Movimento Retilineo

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Capítulo 3
Movimento retilíneo
Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:
Cinemática
Estudo puramente descritivo do movimento
+x_x
_y
+ y
01_
1_
+2
+2
+3
+3
+1
+1
_2
_2
_3
_3
P
d
Sistema de referência
Eixos Cartesianos
Velocidade média
r∆r r
t
∆
≡
∆
v
r
r 0=vr
Velocidade escalar média
| | 0d
t
∆
≡ ≠
∆
v
Definições
deslocamento
distância total percorrida
A
B
x0 x t( )10 20 30 40 50
Velocidade média:
Velocidade escalar média:
Movimento Retilíneo
| | d
t
∆
≡
∆
v
Exemplo:
2,0 s1t =5,0 s2t =
15m| | 5m/s
3s
d
t
∆
= = =
∆
v
( ) ( )2 1 2 1
2 1 2 1
x t x tx x x
t t t t t
−∆ −
≡ = =
∆ − −
v
2,5m 1,5m 4m 1,33m/s
5s 2s 3s
x
t
∆ − − −
= = = = −
∆ −
v
4m2m− 2m 8m6m0
distância total percorrida
Movimento Retilíneo
 21,650m/s=v
 26,694m/s=v
 17,581m/s=v
Velocidade Instantânea
v(t) em t=3s = ?
 32,825m/s=v
0 1 2 3 4 5
0
40
60
80
100
20
tempo (s)
c
o
o
r
d
e
n
a
d
a
 
(
m
)
x
 
 15,561m/s=v
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
15
20
25
30
35
v( )to
t - to (s)
v
e
l
o
c
i
d
a
d
e
 
m
é
d
i
a
 
(
m
/
s
)
Velocidade
Instantânea
em t=3s
Inclinação no 
instante t=3s
( ) ( )
v( ) lim
0
x t t x t
t
tt
+ ∆ −
≡
∆∆ →
v( ) lim
0
x
t
tt
∆
≡
∆∆ →
v( ) dxt
dt
=
2 1
1
2 12 1
( ) ( )
v( ) lim x t x tt
t tt t
−
≡
−→
derivada de x
em relação a t
Exemplo: 
4
4
m m( ) 5,000 0,150 ( 0,500 s)
s s
x t t t= ⋅ + ⋅ −
3
4
m m
v( ) 5,000 0,600 ( 0,500 s)
s s
dx
t t
dt
= = + ⋅ −
3
4
m m m
v(3,000 ) 5,000 0,600 (2,500 s) 14,375
s s s
s = + ⋅ =
Velocidade média entre t=3,0s e t=5,0s ? v(5,0s) v(3,0s)v
2
+
= ??
Não
(5,0 s) (3,0 s) 14,2 m
v 7,1 m/s
5,0 s 3,0 s 2,0 s
x x−
= = =
−
2 1
2 1
v v
a
t t
−
≡
−
Movimento Retilíneo
Aceleração média:
Exemplo: v1= 0, v2=100 km/h e ∆t = 12s
2100 km/h 0 27,78 m/s 2,31m/s
12 s 0 12 s
a
−
= = =
−
v( ) da t
dt
⇒ ≡
0
v( ) v( )( ) lim
t
t t t
a t
t∆ →
+ ∆ −
=
∆
2
2( )
d x
a t
dt
⇒ =
3
4
m m
v( ) 5,000 0,600 ( 0,500 s)
s s
t t= + ⋅ − 24
v m( ) 1,800 ( 0,500 s)
s
d
a t t
dt
⇒ = = ⋅ −
2
4 2
m m(3s) 1,800 (2,500 s) 11,25
s s
a = ⋅ =
Aceleração instantânea
Cálculo de x(t) a partir de v(t)
Movimento Retilíneo
∆t
vi
v1
v2
vN
tempoto t
v
v
e
l
o
c
i
d
a
d
e
N
tt
t o
−−−−
====∆vi ix t∆ ≅ ∆
1 2( ) ( ) (v v v )o Nx t x t t− ≅ + + ∆L
1
( ) ( ) v
N
o i
i
x t x t t
=
− ≅ ∆∑
v( ') '
o
t
o
t
x x t dt− = ∫
tempoto t
v
v
e
l
o
c
i
d
a
d
e
deslocamento
no intervalo
entre e t to
área sombreada =
Só v(t) não é suficiente
0 1
( ) ( ) lim v
N
o i
t i
x t x t t
∆ →
=
− = ∆∑
e
v
e
l
o
c
i
d
a
d
e
 
(
m
/
s
)
10
tempo (s)
5
5 15 200
0
-5
Movimento Retilíneo
4s
0
(4 s) (0 s) v( )x x x t dt∆ ≡ − = ∫
1 m4 4 s 8 m
2 s
x
 
⇒ ∆ = − ⋅ = − 
 
Entre 4s e 6s : 1 m4 2 s 4 m
2 s
x∆ = ⋅ =
m4 3 s 12 m
s
x∆ = ⋅ =
(4s) ?x =
Entre 6s e 9s : 
Entre 0s e 4s : 
(6s) ?x = (9s) ?x = Falta x(t0)!!
Movimento Retilíneo
Exemplo: Se 23 2
m m
v( ) 6 10
s s
t t t= − e (2s) 6 mx =
Agora a informação está completa !!!
v( )dx t
dt
≡
3 2
3 2
m m( ) 2 5 10m
s s
x t t t⇒ = − +
v( )dx t dt′ ′ ′⇒ =
( )
6m 2s
' v( )
x t t
dx t dt′ ′⇒ =∫ ∫
2 3 2
3 2 3 2
2 2s
m m m m( ) 6m 6 ' 10 ' ' 2 5
s s s s
tt
s
x t t t dt t t   ′ ′⇒ − = − = −   
   
