Aplicações de Derivada

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DAPARAÍBA. 
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA - CAMPUS JOÃO PESSOA 
 
Curso: Engenharia Elétrica Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Aluno(a): Matrícula: 
Professora: Kalina Aires 
 
 
Material de aula: 
 
Aplicações de Derivada: 
 
1) Regra de L’Hôpital: 
 
Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no 
próprio a. Se f(x)/g(x) tem a forma indeterminada 0/0 ou 
 /
, em x = a , e se o 
)x(g
)x(f
lim
ax 


existir, 
ou se esse limite for 

ou 

, então 
)x(g
)x(f
lim
)x(g
)x(f
lim
axax 



 . 
 
Obs.: Esta afirmação é válida também no caso de  ax ,  ax , x ou x . 
 
 
Exemplo: Calcule os seguintes limites: 
 
a) 
arctgx
x2
lim
0x
 b) 
xtgx
xsenx
lim
0x 


 c) 
x
xln
lim
x 
 
 
Solução: Substituindo-se x por 0, em a e b, encontramos 0/0. Assim, é possível usarmos a regra de 
L’Hôpital. 
 
a) 2
1
)x1(2
lim
x1
1
2
lim
arctgx
x2
lim
2
0x
2
0x0x






. 
b)
2
1
2
xcos
lim
xcos
senx2
senx
lim
tgx.xsec2
senx
lim
1xsec
1xcos
lim
xtgx
xsenx
lim
3
0x
3
0x20x20x0x






















 












. 
c) Quando 
x
 encontramos 


, logo, é possível aplicar a regra de L´Hôpital.. 
 
.0
x
1
lim
1
x
1
lim
x
xln
lim
xxx


 
 
2 
 
x
y
P
t
f(a)
a
Qf(x)
x
s
x
y
P
t
f(a)
a
Q f(x)
x
s
x
y
P
a
f(a)
x
y
t
n
P
x
y
t
n
P
2) Reta tangente 
 
Considere a função f cujo gráfico está representado na Figura 
1. Queremos determinar a equação da reta tangente t à f, por 
P(a, f(a)). 
Determinando outro ponto Q(x, f(x)) da função, e passando 
por P e Q a reta secante s, temos que o coeficiente angular de s é 
dado por: 
ax
)a(f)x(f
ms



 (veja Figura 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como mostra a Figura 3, fazendo 
ax 
, temos que 
).a(f
ax
)a(f)x(f
limm
ax
t 




 Desta forma, 
a equação da reta tangente à f por P, pode ser obtida usando a fórmula ponto coeficiente angular: 
 
)ax.(m)a(fy t  . 
 
 
Definição: Se f é diferenciável, então a reta normal n 
em um ponto P(a, f(a)) do gráfico de f, é a reta que passa 
por P e é perpendicular à reta tangente t (Figura 4). 
Temos que: 
 
 
●Se 
0)a(f 
, o coeficiente angular da reta normal é 
.
)a(f
1
m
1
m
t
n


 
 
●Se 
0)a(f 
, a reta tangente é horizontal e, nesse caso, 
a normal é vertical, logo não possui coeficiente angular. 
Sua equação é x = a (Figura 5). 
 
 
 
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Figura 5 
3 
 
x
y
t
n
P
Exemplo: Considere a função definida por 
x3x)x(f 4 
. Determine as equações das retas tangente e 
normal à f por 
).2,1(P 
 
 
Solução: Temos que: 
3x4)x(f 3 
. Logo, 
1)1(fm t 
. 
Sendo assim, a equação da reta tangente é dada por 
.3xy)1x.(12y 
 
 
O coeficiente angular da reta normal é 
1mn 
. A equação da 
normal é 
.1xy)1x.(12y 
 
Portanto, as equações das retas tangente e normal são, 
respectivamente, 
3xy 
 e 
1xy 
, como ilustra a 
Figura 6. 
 
