risco varian

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Universidade Federal de Santa Catarina
From the SelectedWorks of Sergio Da Silva
2009
Ativos de Risco
Sergio Da Silva, Federal University of Santa Catarina
Available at: https://works.bepress.com/sergiodasilva/142/
 
Ativos de Risco Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 13 
 
Modelo média-variância 
Como o mercado de seguro, o mercado de ações também serve para alocar o risco. O modelo 
de utilidade esperada pode ser adaptado para o mercado de ações através do modelo média-
variância. Em vez de considerar as preferências do consumidor dependendo de toda a 
distribuição de probabilidade da riqueza w em cada resultado, agora consideramos apenas sua 
média e variância. 
 A variável aleatória w pode apresentar valores sw ( 1,...,s S= ) com probabilidades 
sπ . A média é dada por: 
 
 
1
S
w s s
s
wµ π
=
=∑ . (1) 
 
A variância é: 
 
 2 2
1
( )
S
w s s w
s
wσ π µ
=
= −∑ . (2) 
 
O desvio padrão é: 
 
 2w wσ σ= . (3) 
 
A média da distribuição mede o valor em torno do qual a distribuição está centrada e a 
variância mede como a distribuição se dispersa ao redor da média. O desvio-padrão fornece, 
então, uma medida de risco (Figura 1). 
 Se as preferências puderem ser caracterizadas por médias e variâncias, então a função 
utilidade média-variância representará as preferências da mesma forma que o modelo de 
utilidade esperada. No caso, 
 
 2( , )w wu µ σ (4) 
 
ou 
 
 ( , )w wu µ σ . (5) 
 
Para o consumidor avesso ao risco, wµ ↑ será bom e 2wσ ↑ será ruim. 
 
Exemplo 1: Investimento em uma carteira de ativos (portfólio). O problema para o 
consumidor é dividir sua riqueza entre: (1) um ativo sem risco (letras do Tesouro), que rende 
a taxa de retorno fixa fr independentemente do que ocorra e (2) um ativo de risco (fundo 
mútuo de ações), que rende a taxa média de retorno aleatória mr : 
 
 
1
S
m s s
s
r mπ
=
=∑ (6) 
 
O retorno será sm caso ocorra o estado s com probabilidade sπ . Representamos por mσ o 
desvio-padrão do retorno. Além disso, supomos que, 
 
m fr r> , (7) 
 
porque um consumidor avesso ao risco não escolherá o ativo de risco se este apresentar uma 
taxa de retorno mais baixa do que a do ativo sem risco. 
 
 Investindo a parcela x do total de sua riqueza w no ativo de risco ( 0 1x≤ ≤ ) e 1 x− 
no ativo sem risco, o retorno esperado xr da carteira do consumidor será: 
 
 
1
( (1 ) )
S
x s f s
s
r xm x r π
=
= + −∑ 
 
 
1 1
(1 )
S S
x s s f s
s s
r x m x rπ π
= =
= + −∑ ∑ 
 
Considerando (6) e o fato 
 
 
1
1
S
s
s
π
=
=∑ (8) 
 
então 
 
 (1 )x m fr xr x r= + − . (9) 
 
Assim, o retorno esperado da carteira é a média ponderada dos retornos mr e fr . 
 Já a variância do retorno esperado da carteira é: 
 
 
22
1
(1 )
S
x s s f x
s
xm x r rσ π
=
 = + − − ∑ . (10) 
 
Considerando (9): 
 
 
22
1
(1 ) ( (1 ) )
S
x s s f m f
s
xm x r xr x rσ π
=
 = + − − + − ∑ 
 
 ( )22
1
S
x s s m
s
xm xrσ π
=
= −∑ 
 
( )22
1
( )
S
x s s m
s
x m rσ π
=
= −∑ 
 
2 2 2
1
( )
S
x s s m
s
x m rσ π
=
= −∑ 
 
2 2 2
1
( )
S
x s s m
s
x m rσ π
=
= −∑ . (11) 
 
 A definição (2) para os retornos é dada por: 
 
 2 2
1
( )
S
m s s m
s
m rσ π
=
= −∑ . 
 