∫
, calcular x(t).
Cálculo de v(t) e x(t) a partir de a(t)
Movimento Retilíneo
v( ) v ( )
o
t
o
t
t a t dt′ ′⇒ = + ∫
0
0( ) v( ') '
t
t
x t x t dt⇒ = + ∫
{ 0 0( ), v ,a t xInformação completa: 
Exemplo: Sejam , , v0 = −10 m/s e x0 = 50 m. Calcular v e x
em t = 2,0 s. 
3
m( ) 6,0 ( 2,0s)
s
a t t= −
3
0
m m
v( ) 10 6,0 ( 2,0s)
s s
t
t t dt′ ′= − + −∫
3 2
3 2
m m m( ) 50m 10 + 1,0 6,0
s s s
x t t t t= − −
v(2s) 22m/s
(2s) 14mx
= −
⇒ 
=
v( ) da t
dt
≡ v ( )d a t dt⇒ =
0 0
v
v
v ' ( ') 't
t
d a t dt⇒ =∫ ∫
v( ) dxt
dt
=
Só aceleração: 0v( ) v( ) v ( )
o
t
t
t t a t dt′ ′∆ ≡ − = ∫ ( ) ?x t =e
2
2
3 3 2
m m m m m
v( ) 10 6,0 2,0s 10 + 3,0 12
s s 2 s s s
t
t t t t
 
⇒ = − + − = − − 
 
to t
vo
v
e
l
o
c
i
d
a
d
e
deslocamento
tempo0( ) v( )
o
t
t
x t x t dt′ ′= + ∫
0 0 0( ) v ( )x t x t t= + −
0
0
v( ) constante vt
x
= ≡


Movimento Retilíneo Uniforme
v0>0
v0<0
x
t
x0
t0
0
0v( ) v ( )
t
t
t a t dt′ ′= + ∫
Movimento Uniformemente Variado (MUV):
0 0
constante
v ,
a
x
=


0 0( ) v ( )
o o
t t
t t
x t x dt a t t dt′ ′ ′= + + −∫ ∫0
0 0
v
v
2 2
0 0
v v v v
v v 2 ( )
x
x
d a dx d a dx
a x x

′ ′ ′⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅


⇒ − = −
∫ ∫
0 0v( ) v ( )t a t t⇒ = + ⋅ −
2
0 0 0( ) v ( ) ( )2
a
x t x t t t t⇒ = + − + −0
x
tto
a >0
xo
xo
a <0
v v v
v
d d dx d
a
dt dx dt dx
= = =
Elimina-se t nas derivadas
Elimina-se t
após
integração
Problema – Um objeto cai de uma altura h partindo do repouso. Calcule a 
distância d que ele percorre no último segundo de queda.
0
h
y
2 2
0v v 2ad= +
2 2
-1v v 2q q gd⇒ = +
2 2
-1
1 (v v )
2 q q
d
g
⇒ = −
0 0v v , v 0at= + =
vq qgt=
1v ( 1)q qg t− = −
(1)
(2)
(3)
(2) e (3) em (1):
2 2 2 21 ( 2 1)
2 q q q
d g t g t t
g
 = − − + 
(2 1)
2 q
gd t⇒ = −
Obter tq
(4)
2
0 0
1
v
2
y y t at= + +
0 0, 0, v 0, , qy h y a g t t= = = = =
21
2 q
h gt⇒ = 2q
h
t
g
⇒ = (5)
(5) em (4):
22 1
2
g hd
g
 
= −  
 
Movimento Relativo: partícula 2 em relação à 1
2,1 2 1
2,1
dX dx dxV
dt dt dt
= = −
2,1 2 1( ) ( ) ( )X t x t x t= −
2 1V v v= −
Velocidade da partícula 2 
em relação à 1:
Exemplo:
( )1 1V v v v vAB A B at at= − = + − =
d D
v1 -v2v1
A B C
Qual o valor mínimo da aceleração do carro A para ultrapassar B sem bater em C ?
21
2AB
X at⇒ ∆ = 21 2
2
dd at t
a
⇒ = ⇒ =
BCX D d∆ < −
1 2(v v )t D d⇒ + < − 1 2
2(v v ) d D d
a
⇒ + < −
2
1 2
2
2 (v v )
( )
d
a
D d
+
⇒ >
−
4m2m− 2m 8m6m0
1( )x t 2 ( )x t
2v1v
Para que A não colida com C, no intervalo de tempo t acima.
2 1
2,1
1 2
2
v vV
v v1
c
−
=
−
2
2
/ 2 / 2V ( / 2)1
c c
c
c
+
=
+
Exemplo: Duas partículas têm velocidades iguais a c/2 e opostas. Calcular a 
velocidade de uma partícula em relação à outra.
Para velocidades próximas da velocidade da luz, c = 3,00 x 108 m/s:
Movimento relativo
4
1 51
4
c c
= =
+