APOSTILA-GA-VETORES

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
PROFa. RAQUEL POLIZELI
APOSTILA DE GEOMETRIA ANALI´TICA
Campo Moura˜o,2o semestre de 2013
1
Suma´rio
1 Vetores 1
1.1 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Produto por Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais 8
2.1 Vetores Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Vetores Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Ca´lculo da norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Distaˆncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Produto de Vetores 15
3.1 Produto interno euclidiano ou produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Produto interno em termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Propriedades do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.3 Condic¸a˜o de ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.4 Estudo da Projec¸a˜o Ortogonal usando Produto Escalar . . . . . . . . . . . 18
3.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto vetorial de dois Vetores . . 22
3.3 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
3.3.1 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto . . . . . . . . . . . 25
3.4 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3
Cap´ıtulo 1
Vetores
Existem grandezas chamadas escalares, exemplos: a´rea, comprimento, massa, etc...
que ficam completamente determinadas assim que for dada sua magnitude (um nu´mero e uma
unidade correspondente. (Ex.: 10 Kg, 3 km2, 300 m3...) Outras grandezas f´ısicas no entanto
requerem mais do que isso. Por exemplo, uma forc¸a ou a velocidade, para que fiquem bem
definidas e´ necessa´rio especificar a direc¸a˜o, a intensidade e o sentido. Tais grandezas sa˜o
chamadas vetoriais. Para entendermos melhor o conceito de grandesas vetoriais, precisamos
primeiro estudar os segmentos Orientados.
1.1 Segmentos Orientados
Dois pontos A e B do espac¸o determinam uma reta r. O conjunto dos pontos de r que esta˜o
entre A e B e´ um segmento de reta (geome´trico) AB que podemos orientar considerando um dos
pontos como origem e outro como extremidade final. Denotaremos por AB o segmento orientado
de origem em A e extremidade em B.
Figura 1.1: segmento AB
Nota: 1) O segmento AA e´ chamado segmento nulo. Geome´tricamente e´ um ponto.
2) O segmentos AB e BA sa˜o diferentes.
1
Observac¸a˜o 1.1
a) Tamanho ou comprimento de um segmento orientado AB e´ o comprimento do segmento
geome´trico AB.
b) Dizemos que os segmentos orientados AB e A′B′ tem mesma direc¸a˜o se a reta determinada
por A e B e´ paralela a reta determinada por A’ e B’.
c) Se os segmentos orientados AB e A′B′ tem mesma direc¸a˜o eles tera˜o o mesmo sentido se
AA′
⋂
BB′ = ∅
Definic¸a˜o 1.1 Diremos que um segmento orientado AB e´ equipolente ao segmento orientado
A′B′, se ambos sa˜o nulos ou possuem mesma direc¸a˜o, mesmo tamanho e mesmo sentido.
Propriedades da relac¸a˜o de equipoleˆncia:
(a) Reflexividade : AB e´ equipolente a AB.
(b) Simetria: Se AB e´ equipolente a A′B′, enta˜o A′B′ e´ equipolente a AB.
(c) Transitividade: Se AB e´ equipolente a A′B′ e se A′B′ e´ equipolente a A′′B′′, enta˜o AB
e´ equipolente a A′′B′′.
1.2 Vetores
Imagine um objeto (um so´lido) se deslocando, a velocidade de cada ponto desse so´lido e´ a mesma.
Enta˜o qual das flexas (que obtemos em cada ponto do so´lido) seria escolhida para representar
a velocidade do so´lido? Observe que todas sa˜o equipolentes. Assim poder´ıamos representar a
velocidade por qualquer uma delas.
Definic¸a˜o 1.2 O conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, sera´ chamado
de vetor determinado pelo segmento orientado AB, e denotaremos por
−→
AB.
Diremos que o segmento orientado AB e´ um representante do vetor
−→
AB. Assim dado um
vetor, em cada ponto do espac¸o, sempre existira´ um, e somente um, representante desse vetor.
Notac¸o˜es: podemos simplesmente denotar o vetor
−→
AB por −→a ou −→b .
Observac¸a˜o 1.2
1. Dois vetores
−→
AB e
−−→
CD sa˜o iguais se, e somente se, AB e´ equipolente a CD.
2
2. O vetor nulo e´ o vetor cujo representante e´ um segmento orientado nulo.
Notac¸a˜o:
−→
0
3. A norma (mo´dulo ou comprimento) de um vetor −→a e´ o comprimento de qualquer
segmento orientado representante desse vetor.
Notac¸a˜o: ‖ −→a ‖,
4. Um vetor −→a e´ unita´rio se ‖ −→a ‖= 1.
5. Se −→a = −→AB enta˜o o vetor oposto de −→a e´ ao vetor −→BA.
Notac¸a˜o: −−→AB ou −~a.
