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DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Lista de Exercícios
Prof. Lúcio Fassarella
1. De acordo com a Mecânica Clássica, o período de um pêndulo simples de comprimento L depende da aceleração
gravitacional local g segundo a fórmula
T =
s
L
g
:
(a) Determine o período de um pêndulo cujo comprimento é medido como 1m com erro de 1%, numa região
onde a aceleração gravitacional é medida como 9; 8m= s2 com erro de 2%.
(b) Se você utilizasse esse pêndulo para cronometrar a passagem de 1 hora, qual seria o atraso ou adianta-
mento máximo?
2. Determine a reta tangente à curva 
 no ponto a = (0; 1; 1), onde 
 é a interseção das superfícies S1 e S2:
S1 =
�
(x; y; z) 2 R3 = ex � z = 0	 ; S2 = �(x; y; z) 2 R3 = z = 2y � 1	 :
3. Determine o plano tangente à superfície S no ponto p:
(a) S : x ln (y)� xz + 2 = 0; p = (1; 1; 2) :
(b) S : xy = z2 + 18; p = (2; 4; 0) :
4. Determine o(s) ponto(s) da parábola x2 � 2y = 6 nos quais a reta normal é paralela à reta 3x� y = 1.
5. Determine o máximo da função f no plano K:
f (x; y; z) := 49� x2 � y2; K : x+ 3y � 10 = 0:
6. Determine o valor máximo da função g na interseção das superfícies S1 e S2
g (x; y; z) = x+ 2y + 3z; S1 : x� y + z = 1; S2 : x2 + y2 = 1:
7. Determine os pontos críticos da função h na região D:
h (x; y) = x3 � 3y2 � 6xy + 7; D = �(x; y) 2 R2 = x2 + y2 < 9	 :
8. Determine o ponto da seguinte superfície z = 10� 2y + x2 que está mais próximo da origem.
9. Determine o volume da maior retângulo com arestas paralelas aos eixos cartesianos e inscrito na elipse
x2 + 4y2 = 4.
10. Dados a; b; c > 0 tais que a+ b+ c = 1, determine os valores de x; y; z > 0 com x+ y+ z = 1 que maximizam
a função
W (x; y; z) = a lnx+ b ln y + c ln z:
11. Dentre os paralelepípedos com base no plano-xy e contidos na região do primeiro octante limitada pelo
parabolóide z = 10� x2 � y2, qual é o que possui volume máximo?
12. Uma empresa fabrica caixas de papelão reforçadas com plástico no fundo. O custo do metro quadrado de
papelão comum é R$0; 50, enquanto o custo do metro quadrado da composição de papel e plástico usada no
fundo é R$2; 00. Determine as dimensões da caixa com 6m3 que tem o menor custo de produção.
Bons Estudos!
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