gráfico de 
teste de esforço de desempenho cardíaco V em litros (L) de 
sangue versus a quantidade de trabalho que está sendo feita 
W em quilogramas-metro(kg.m) durante 1 minuto de 
levantamento de peso. O gráfico ilustra o conhecido fato 
médico de que o desempenho cardíaco aumenta com a 
quantidade de trabalho, mas, depois