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EDO Aula 01

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Equações Diferenciais: Introdução
Prof. Clauderino da Silva Batista
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1. O que é uma equação diferencial ?
As soluções desta equação são as antiderivadas de f(x) e sabe-se que podem ser obtidas integrando-se f(x). 
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Assim, uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função desconhecida a uma ou mais de suas derivadas. 
Uma função cujas derivadas satisfazem uma equação diferencial é denominada solução da equação diferencial. 
A equação (1) é chamada de equação diferencial, pois envolve a derivada de uma função desconhecida (no caso, a função y ou F(x)) 
As equações diferenciais diferem de funções do tipo 
x2 + 5x – 6 = 0
pois, ao contrário destas, cuja incógnita é um número, a incógnita das equações diferencias é uma função. 
A solução de uma equação diferencial é também conhecida como curva integral. 
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A função (3) representa TODAS as soluções de (2). 
Nem sempre interessa saber todas as soluções de uma equação diferencial, mas apenas aquela que passa por um determinado ponto (x0, y0). 
Por simplificação, é comum denotar uma solução de (1) como y(x) em vez de F(x). 
Assim, o problema de encontrar uma função y(x), cuja derivada é f(x) e cuja curva integral passa pelo ponto (x0, y0) é expresso como:
2. O problema de valor inicial e a determinação das
 constantes de integração
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Solução
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A condição inicial y(0) = 1 implica em: 
y = 1 se x = 0.
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Solução
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A condição inicial y(1) = 0 implica em: 
y = 0 se x = 1.
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3. Classificação das equações diferenciais em relação ao número de variáveis independentes na função incógnita
Quanto ao número de variáveis independentes na função incógnita, as equações diferenciais podem ser classificadas em: 
a função incógnita depende de apenas uma variável independente.
a função incógnita depende de várias variáveis independentes.
ESTAS SÃO AS EQUAÇÕES ESTUDADAS NESTE CURSO.
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3.3 Alguns exemplos de EDOs e de EDPs 
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4. A ordem de uma equação diferencial ordinária
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5. Verificando se uma função é realmente solução
 de uma EDO 
O problema é: caso se disponha de uma função candidata a solução de uma EDO, como confirmar se esta função é realmente a solução da EDO ou não ?. 
Solução
As derivadas de g(x) são: 
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Substituindo na equação diferencial as derivadas e a própria função:
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Solução
As derivadas de g(x) são: 
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6. Algumas questões importantes a serem
 respondidas ao longo do curso 
Dada uma determinada equação diferencial, como saber se ela possui ao menos uma solução ? 
Nem todas as equações diferenciais têm solução (ou soluções). 
Esta é a questão sobre a existência de uma solução. 
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Caso uma determinada equação diferencial possua várias soluções, que tipo de condições adicionais devem ser especificadas para permitir uma única solução ? 
Se um problema físico for matematicamente formulado (de modo correto) como uma equação diferencial, então o problema matemático deverá ter uma solução.
Este é o problema da unicidade. 
As questões de existência e unicidade são questões difíceis e serão discutidas, assim como outras questões relacionadas, ao longo do curso. 
Uma terceira questão é: como determinar uma solução para uma EDO ? 
Sem conhecimento da teoria da existência, pode-se, por exemplo, utilizar um computador para encontrar uma aproximação numérica de uma “solução” que não existe. 
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Infelizmente, este é o caso para a maioria das equações diferenciais. 
No entanto, embora a teoria da existência garanta que existe uma solução (analítica), pode não ser possível expressá-la em termos das funções elementares usuais (funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais,logarítmicas e hiperbólicas). 
As soluções que serão determinadas neste curso são analíticas (quando possível). 
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7. Equações lineares e não-lineares
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São equações não-lineares todas aquelas que não possuem a forma (7).
Um problema simples que leva a uma equação diferencial não-linear é o do pêndulo simples.
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A teoria matemática e as técnicas para a solução de equações lineares estão bastante desenvolvidas. 
Em contraste, para as equações não-lineares a situação não é tão satisfatória. 
Técnicas gerais para a solução de equações não-lineares são extremamente reduzidas,e a teoria associada a tais equações é também mais complexa do que a teoria para equações lineares. 
Quando possível, problemas não-lineares podem ser aproximados por problemas lineares. 
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Por outro lado, existem fenômenos físicos, como o do fluxo de corrente em um tubo de elétrons, para os quais é impossível aproximar a equação diferencial não-linear que os governa por uma equação linear, pois a não-linearidade é crucial. 
Neste curso serão tratadas principalmente as equações diferenciais lineares 
Alguns casos “mais simples” de equações diferenciais não lineares serão discutidos.
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8. Onde são aplicadas as EDOs e alguns exemplos
Muitos dos problemas significativos e importantes da engenharia, das ciências físicas e das ciências sociais, quando formulados matematicamente, requerem a determinação de uma função que satisfaça uma equação diferencial. 
Estas equações (alguns exemplos já foram vistos na página 11) aparecem em uma variedade de problemas em diversas áreas do conhecimento: 
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O exemplo mais familiar talvez seja a Lei de Newton para a posição u(t) de uma partícula, sobre a qual atua uma força F, que pode ser uma função do tempo, da posição u(t) e da velocidade d u(t) / dt e dada por: 
Para determinar o movimento de uma partícula, sobre a qual atua uma força dada F, é necessário encontrar a função u que satisfaça a equação (8). 