Substituindo esta expressão em (11): 
 
 2 2 2x mxσ σ= (12) 
 
 2 2x mxσ σ= 
 
 x mxσ σ= . (13) 
 
 Por (9), se xx r↑→ ↑ e, por (13), se xx σ↑→ ↑ . Portanto, aumentando a parcela x da 
riqueza w investida no ativo de risco, o consumidor aumentará o retorno esperado da carteira, 
mas também aumentará o risco esperado. 
 No caso extremo em que 1x = , por (9) x mr r= e, por (13), x mσ σ= . Quando o 
consumidor investe toda sua riqueza w no ativo de risco, sua carteira terá retorno esperado e 
risco dados por ( , ) ( , )x x m mr rσ σ= . No outro extremo em que 0x = , por (9) x fr r= e, por (13), 
0xσ = . Quando o consumidor investe toda sua riqueza no ativo sem risco, sua carteira terá 
retorno esperado e risco dados por ( , ) ( ,0)x x fr rσ = . Estes pontos extremos definem a reta 
orçamentária da Figura 2. Ao longo dela, o retorno pode ser aumentado de fr até mr , com o 
custo do aumento do risco de 0 até mσ . 
 Na Figura 2, a 
 
inclinação
0
m f m f
m m
r r r r
σ σ
− −= =− . (14) 
 
Para 0 1x< < , a carteira de ativos conterá um pouco de cada ativo. 
 
 Como o consumidor é avesso ao risco, um retorno maior é preferível, enquanto um 
risco maior, não. Portanto, risco é um “mal” e as curvas de indiferença possuem inclinação 
positiva. O portfólio sem os extremos 0x = e 1x = garante a convexidade das curvas de 
indiferença. 
 A inclinação da curva de indiferença fornece a TMS , mostrando como risco pode ser 
substituído por retorno entre carteiras indiferentes entre si: 
 
 
U
U
r
TMS σ
∆∆
∆∆
= . (15) 
 
No equilíbrio, a TMS se iguala à inclinação da reta orçamentária: 
 
 m f
m
r r
TMS σ
−= . (16) 
 
 Se muitos consumidores puderem negociar seus riscos, a TMS de cada consumidor 
acabará se igualando ao preço do risco do mercado p . (Note que a quantidade do risco é dada 
por mσ ). No equilíbrio, então, 
 
 m f
m
r r
p TMS σ
−= = . (17) 
 
Exemplo 2. Considere outra carteira y de maior retorno esperado médio e maior risco. No 
caso em que, por exemplo, mr ↑ e mσ ↑ menos, a reta orçamentária gira para a esquerda em 
torno do valor fixo de fr . Uma curva de indiferença mais alta seria agora factível e a escolha 
do consumidor será pela nova carteira y , em detrimento da carteira x . 
 
Avaliação do risco 
 
Para muitos ativos, o desvio-padrão mσ é incapaz de medir a quantidade de risco quandoa 
utilidade do consumidor depende da média e da variância da riqueza de todos os ativos. O 
valor do ativo dependerá mais de como ele se relaciona com os outros do que da sua própria 
variação. Um ativo que se relaciona negativamente com os outros contribuirá para reduzir o 
risco total. 
 
Exemplo 3. O consumidor pensa em comprar dois ativos A e B e espera que 
 
 
$10
 valerá situação 1
$5 
 $5 situação 2 valerá
$10
A
B
−
−
 
 
 
No caso, A e B são negativamente correlacionados. Supondo que cada resultado seja 
igualmente provável, o valor médio de cada ativo será igual a $2.50: 
 
 1 1( ) 10 ( 5) 5 2.5 $2.50
2 2
E A = + − = − = 
 
 1 1( ) ( 5) 10 2.5 5 $2.50
2 2
E B = − + = − + = . 
 
Se o consumidor tiver que optar por apenas um ativo, e não se importar com o risco, ele será 
indiferente entre qualquer um dos dois desde que pague um preço de até $2.50. Se ele for 
avesso ao risco, vai querer pagar um preço abaixo de $2.50. Se puder diversificar, na situação 
1 em que $10A = e $5B = − , ele ganhará $5. Na situação 2 em que $5A = − e $10B = , ele 
ganhará $5. Portanto, se o consumidor puder ter os dois ativos, a quantia máxima que desejará 
pagar por ambos será maior: $5. Portanto, pagando o mesmo retorno médio do caso sem 
diversificação ($2.50), o consumidor terá menor risco. A diversificação reduz o risco. 
 
