Limite & Continuidade

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Limite e Continuidade de Funções Reais
Lúcio Fassarella
DCMN/CEUNES/UFES
March 27, 2012
Abstract
Notas de aula e lista de exercícios sobre limite e continuidade de funções reais.
Contents
1 Introdução 2
2 Limites de Funções 3
2.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Limites in…nitos e limites no in…nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Continuidade 8
3.1 Continuidade Lateral e Tipos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Funções Contínuas em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Funções Contínuas Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Problemas 11
4.1 Lista Resumida de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
1 Introdução
Sobre o estudo de limites
Pergunta: Por que estudar limites se é o assunto difícil e tem poucas aplicações práticas?
Resposta: Embora o conceito de limite tenha relativamente poucas aplicações práticas, possui
algumas importantes. O conceito de limite fundamenta outros conceitos básicos da Matemática e
do Cálculo (como os conceitos de número real, de derivada e de integral). Além disso seu estudo
serve como exercício para a manipulação algébrica, para a compreensão de conceitos abstratos e
argumentos complexos.
Motivações para o estudo do conceito de limite num curso introdutório de Cálculo:
i) teoria dos números reais;1
ii) de…nição dos conceitos fundamentais do Cálculo: continuidade, derivada e integral ;
iii) métodos numéricos para cálculo (aproximado) de raízes de funções (exemplo: o método de Newton)
iv) métodos numéricos para a resolução (aproximada) de equações algébricas, diferenciais e integrais
(exemplo: o método de Piccard).
v) de…nição de conceitos técnicos e cientí…cos, tais como o conceito …nanceiro de juros contínuos e o
conceito físico de velocidade e aceleração (instantâneas).
Objetivos do estudo de limites num curso introdutório de Cálculo:
i) fundamentar as de…nições de continuidade, derivada e integral;
ii) desenvolver no estudante a capacidade para manipulação algébrica;
iii) desenvolver no estudante a capacidade para compreender conceitos abstratos e argumentos
complexos, típicos da matemática.
A de…nição de limite de funções é intuitiva e simples; entretanto, os estudantes geralmente encontram
di…culdades para entenderem, estudarem e dominarem o assunto; essencialmente, essas di…culdades podem
ter as seguintes origens:
i) desconhecimento das motivações, objetivos e aplicações do conceito;
ii) de…ciências no conhecimento de matemática básica necessário para o entendimento de exemplos
e resolução de exercícios;
iii) perplexidade diante da novidade;
iv) aversão ao tema;
v) falta de empenho.
Exemplo concreto de aplicação do conceito de limite:2
Uma empresa fabrica latas na forma de cilindro circular reto com altura igual ao diâmetro;
considerando que as latas devem ter volume igual a 500ml, determine a precisão com que se deve
medir as dimensões da lata para que a variação do volume em torno de 500ml seja inferior a 1%.
(A resolução deste problema requer um raciocínio similar àquele resumido no conceito de
limite. Portanto, estudar limites nos prepara para resolver problemas! )
1Um número real pode ser de…nido como o limite de uma sequência convergente de números racionais.
2Tente resolvê-lo! Qualquer pessoa diria que qualquer matemático deve ser capaz de resolver esse problema...
2
2 Limites de Funções
Essencialmente, o limite de uma função f : I ! R num ponto x0 2 R é de…nido pelo valor para o qual a
imagem f (x) se aproxima quando o argumento x se aproxima de x0:3
Dizemos que “L 2 R é o limite de f (x) quando x tende a x0”signi…ca que “f(x) se aproxima
de L quando x 2 I se aproxima (enquanto é diferente) de x0”.