8.1. A posição de uma partícula
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onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas por meio de condições (iniciais) tais como a posição e a velocidade da partícula em algum instante de tempo . 
Para um corpo em queda livre, o que significam estas condições iniciais ?
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8.2. Transferência de Calor
Problema: Descrever o processo de resfriamento de um objeto aquecido colocado em um ambiente mais frio 
A equação diferencial que descreve este processo baseia-se no princípio de que a taxa de variação da temperatura do objeto em qualquer tempo dado é aproximadamente proporcional à diferença entre sua própria temperatura e a temperatura do meio.
Esta é a Lei do Resfriamento de Newton, e também se
aplica ao aquecimento.
Seja T a temperatura do objeto em um instante t e TA a temperatura do ambiente. A equação diferencial para este problema é dada por: 
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Esta é a equação do Resfriamento de Newton. 
onde h é um coeficiente de transferência de calor.
Um problema típico regido por esta equação diferencial 
Um objeto, a 98o C, é colocado em um recipiente contendo água a 18o C. Depois de 5 minutos, a temperatura do objeto é de 38o C. Durante o processo, a temperatura da água não se altera consideravelmente. Quanto tempo será necessário para que o objeto atinja 20o C ? 
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8.3. Lei de Torricelli
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
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A equação acima vale para uma área da secção horizontal do tanque que varia com a altura h (por exemplo). 
Esta é uma equação diferencial não-linear. 
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Equações Diferenciais Separáveis 
de Primeira Ordem
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1. Equações Separáveis
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No caso de M ser uma função apenas de x e N ser uma função apenas de y, a Equação (3) toma a forma: 
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Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma (4) é dita
separável. 
pois o lado esquerdo da Equação (5) só depende de x e o lado direito só depende de y (ou seja, a variável independente x e a variável dependente y foram separadas). 
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A justificativa para isto é o argumento que acabou de ser apresentado.
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A Equação (14) é uma representação implícita da solução da equação diferencial (4) que satisfaz também a condição inicial (12).
A determinação da solução na forma explícita, ou mesmo a determinação do intervalo em que a solução existe, geralmente requer que a equação (14) seja resolvida para y como uma função de x.
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Para determinar a solução que satisfaz a condição inicial dada, substitui-se x = 0 e y = -1 na Equação (16), obtendo-se C = 3. 
A solução explícita geral pode ser obtida, neste caso, resolvendo-se a Equação (16) para y em termos de x. 
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A equação (19) fornece duas soluções para a equação diferencial.
No entanto, apenas uma satisfaz a condição inicial. 
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A solução com o sinal + é solução do problema de valor inicial y(0) = 3. 
Qual o intervalo no qual a solução (20) é válida ? 
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De acordo com a figura acima, a solução (20) é, portanto, válida para x > –2. 
Neste caso, a solução explícita pôde ser determinada, assim como o intervalo exato de existência da solução. No entanto, esta situação é excepcional. 
Ou seja, apenas para valores de x maiores que –2 o problema 
de valor inicial (15) tem solução. 
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A figura acima ilustra a solução (20) do problema de valor inicial (15).
Freqüentemente será necessário deixar a solução de forma implícita.
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Multiplicando os dois lados por 9 e agrupando os termos em x, finalmente resulta:
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Para C > 0: duas soluções
Para C < 0: duas soluções
O raciocínio é análogo àquele desenvolvido acima.
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Equações Diferenciais Homogêneas
de Primeira Ordem
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1. Função Homogênea
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Uma função homogênea pode ser reconhecida também examinando o grau de cada termo. 
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graus diferentes 
a função não é homogênea
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Esta função é homogênea de grau 2. Logo:
Solução
Uma equação diferencial homogênea de primeira ordem é definida em termos das funções homogêneas. 
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2. Equação Homogênea
Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. 
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A substituição:
y = ux 
ou
x = vy
em que u e v são as novas variáveis independentes, transformará a equação diferencial homogênea em uma equação diferencial separável.
Seja y = ux.
Sua diferencial será dada por dy = u dx + x du.
Utilizando a propriedade de homogeneidade dada em (2), pode-se escrever:
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Da mesma forma pode-se mostrar que a substituição 
x = vy em (3) também leva a uma equação separável.
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Equações Diferenciais Exatas
de Primeira Ordem
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1. EQUAÇÕES EXATAS
Se z = f(x,y) é uma função de duas variáveis (x e y) com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano xy, então sua diferencial total é dada por:
Se f(x,y) = c (ou seja, z = c), então dz = 0. Logo:
Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x,y) = c, pode-se gerar uma equação diferencial de primeira ordem, determinando a diferencial total.
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Note que a equação acima não é separável nem homogênea.
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Neste caso é, pois partiu-se da equação (2) para se chegar 
à equação (1). Mas e para o caso geral, quando se parte diretamente da equação (1) ?
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Por exemplo, a equação x2y3dx + x3y2dy = 0 é exata pois existe uma função cuja diferencial total equivale ao lado esquerdo da mesma, ou seja:
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O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata.
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PROBLEMA 01
Resolver a equação diferencial: 
2xy dx + (x2 – 1) dy = 0
Solução 
Comparando a equação dada com:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
conclui-se que: 
M(x,y) = 2xy
N(x,y) = x2 – 1 
Utilizando o critério para verificar se o lado esquerdo da equação é uma diferencial exata tem-se:
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Logo, a equação diferencial em questão é exata.