6. Dois vetores −→a = −→AB e −→b = −−→CD sa˜o colineares ou paralelos se tiverem a mesma
direc¸a˜o, isto e´, se seus representantes AB e CD pertencerem a uma mesma reta ou a retas
paralelas.
Figura 1.2: vetores colineares
7. Treˆs ou mais vetores sa˜o coplanares se possuem representantes pertencentes a um mesmo
plano.
Figura 1.3: vetores coplanares
Note que dois vetores quaisquer sa˜o sempre coplanares no entanto, treˆs vetores podera˜o ou
na˜o ser coplanares.
Figura 1.4: vetores coplanares e na˜o-coplanares
3
1.3 Adic¸a˜o de Vetores
Definic¸a˜o 1.3 Sejam −→u e −→v dois vetores do espac¸o, a soma desses vetores, representada por
−→u + −→v , e´ o vetor determinado da seguinte maneira: posicione o vetor −→v de tal maneira que
seu ponto inicial coincide com o ponto final de −→u . O vetor −→u +−→v e´ representado pela flecha do
ponto inicial de u ao ponto final de v.
Propriedades da adic¸a˜o
Para quaisquer vetores ~a,~b e ~c temos:
1. ~u+ ~v = ~u+ ~v
2. (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
3. ~u+~0 = ~0 + ~u = ~u
4. ~u+ (−~u) = −~u+ ~u = ~0
Regra do paralelogramo
Consideremos o paralelogramo com ve´rtices ABCD e os vetores ~a =
−→
AB e ~b =
−→
AC. Temos
que o vetor soma ~s = ~a+~b e´ representado pelo segmento orientado AD, que e´ uma das diagonais
do paralelogramo e que o vetor diferenc¸a ~d = ~a − ~b = ~a + (−~b), representado pelo segmento
orientado CB, e´ a outra diagonal do paralelogramo.
Figura 1.5: regra do paralelogramo
Observac¸a˜o 1.3 Para obter a diferenc¸a a− b sem construir −b, posicione a e b de tal modo que
seus pontos iniciais coincidam; o vetor do ponto final de b ao ponto final de a e´ o vetor a− b.
4
1.4 Produto por Escalares
Seja k um nu´mero real e AB um representante do vetor ~u, o produto do vetor ~u pelo escalar k,
denotado por k~u e´ definido por:
1. k~u = ~0, se k = 0 ou ~u = ~0;
2. Se ~u 6= ~0 e k 6= 0, k~u e´ o vetor de mesma direc¸a˜o de ~u cujo comprimento e´ | k | vezes o
comprimento de ~u e o sentido e´ o mesmo de ~u se k > 0 e oposto ao de ~u se k < 0.
Propriedades do produto por escalares
Para quaisquer vetores ~u e ~v e k e t nu´meros reais temos:
1. (k + t)~u = k~u+ t~u
2. k(~u+ ~v) = k ~au+ k~v
3. k(t~u) = (kt)~v
4. 1~u = ~u e (−1)~u = −~u
Exerc´ıcio 1.1 Dados os vetores ~a,~b e ~c, de acordo com a figura,construir o vetor
~s = 2~a− 3~b+ 1
2
~c
Figura:
Exerc´ıcio 1.2 No exagono regular ABCDEF , obter a somas:
a) ~AB + ~FE+ ~AF b) ~AD − ~AE+ ~BE
Figura: Figura:
5
Exerc´ıcio 1.3 Considere o paralelogramo ABCD determinado pelos vetores
−→
AB e
−−→
CD, seja M
e N pontos me´dios dos lados DC e AB, respectivamente. Complete convenientemente:
a)
−−→
AD +
−→
AB = ...............
b)
−→
BA+
−−→
DA = ...............
c)
−→
AC −−−→BC = ...............
d)
−−→
AN +
−−→
BC = ...............
e)
−−→
MD +
−−→
MB = ...............
f)
−−→
BM − 1
2
−−→
DC = ...............
Exerc´ıcio 1.4 a) Mostre que as diagonais de um paralelogramo ABCD se cortam no ponto
me´dio M de ambas. b) Se o comprimento de
−→
AC e´ 2 unidades, qual sera´ o comprimento de
−−→
AM .
c) Encontre um vetor −→v = 43−→AC e deˆ seu comprimento.
Exerc´ıcio 1.5 Considere o triangulo ABC, onde M,N,P sa˜o pontos me´dios de AB, BC, e CA
respectivamente. Exprima
−−→
BP,
−−→
AN,
−−→
CM em func¸a˜o de
−→
AB e
−→
AC.
6
1.5 Aˆngulo entre dois vetores
Relembrando... Aˆngulo : E´ a regia˜o de um plano concebida pela abertura de dois segmentos que
possuem uma origem em comum (denominada ve´rtice do aˆngulo). A abertura do aˆngulo sera´
definida por um o nu´mero θ.