Formalmente:
De…nição 1 (Limite) Seja f : I ! R uma função de…nida num conjunto I � R. Se x0 2 R é um ponto
de acumulação de I, então dizemos que o limite de f em x0 é o número L 2 R quando
8" > 0; 9� > 0 = x 2 I; 0 < jx� x0j < � ) jf (x)� Lj < "
Lema 2 (unicidade do limite) Se o limite existe, então ele é único. Nesse caso, denotamos o limite
acima por
L =: lim
x!x0
f (x)
Observação 3 Notamos que a de…nição de limite não exige que a função esteja de…nida no ponto de acumu-
lação e nem depende do seu valor nesse ponto caso esteja de…nida nele! (Para dar um exemplo importante,
veremos que a derivada de uma função será de…nida por um limite para a zero de uma função que não está
de…nida em zero.)
Se duas funções coincidem nas vizinhanças de um ponto comum de seus domínios, então seus limites são
iguais:
Teorema 4 (caráter local do limite) Sejam f : I ! R e g : J ! R funções de…nidas em intervalos tais
que J � I e f jJ = g.
Se x0 2 J é um ponto interior de J , então
lim
x!x0
f (x) = lim
x!x0
g (x) ; se os limites existirem
2.1 Limites laterais
De…nição 5 (Limite lateral) Seja f : I ! R uma função de…nida num conjunto I � R.
Se x0 2 R é um ponto de acumulação à esquerda de I, então dizemos que o limite de f à esquerda de x0
é o número L 2 R quando
8" > 0; 9� > 0 = x 2 I; 0 < x0 � x < � ) jf (x)� Lj < "
Nesse caso, é possível provar que o limite é único e então o denotamos por
L =: lim
x!x0�
f (x)
Se x0 2 R é um ponto de acumulação à direita de I, então dizemos que o limite de f à direita de x0 é o
número L 2 R quando
8" > 0; 9� > 0 = x 2 I; 0 < x� x0 < � ) jf (x)� Lj < "
Nesse caso, é possível provar que o limite é único e então o denotamos por
L =: lim
x!x0+
f (x)
3A noção intuitiva de limite pode ser expressa em palavras de diversas maneiras:
- “L 2 R é o limite de f (x) quando x tende a x0”se podemos fazer f (x) …car tão próximo de L quanto for desejado, fazendo
x tão próximo (mas diferente) de x0 quanto for necessário.
- “L 2 R é o limite de f (x) quando x tende a x0” se podemos fazer f (x) …car arbitrariamente próximo de L, tomando x
su…cientemente próximo (mas diferente) de x0.
- “L 2 R é o limite de f (x) quando x tende a x0” quando “dada qualquer vizinhança J de L, podemos encontrar uma
vizinhança V de x0 tal que, excluindo x0, sua imagem por f está contida em J , i.e. f (V \ In fx0g) � J .”
3
Teorema 6 (limite e limites laterais) Uma função tem limite num ponto de acumulação à esquerda e
à direita de seu domínio se e somente se os limites laterais existem e são iguais. Mais precisamente:
Seja f : I ! R uma função de…nida num conjunto I � R. Se x0 2 R é um ponto de acumulação à
esquerda e à direita de I, então o limite de f em x0 existe sse os limites laterais existem e são iguais; nesse
caso, vale
lim
x!x0�
f (x) = lim
x!x0
f (x) = lim
x!x0+
f (x)
Observação 7 Geralmente, não precisamos calcular limites partindo da de…nição: o cálculo de limites pode
ser realizado mediante o uso de duas tabelas: uma de propriedades dos limites e outra de limites fundamentais!
2.1.1 Propriedades dos limites
Teorema 8 (propriedade dos Limites) Sejam f; g : I ! R um par de funções e seja x0 2 R é um ponto
de acumulação de I.
Se existem os limites de f e g em x0, então:
i) limx!x0 cf (x) = c limx!x0 f (x) , para todo c 2 R;
ii) limx!x0 [f (x) + g (x)] = limx!x0 f (x) + limx!x0 g (x);
iii) limx!x0 [f (x) :g (x)] = [limx!x0 f (x)] : [limx!x0 g (x)];
iv) limx!x0 [f (x) =g (x)] = limx!x0 f (x) = limx!x0 g (x) , quando limx!x0 g (x) 6= 0.
v)4 limx!x0
h
f (x)
m=n
i
= [limx!x0 f(x)]
m=n
; 8m;n 2 Z; n 6= 0.