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onde g(y) é uma constante de integração.
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Então g’(y) = – 1 e, portanto, g(y) = – y. 
Parou aqui
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SUGESTÃO: Esta equação diferencial também pode ser
resolvida por separação de variáveis. Verifique isso.
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Utilizando o critério para verificar se o lado esquerdo da equação é uma diferencial exata tem-se:
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Logo, a equação diferencial em questão é exata. Então, busca-se f(x,y) tal que:
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Portanto, considerando y constante:
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Portanto g’(y) = 2 e g(y) = 2y. 
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Equações Diferenciais Lineares
de Primeira Ordem e Fator Integrante
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1. EQUAÇÕES LINEARES
Linearidade significa que todos os coeficientes são funções 
de x somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. 
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Dividindo a equação linear apresentada na página anterior pelo coeficiente a1(x), obtém-se uma forma mais útil de uma equação linear:
Busca-se uma solução para a Equação (1) em um intervalo I no qual as funções P(x) e f(x) são contínuas.
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2. FATOR INTEGRANTE (PARA EQUAÇÂO LINEAR)
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Assim, se (1) tiver uma solução, ela deverá ser da forma 
acima.
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ou, fazendo a integração por partes do lado direito (com u = x e dv = exdx ):
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A Equação (8) é uma equação exata.
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Da primeira equação (y é constante e a derivada parcial torna-se derivada total):
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Equações Diferenciais Não Lineares
de Primeira Ordem e Fator Integrante
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1. FATOR INTEGRANTE: EQUAÇÕES NÃO
 LINEARES (DE PRIMEIRA ORDEM)
Conforme visto em aula anterior, a Equação (2) será exata se e somente se: 
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Então, utilizando a Equação (6): 
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A solução acima pode ser escrita de forma explícita, pois é uma equação quadrática em y.
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Utilizando a Equação (6) (supondo que o fator integrante é função apenas de x): 
A Equação (10) não é separável nem homogênea. O primeiro passo, então, consiste em determinar o fator de integração.
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Utilizando a Equação (7) (supondo que o fator integrante é função apenas de y): 
Será considerada esta segunda hipótese. 
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que é uma equação exata.
Existe, então, uma função f(x,y) tal que:
Considerando y constante, a Equação (13) torna-se: 
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Equações Diferenciais Ordinárias
Lineares e Não-Lineares 
de Segunda Ordem
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1. Introdução
A teoria associada a uma tal equação é bastante complicada. 
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verificou-se nas soluções anteriores que existe uma solução contendo uma constante arbitrária.
Como uma equação diferencial ordinária de segunda ordem envolve uma derivada segunda e, portanto, de modo geral, requer duas integrações para a obtenção da solução, é natural esperar encontrar soluções da Equação (2) contendo duas constantes
arbitrárias.
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Para uma equação de primeira ordem, foi suficiente especificar o valor da solução em um ponto (condição inicial) para determinar uma curva integral única.
Estas duas condições são (também) denominadas condições iniciais. 
Assim, para se determinar univocamente uma curva integral de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, é necessário especificar não somente o ponto pelo qual a solução passa (ou seja, x0, y0), mas também o coeficiente angular da curva no ponto. 
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2. Equação Linear de Segunda Ordem
Assim como no caso de equações de primeira ordem, distingue-se entre equações lineares e não-lineares de segunda ordem.
Um exemplo simples de uma equação diferencial linear de segunda ordem é o da equação que descreve o movimento de uma massa (m) sob a ação de uma mola (com constante elástica k) e de um amortecedor (com constante de amortecimento c) e excitada externamente por uma força 
F(t), a qual é dada por:
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e a equação de Bessel de ordem v (utilizada, por exemplo, na determinação da distribuição de temperatura em geometria circular):
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Não existe fórmula específica para a solução da Equação (5), como no caso das equações diferenciais de primeira ordem. 
No entanto, existe uma extensa teoria matemática para equações lineares de segunda ordem. 
Se a função P(x) for sempre diferente de zero em um determinado intervalo I, pode-se dividir a Equação (5) por P(x) e obter uma equação na forma: 
Ao se escrever a Equação (6) na forma da Equação (2), a função f é dada por: 
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3. Equação Não – Linear de Segunda Ordem 
Se a equação diferencial de segunda ordem não se 
apresenta na forma (5), ela é dita não-linear. 
Embora a teoria de equações diferenciais não-lineares de segunda ordem seja bastante difícil, há dois casos em que é possível simplificar a equação geral não-linear de segunda ordem (2).
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O EXEMPLO 4.2, a seguir, discute a solução de uma equação de segunda ordem não linear que se apresenta na forma da Equação (7). 
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Esta função, por exemplo, pode ser sen(x) ou cos(x). 
Seja y(x) = sen(x). Então: 
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De fato, utilizando as condições iniciais:
Neste caso, c1 e c4 devem ser iguais a zero.
OBSERVAÇÕES
1. verifique esta solução na equação original
2. y = cos(x) é solução deste problema de valor inicial ?
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Solução
A solução da equação diferencial de primeira ordem é: 
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Equações Diferenciais Ordinárias
Lineares de Segunda Ordem Homogêneas com Coeficientes Constantes
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1. Equações Homogêneas com Coeficientes
 Constantes
Nesta aula, será considerado o problema de encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. 