O aˆngulo entre dois vetores na˜o-nulos ~a e ~b, com representantes
−→
AB e
−→
AC, respectivamente,
denotado por θ e´ aˆngulo formado pelas semi-retas AB e AC,em que 0 ≤ θ ≤ pi.
Figura 1.6: aˆngulo
Observac¸a˜o 1.4
1. Se θ = pi, ~a e ~b teˆm a mesma direc¸a˜o e sentidos contra´rios.
2. Se θ = 0, ~a e ~b teˆm a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido.
3. Se θ =
pi
2
, ~a e ~b sa˜o ortogonais. Indicamos ~a ⊥ ~b.
Figura 1.7: vetores ortogonais
Neste caso, temos ‖~a+~b‖2 = ‖~a‖2 + ‖~b‖2
Exerc´ıcio 1.6 Dados os vetores ~a e ~b, mostrar graficamente um representante do vetor:
Figura: a) ~a−~b b) ~b− ~a c) 2~a− 3~b
Exerc´ıcio 1.7 Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v e´ de 60◦, determinar o aˆngulo
formado pelos vetores:
a) ~u e −~v b)−~u e ~v c) −~u e −~v d) 2~u e 3~v
7
Cap´ıtulo 2
Sistemas de coordenadas: Vetores
Bidimensionais e Tridimensionais
Ate´ enta˜o estudamos vetores somente do ponto de vista geome´trico. Agora vamos estuda´-
los relacionando-os com um sistema de coordenadas retangulares do plano e do espac¸o. Muitas
vezes o uso dos sistemas de coordenadas simplifica problemas envolvendo vetores. O tratamento
alge´brico, na maioria das situac¸o˜es, e´ bem mais pra´tico do que o tratamento geome´trico.
2.1 Vetores Bidimensionais
Dados dois vetores ~v1 e ~v2, na˜o colineares. Se ~v um vetor qualquer coplanar com ~v1 e ~v2, temos
que ~v pode ser decomposto segundo as direc¸o˜es de ~v1 e ~v2, ou seja, podemos determinar nu´meros
a1 e a2, tais que ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2.
Nesse caso, dizemos que ~v e´ uma combinac¸a˜o linear de ~v1 e ~v2. O par de vetores ~v1 e ~v2,
na˜o colineares, e´ chamado base do plano (qualquer conjunto {~v1, ~v2} de vetores na˜o colineares
constitui uma base no plano). Os nu´meros a1 e a2 sa˜o chamados componentes ou coordenadas
de ~v em relac¸a˜o a base {~v1, ~v2}.
Assim a1 ~v1 e´ chamado projec¸a˜o de ~v sobre ~v1, segundo a direc¸a˜o ~v2. Analogamente, a2 ~v2 e´
chamado projec¸a˜o de ~v sobre ~v2, segundo a direc¸a˜o ~v1.
8
Na pra´tica, as bases mais utilizada sa˜o as ortogonais (base em que os vetores sa˜o ortogonais
e unita´rios).
Assim, considerando o sistema de coordenadas cartesianas no plano, o vetor ~i partindo da
origem e em direc¸a˜o do eixo x, de norma 1, e o vetor ~j partindo da origem e em direc¸a˜o do eixo
y, tambe´m de norma 1. Considerando tambe´m, o vetor ~v posicionado com seu ponto inicial na
origem de um sistema de coordenadas, e ponto final com coordenadas (x, y).
Logo ~v pode ser decomposto segundo as direc¸o˜es dos vetores
−→
i = (1, 0) e
−→
j = (0, 1). Isto e´,
existem nu´meros reais x e y tais que,
−→v = x.−→i + y.−→j
Existe um correspondeˆncia biun´ıvoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x, y) de
nu´meros reais. Desse modo, a cada vetor ~v do plano pode-se associar um par ordenado (x, y).
Assim, podemos denotar o vetor ~v atrave´s de suas coordenadas, ~v = (x, y), que e´ a expressa˜o
anal´ıtica de ~v.
Neste caso, dizemos que v e´ combinac¸a˜o linear de
−→
i e
−→
j . Os nu´meros x e y sa˜o as coor-
denadas de −→v em relac¸a˜o a` base {−→i ,−→j }. A base {−→i ,−→j } (com orientac¸a˜o anti-hora´ria) e´ dita
base canoˆnica de
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.
Dado um vetor ~v = x1~i+ y1~j, o vetor x1~i e´ a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre o eixo dos x e y1~j
e´ a projec¸a˜o ortogonal de ~v sobre o eixo dos y.
OBS: Se na˜o houver refereˆncia contra´ria, a seguir faremos nosso estudo tratanto somente da
base canoˆnica.
9
2.2 Vetores Tridimensionais
Os estudos feitos ate´ agora no plano, podem ser generalizados para o espac¸o tridimensional.