Para o caso em que I é um intervalo ilimitado inferiormente ou superiormente, valem a…rmações análogas
para os limites x! �1.
Teorema 9 (comparação) Sejam f; g; h : I ! R funções e x0 2 R um ponto de acumulação de I.
Se valem
f � h � g e lim
x!x0
f (x) = lim
x!x0
g (x) = c
então
lim
x!x0
h (x) = c
Teorema 10 (composição) Sejam f : I ! R e g : J ! R funções tais que f (I) � J , e seja x0 2 R é um
ponto de acumulação de I.
Se limx!x0 f (x) = y0 é um ponto de acumulação de J e limy!q g (y) = L, então
lim
x!x0
g � f (x) = lim
y!y0
g (y) = L
Em palavras: o limite de uma composição de funções é a composição dos limites, se eles existirem.
2.2 Limites in…nitos e limites no in…nito
Um limite in…nito ocorre quando a função tem seu valor tendendo ao in…nito:
De…nição 11 (Limite in…nito) Seja f : I ! R uma função de…nida num conjunto I � R e seja x0 2 R
é um ponto de acumulação de I.
Dizemos que o limite de f em x0 é in…nito quando
8M > 0; 9� > 0 = x 2 I; jx� x0j < � ) f (x) > M
Nesse caso, denotamos esse limite por
lim
x!x0
f (x) = +1
Dizemos que o limite de f em x0 é menos-in…nito quando
8M > 0; 9� > 0 = x 2 I; 0 < jx� x0j < � ) f (x) < �M
Nesse caso, denotamos esse limite por
lim
x!x0
f (x) = �1
4Nesse caso, devemos ter L1 > 0 se n for par.
4
Um limite no in…nito ocorre quando a função tem seu argumento tendendo ao in…nito:
De…nição 12 (Limite no in…nito) Seja f : I ! R uma função de…nida num conjunto I � R ilimitado.
Se I é ilimitado superiormente, dizemos que o limite de f em +1 é L 2 R quando
8" > 0; 9M > 0 = x 2 I; x > M ) jf (x)� Lj < "
Nesse caso, denotamos esse limite por
lim
x!+1 f (x) = L
Se I é ilimitado inferiormente, dizemos que o limite de f em �1 é L 2 R quando
8" > 0; 9M > 0 = x 2 I; x < �M ) jf (x)� Lj < "
Nesse caso, denotamos esse limite por
lim
x!�1 f (x) = L
Similarmente, de…nimos limites in…nitos no in…nito, mas essa de…nição será omitida aqui para o bem da
brevidade!
Teorema 13 (comparação de limites in…nitos)
Sejam f; g : I ! R funções de…nidas num conjunto I � R e seja x0 2 R um ponto de acumulação de I.
Se f � g, i.e.,
f (x) � g (x) ; 8x 2 I
então:
i) limx!x0 f (x) = +1) limx!x0 g (x) = +1;
ii) limx!x0 g (x) = �1) limx!x0 f (x) = �1.
Teorema 14 Sejam f; g : I ! R funções de…nidas num conjunto I � R e seja x0 2 R um ponto de
acumulação de I.
i) Se limx!x0 f (x) = 0 e g é limitada numa vizinhança de x0, então vale
lim
x!x0
f (x) g (x) = 0
ii) Se limx!x0 f (x) =1 e g (x) � � > 0 para x numa vizinhança de x0, então vale
lim
x!x0
f (x) g (x) =1
iii) Se limx!x0 f (x) =1 e g é limitada numa vizinhança de x0, então vale
lim
x!x0
g (x)
f (x)
= 0
Naturalmente, valem outros resultados análogos quanto ocorre um limite �1, mas serão omitidos aqui
para o bem da brevidade!