 
3) Velocidade instantânea: 
 
Seja P um móvel em movimento retilíneo, e considere que o seu deslocamento pode ser 
representado através da função s(t), em que o tempo t é dado no intervalo [a, a+h]. Temos que: 
 
i) A velocidade média de P nesse intervalo é dada por: 
.
aha
)a(s)ha(s
t
s
Vm






 Ou seja, 
.
h
)a(s)ha(s
Vm


 
 
ii) A velocidade instantânea de P em t = a é dada por: 
.
h
)a(s)ha(s
limV
0h
a



 Ou seja, 
 
).a(sVa 
 
 
Exemplo: Seja P um móvel em movimento retilíneo, cuja função deslocamento é dada por 
t4t2t)t(s 23 
. Em que s é dada em km, e o tempo t, é dado em horas. Determine: 
 
a) A velocidade média no intervalo de tempo [2, 5]. b) A velocidade instantânea em t= 3 h. 
 
Solução: 
 a) .h/km49V
3
8155
25
)2(s)5(s
V mm 




 
 
b) Temos que: 4t4t3)t(s 2  . Logo, 3541227)3(sVa  . Assim, .h/km35Va  
 
4) Taxa de variação instantânea: 
 
Seja y = f(x), onde f é definida em um intervalo aberto contendo a. 
 
i) A taxa média de variação de y = f(x) em relação a x no intervalo [a, a+h] é 
 
Figura 6 
4 
 
.
h
)a(f)ha(f
ym


 
 
ii) A taxa instantânea de variação de y em relação a x em a é 
 
.)a(f
h
)a(f)ha(f
limy
0h
a 



 
 
 Exemplo: Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a área A da 
superfície da mancha varia em relação ao raio r do círculo para 
 
a) r arbitrário b) r = 200m. 
 
Solução: Temos que: 
.rA 2
 
 
a) Derivando A em relação a r, encontramos: 
.r2
dr
dA

 
b) Para r = 200, temos: .m/m400200.2
dr
dA 2
200r


 
 
Exemplo: Suponha que o custo para produzir uma quantidade x de um certo aparelho eletrodoméstico 
seja 
2x1,0x1002000)x(c 
 em reais. 
 
a) Determine o custo médio para a produção dos 100 primeiros aparelhos. 
 
b) Determine o custo marginal para a produção de 100 aparelhos. 
 
Obs. Na Economia, o custo de produção c(x) é uma função de x, o número de unidades produzidas. 
O custo marginal da produção é a taxa de variação do custo em relação ao nível de produção, isto 
é, dc/dx. 
 
Solução: 
 
a)O custo médio cm é dado por 
90
100
2000000.11
0100
)0(c)100(c
cm 





(reais). 
 
b) O custo marginal é 
x2,0100)x(c 
. Assim, o custo marginal para produzir 100 aparelhos é: 
 
 
 20100100.2,0100)100(c
 
80)100(c 
 (reais). 
 
Exemplo: A lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, a pressão P, dada em 
N/m
2 
, e o volume V de um gás confinado estão relacionados por P=C/V, para alguma constante C. 
Se, para certo gás, C= 200 e V está aumentando, determine a taxa de variação de P em relação a V 
para um volume igual a 10. 
 
5 
 
Solução: Temos que 
2V
C
dV
dP 

. Logo, para V= 10, temos que a taxa de variação de P é dada por: 
2
100
200
dV
dP
10V




 N/m
2
. 
 
Obs. Esse resultado significa que em V= 10 a pressão está decrescendo a uma taxa de 2 N/m
2
 . 
 