No espac¸o qualquer conjunto com treˆs vetores na˜o coplanares {~v1, ~v2, ~v3} e´ uma base, e de
forma ana´loga, demonstra-se que todo vetor ~v do espac¸o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores dessa
base, ou seja, tais que: ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 + a3 ~v3, sendo a1, a2 e a3 as componentes (coordenadas)
de ~v e relac¸a˜o a base considerada.
No espac¸o, uma base e´ ortogonal se os vetores sa˜o unita´rios e dois a dois ortogonais.
Analogamente ao que fizemos no plano, os vetores no espac¸o podem ser descritos por triplas
de nu´meros reais utilizando uma base tridimensional.
Escolhendo, dentre as infinitas bases ortonormais existentes, a base canoˆnica do espac¸o repre-
sentada por {−→i ,−→j ,−→k } (com orientac¸a˜o anti-hora´ria), podemos construir o sistema de coorde-
nadas retaˆngulares no espac¸o. Para construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um
ponto O, denominado a origem e escolhemos treˆs retas mutuamente perpendiculares passando
pela origem, cada uma na direc¸a˜o de um dos vetores
−→
i ,
−→
j ,
−→
k , essas retas sa˜o denominadas
eixos coordenados, designados eixo x ou abscissa (na direc¸a˜o
−→
i ), eixo y ou ordenada (na
direc¸a˜o
−→
j ) e eixo z ou cota (na direc¸a˜o
−→
k ).
O plano determinado pelo eixo dos x e pelo eixo dos y e´ chamado plano coordenado xy; o
plano determinado pelo eixo dos x e pelo eixo dos z e´ chamado plano coordenado xz; o plano
determinado pelo eixo dos y e´ pelo eixo dos z e´ chamado plano coordenado yz.
Como no plano, em nossos estudos, a menos que se fac¸a refereˆncia contra´ria, faremos uso
da base canoˆnica tridimensional, neste caso dada pelos vetores ~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0) e
~k = (0, 0, 1), com origem no mesmo ponto O e que sa˜o base do espac¸o cartesiano.
10
O conjunto R3 = {(x, y, z)/x, y, z ∈ R} e´ o produto cartesiano R×R×R e sua representac¸a˜o
geome´trica e´ o espac¸o cartesiano determinado pelos treˆs eixos cartesianos dois a dois ortogo-
nais x, y e z.
A cada ponto P do espac¸o que corresponde a uma terna ordenada (x, y, z) de nu´meros reais,
pode ser identificado a um vetor com in´ıcio na origem do sistema e extremidade no ponto P , ou
seja, em R3 temos:
~v =
−→
OP = x~i+ y~j + z~k = (x, y, z)
Exemplo 2.1 De forma anal´ıtica o vetor ~v = 2~i−3~j+~k pode ser representado por ~v = (2,−3, 1)
Os conceitos a seguir sa˜o va´lidos tambe´m no plano, bastando considerar a coordenada z = 0.
Igualdade de vetores
Os vetores ~a = (x1, y1, z1) e ~b = (x2, y2, z2) sa˜o iguais (~a = ~b) se, e somente se,
x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.
Operac¸o˜es
Dados os vetores ~a = (x1, y1, z1), ~b = (x2, y2, z2) e k ∈ R temos:
a) ~a+~b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
b) k~a = (kx1, ky1, kz1).
Vetor definido por dois pontos
Consideremos o vetor
−→
AB com origem no pontoA(x1, y1, z1) e extremidade no pontoB(x2, y2, z2),
temos−→
AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
OBS: Considerando o vetor
−→
AB com origem A = (x1, y1) e extremidade em b = (x2, y2).
Temos:
−→
OA = (x1, y1) e
−−→
OB = (x2, y2).
Geometricamente
−→
AB =
−→
AO +
−−→
OB,
ou seja,
−→
AB =
−−→
OB −−→OA = (x2 − x1, y2 − y1).
11
Vetores paralelos
Como vimos na observac¸a˜o 1.2, dois vetores ~a = (x1, y1, z1) e ~b = (x2, y2, z2) sa˜o colineares
ou paralelos se existir um nu´mero real k tal que
~a = k~b
isto e´,
(x1, y1, z1) = k(x2, y2, z2)⇒ (x1, y1, z1) = (kx2, ky2, kz2)⇒
x1 = kx2
y1 = ky2 ⇒ x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
z1 = kz2
Denoteremos : ~a//~b.
Exemplo 2.2 Os vetores ~a = (−2, 3, 5) e ~b = (−4, 6, 10) sa˜o paralelos pois
−2
−4 =
3
6
=
5
10
=
1
2
isto e´, ~a =
1
2
~b.
