Lista 11

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Lista 11
Ca´lculo B
11 de agosto de 2017
Exercı´cio 1 Calcule as integrais:
a)
"
R
xex
y
dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}
b)
"
R
(x + y)−2dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2}
c)
"
R
xy√
x2 + y2 + 1
dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
d)
"
R
1 + x2
1 + y2
dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
e)
"
R
xyex
2ydA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
Exercı´cio 2 Se [w] denota o maior inteiro contido em w, calcule a integral"
R
[x + y]dA,
em que R = {(x, y) ∈ R2; 1 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 5}
Exercı´cio 3 Calcule as integrais e inverta a ordem de integrac¸a˜o:
a)
"
R
x
√
y2 − x2dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
b)
"
R
x cos ydA, em que R e´ a regia˜o limitada por y = 0, y = x2 e x = 1.
1
c)
"
R
x + ydA, em que R e´ a regia˜o limitada por y =
√
x, y = x2.
d)
"
R
2xydA, em que R e´ regia˜o triangular com ve´rtices em (0, 0), (0, 3) e (1, 2).
e)
"
R
ex
2
dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 3y ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}.
f)
"
R
√
x3 + 1dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; √y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
g)
"
R
x3 sin(y3)dA, em que R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 1}.
Exercı´cio 4 Determine o volume do so´lido:
a) abaixo da superfı´cie z = 2x + y2 e acima da regia˜o limitada por x = y2 e x = y3.
b) limitado pelos planos coordenados e pelo plano 3x + 2y + z = 6.
c) limitado por y = x2, y = 4, z = 0 e z = 4.
d) localizado no primeiro octante e limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pela
superfı´cie z = 4 − y2.
e) limitado por z = x, y = x, x + y = 2 e z = 0.
f) limitado pelos cilindros x2 + y2 = r2 e z2 + y2 = r2 .
g) localizado no primeiro octante e limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos y = z, x = 0,
z = 0.
h) dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 16 e fora do cilindro x2 + y2 = 4.
i) acima do cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
j) limitado pelos parabolo´ides z = 4 − x2 − y2 e z = 3x2 + 3y2.
l) abaixo do plano z = 2x e acima do disco (x − 1)2 + y2 ≤ 1.
2
Exercı´cio 5 Utilize a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o:
a) limitada por y = x2 e x + y = 2.
b) no primeiro quadrante limitada por xy = 2, y = x + 1 e y = 1.
c) dentro do cı´rculo (x − 1)2 + y2 = 1 e fora do cı´rculo x2 + y2 = 1.
d) limitada por um lac¸o da rosa´cea r = cos 3θ.
Respostas:
• 1] a)ln 2; b)ln(4
3
); c)
1
3
(3
√
3 − 4√2 + 1); d) pi
3
; e)
1
2
(e2 − 3).
• 2] 30
• 3] a) 1
12
; b)
1 − cos 1
2
; c)
3
10
; d)
7
4
; e)
e9 − 1
6
; f)
2
9
(2
√
2 − 1); g)1 − cos 1
12
.
• 4]a) 19
210
; b)6; c)
128
3
; d) 16; e)
1
3
; f)
16r3
3
; g)
1
3
; h)32
√
3pi; i)pi3 (2 −
√
2); j)2pi; l)2pi.
• 5] a)9
2
; b)−1
2
+ ln 4; c)
pi
3
+
√
3
2
; d)
pi
12
.
3