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Uma função que possui esta propriedade é a função exponencial erx. 
Assim sendo, buscar-se-á encontrar soluções da Equação (1) da forma erx considerando valores adequados de r. 
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Se r é uma raiz desta equação quadrática, freqüentemente denominada equação característica, então erx é uma solução da Equação (1). 
Os coeficientes na equação característica (2) são os mesmos da equação diferencial (1). 
As raízes r1 e r2 da Equação (2) são dadas por:
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Os casos em que b2 – 4ac é positivo, zero e negativo 
são examinados a seguir.
A natureza das soluções da Equação (1) depende dos valores de r1 e r2, que, por sua vez, dependem dos coeficientes da equação diferencial através das relações (3). 
1.1 RAÍZES REAIS E DIFERENTES
Para b2 – 4ac > 0, as Equações (3) possuem dois valores reais e desiguais para r1 e r2. 
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Resolvendo a equação característica acima obtém-se:
 r1 = – 2 r2 = – 3 
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Para satisfazer as condições iniciais deve-se ter:
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas para c1 e c2 obtém-se: 
 c1 = 1 c2 = – 1
Assim, a solução da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais prefixadas é:
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1.2 RAÍZES REAIS E IGUAIS
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Resolvendo a equação característica acima obtém-se:
 r1 = r2 = – 2 
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1.3 RAÍZES COMPLEXAS
Finalmente, segue o caso em que b2 – 4ac < 0. 
A solução geral, então, é dada por: 
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É desejável que esta solução seja escrita como uma combinação linear de soluções reais (ao invés de uma combinação linear de soluções complexas). 
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Resolvendo esta equação característica obtém-se:
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Considerando as condições iniciais: 
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Considerando as condições iniciais (em t=0): 
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A representação gráfica da solução acima é apresentada a seguir. 
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O que aconteceria com este sistema se a constante de amortecimento fosse
igual a zero (ou seja, qual a solução para o sistema massa-mola) ? 
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Método de Redução da Ordem da Equação Diferencial e Construção de uma Segunda Solução a Partir de uma Solução Conhecida
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1. Método de Redução da Ordem da Equação
 Diferencial (e Construção de uma Segunda
 Solução a Partir de uma Solução Conhecida)
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A importância do método de redução da ordem reside em
que muitas vezes obtém-se uma primeira solução por um 
outro método (ou diretamente por inspeção) e, então, 
necessita-se conseguir uma outra solução. 
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Esse problema ocorreu na aula passada, no estudo das 
equações homogêneas com coeficientes constantes e 
duas raízes iguais. 
Este problema será retomado agora.
Na aula anterior, verificou-se que a primeira solução para o problema das equações diferenciais de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes e raízes da equação característica repetidas era dada por:
(onde x foi trocado por t) e a segunda solução, de acordo com a Equação (6), será dada por:
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Substituindo (8) em (7) resulta: 
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A segunda solução apresentada em (9) é exatamente a mesma proposta como segunda solução na aula anterior
(naquela ocasião, sem explicações).
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A solução desta equação diferencial linear de primeira ordem em v é:
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Fazendo y = y2 e substituindo (10) a (12) na equação diferencial
original, resulta:
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Onde a constante C7 foi omitida pois será acrescentada posteriormente para compor a solução geral, conforme discutido no problema anterior.
DICA: Resolver este exercício utilizando diretamente a
 Equação (6).
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Assim, utilizando a Equação (6), reproduzida a seguir:
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DICA: Resolver este exercício utilizando o método da
 redução de ordem passo a passo conforme utilizado
 nos PROBLEMAS 1 e 2.
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Equações Diferenciais Ordinárias Lineares 
Não-Homogêneas de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes: O Método de
 Coeficientes Indeterminados 
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1. O Problema Não-Homogêneo
Na engenharia, por exemplo, o problema da solução da Equação (2) é freqüentemente denominado de problema de entrada-saída. 
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Os coeficientes p e q são determinados pelo mecanismo 
(ou
dispositivo) físico, e o termo não-homogêneo g é a 
função de entrada (comumente denominada excitação do sistema)
Assim, o problema da solução da Equação (2) corresponde à determinação da saída do sistema para diferentes funções de entrada. 
Seguem alguns teoremas e resultados que ajudarão na solução do problema não-homogêneo em questão. 
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Com o auxílio deste teorema, pode-se provar o seguinte importante teorema:
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Para se encontrar a solução geral da Equação (2), deve-se encontrar primeiro a solução da equação homogênea (1) e então qualquer solução yp da equação não-homogênea. 
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) serão linearmente independentes no intervalo.
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Em muitos problemas, o termo não-homogêneo g pode
ser bastante complicado.
Entretanto, se for possível expressá-lo como a soma de 
um número finito de funções, a linearidade da equação
diferencial pode ser utilizada com o objetivo de substituir
o problema original por diversos problemas mais simples.
Se for possível encontrar soluções particulares ypi das 
equações diferenciais: 
Uma solução da equação não-homogênea, yp, é 
usualmente denominada solução particular.
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então, por substituição direta, tem-se que:
 yp(x) = yp1(x) + yp2(x) + ... + ypm(x) 
é uma solução particular da Equação (3). 