12
2.3 Ca´lculo da norma de um vetor
Para nossos estudos nessa sec¸a˜o e no pro´ximo cap´ıtulo estaremos considerando os vetores em R2
e R3, com coordenadas em relac¸a˜o a base canoˆnica. Seja −→v de acordo com a figura abaixo:
Em R2: Em R3:
Usando o Teorema de Pita´goras, podemos determinar a norma (mo´dulo ou compri-
mento) de −→v :
‖ −→v ‖=
√
x2 + y2, ~v ∈ R2
ou
‖ −→v ‖=
√
(
√
x2 + y2)2 + z2 =
√
x2 + y2 + z2, ~v ∈ R3.
2.4 Distaˆncia entre dois pontos
A distaˆncia d entre os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) e´ assim definida:
d =‖ −→AB ‖=‖ B − A ‖=‖ (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) ‖=
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Exemplo 2.3 Dados os pontos A = (2, 3, 5) e B = (3, 0, 7), calcular a distaˆncia d entre A e B.
Exemplo 2.4 Determine α para que o vetor ~v = (α,−1
2
,
1
4
) seja unita´rio.
13
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus de Campo Moura˜o
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
3a LISTA DE EXERCI´CIOS - VETORES BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
1. Represente geometricamente num sistema de coordenadas de ma˜o direita os pontos cujas
coordenadas sa˜o:
a) (3, 4, 5) b) (−3, 4, 5) c) (3,−4, 5) d) (3, 4,−5)
e) (−3,−4, 5) f) (−3, 4,−5) g) (3,−4,−5) h) (−3,−4,−5)
i) (−3, 0, 0) j) (3, 0, 3) k) (0, 0,−3) l) (0, 3, 0)
2. Esboce os seguintes vetores com ponto inicial na origem do sistema:
a) ~v1 = (3, 6) b) ~v2 = (−4, 8) c) ~v3 = (−4,−3) d) ~v4 = (5,−4)
e) ~v5 = (3, 6, 4) f) ~v6 = (3, 3, 0) g) ~v7 = (0, 0,−3) h) ~v8 = (5,−4, 8)
3. Encontre os componentes anal´ıticas do vetor de origem A e extremidade B:
a) A(4, 8), B(3, 7) b) A(3,−5), B(−4,−7)
c) A(3,−7, 2), B = (−2, 5,−4) d) A(−1, 0, 2), B(0,−1, 0)
4. Sejam u = (−3, 1, 2), v = (4, 0,−8) e w = (6,−1,−4). Calcule a expressa˜o anal´ıtica dos
vetores:
a) v − w b) 6u+ 2v c) −v + u d) 5(v − 4u)
5. Considere u, v e w os vetores do exerc´ıcio 4.
a) Encontre o vetor ~x que satisfaz: 2u− v + ~x = 7~x+ w.
b) Encontre escalares c1, c2 e c3 tais que: c1u + c2v + c3w = (2, 0, 4)
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14
Cap´ıtulo 3
Produto de Vetores
3.1 Produto interno euclidiano ou produto escalar
Definic¸a˜o 3.1 Sejam ~u e ~v dois vetores na˜o-nulos e θ e´ o aˆngulo entre ~u e ~v satisfazendo
0 ≤ θ ≤ pi rad.
O produto interno euclidiano ou o produto escalar ~u.~v, e´ o nu´merop real definido
por:
~u.~v =
{ ‖u‖ ‖v‖ cos θ seu 6= 0 e v 6= 0
0 seu = 0 ou v = 0
Exemplo 3.1 Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u = (1, 0) e ~v = (1, 1) e´ de 45◦, calcule
~u.~v.
Observac¸a˜o 3.1
1. Se ~u.~v > 0, da Definic¸a˜o 5.1, cos θ deve ser um nu´mero positivo, isto e´, cos θ > 0, o que
implica 0◦ ≤ θ < 90◦. Nesse caso, θ e´ dito aˆngulo agudo ou nulo.
2. Se ~u.~v < 0,da Definic¸a˜o 5.1, cos θ deve ser um nu´mero negativo, isto e´, cos θ < 0, o que
implica 90◦ < θ ≤ 180◦. Nesse caso, θ e´ dito aˆngulo obtuso ou raso.
3. Se ~u.~v = 0, da Definic¸a˜o 5.1, cos θ deve ser igual a zero, isto e´, cos θ = 0, o que implica
θ = 90◦. Nesse caso, θ e´ aˆngulo reto.
15
3.1.1 Produto interno em termos das Componentes
Para efeitos de ca´lculo, e´ deseja´vel ter uma fo´rmula que deˆ o produto interno de dois vetores em
termos das componentes do vetor. O teorema abaixo fornece essa fo´rmula:
Teorema 3.1 Sejam ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) dois vetores na˜o nulos, enta˜o:
~u.~v = u1.v1 + u2v2 + u3v3
Observac¸a˜o 3.2 Da Definic¸a˜o 4.1 segue que, cos θ =
−→u .−→v
‖ −→u ‖ . ‖ −→v ‖ , ou seja,
θ = arccos
−→u .−→v
‖ −→u ‖ . ‖ −→v ‖
Exemplo 3.2 Considere os vetores u = (2,−1,1) e v = (1,1,2). Encontre u.v e determine o
aˆngulo θ entre u e v.