Exemplo: O fator limitante na resistência atlética é o 
desempenho cardíaco, isto é, o volume de sangue que o 
coração pode bombear por unidade de tempo durante uma 
competição atlética. A figura ao lado mostra um gráfico de 
teste de esforço de desempenho cardíaco V em litros (L) de 
sangue versus a quantidade de trabalho que está sendo feita 
W em quilogramas-metro(kg.m) durante 1 minuto de 
levantamento de peso. O gráfico ilustra o conhecido fato 
médico de que o desempenho cardíaco aumenta com a 
quantidade de trabalho, mas, depoisde atingir um valor de 
pico, começa a cair. 
 
a) Use a reta secante para estimar a taxa média de desempenho cardíaco em relação ao trabalho a 
ser executado quando este aumenta de 300 para 1200kg.m. 
 
b) Use a reta tangente para estimar a taxa de variação instantânea de desempenho cardíaco em 
relação ao trabalho que está sendo executado no ponto onde ele é de 300 kg.m. 
 
Solução: 
 
(a) Usando os pontos estimados (300, 13) e (1200, 19) para 
encontrar a inclinação da reta secante, obtemos: 
 
m.kg
L
0067,0
3001200
1319
rm 



 
 
 
 
(b) Estimamos a inclinação da curva de desempenho cardíaco em 
W = 300 traçando uma reta que parece encontrar a curva em W = 
300 com inclinação igual à da curva. Estimando os pontos (0, 7) e 
(900,25) nessa reta, obtemos: 
 
m.kg
L
02,0
0900
725
rm 



 
 
 
5)Extremos de funções: 
 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo I, e sejam 
21 xex 
números em I. 
6 
 
-2 0 1 3 5 6 7,5
2,2
2
4
-1
x
y
3
4 x
i) f é crescente em I se 
)x(f)x(f 21 
 quando 
21 xx 
; 
ii) f é decrescente em I se 
)x(f)x(f 21 
 quando 
21 xx 
; 
iii) f é constante em I se 
)x(f)x(f 21 
 para todos 
21 xex
. 
 
Exemplo: Considere a função f cujo gráfico está representado na figura 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
 
●f é crescente nos intervalos: [–2, 0], [1,3], [6 ; 7,5]. 
●f é decrescente nos intervalos: [0, 1], [5,6]. 
●f é constante nos intervalos: [3, 5]. 
 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo I real, e seja c um número em I. 
 
i) f(c) é o valor máximo de f em I se 
)c(f)x(f 
 para todo x em I; 
 
ii) f(c) é o valor mínimo de f em I se 
)c(f)x(f 
 para todo x em I. 
 
Observação: 
 
1) O valor máximo de uma função também é chamado de máximo absoluto ou global; E o valor 
mínimo, é chamado de mínimo absoluto ou global. 
 
2) Os valores máximo e mínimo globais são chamados de extremos globais. 
 
Exemplo: Na Figura 7, temos: –1 é mínimo global e 4 é máximo global. 
 
Teorema do Valor Extremo: 
 
Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então f toma seu valor máximo e seu 
mínimo ao menos uma vez em [a,b]. 
 
Figura 7 
7 
 
Observação: Esse teorema garante a existência de extremos se f é contínua em um intervalo 
fechado. Todavia, os extremos podem ocorrer em intervalos que não são fechados e para funções 
que não são contínuas. 
 
Definição: Seja c um número no domínio de uma função f. 
 
i) f(c) é um máximo local de f se existe um intervalo aberto (a,b) contendo c, tal que 
)c(f)x(f 
 
para todo x em (a,b); 
 
ii) f(c) é um mínimo local de f se existe um intervalo aberto (a,b) contendo c, tal que 
)c(f)x(f 
 
para todo x em (a,b). 
 
Observação: Os valores máximo e mínimo locais são chamados de extremos locais. 
 
Exemplo: Em relação à Figura 7, podemos afirmar que: 
 
●3 é máximo local; ● 2 e 2,2 são mínimos locais. 
 
Teorema: Se uma função f tem um extremo local em um número c em um intervalo aberto, então 
0)c(f 
 ou 
)c(f 
 não existe. Consequentemente, se 
0)c(f 
ou 
)c(f 
 existir, então f(c) não é 
extremo local. 
 
Teorema: Se uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b] e toma seu máximo ou 
mínimo em um ponto c do intervalo aberto (a,b), então 
0)c(f 
 ou 
)c(f 
 não existe. 
 