Portanto, a solução geral da Equação (3) é da forma:
 y(x) = yc(x) + yp1(x) + yp2(x) + ... + ypm(x) 
Em geral, é mais fácil encontrar as soluções das Equações (4) e somar os resultados do que resolver a Equação (3) como está escrita.
Este método para construir a solução de um problema complicado através da soma das soluções de problemas 
mais simples é conhecido como o método da superposição.
*
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2. Equações Não-Homogêneas com Coeficientes
 Constantes 
A idéia geral para a solução deste problema – e tendo em vista o que foi discutido anteriormente nesta aula – será apresentado por meio de um problema.
*
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Para se determinar uma solução particular, deve-se 
superpor as soluções particulares de: 
As soluções particulares são dadas respectivamente por:
*
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Neste ponto do curso, estas soluções estão sendo simplesmente apresentadas. 
A seguir, quando será explicado o método de coeficientes indeterminados, estas soluções particulares serão determinadas apropriadamente. 
*
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3. O Método de Coeficientes Indeterminados
Existe um grande número de métodos para a obtenção
de soluções particulares de equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem. 
O método de coeficientes indeterminados é um dos mais simples. 
O método consiste basicamente na escolha de uma possível forma para a solução particular e na substituição desta função, que, em geral, envolve um ou mais coeficientes desconhecidos, na equação diferencial. 
Para que este método funcione, os coeficientes desconhecidos devem ser determinados de maneira que a função satisfaça a equação diferencial.
*
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Obviamente, um tal método depende consideravelmente da habilidade de se descobrir antecipadamente a forma geral de uma solução particular. 
As funções óbvias a serem consideradas são sen x e 
cos x.
Deste modo, considera-se que yp(x) seja da forma:
yp(x) = A cos x + B sen x
Uma dica para esta escolha é observar a forma do termo não-homogêneo. 
*
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onde A e B são constantes desconhecidas. 
Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação original e agrupando os termos, resulta: 
*
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É natural tentar yp(x) = A x2, onde A é uma constante a ser determinada.
Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação original e agrupando os termos, resulta: 
Para que esta equação seja válida, os coeficientes de mesma potência de x devem ser idênticos nos dois lados da equação.
*
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Isto leva a três equações para A e não existe um valor único de A que satisfaça todas as três. 
Deste modo, é impossível encontrar uma solução particular para esta equação diferencial da forma Ax2. 
Entretanto, se o termo não-homogêneo for pensado como o polinômio 4x2 + 0x + 0, parece razoável considerar yp(x) da forma: 
yp(x) = Ax2 + Bx + C
onde A, B e C são constantes a serem determinadas.
Substituindo yp(x) e suas derivadas na equação original e agrupando os termos, resulta: 
*
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*
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A tabela a seguir apresenta sugestões para a solução particular yp(x) levando-se em conta algumas possibilidades para o termo não-homogêneo g(x). 
Nesta tabela, s = 0, 1 ou 2. 
Este índice é escolhido de forma a assegurar que nenhum termo em yp(x) seja solução da equação homogênea correspondente. 
O Exemplo 3, a seguir, deixa clara a idéia deste ajuste. 
*
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A solução da equação homogênea correspondente é dada por:
yc(x) = c1 cos 2x + c2 sen 2x
*
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Para a construção de uma solução particular, usa-se o princípio da superposição e considera-se separadamente os problemas:
De acordo com a tabela apresentada, considera-se para 
a Equação (5) a solução da forma:
yp = (Aox + A1) ex
Como ex não é uma solução da equação homogênea, é desnecessário rever a sugestão inicial (ou seja, s = 0)
De acordo com a mesma tabela citada anteriormente, considera-se para a Equação (6) uma solução da forma:
yp = (Box + B1) cos 2x + (Cox + C1) sen 2x
*
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Mas como cos 2x e sen 2x são soluções da equação 
homogênea, faz-se s = 1 e, portanto, multiplica-se a solução 
proposta por x. Ou seja, para a Equação (6) tem-se:
yp = x [ (Box + B1) cos 2x + (Cox + C1) sen 2x ]
Assim, a forma final da solução particular para a equação diferencial original é:
Na determinação dos coeficientes desconhecidos, é mais fácil utilizar as Equações (5) e (6) separadamente do que a solução final apresentada acima.
*
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EXEMPLO 4
Verificar se as funções f1(x) = ex, f2(x) = xex e f3(x) = x2ex são linearmente independentes e, se for o caso, o intervalo onde esta independência ocorre. 
Solução
*
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DICA: Obter as soluções particulares apresentadas na página 11 utilizando o método de coeficientes indeterminados.
O determinante acima, portanto, será sempre diferente de zero.
Como o Wronskiano é diferente de zero, as funções f1(x), f2(x) e f3(x) são linearmente independentes. 
*
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares 
Não-Homogêneas de Segunda Ordem: 
O Método de Variação de Parâmetros 
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1. O Método de Variação de Parâmetros
Na aula anterior, discutiu-se um método simples para 
a obtenção de soluções particulares das equações diferenciais de segunda ordem (lineares) e não-homogêneas com coeficientes constantes desde que o termo não-homogêneo se apresentasse em uma forma adequada. 
*
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Para que este método, conhecido como o método de 
variação de parâmetros, possa ser utilizado é necessário 
que se conheça um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente. 
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A importância desse método é devido ao fato de que é possível determinar as funções u1(x) e u2(x) de um modo simples. 