As propriedades dos limites in…nitos e no in…nito serão análogas às propriedades dos limites …nitos sempre
que resultarem em expressões com sentido matemático bem de…nido (veja o teorema 8); porém, nem sempre
isso acontece: o cálculo de limites envolvendo o in…nito pode resultar em indeterminações matemáticas:
0=0 ;
1
1 ; 1�1 ; 0�1 ; 0
0 ; 01 ; 10 ; 11
Em geral, essas indeterminações surgem quando separamos o limite original em limites de subespressões
calculados independentemente; nesses casos, podemos tentar simpli…car a expressão antes de tomarmos seu
limite ou recorrer a alguma propriedade especial dos limites (tal como as regras de L’Hospital).
5
2.3 Limites Fundamentais
Os seguintes limites são considerados fundamentais porque, além de aparecem em situações importantes, a
eles podemos reduzir uma grande quantidade de outros limites.
lim
x!0
1
jxj = 1
lim
x!�1
1
x
= 0
lim
x!1
xn
ex
= 0 ; 8n 2 N
lim
x!1
ln (x)
x
= 0 ; 8n 2 N
lim
x!0
sin (x)
x
= 1
lim
x!�1
�
1 +
a
x
�x
= e�a 8a 2 R
lim
x!0
ax � 1
x
= ln (a) 8a > 0; a 6= 1
Observação 15 Muitos limites fundamentais podem ser calculados mais facilmente depois de terem sido
provadas as propriedades gerais dos limites; em particular, alguns limites fundamentais são calculados me-
diante o teorema do sanduíche.
6
2.4 Assíntotas
De…nição 16 (Assíntota) Dada uma função f : I ! R de…nida num subconjunto I � R, uma assíntota do
grá…co de f é uma reta do plano cartesiano para a qual tende o grá…co de f ; há apenas três casos possíveis:
Assíntota vertical: quando o grá…co de f se aproxima de uma reta do tipo x = a. Esse caso acontede
quando f possui algum limite lateral in…nito num ponto de acumulação a 2 R do domínio I, i.e.
lim
x!a� f (x) = �1
Assíntota horizontal: quando o grá…co de f se aproxima de uma reta do tipo y = b. Esse caso acontece
quando o domínio de f é ilimitado e f possui limite …nito em �1 ou +1, i.e.
lim
x!�1 f (x) = L 2 R
Assíntota oblíquia: quando o grá…co de f se aproxima de uma reta do tipo y = �x + � com � 6= 0.
Esse caso acontece quando o domínio de f é ilimitado e se veri…cam, para cada uma das possibilidades, as
duas condições
lim
x!�1 f (x) =1 e limx!�1
f (x)
x
= � 2 R
Nesse caso,
� = lim
x!�1 [f (x)� �x] 2 R
Alguns fatos óbvios estão coletados no seguinte teorema:
Teorema 17 i) Seja f : (a; b) ! R injetiva. Se f possui assíntota lateral vertical em a, então sua inversa
possui uma assíntota horizontal em limx!a+ f (x). Analogamente para o caso em que f possui assíntola
lateral vertical em b.
ii) Seja g : (a;+1) ! R injetiva. Se g possui assíntota horizontal em +1 dada pela reta y = c, então
sua inversa possui uma assíntota vertical em c. Analogamente para o caso em que o domínio de g é da forma
(�1; b) e g possui assíntota horizontal em �1.
iii) Seja h : (a;+1) ! R injetiva. Se h possui assíntota oblíqua em +1 dada pela reta y = �x + �
(� 6= 0), então sua inversa possui assíntota oblíqua em +1 (se � > 0) ou �1 (se � < 0) dada pela reta
y = (1=�)x. Analogamente para o caso em que o domínio de h é da forma (�1; b) e h possui limite oblíqua
em �1.