Definição: Um número c no interior do domínio de uma função f é denominado número crítico de 
f se 
0)c(f 
 ou 
)c(f 
 não existir. 
 
Exemplo: Em relação ao gráfico da Figura 7, podemos afirmar que 0, 1, 3, 4, 5, 6 são números 
críticos. 
 
Observação: Temos que, se f é contínua em um intervalo fechado [a,b], então o valor máximo e o 
mínimo ocorrem em um número crítico de f ou nos extremos do intervalo. 
 
Exemplo: Considere a função cujo gráfico está representado na Figura 8. Podemos afirmar que: 
 
● f é crescente no intervalo: [–1, 1]. ● –1 é mínimo local e mínimo global de f. 
● f é decrescente nos intervalos: [–2, –1], [1,2]. ● 3 é máximo local e máximo global de f. 
● f é constante nos intervalos: [2, 4]. ● –1, 1, 2, 3 são números críticos de f. 
 
 
 
 
 
8 
 
-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y
-2 0 1 3 5 6 7,5
2,2
2
4
-1
x
y
3
4
x
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Seja f contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). 
 
i) Se 
0)x(f 
 para todo x em (a,b), então f é crescente em [a,b]. 
 
ii) Se 
0)x(f 
 para todo x em (a,b), então f é decrescente em [a,b]. 
 
Exemplo: Graficamente, usando como exemplo a figura 9, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
 
● Onde f é crescente, as retas tangentes são crescentes, ou seja, coeficiente angular positivo 
)0)x(f( 
. 
 
● Onde f é decrescente, as retas tangentes são decrescentes, ou seja, coeficiente angular negativo 
)x(f( 
< 0). 
 
Figura 8 
Figura 9 
9 
 
● Onde f possui extremo local, as retas tangentes são horizontais (
0)x(f 
) ou não existem 
(pontos angulares). 
 
Teste da derivada primeira: 
 
Seja c um número crítico de f, e suponhamos f contínua em c e diferenciável em um intervalo 
aberto I contendo c, não necessariamente diferenciável em c. 
 
i) Se 
)x(f 
 passa de positiva para negativa em c, então f(c) é máximo local de f. 
 
ii) Se 
)x(f 
 passa de negativa para positiva em c, então f(c) é mínimo local de f. 
 
iii) Se 
0)x(f 
 ou se 
0)x(f 
 para todo x em I, exceto em x = c, então f(c) não é extremo local 
de f. 
 
Exemplo: Observe a Figura 10. 
Note que, em relação à mudança de sinal, temos: 
 
 
 
 
 
Então, 
 
● f(a) é máximo local ●f(0) não é extremo local ● f(b) é mínimo local. 
 
Definição: Se f for diferenciável em um intervalo aberto I, o gráfico de f é: 
 
i) Côncavo para cima em I se 
)x(f 
 é crescente em I. 
 
ii) Côncavo para baixo em I se 
)x(f 
 é decrescente em I. 
0 a b 
+ – – + 
10 
 
Teste da concavidade: 
 
Se a derivada segunda 
f 
 de f existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é: 
 
i) Côncavo para cima em I se 
0)x(f 
 em I. 
 
ii) Côncavo para baixo em I se 
0)x(f 
 em I. 
 
 
Definição: Um ponto (c, f (c)) do gráfico de f é um ponto de inflexão se são verificadas as duas 
condições: 
 
i) f é contínua em c. 
ii) A concavidade muda em P(c, f(c)) 
 
Exemplo: Considere a função 
.x2x)x(f 23 
Pede-se 
 
a) O domínio e as raízes de f; 
 
b) Os números críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento de f e seus extremos locais; 
 
c) Analise a concavidade do gráfico de f e investigue seus possíveis pontos de inflexão; 
 
d) Calcule 
)x(flim
x 
 e 
)x(flim
x 
; 
e) Esboce o gráfico de f e investigue a existência de extremos globais. 
 