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Integrando as Equações (10) e substituindo na Equação (3), tem-se uma solução particular da equação não-homogênea (1). 
Este resultado é enunciado no teorema a seguir. 
A função W apresentada acima é o Wronskiano das funções y1 e y2. 
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Na utilização do método de variação de parâmetros para 
um problema particular, é mais seguro substituir 
yp(x) = u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x) 
na equação não-homogênea e proceder passo a passo, conforme apresentado nesta aula, do que tentar lembrar-se 
das fórmulas (11) ou (12). 
Apesar das Equações (11) e (12) fornecerem fórmulas para 
o cálculo de yp(x), pode não ser sempre
fácil ou possível avaliar estas integrais de forma fechada. 
Mesmo nestes casos, estas fórmulas podem fornecer um 
ponto de partida para a avaliação numérica de yp(x). 
Os mesmos problemas resolvidos na aula anterior por meio 
do método dos coeficientes indeterminados podem também 
ser resolvidos por meio do método de variação de parâmetros. 
*
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Seguem vários problemas onde o método da variação de parâmetros é utilizado. 
No entanto, se os coeficientes p e q são constantes e o 
termo não-homogêneo g(x) apresenta-se como uma das formas discutidas na aula passada, é sempre mais fácil 
utilizar o método de coeficientes indeterminados para 
a obtenção da solução particular. 
Se os coeficientes p e q não são constantes, não haverá uma maneira geral de se resolver a equação não-homogênea (1) em termos de um número finito de funções elementares. No entanto, o método apresentado nesta aula pode ser utilizado. 
Em geral, o problema de resolver a Equação (1) se baseia na possibilidade de se encontrar uma solução da equação homogênea correspondente. 
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Assim, escreve-se a solução particular como:
*
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Fazendo o segundo termo entre parênteses na Equação (14) igual a zero e diferenciando novamente, obtém-se:
*
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Substituindo yp e suas derivadas na Equação (13) resulta: 
O sistema de equações diferenciais de primeira ordem a ser resolvido (após manipulações na Equação (15) e no segundo 
termo da Equação (14)) é, portanto, dado por: 
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Series Solutions: Near an Ordinary Point, Part I
In Chapter 3, we examined methods of solving second order linear differential equations with constant coefficients. 
We now consider the case where the coefficients are functions of the independent variable, which we will denote by x. 
It is sufficient to consider the homogeneous equation
	since the method for the nonhomogeneous case is similar. 
We primarily consider the case when P, Q, R are polynomials, and hence also continuous. 
However, as we will see, the method of solution is also applicable when P, Q and R are general analytic functions. 
*
Ordinary Points 
Assume P, Q, R are polynomials with no common factors, and that we want to solve the equation below in a neighborhood of a point of interest x0:
The point x0 is called an ordinary point if P(x0)  0. Since P is continuous, P(x)  0 for all x in some interval about x0. For x in this interval, divide the differential equation by P to get
Since p and q are continuous, Theorem 3.2.1 says there is a unique solution, given initial conditions y(x0) = y0, y'(x0) = y0' 
*
Singular Points 
Suppose we want to solve the equation below in some neighborhood of a point of interest x0:
The point x0 is called an singular point if P(x0) = 0. 
Since P, Q, R are polynomials with no common factors, it follows that Q(x0)  0 or R(x0)  0, or both. 
Then at least one of p or q becomes unbounded as x  x0, and therefore Theorem 3.2.1 does not apply in this situation. 
Sections 5.4 through 5.8 deal with finding solutions in the neighborhood of a singular point. 
*
Series Solutions Near Ordinary Points 
In order to solve our equation near an ordinary point x0, 
	we will assume a series representation of the unknown solution function y:
As long as we are within the interval of convergence, this representation of y is continuous and has derivatives of all orders. 
*
Example 1: Series Solution (1 of 8)
Find a series solution of the equation
Here, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = 1. Thus every point x is an ordinary point. We will take x0 = 0. 
Assume a series solution of the form
Differentiate term by term to obtain
Substituting these expressions into the equation, we obtain
*
Example 1: Combining Series (2 of 8) 
Our equation is
Shifting indices, we obtain
*
Example 1: Recurrence Relation (3 of 8) 
Our equation is
For this equation to be valid for all x, the coefficient of each power of x must be zero, and hence
This type of equation is called a recurrence relation.
Next, we find the individual coefficients a0, a1, a2, …
*
To find a2, a4, a6, …., we proceed as follows:
Example 1: Even Coefficients (4 of 8)
*
To find a3, a5, a7, …., we proceed as follows:
Example: Odd Coefficients (5 of 8)
*
Example 1: Solution (6 of 8)
We now have the following information:
Thus
Note: a0 and a1 are determined by the initial conditions. (Expand series a few terms to see this.)
Also, by the ratio test it can be shown that these two series converge absolutely on (-, ), and hence the manipulations we performed on the series at each step are valid. 
*
Example 1: Functions Defined by IVP (7 of 8)
Our solution is
From Calculus, we know this solution is equivalent to
In hindsight, we see that cos x and sin x are indeed fundamental solutions to our original differential equation
	
While we are familiar with the properties of cos x and sin x, many important functions are defined by the initial value problem that they solve. 
*
Example 1: Graphs (8 of 8)
The graphs below show the partial sum approximations of cos x and sin x. 