7
3 Continuidade
Intuitivamente, a continuidade de uma função f num ponto x0 do seu domínio formaliza a idéia de que os
valores de f em números “próximos”de x0 são valores “próximos”de f (x0); naturalmente, a de…nição dessa
idéia envolve o conceito de limite:
De…nição 18 (Continuidade)
Seja f : I ! R uma função de…nida num subconjunto I � R.
Dizemos que f é contínua num ponto de acumulação x0 2 I quando
lim
x!x0
f (x) = f (x0)
Dizemos que f é contínua quando ela for contínua em todos os pontos do seu domínio.
Teorema 19 (caráter local da continuidade)
Sejam f : I ! R e g : J ! R funções tais que J � I e f jJ = g.
Então, f é contínua em x0 2 J se e somente se g também é contínua em x0.
Teorema 20 (limitação local)
Seja f : I ! R uma função de…nida num subconjunto I � R.
Se f é contínua em x0 2 I, então f é limitada numa vizinhança de x0.
Teorema 21 (preservação de sinal local)
Seja f : I ! R uma função de…nida num subconjunto I � R.
Se f é contínua em x0 2 I e f (x0) 6= 0, então existe � > 0 tal que f não muda de sinal em
(x0 � �; x0 + �) \ I.
A continuidade herda algumas das propriedades dos limites:
Teorema 22 (propriedades algébricas das funções contínuas)
Sejam f; g : I ! R e x0 2 I um ponto de acumulação de I.
Se f e g são contínuas em x0 2 I, então também são contínas em x0 as funções f + g e f � g, e também
f=g quando g (x0) 6= 0.
Teorema 23 (composição de funções contínuas)
Sejam f : I ! R e g : J ! R funções tais que f (I) � J .
Se f é contínua em x0 2 I e g é contínua em f (x0), então g � f é contínua em x0.
3.1 Continuidade Lateral e Tipos de Descontinuidade
De…nição 24 (Continuidade Lateral) Dizemos que f é contínua à direita de x0 quando
lim
x!x0+
f (x) = f (x0)
Dizemos que f é contínua à esquerda de x0 quando
lim
x!x0�
f(x) = f (x0)
Lema 25 A função f : I ! R é contínua em x0 2 I se e somente se f é contínua à esquerda e à direita de
x0, simultaneamente.
Classi…camos os pontos de descontinuidade de uma função segundo a existência ou não de limites laterais:
8
De…nição 26 (Tipos de Descontinuidade)
Sejam f : I ! R uma função de…nida num subconjunto I � R e seja x0 2 I um ponto de acumulação de
I.
i) Dizemos que x0 é um ponto de descontinuidade de f quando f (x0) 6= limx!x0 f (x) ou quando este
limite não existe;
ii) Dizemos que x0 é um ponto de descontinuidade removível de f quando existe o limite limx!x0 f (x);
iii) Dizemos que x0 é um ponto de descontinuidade de primeira espécie quando existem os limites laterais
limx!x0+ f (x) e limx!x0� f (x) mas eles são diferentes (esse tipo de descontinuidade também é chamado
‘descontinuidade de salto’);
iv) Dizemos que x0 é um ponto de descontinuidade de segunda espécie quando não existe pelo menos
um dos limites laterais limx!x0+ f (x) e limx!x0� f (x) (esse tipo de descontinuidade pode ser de dois tipos:
‘descontinuidade in…nita’ou ‘descontinuidade de salto’).
Para pontos de descontinuidade removível, uma rede…nição conveniente torna a função contínua no ponto.
3.2 Funções Contínuas em Intervalos
No Cálculo, lidamos principalmente com funções contínuas de…nidas em intervalos; essas funções possuem
certas propriedades especiais, das quais listamos algumas abaixo.