Solução: 
 
a) Domínio: D(f)=IR 
 Raízes: x = 0 ou x= 2, pois, 
.2xou0x0)2x.(x0.x2x 223 
 
b) 
.x4x3)x(f 2 
Então, 
)x(f 
existe pata todo x. Fazendo 
0)x(f 
 obtemos: 
3
4
xou0x0)4x3.(x0x4x3 2 
. 
●Números críticos: 0 e 4/3. 
 
●f é crescente em: 
 0,
 e 
 ,3/4
. 
 
● f é decrescente em: 
3/4,0
. 
 
● 
0)0(f 
 é máximo local. 
 
● 
2,1
27
32
)3/4(f 
 é mínimo local. 
4/3 0 
+ – + 
11 
 
-2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
c) Temos que: 
.4x6)x(f 
Então, 
.3/2x04x60)x(f 
 Analisando o sinal da 
derivada segunda de f, concluímos que: 
 
●f é côncava para baixo no intervalo: 
 3/2,
 . 
 
● f é côncava para cima no intervalo: 
 ,3/2
. 
 
●







27
16
,
3
2
P
 é ponto de inflexão de f. 
 
Obs.: 
 6,0,67,0
27
16
,
3
2
P 






 
 
d) 


)x(lim)x2x(lim)x(flim 3
x
23
xx
 e 


)x(lim)x2x(lim)x(flim 3
x
23
xx
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função não possui extremos globais. 
 
Problemas de otimização: 
 
Nas aplicações, uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de uma 
expressão matemática Q = f(x), no qual f é uma função. Se f é diferenciável, então a derivada 
)x(f)x(QDx 
 pode ser útil na pesquisa de máximos e mínimos. Em aplicações, esses valores são 
às vezes chamados valores ótimos, porque são, na maioria das vezes, os melhores valores para a 
quantidade Q. 
 
Exemplo: Um recipiente cilíndrico sem tampa deve ter 1m
3
 de capacidade. Se não há perdas de 
material na construção, ache as dimensões que exigem o mínimo de material. 
 
Solução: O esboço do recipiente é: 
 
 
2/3 
– + 
r 
h 
12 
 
A quantidade a ser minimizada é o material, ou seja, a área do cilindro. Assim, 
BL AAA 
, onde 
LA
 é a área lateral e
BA
 é a área da base. Logo, 2rh.r.2A  . Precisamos 
deixar a área em função apenas de uma incógnita. Para isso, usaremos o fato de que a capacidade 
tem que ser de 1 m
3
. Logo, 
.
r
1
r
V
hh.AV
22B 



 
 Dessa forma, substituindo esse valor em A, 
 
2
3
2
22
2 r
2r2
r2
r
2
dr
dA
r
r
2
Ar
r
1
.r.2A




. 
 
Então, os números críticos de A são os valores para os quais 
dr
dA
 é zero ou não existe. 
 
333
2
3 1
r
1
r2r20
r
2r2





. 
Ou seja, os números críticos são 
3
1
re0r


. Analisando o sinal de 
dr
dA
, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
Como r = 0 não tem sentido, descartamos esse valor. Considerando 
m
1
r
3 

, temos 
.
r
1
h
2

 
Logo, 
3
3/113/2
3 2
3 2
1
.
1
.
1
h







 
. 
Portanto, a área A é mínima quando 
m
1
r
3 

 e 
m
1
h
3 

 . 
 
 
Bibliografia: 
 
SWOKOWSKI, Earl W, Cálculo com Geometria Analítica – volume 1, Makron Books, São Paulo – SP. 
FINNEY, Ross L., Cálculo de George B. Thomas Jr., volume 1/Frank R. Giordano. Addison Wesley, 
2002, São Paulo-SP. 
HOWARD, Anton; Bivens Irl; Davis, Stephen. Cálculo- 10 ed.- Bookman, 2014, Porto Alegre-RS. 
3
1

 
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