01 - exercicios

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RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO – EXERCÍCIOS 
 
1) Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 
 
 
2) Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a 1100 K. Entretanto, nessa mesma 
temperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao 
contrário do metal, o quartzo é transparente à luz visível. 
 
 
3) TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL PARA DENSIDADES 
Nos slides de aula vimos a expressão dada por Planck para a radiância espectral R(f,T) de um 
corpo negro, que é a intensidade da radiação por frequência. Assim, a intensidade da radiação 
num intervalo df de frequência é dada por 
dfTfRdI ),(=
 
e a intensidade total é dada por 
∫
∞
=
0
),( dfTfRI 
A radiância espectral também pode ser escrita em termos do comprimento de onda, mas não 
basta substituir uma variável pela outra na função. A intensidade da radiação num intervalo dλ 
de comprimento de onda 
λλ dTRdI ),(′= 
deve ser a mesma que tínhamos no intervalo df correspondente. Deste modo, a intensidade 
total também será a mesma 
∫
∞
′=
0
),( λλ dTRI 
Determine a relação entre R(f,T) e R’(λ,T). 
 
 
4) A partir do resultado do exercício anterior, escreva explicitamente a função R’(λ,T). 
 
 
5) A partir da radiância espectral R’(λ,T) determinada por Planck, obtenha a lei de Wien, 
cteT =maxλ 
e determine o valor da constante em termos das que aparecem na função R’(λ,T). Lembre que 
λmax é o valor de λ para o qual R’(λ,T) tem seu maior valor. Dica: a equação 
xe
x
−
=





−
5
1 
onde x = hc/ λ kT deve ser resolvida numericamente e tem solução x = 4,9651.... 
 
 
6) A intensidade da radiação emitida por um corpo negro é dada pela lei de Stefan-Boltzmann, 
4TI σ= 
Essa intensidade corresponde ao somatório da radiação emitida em todos os comprimentos de 
onda, 
∫
∞
′=
0
),( λλ dTRI 
Efetue a integral e determine σ em função de h, c e k. Dica: use a integral abaixo 
∫
∞
=
−0
43
151
pidx
e
x
x
 
 
 
7) Mostre que, se a energia de um modo normal for dada por 
nhfE = 
e “n” assumir valores contínuos entre 0 e infinito, então a energia média é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) A temperatura na superfície do Sol é de 5800 K. (a) Qual é o comprimento de onda para o 
qual a radiação emitida pelo Sol tem intensidade máxima? (b) A que região do espectro 
corresponde esse comprimento de onda? 
 
 
9) A temperatura no centro da explosão de uma bomba H chega a 107 K. (a) Calcule o 
comprimento de onda da radiação eletromagnética associada à máxima energia emitida por 
unidade de área, por unidade de tempo e por unidade de comprimento de onda. (b) 
Identifique a faixa do espectro eletromagnético à qual pertence essa radiação. 
 
 
10) Para uma superfície que irradia como um corpo negro à temperatura de 1000 K, determine 
o comprimento de onda de emissão máxima. Se a temperatura fosse igual a 500 K, em que 
comprimento de onda seria a emissão máxima? E se fosse 300 K? 
 
 
11) Se supusermos que as superfícies estelares se comportam como um corpo negro, podemos 
obter uma boa estimativa de suas temperaturas medindo-se λmax. Para o sol, λmax é 510 nm, 
enquanto que para a estrela do norte (estrela polar), λmax = 350 nm. (a) Determine, usando a 
lei de Wien, as temperaturas das superfícies destas estrelas. (b) Usando a lei de Stefan-
Boltzmann e as temperaturas obtidas no caso anterior, determine a potência irradiada por 1 
cm2 da superfície estelar. (Soluções: a) TSol = 5682 K, TEN = 8279 K; b) PSol = 5910 W, P EN = 26638 
W.) 
 
 
12) Para um corpo negro mantido a certa temperatura, o comprimento de onda da radiação 
eletromagnética associada à máxima irradiância espectral é λmax = 6,5 x 10
−7 m. Calcule o valor 
de λmax se for duplicada a irradiância espectral em todos os comprimentos de onda. 
 
 
13) Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite 
sua radiação térmica máxima. 
 
 
14) De acordo com a lei de Planck, qual é a energia média de um modo normal cuja frequência 
é f = kT/h? (Solução: 0, 582 kT.) 
kT
dEEP
dEEEP
E =>=<
∫
∫
∞
∞
0
0
)(
)(
15) A medida do comprimento de onda para o qual a irradiância espectral de uma estrela é 
máxima indica que a temperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada 
pela estrela é 100 vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual é o tamanho da estrela? 
(Solução: 37, 4 vezes o raio solar.) 
 
 
16) Deduza a expressão matemática da lei de radiação de Rayleigh-Jeans a partir da expressão 
matemática da lei de radiação de Planck. Para isso, tome o limite λ → ∞. 
 
 
17) Deduza a expressão matemática da lei de radiação de Wien a partir da expressão 
matemática da lei de radiação de Planck. Para isso, tome o limite λ → 0. 
 
 
18) Uma superfície plana está sujeita à radiação solar a pino. A absortância dessa superfície é 
igual a 0,1 para radiação solar e 0,8 para radiação terrestre, onde ocorre a maior parte da 
emissão de radiação por essa superfície. Calcule a temperatura de equilíbrio radiativo da 
superfície, desprezando o efeito da atmosfera e considerando que a intensidade solar com o 
sol a pino é igual a 1367 W/m2. 
 
 
19) Calcular a radiância monocromática de um corpo negro à temperatura de 300 K para o 
comprimento de onda de 15 μm. 
 
 
20) Uma superfície emite irradiância igual a 459,5 Wm-2. Determine a temperatura da 
superfície considerando as seguintes emissividades: a) 1,0; b) 0,9; c) 0,8. 
 
 
21) Para uma superfície que irradia como um corpo negro à temperatura de 1000 K, calcule o 
espectro de radiância no intervalo espectral de 2 a 12 μm (considere pelo menos 6 valores de 
comprimento de onda nesse intervalo). Apresente o resultado em um gráfico de radiância por 
comprimento de onda.