Teorema 27 (Valor Intermediário)
Seja f : I ! R uma função contínua de…nida num intervalo I � R.
Para todo par a; b 2 I e todo d 2 R entre f (a) e f (b), existe algum c 2 I entre a e b tal que f (c) = d.
Corolário 28 (Teorema do Ponto Fixo)
Seja f : [a; b]! R uma função contínua.
Se f ([a; b]) � [a; b], então f possui um ponto …xo, i.é: existe c 2 [a; b] tal que f (c) = c.
Teorema 29 (continuidade da função inversa)
Seja f : I ! R uma função injetiva de…nida num intervalo I � R.
Se f é contínua, então f é monótona5 , sua imagem f (I) � R é um intervalo e sua função inversa f�1
também é contínua.
Observação 30 O Teorema do Valor Intermediário nos garante que para uma função contínua f : I ! R
de…nida num intervalo I � R valem:
i) o grá…co de f é conexo (não possui “rupturas”);
ii) se f muda de sinal em I, então f possui um zero em I –mais precisamente: se existem pontos a; b 2 I
tais que f (a) < 0 e f (b) > 0, então existe c 2 I tal que f (c) = 0.
Exemplo 31 O Teorema do Valor Intermediário (TVI) saber sobre a existência de soluções para uma
equação mesmo sem (tentar) resolvê-la! Por exemplo, o TVI seguinte equação possui uma solução no inter-
valo [0; �=2]
cos (x)� x = 0
Também com recursos analíticos, podemos discutir o número de soluções da seguinte equação6 :
2x = x2
5Um função monótona injetiva é uma função que é crescente ou decrescente.
6Para um comentário, vide: E.L. Lima, Meu professor de Matemática e outras histórias (Coleção do Professor de
Matemática), SBM, Rio de Janeiro, 1991: p.176-180.
9
3.3 Funções Contínuas Elementares
A grande maioria das funções com as quais lidamos no Cálculo são construídas a partir de algumas funções
elementares que são os polinômios, as funções trigonométricas, as funções exponenciais e as funções logarít-
micas. Essas funções são contínuas (e deriváveis, e integráveis, e etc.)!
Teorema 32 (Funções Contínuas Elementares)
São contínuas as funções identidade, exp, log, sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, bem como somas,
produtos, quocientes e composições destas - nos pontos onde elas estiverem de…nidas.
10
4 Problemas
Os problemas desta lista estão divididos em três categorias: problemas computacionais, prob-
lemas conceituais e problemas aplicados. Os objetivos desses problemas são distintos, mas todos
são importantes: os problemas computacionais visam desenvolver a percepção e capacidade de
manipulação algébrica, os problemas conceituais visam consolidar e articular as idéias da teo-
ria dos limites, os problemas aplicados visam ilustrar possibilidades de aplicações práticas dessa
teoria.