As the number of terms increases, the interval over which the approximation is satisfactory becomes longer, and for each x in this interval the accuracy improves. 
However, the truncated power series provides only a local approximation in the neighborhood of x = 0. 
*
Example 2: Airy’s Equation (1 of 10)
Find a series solution of Airy’s equation about x0 = 0: 
Here, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = - x. Thus every point x is an ordinary point. We will take x0 = 0. 
Assuming a series solution and differentiating, we obtain
Substituting these expressions into the equation, we obtain
*
Example 2: Combine Series (2 of 10)
Our equation is
Shifting the indices, we obtain
*
Example 2: Recurrence Relation (3 of 10) 
Our equation is
For this equation to be valid for all x, the coefficient of each power of x must be zero; hence a2 = 0 and
*
Example 2: Coefficients (4 of 10)
We have a2 = 0 and
For this recurrence relation, note that a2 = a5 = a8 = … = 0.
Next, we find the coefficients a0, a3, a6, ….
We do this by finding a formula a3n, n = 1, 2, 3, …
After that, we find a1, a4, a7, …, by finding a formula for a3n+1, n = 1, 2, 3, …
*
Example 2: Find a3n (5 of 10)
Find a3, a6, a9, ….
The general formula for this sequence is
*
Example 2: Find a3n+1 (6 of 10)
Find a4, a7, a10, … 
The general formula for this sequence is
*
Example 2: Series and Coefficients (7 of 10) 
We now have the following information:
	where a0, a1 are arbitrary, and
*
Example 2: Solution (8 of 10)
Thus our solution is
	where a0, a1 are arbitrary (determined by initial conditions).
Consider the two cases 
	 (1) a0 =1, a1 = 0  y(0) = 1, y'(0) = 0
	 (2) a0 =0, a1 = 1  y(0) = 0, y'(0) = 1
The corresponding solutions y1(x), y2(x) are linearly independent, since W(y1, y2)(0) =1  0, where 
*
Example 2: Fundamental Solutions (9 of 10)
Our solution:
For the cases 
	 (1) a0 =1, a1 = 0  y(0) = 1, y'(0) = 0
	 (2) a0 =0, a1 = 1  y(0) = 0, y'(0) = 1,
	the corresponding solutions y1(x), y2(x) are linearly independent, and thus are fundamental solutions for Airy’s equation, with general solution 
			 y (x) = c1 y1(x) + c1 y2(x) 
*
Example 2: Graphs (10 of 10)
Thus given the initial
conditions 
		y(0) = 1, y'(0) = 0 and y(0) = 0, y'(0) = 1
	the solutions are, respectively,
The graphs of y1 and y2 are given below. Note the approximate intervals of accuracy for each partial sum 
*
Example 3: Airy’s Equation (1 of 7)
Find a series solution of Airy’s equation about x0 = 1: 
Here, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = - x. Thus every point x is an ordinary point. We will take x0 = 1. 
Assuming a series solution and differentiating, we obtain
Substituting these into ODE & shifting indices, we obtain
*
Example 3: Rewriting Series Equation (2 of 7)
Our equation is
The x on right side can be written as 1 + (x – 1); and thus
*
Example 3: Recurrence Relation (3 of 7)
Thus our equation becomes
Thus the recurrence relation is 
Equating like powers of x -1, we obtain
*
Example 3: Solution (4 of 7)
We now have the following information:
	and
*
Example 3: Solution and Recursion (5 of 7)
Our solution:
The recursion has three terms, 
	
	and determining a general formula for the coefficients an can be difficult or impossible.
However, we can generate as many coefficients as we like, preferably with the help of a computer algebra system. 
*
Example 3: Solution and Convergence (6 of 7)
Our solution:
Since we don’t have a general formula for the an, we cannot use a convergence test (i.e., ratio test) on our power series
This means our manipulations of the power series to arrive at our solution are suspect. However, the results of Section 5.3 will confirm the convergence of our solution. 
*
Example 3: Fundamental Solutions (7 of 7)
Our solution:
	or
It can be shown that the solutions y3(x), y4(x) are linearly independent, and thus are fundamental solutions for Airy’s equation, with general solution 
*
Series Solutions: Near an Ordinary Point, Part II
A function p is analytic at x0 if it has a Taylor series expansion that converges to p in some interval about x0
The point x0 is an ordinary point of the equation 
	if p(x) = Q(x)/P(x) and q(x)= R(x)/P(x) are analytic at x0. Otherwise x0 is a singular point.
If x0 is an ordinary point, then p and q are analytic and have derivatives of all orders at x0, and this enables us to solve for an in the solution expansion y(x) =  an(x - x0)n. See text.
*
Theorem 5.3.1 
If x0 is an ordinary point of the differential equation
	then the general solution for this equation is 
	
where a0 and a1 are arbitrary, and y1, y2 are linearly independent series solutions that are analytic at x0. 
Further, the radius of convergence for each of the series solutions y1 and y2 is at least as large as the minimum of the radii of convergence of the series for p and q. 
Além disso, o raio de convergência para cada uma das séries soluções y1 e y2 são pelo menos tão grandes como o mínimo dos raios de convergência das séries para p e q.
*
Radius of Convergence 
Thus if x0 is an ordinary point of the differential equation, then there exists a series solution y(x) =  an(x - x0)n. 
Further, the radius of convergence of the series solution is at least as large as the minimum of the radii of convergence of the series for p and q. 
