07 - poco de potencial infinito

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Poço de potencial infinito
Fernando G. Pilotto
UERGS
Ondas numa corda
• Numa corda de comprimento infinito, pode-se 
ter ondas com qualquer comprimento de onda.
• Numa corda finita presa nos dois extremos, a 
onda pode ter somente alguns comprimentos de 
onda.
• O confinamento da onda leva à quantização.
Elétrons aprisionados
• Elétrons podem ser aprisionados em pequenas 
regiões, como na armadilha abaixo:
• O estudo de sistemas similares pode levar a 
novos dispositivos eletrônicos.
O poço infinito
• Na armadilha abaixo, o potencial nos extremos 
é colocado num valor muito alto, podendo ser 
considerado infinito.
• O elétron fica confinado à região de tamanho L, 
onde o potencial é nulo.
• Vamos considerar que a energia potencial seja 
dada por:
• Nas regiões onde o potencial é infinito, a função 
de onda é nula.





>∞
<<
<∞
=
Lx
Lx
x
xU
,
0,0
0,
)(
• Como a energia potencial não depende do 
tempo, a função de onda é:
• e a equação de Schrödinger para 0 < x < L é a 
equação da partícula livre:
• A solução pode ser escrita como:
h/)(),( iEtextx −=Ψ ψ
0)()(
2 2
22
=+ xEx
dx
d
m
ψψh
)cos()sen()( kxBkxAx +=ψ
h
mEk 2=
• Condições de contorno:
– Quando uma equação diferencial é resolvida, muitas 
soluções são possíveis.
– Dependendo do problema, pode haver restrições 
sobre os valores das soluções nas bordas da região 
considerada.
• No problema do poço infinito, a condição de 
contorno é que a função de onda seja nula nas 
extremidades x = 0 e x = L.
• Condição de contorno em x = 0:
• Como a função de onda deve ser nula, temos
• (Por isso a função de onda foi escrita em termos 
de seno e cosseno, e não com exponenciais.)
)cos()sen()( kxBkxAx +=ψ
BBA =+= )0cos()0sen()0(ψ
0=B
)sen()( kxAx =ψ
• Condição de contorno em x = L:
• Como a função de onda deve ser nula, temos
• Portanto, a função de onda é:
)sen()( kLAL =ψ
pinkL =
)sen()( kxAx =ψ
K,3,2,1=n






=
L
xnAx piψ sen)(
• A energia do estado pode ser calculada a partir 
das relações
• e obtemos:
h
mEk 2= pinkL =
2
22
2
22222
822 mL
nh
mL
n
m
kE === pihh
• O número “n” especifica o estado quântico em 
que se encontra o elétron.
• “n” é chamado de número quântico.
• Dado o valor de n, podemos determinar a 
energia e a função de onda.
2
2
2
8
n
mL
hEn =






=
L
xnAxn
piψ sen)(
K,3,2,1=n
Níveis de energia
• A energia do elétron no poço infinito é
• O elétron não pode ter outro valor de energia.
• A energia é quantizada.
• Falamos então em níveis de energia.
2
2
2
8
n
mL
hEn = K,3,2,1=n
• A menor energia possível corresponde ao 
estado n = 1, que é o estado fundamental.
• Os outros níveis são estados excitados e 
podem ser escritos como:
2
2
1 8mL
hE =
12 4EE = 13 9EE = 14 16EE =
1
2EnEn =
1E 0
2E
3E
4E
5E
Diagrama de níveis de energia
Energia de ponto zero
• A menor energia que o elétron pode ter no poço 
infinito não é zero, mas sim E1, a energia do 
estado fundamental.
• Essa é uma outra característica da mecânica 
quântica: quando uma partícula é confinada, 
não existem estados com energia nula; a 
partícula sempre terá uma energia mínima.
• Essa energia é chamada de energia de ponto 
zero (mesmo à temperatura de 0 K, a partícula 
ainda possui energia).
Mudanças de energia
• Quando um elétron passa de um estado 
quântico para outro, a variação de energia é
• Essa energia pode ser correspondente à 
absorção de um fóton (nesse caso, Ef > Ei)
• ou pode ser correspondente à emissão de um 
fóton (nesse caso, Ef < Ei)
if EEE −=∆
Ehf ∆=
• A mudança de estado também é chamada de 
salto quântico.
• Nos diagramas abaixo, identifique se houve 
absorção ou emissão de fótons:
Funções de onda
• A função de onda do elétron é:
• A probabilidade de se encontrar o elétron num 
intervalo dx em torno da posição x é:






=
L
xnAxn
piψ sen)( K,3,2,1=n Lx <<0
dxxxdp )()( *ψψ=
• Densidade de probabilidade para alguns 
estados quânticos:






=
L
xnA piψψ 22* sen
Normalização da função de onda
• A probabilidade de se encontrar o elétron deve 
ser igual a 1:
• Portanto:
• Fazendo a troca de variável
∫∫ === 1)()( * dxxxdpp ψψ
1sen
0
22
=





∫
L
dx
L
xnA pi
L
xn
z
pi
=
• e usando a integral
• pode-se mostrar que
)2sen()(sen 41212 zzdzz −=∫
L
A 2=
Exercícios
1. Mostre que o comprimento de onda satisfaz a 
relação
2. Se L for dado em nanômetros, mostre que a 
energia do estado fundamental de um elétron, 
em elétron-volts, é dada por 
nL
2
λ
= K,3,2,1=n
que é idêntica à de uma onda estacionária 
numa corda de comprimento L.
21
377,0
L
E =
3. Efetue a integral de normalização e mostre que 
4. Halliday, cap. 39: 1 – 16
L
A 2=