Problema 33 Problemas computacionais
Problema 34 Calcule os limites
i) limx!3 5x
2�8x�13
x2�9 ii) limx!3
x4�81
2x2�5x�3
iii) limx!4 3�
p
x+5
x�4 iv) limx!1
x1=2�1
x1=3�1
v) limx!4
p
x�2
x�4 vi) limx!1
x3�1
(x�1)2
vii) limx!0
sin(5x)
3x viii)
ix) limx!0
3p8+h�2
h x) limx!1
51=x
21=x+31=x
xi) limx!�3 e
x2�9�1
x+3 xii) limx!�=2
tan(2x)
x��=2
Calcule os limites no in…nito
i) limx!1 x
3+5x�2
x4�100x ii) limx!1
x3=2+2x2=3+5x4=5
x2+1
iii) limx!1 x3 � 1000x2 iv) limx!1 x�
p
x2 + 7
v) limx!1 e
x
x10 vi) limx!1
ln2(x)+45
p
x
x
vii) limx!1 (x� 100 ln (x)) viii) limx!1 exx100
ix) limx!1
sin(3x)
x x) limx!1 ln
�
x5+27
4x5�x3
�
xi) limx!1 arcsin
�
x
x2+1
�
xii) limx!1 arctan
�
2x3
�
Calcule os limites
i) lim
x!0
x3 cos
�
2
x
�
ii) lim
x!1
x2
�
sin (x) + cos3 (x)
�
x2 + 1
iii) lim
x!1
x2
�
2 + sin2 (x)
�
x+ 100
iv) lim
x!1
cos2 (2x)
3� x
Problema 35 7Para a; b 2 R�, calcule os limites
i) lim
x!0
p
x2 + a2 � ap
x2 + a2 � a ; ii) limt!1
ae�t + be�2t
e�t + e�2t
Problema 36 Calcule os limites , calcule os limites
i) lim
x!0
cos (x)� 1
x
; ii) lim
x!0
cos (x)� 1
x2
; ii) lim
x!0
cos (ax)� 1
cos (bx)� 1 (a; b 2 R
�)
Problema 37 Analise a continuidade da função no ponto x = 1:
f (x) :=
�
3x� 5 ; x 6= 1
2 ; x = 1
Problema 38 Analise a continuidade da função no ponto x = �2:
f (x) :=
�
x2 + 2x ; x � �2
x3 � 6x ; x � �2
7O segundo limite está envolvido no cálculo da energia fundamental de um sistema quântico cujo espectro de energia é
positivo e discreto; vide J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition 1994, p.149: exercice 29.
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Problema 39 Considere a seguinte função e responda as perguntas justi…cando sua resposta:
f : R! R ; f (x) =
�
x cos (1=x) ; x 6= 0
1 ; x = 0
(i) f possui limites laterais em x = 0? (ii) f possui limite em x = 0? (iii) f é contínua em x = 0?
Problema 40 Para cada x 2 R, determine a ordenada k (x) do ponto de interseção com o eixo-y da medi-
atriz do segmento cujos extremos são a origem e o ponto
�
x; x2
�
. Agora, calcule o limite de k (x) quando x
tende a zero.
Problemas conceituais
Problema 41 Uma função pode ter assíntota num ponto de R mas não possuir limite nesse ponto? Justi…que
sua resposta.
Problema 42 Seja f : I ! R função de…nida num intervalo aberto I � R e seja x0 2 I. Prove que se f é
contínua em x0 e f (x0) > 0, então existe � > 0 tal que para x 2 I com jx� x0j < � temos f (x) > 0.
Problema 43 Sejam f; g : (�"; ") ! R funções tais que f é contínua em x = 0 com f (0) = 0 e g é uma
função limitada. Prove que a função produto fg é contínua em 0.
Problema 44 Seja f : I ! R função de…ninda num intervalo aberto I � R. Dizemos que f é derivável em
x0 2 I quando existe o limite em R
lim
�x!0
f (x+�x)� f (x)
�x
Prove que se f é derivável em x0 2 I, então f é contínua em x0.
Problemas de aplicação
Problema 45 (Mecânica I) Uma partícula de massa m que cai próxima à superfície terrestre sofre uma
força de resistência do ar que depende da sua velocidade; quando a força de resistência é proporcional à
velocidade
f (v) = �bv
podemos deduzir que a velocidade depende do tempo pela função
v (t) =
mg
b
+
�
v0 � mg
b
�
e�
b
mg (t�t0) ; v0 = v (t0)
Calcule e interprete os limites
lim
t!1 v (t) ; limb!0
v (t)
Problema 46 Suponha seja gasto 0:5 cal calor para aumentar em 1 �C a temperatura de 1 g de gelo, que
sejam gastos 80 cal para derreter o gelo a 0 �C, e que seja gasto 1 cal para aumentar em 1 �C a temperatura
de 1 g de água. Considere que Q (�) seja o número de calorias gastas para aumentar a temperatura de 1 g
de água (congelada ou liquefeita) da temperatura de �40 �C até � �C. Traceo grá…co de Q (�) no intervalo
� 2 [�40; 20] e indique onde essa função é descontínua.