These radii of convergence can be found in two ways: 
Encontre a série de p e q e, em seguida, determinar os seus raios de convergência convergência utilizando um teste. 
Se P, Q e R são polinómios sem factores comuns e, em seguida, se puder ser demonstrado que Q / P e R / P são analíticas em x0 se P (x0)  0, e do raio de convergência das séries de potência Q / P e R / P sobre x0 é a distância para o mais próximo de zero de P (incluindo complexo zeros).
*
Example 1 
Let f (x) = (1 + x2)-1. Find the radius of convergence of the Taylor series of f about x0 = 0.
The Taylor series of f about x0 = 0 is 
Using the ratio test, we have
Thus the radius of convergence is  = 1. 
Alternatively, note that the zeros of 1 + x2 are x = i. Since the distance in the complex plane from 0 to i or –i is 1, we see again that  = 1. 
*
Example 2 
Determine a lower bound for the radius of convergence of the series solution about x0 = 0 for the equation
Note that P(x) = (x - 1), Q(x) = 0, R(x) = 1. Thus x0 = 0 is an ordinary point, because q(x) = 1/(x - 1) is analytic at x0 = 0. 
Since x = 1 is a singular point of q, the radius of convergence for the Taylor series expansion of q about x0 = 0 is  = 1.
Therefore, by Theorem 5.3.1, the radius of convergence for the series solution about x0 = 0 is at least  = 1. 
*
Example 3: Airy’s Equation 
Determine a lower bound for the radius of convergence of the series solution about x0 = 1 for the equation
Here, P(x) = 1, Q(x) = 0, R(x) = - x. 
Thus every point x is an ordinary point, because p(x) = 0 and q(x) = - x are both analytic everywhere. 
Thus the radius of convergence for p and q is infinite.
Therefore, by Theorem 5.3.1, the radius of convergence for the series solution about x0 = 1 is infinite. 
*
Example 4 
Determine a lower bound for the radius of convergence of the series solution about x0 = -1 for the equation
Here, P(x) = x(x + 3), Q(x) = 1, R(x) = 1. 
Thus x0 = -1 is an ordinary point, since p(x) = 1/x(x + 3) and q(x) = 1/x(x + 3) are analytic at x0 = -1. 
Also, p and q have singular points at x = 0 and x = -3.
Thus the radius of convergence for the Taylor series expansions of p and q about x0 = -1 is  = 1. 
Therefore, by Theorem 5.3.1, the radius of convergence for the series solution about x0 = -1 is at least  = 1. 
*
Example 5: Legendre Equation (1 of 2)
Determine a lower bound for the radius of convergence of the series solution about x0 = 0 for the Legendre equation
Here, P(x) = 1 – x2, Q(x) = -2x, R(x) =  ( + 1). 
Thus x0 = 0 is an ordinary point, since p(x) = -2x/(1 – x2) and q(x) =  ( + 1)/(1 – x2) are analytic at x0 = 0. 
Also, p and q have singular points at x = 1.
Thus the radius of convergence for the Taylor series expansions of p and q about x0 = 0 is  = 1. 
Therefore, by Theorem 5.3.1, the radius of convergence for the series solution about x0 = 0 is at least  = 1. 
*
Example 5: Legendre Equation (2 of 2)
Thus, for the Legendre equation
	
the radius of convergence for the series solution about x0 = 0 is at least  = 1. 
It can be shown that if  is a positive integer, then one of the series solutions terminates after a finite number of terms, and hence converges for all x, not just for |x| < 1. 
*
Example 6: Radius of Convergence (1 of 2)
Determine a lower bound for the radius of convergence of the series solution about x0 = 0 for the equation
Here, P(x) = 1 + x2, Q(x) = 2x, R(x) = 4x2. 
Thus x0 = 0 is an ordinary point, since p(x) = 2x/(1 + x2) and q(x) = 4x2 /(1 + x2) are analytic at x0 = 0. 
Also, p and q have singular points at x = i.
Thus the radius of convergence for the Taylor series expansions of p and q about x0 = 0 is  = 1. 
Therefore, by Theorem 5.3.1, the radius of convergence for the series solution about x0 = 0 is at least  = 1. 
*
Example 6: Solution Theory (2 of 2)
Thus for the equation
	
 the radius of convergence for the series solution about x0 = 0 is at least  = 1, by Theorem 5.3.1.
Suppose that initial conditions y(0) = y0 and y(0) = y0' are given. Since 1 + x2  0 for all x, there exists a unique solution of the initial value problem on - < x < , by Theorem 3.2.1. 
On the other hand, Theorem 5.3.1 only guarantees a solution of the form  an xn for -1 < x < 1, where a0 = y0 and a1 = y0'. 
Thus the unique solution on - < x <  may not have a power series about x0 = 0 that converges for all x. 
*
Example 7
Determine a lower bound for the radius of convergence of the series solution about x0
= 0 for the equation
Here, P(x) = 1, Q(x) = sin x, R(x) = 1 + x2. 
Note that p(x) = sin x is not a polynomial, but recall that it does have a Taylor series about x0 = 0 that converges for all x. 
Similarly, q(x) = 1 + x2 has a Taylor series about x0 = 0, namely1 + x2, which converges for all x. 
Therefore, by Theorem 5.3.1, the radius of convergence for the series solution about x0 = 0 is infinite. 
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