Exemplo 3.3 Calcule o aˆngulo entre os vetores ~u = (1, 1, 4) e ~v = (−1, 2, 2).
16
3.1.2 Propriedades do produto escalar
Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w = (x3, y3, z3) de R3,
temos:
1. ~u.~u > 0 e ~u.~u = 0 somente se ~u = ~0.
2. ~u.~v = ~v.~u
3. ~u.(~v + ~w) = ~u.~v + ~u.~w
4. (m~u).~v = m(~u.~v) = ~u.(m~v)
5. ‖ −→v ‖= √−→v .−→v ou ainda,−→v .−→v =‖ −→v ‖2 .
6. ‖ ~u+ ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + 2~u.~v + ‖ ~v ‖2
7. ‖ ~u− ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 − 2~u.~v + ‖ ~v ‖2
8. ‖ ~u ‖2 − ‖ ~v ‖2 = (~u+ ~v).(~u− ~v)
3.1.3 Condic¸a˜o de ortogonalidade de dois vetores
De acordo com a observac¸a˜o 3.1.3 podemos enunciar a seguinte condic¸a˜o: ”Dois vetores sa˜o
ortogonais se, e somente se, o produto interno deles e´ nulo”. Ou seja,
~u⊥~v ⇔ ~u.~v = 0
Exemplo 3.4 Verifique se os vetores ~u = (−2, 3,−2) e ~v = (−1, 2, 4) sa˜o ortogonais.
Exemplo 3.5 Prove que o triaˆngulo de ve´rtices A(2, 3, 1), B(2, 1,−1) e C(2, 2,−2) e´ um triaˆngulo
retaˆngulo. (Sugesta˜o: A forma mais simples de provar a existeˆncia de um aˆngulo reto e´ mostrar que
o produto interno de dois vetores que determinam os lados do triaˆngulo e´ nulo.)
17
3.1.4 Estudo da Projec¸a˜o Ortogonal usando Produto Escalar
Sejam os vetores ~u e ~v, com ~u,~v 6= ~0 e, θ o aˆngulo por eles formado. Pretendemos calcular o
vetor ~w que representa a projec¸a˜o ortogonal de ~u sobre ~v ou componente vetorial de ~u
ao longo de ~v . Para tanto, utilizaremos a figura abaixo, que ilustra as duas situac¸o˜es poss´ıveis
podendo ser θ um aˆngulo agudo ou obtuso.
Do triaˆngulo retaˆngulo, segue que:
‖ −→w ‖=‖ −→u ‖ .| cos θ| =‖ −→u ‖ |
−→u .−→v |
‖ −→u ‖‖ −→v ‖ =
|−→u .−→v |
‖ −→v ‖
Como ~w e ~v teˆm a mesma direc¸a˜o, segue-se que:
~w = k~v, k ∈ R
Enta˜o:
‖ −→w ‖= |k| ‖ −→v ‖
ou seja,
k =
−→u .−→v
‖ −→v ‖2
Logo,
~w =
( −→u .−→v
‖ −→v ‖2
)
~v
Obtemos assim:
proj~v~u =
(
~u.~v
~v.~v
)
~v : componente vetorial de u ao longo de v.
E, u − proj~v~u = u − ~u.~v
~v.~v
~v : componente vetorial de u ortogonal a v.
18
Exerc´ıcios para fixac¸a˜o
Exerc´ıcio 3.1 Determine o vetor projec¸a˜o (componente vetorial) de u = (2, 3, 4) ao
longo de v = (1,−1, 0) e a componente vetorial de u ortogonal a v.
Exerc´ıcio 3.2 Sejam u = (2,−1, 3) e v = (4,−1, 2). Encontre o componente vetorial de u ao
longo de v e o componente vetorial de u ortogonal a v.
Exerc´ıcio 3.3 Sejam os pontos A(1, 2,−1), B(−1, 0,−1) eC(2, 1, 2).
a) Mostre que o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em A;
b) Calcule a medida da projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC;
c)Determine o pe´ da altura do triaˆngulo relativa ao ve´rtice A.
Exerc´ıcio 3.4 a) Deduza uma fo´rmula para o comprimento do vetor projec¸a˜o de u ao longo de
v usando produto interno.
b) Deduza uma fo´rmula para o comprimento do vetor projec¸a˜o de u ao longo de v usando o
aˆngulo θ entre os vetores.
19
3.2 Produto Vetorial
Para definirmos produto vetorial consideremos os vetores sobre a base canoˆnica, e lembremos
que essa base tem orientac¸a˜o positiva (anti-hora´ria).