Problema 47 Suponha que a bandeirada de um táxi custa 60 centavos mais 10 centavos para cada quarto
de km ou porção disso. Denote por f (x) a bandeirada para uma viajem de x km; determine o domínio de
f , trace seu grá…co e indique onde essa função é descontínua.
Problema 48 (Precisão I) Escreva a área da superfície de uma esfera em função do seu volume e de-
termine o volume v0 para o qual a área é numericamente igual a esse volume. Então, determine o maior
intervalo de variação do volume da esfera em torno de v0 no qual a variação da área seja menor do que o
máximo de 2%.
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Problema 49 (Precisão II) Uma empresa fabrica latas na forma de cilindro circular reto com altura igual
ao diâmetro; considerando que as latas devem ter volume igual a 500ml, determine a precisão com que se
deve medir as dimensões da lata para que a variação do volume em torno de 500ml seja inferior a 1%.
Problema 50 (Radioterapia) A radioterapia é qualquer técnica de tratamento que utiliza a radição para
combater tumores; devido à sua periculosidade, são utilizados certos materiais que absorvem ou bloqueiam
a passagem de radiação de modo a controlar a exposição. Considere um aparelho radioterápico que produz
um feixe de raios-X com intensidade constante I0; suponha que o controle da intensidade da radiação que
deve incidir sobre um paciente seja feito pela inserção de placas de chumbo na trajetória do feixe de raios-X.
Teoricamente se prevê e experimentalmente se veri…ca que a intensidade de um feixe de raios-X que penetra
numa placa de chumbo decai exponencialmente em função da expessura s da placa, i.e.
I (s) = I0e
�as
onde a é uma constante positiva característica da interação entre os raios-X e o chumbo. Suponha que
a intensidade do feixe produzido pelo aparelho seja I0 = 1MeV s�1 e que tenhamos o valor da constante
a = 0; 151 cm�1; se as placas de chumbo têm expessura " = 1mm, quantas devem ser usadas no bombardeio
de um paciente para o qual foram prescritas seções de radioterapia com intensidades entre 0:3MeV s �1e
0:4MeV s�1? [Observação: o MeV é uma unidade de medida de energia e o MeV s�1 mede a quantidade de
energia liberada por segundo. Neste problema, os valores numéricos são …ctícios.]
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4.1 Lista Resumida de Exercícios
Exercício 51 Determine pela de…nição se os seguintes limites existem
i) lim
x!1
1
1 + x
ii) lim
x!0
x sin (1=x) iii) lim
x!2
jx� 2j
Exercício 52 Analise os limites laterais das funções abaixo quando x! 0:
i) f (x) =
x
jxj ii) f (x) =
1
x
iii) f (x) = sin
�
1
x
�
Exercício 53 Analise a continuidade das funções
1. f : R! R ; f (x) =
�
x3�8
x2�4 ; x 6= 2
3 ; x = 2
2. g : R! R ; g (x) =
�
sin(x)
x ; x 6= 0
0 ; x = 0
3. h : R! R ; g (x) =
�
x sin (x) ; x 6= 0
0 ; x = 0
Exercício 54 Analise se seguinte função é contínua8
f (x) = tanh
�
ecos(x
3+1)
�
+ 4
p
ln (7x5 + 3x) + 1= sin
�
1
x
�
Exercício 55 Determine e desenhe as assíntotas das seguintes funções:
i) f (x) = ax+ b ii) g (x) = sec (x) iii) h (x) =
sin (x)
x
iv) y (x) =
p
x2 � 1 v) z (x) = x+ 1
ln (x)� 1
8O grá…co dessa função:
54321
15
12.5
10
7.5
5
x
y
x
y
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