Lista 9

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Lista 9
Ca´lculo B
24 de julho de 2017
Exercı´cio 1 Determine as derivadas parciais indicadas:
a)
dz
dt
, para z = yex + xey, com x = cos t e y = sin t
b)
dz
dt
, para z =
√
1 + xy, com x = tan t e y = arctan t
c)
∂z
∂u
e
∂z
∂v
, para z = arcsin (x − y), com x = u2 + v2 e y = 1 − 2uv
d)
∂z
∂u
e
∂z
∂v
, para z = e
y
x , com x = 2u cos v e y = 4u sin v
Exercı´cio 2 Um lado de um triaˆngulo esta´ aumentando em uma taxa de 3cm/s e um segundo lado
esta´ decrescendo em uma taxa de 2cm/s. Se a a´rea do triaˆngulo permanece constante, a que taxa
varia o aˆngulo entre os lados quando o primeiro lado tem 20cm de comprimento, o segundo lado
tem 30cm de comprimentoo e o aˆngulo e´ pi6 . Resp. : − 112√3
Exercı´cio 3 O raio de um cone circular esta´ aumentando em uma taxa de 4, 6cm/s enquanto sua
altura esta´ descrescendo em uma taxa de 6, 5cm/s. Determine a taxa que o volume do cone esta´
variando quando o raio e´ 300cm e a altura e´ 350cm? Resp. : 127.000pi
Exercı´cio 4 Seja z = x f (x − y, x + y). Se u = x − y e v = x + y, mostre que
x
∂z
∂x
+ x
∂z
∂y
= z + 2x2
∂ f
∂v
.
Exercı´cio 5 Suponha f (x, y) = g(x2y, x3y2), com f , g diferencia´veis.
Se
∂ f
∂x
(2, 1) = 16 e
∂ f
∂y
(2, 1) = 8, determine as derivadas parciais da g em (4, 8).
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Exercı´cio 6 Supondo que as func¸o˜es f , g tenham derivadas parciais de segunda ordem contı´nuas,
mostre que qualquer func¸a˜o da forma
z = f (x + at) + g(x − at)
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de onda
∂2z
∂t2
= a2
∂2z
∂x2
.
Exercı´cio 7 Determine
dy
dx
, para y = f (x) definida implicitamente por:
a) y cos x = x2 + y2.
b) ey sin x = x + xy.
Exercı´cio 8 Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
, para z = f (x, y) definida implicitamnte por:
a) x2 + 2y2 + 3z2 = 1.
b) yz + x ln y = z2.
Exercı´cio 9 Supondo que z = z(x, y) e´ definida implicitamente por f
(
x
z ,
y
z
)
= 0, mostre que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= z.
Exercı´cio 10 Determine o vetor gradiente da func¸a˜o em P e a derivada direcional em P na direc¸a˜o
do vetor ~v:
a) f (x, y) = x2y − xy3, P = (2, 1) e ~v = 3~i + 4~j.
b) f (x, y, z) =
√
x + yz, P = (1, 3, 1) e ~v = 2~i + 3~j + 6~k.
Exercı´cio 11 Utilize o vetor gradiente para determinar:
a) equac¸a˜o da reta tangente a` curva de nı´vel k = 6 da func¸a˜o f (x, y) = xy no ponto (3, 2).
b) equac¸a˜o do plano tangente a` superfı´cie xy2z3 = 8 no ponto (2, 2, 1).
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Exercı´cio 12 Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima da func¸a˜o em P e a direc¸a˜o em que isso ocorre.
a) f (x, y) = sin(xy), P = (1, 0)
c) f (x, y) = x2y, P = (1, 1)
Exercı´cio 13 A temperatura em uma placa de metal e´ dada por T(x, y) = 20 − 4x2 − y2, com x, y
em centı´metros e a temperatura T em ◦C. Qual a direc¸a˜o de maior crescimento da temperatura a
partir do ponto (2,−3)? Determine a taxa de crescimento.
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