Dados os vetores ~u e ~v, tomados nesta ordem, chama-se produto vetorial dos vetores ~u
e ~v, ao vetor ~u ∧ ~v (leˆ ”~u vetorial ~v”), tal que:
a) se (−→u ,−→v ) tem mesma direc¸a˜o, temos −→u ∧ −→v =−→0 ;
b) se (−→u ,−→v ) na˜o tem mesma direc¸a˜o e θ e´ a medida angular entre −→u e −→v , temos
(i) ‖ −→u ∧ −→v ‖=‖ −→u ‖ ‖ −→v ‖ senθ
(ii) −→u ∧ −→v e´ ortogonal a −→u e a −→v
(iii) (−→u ,−→v ,−→u ∧ −→v ) e´ uma base positiva.
OBS:
? −→u ∧ −→v e´ um vetor.
? Outra notac¸a˜o utilizada para representar o produto vetorial e´: ~u× ~v .
Conhecidos os vetores atrave´s de suas coordenadas, ou seja, ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2),
o produto vetorial pode ser obtido fazendo-se:
~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i− (x1z2 − z1x2)~j + (x1y2 − y1x2)~k
Pela definic¸a˜o de determinante de uma matriz A2×2, podemos reescrever cada componente
do produto vetorial na forma de um determinante de 2a ordem:
~u× ~v =
∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣~i− ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣~j + ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣~k
Em resumo: ~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣
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Observac¸a˜o 3.3 Esta notac¸a˜o e´ utilizada para facilitar a memorizac¸a˜o da definic¸a˜o do produto
vetorial e faz alusa˜o ao ca´lculo de determinante de uma matriz 3 × 3 usando a 1a linha. No
entanto, o produto vetorial na˜o pode ser confundido com um determinante de uma
matriz real pois:
1o) ~u× ~v e´ um vetor e o determinante e´ um nu´mero real;
2o) A notac¸a˜o considerada na˜o indica um determinante, pois a primeira linha conte´m vetores
ao inve´s de nu´meros.
Exemplo 3.6 Calcule ~u ∧ ~v e ~v ∧ ~u considerando ~u = (5, 4, 3) e ~v = (1, 0, 1).
3.2.1 Propriedades do Produto Vetorial
Segue da definic¸a˜o do produto vetorial e das propriedades dos determinantes, as seguintes pro-
priedades:
1. ~u× ~u = ~0.
2. ~u× ~v = −~v × ~u
3. ~u× (~v + ~w) = (~u× ~v) + (~u× ~w).
4. (m~u)× ~v = m(~u× ~v) = ~u× (m~v)
5. ~u× ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores e´ nulo ou se ~u e ~v sa˜o colineares.
6. ~u× ~v e´ ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v.
7. || ~u× ~v ||2=|| ~u ||2|| ~v ||2 −(~u.~v)2. (Identidade de Lagrange)
21
Teorema 3.2 Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 e se θ e´ o aˆngulo dos vetores ~u e ~v, enta˜o:
|| ~u× ~v ||=‖ ~u ‖‖ ~v ‖ sen θ
3.2.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto vetorial de dois
Vetores
Geometricamente, || ~u × ~v || mede a a´rea do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores
~u =
−→
AB e ~v =
−→
AC.
Exemplo 3.7 Dados os vetores ~u = (1, 2,−1) e ~v = (0,−1, 3), calcular a a´rea do paralelogramo
determinado pelos vetores 3~u e ~v − ~u.
Exemplo 3.8 Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A(1,−2, 1), B(2,−1, 4) e C(−1,−3, 3).
22
3.3 Produto Misto
Dados os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), tomados nesta ordem, chama-
se produto misto dos vetores ~u, ~v e ~w ao nu´mero real ~u.(~v × ~w).
Notac¸a˜o: [~u,~v, ~w].
[~u,~v, ~w] = ~u.(~v × ~w) = (x1, y1, z1).
(∣∣∣∣ y2 z2y3 z3
∣∣∣∣~i− ∣∣∣∣ x2 z2x3 z3
∣∣∣∣~j + ∣∣∣∣ x2 y2x3 y3
∣∣∣∣~k) =
[~u,~v, ~w] = x1
∣∣∣∣ y2 z2y3 z3
∣∣∣∣− y1 ∣∣∣∣ x2 z2x3 z3
∣∣∣∣+ z1 ∣∣∣∣ x2 y2x3 y3
∣∣∣∣
Em resumo: [~u,~v, ~w] =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
Exemplo 3.9 Calcule o produto misto dos vetores ~u = (2, 3, 5), ~v = (−1, 3, 3) e ~w = (4,−3, 2).
3.3.1 Propriedades do produto misto
Da definic¸a˜o do produto misto e das propriedades dos determinantes segue as seguintes proprie-
dades:
1. [~u,~v, ~w] = 0 se, e somente se, um dos vetores e´ nulo, ou se dois eles sa˜o colineares, ou se os
treˆs sa˜o coplanares.
Por exemplo: a) Se ~u = (0, 0, 0) temos: (~u,~v, ~w) =
∣∣∣∣∣∣
0 0 0
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
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b)Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0, mas ~u e ~v sa˜o colineares: ~u = m~v
(~u,~v, ~w) =
∣∣∣∣∣∣
mx2 my2 mz2
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
c) Se ~u, ~v e ~w sa˜o coplanares, lembremos que o vetor ~v × ~w e´ ortogonal a ~v e ~w. Logo,
~v × ~w e´ ortogonal a ~u. Portanto,
(~u,~v, ~w) = ~u.(~v × ~w) = 0
Resumindo, se ~u, ~v e ~w sa˜o coplanares enta˜o [~u,~v, ~w] = 0. Se [~u,~v, ~w] 6= 0, os vetores na˜o
sa˜o coplanares.
OBS: A propriedade acima e´ fundamental em va´rios to´picos a serem estudados.
2. Se houver uma permuta de dois vetores no produto misto, inverte o sinal do produto. Por
exemplo:(~u,~v, ~w) = −(~v, ~u, ~w)
3. (~u,~v, ~w) = (~v, ~w, ~u) = (~w, ~u,~v). Esta propriedade e´ denominada propriedade c´ıclica.
(O produto misto independe da ordem circular dos vetores.)
4. Resulta da propriedade c´ıclica, que os sinais . e × permutam entre si no produto misto de
treˆs vetores. Ou seja, ~u.(~v × ~w) = (~u× ~v). ~w
5. O produto misto e´ trilinear, isto e´,
[α−→u1 + β−→u2,−→v ,−→w ] = α[−→u1,−→v ,−→w ] + β[−→u2,−→v ,−→w ]
[−→u , α−→v1 + β−→v2 ,−→w ] = α[−→u ,−→v1 ,−→w ] + β[−→u ,−→v2 ,−→w ]
[−→u ,−→v , α−→w1 + β−→w2] = α[−→u ,−→v ,−→w1] + β[−→u ,−→v ,−→w2]
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3.3.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto
Geometricamente, o produto misto (~u,~v, ~w) e´ igual, em mo´dulo, ao volume do paralelep´ıpedo de
arestas determinadas pelos vetores
−−→
AD,
−→
AB e
−→
AC.
3.4 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
Exerc´ıcio 3.5 Usando que [−→u ,−→w ,−→x ] = 4 e [−→v ,−→w ,−→x ] = −2, calcule:
a) [−→u −−→v ,−→w ,−→x ] b) [3−→u − 4−→v ,−→x , 4−→w ].
Exerc´ıcio 3.6 Obtenha o volume do paralelep´ıpedo de lados u,v e w.
a) u = (2,−6, 2), v = (0, 4,−2), w = (2, 2,−4)
b) u = (3, 1, 2), v = (4, 5, 1), w = (1, 2, 4)
Exerc´ıcio 3.7 Suponha que u.(v × w) = 3.
a)u.(w × v) b)(v × w).u c)w.(u× v) d)v.(u× w)
Exerc´ıcio 3.8 Encontre um vetor que e´ ortogonal a u e v, sendo:
a) u = (−6, 4, 2), v = (3, 1, 5) b) u = (−2, 1, 5), v = (3, 0,−3)
Exerc´ıcio 3.9 Determine se u, v e w esta˜o num mesmo plano, sendo:
a) u = (−1,−2, 1), v = (3, 0,−2), w = (5,−4, 0)
b) u = (5,−2, 1), v = (4,−1, 1), w = (1,−1, 0)
c) u = (4,−8, 1), v = (2, 1,−2), w = (3,−4, 12)
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	1 Vetores
	1.1 Segmentos Orientados
	1.2 Vetores
	1.3 Adição de Vetores
	1.4 Produto por Escalares
	1.5 Ângulo entre dois vetores
	2 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais
	2.1 Vetores Bidimensionais
	2.2 Vetores Tridimensionais
	2.3 Cálculo da norma de um vetor
	2.4 Distância entre dois pontos
	3 Produto de Vetores
	3.1 Produto interno euclidiano ou produto escalar
	3.1.1 Produto interno em termos das Componentes
	3.1.2 Propriedades do produto escalar
	3.1.3 Condição de ortogonalidade de dois vetores
	3.1.4 Estudo da Projeção Ortogonal usando Produto Escalar
	3.2 Produto Vetorial
	3.2.1 Propriedades do Produto Vetorial
	3.2.2 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de dois Vetores
	3.3 Produto Misto
	3.3.1 Propriedades do produto misto
	3.3.2 Interpretação geométrica do módulo do produto misto
	3.4 Exercícios de Fixação