 O risco da ação i em relação ao risco do mercado de ações como um todo é chamado 
de “beta” da ação: 
 
 quantidade de risco da ação 
quantidade de risco do mercado de açõesi
iβ = . (18) 
 
Em particular, iβ é dado pela covariância do retorno da ação ir com o retorno do mercado r 
dividida pela variância do retorno do mercado r : 
 
 cov( , )
var( )
i
i
r r
r
β = . (19) 
 
Com 1iβ = a ação apresenta o mesmo grau de risco do mercado. Neste caso, se o mercado 
subir em 10%, a ação i subirá, em média, em 10%. Mas se a ação tiver um 1iβ < , quando o 
mercado subir em 10%, ela subirá em menos de 10%. 
 
Custo do risco 
 
Depois de se ajustar para se levar em conta o risco, todos os ativos fornecerão a mesma taxa 
de retorno (Capítulo 11). Se a carteira do consumidor incluir todos os ativos de risco do 
mercado, mr passa a ser o retorno médio esperado do mercado e mσ passa a ser o risco do 
mercado. Como iβ é a quantidade de risco do ativo i em relação à quantidade de risco do 
mercado, a quantidade total de risco do ativo i tem que ser multiplicada pelo risco do 
mercado mσ . Então, 
 
 quantidade total de risco do ativo i mi βσ= . (20) 
 
 Ajustar para levar em conta o risco significa multiplicar a quantidade total do risco do 
ativo i pelo preço do risco (equação (17)) para encontrar o custo do risco: 
 
custo do risco i m pβσ= . 
 
Considerando (17): 
 
 custo do risco m fi m
m
r rβσ σ
−= . 
 
custo do risco ( )i m fr rβ= − . (21) 
 
 Já que, depois de se ajustar para se levar em conta o risco, todos os ativos possuirão, 
em equilíbrio, a mesma taxa de retorno, para dois ativos i e j : 
 
 ( ) ( )i i m f j j m fr r r r r rβ β− − = − − . (22) 
 
Supondo que o ativo j seja o ativo sem risco, j fr r= e (22) fica sendo 
 
 ( ) ( )i i m f f f m fr r r r r rβ β− − = − − . (23) 
 
Mas, por definição, 
 
 0fβ = . (24) 
 
(24) em (23): 
 
 ( )i i m f fr r r rβ− − = 
 
ou 
 
 ( )i f i m fr r r rβ= + − . (25) 
 
Portanto, o retorno esperado de qualquer ativo se iguala à taxa de retorno sem risco mais o 
custo do risco. O custo do risco é, então, o retorno adicional que o consumidor exige para 
correr o risco contido no ativo de risco. 
 A equação (25) é o principal resultado do modelo CAPM (Capital Asset Pricing 
Model), e é chamada de reta do mercado. 
 A equação (25) pode ser usada para plotarmos ir e iβ em um gráfico (Figura 4). Note 
que fr é o intercepto vertical e m fr r− é a inclinação da reta do mercado. 
 Como, por definição, 
 
 1 0
0
i
p pr
p
−= , (26) 
 
o valor esperado de ir será dado pelo valor esperado de 1 00
p p
p
− . 
 
 No equilíbrio, todos os ativos se encontrarão sobre a reta do mercado. Porém, fora do 
equilíbrio, por (25), se o retorno esperado ajustado para considerar o risco for maior do que o 
retorno sem risco, isto é, 
 
 ( )i i m f fr r r rβ− − > , 
 
os consumidores desejarão comprar o ativo → 1 0
00
p p
ipp r
− ↑
↑↑→ ↓→ ↓ até encontrar a reta do 
mercado. 
 
Exemplo 4: Value at Risk. Se um banco que possui uma carteira de ações desejar estimar a 
probabilidade de 5% de a carteira perder valor em mais de um milhão em determinado dia, 
dizemos que a carteira possui um “valor no risco” com 5% de chance de perder um milhão em 
um dia. 
 O VaR costuma ser computado para um dia ou duas semanas usando probabilidades 
de 1% ou 5%. Calcular o VaR é útil por impor uma metodologia de estimar o risco que deixa 
as instituições que o computam em estado de alerta. 
 O cálculo do VaR depende da distribuição de probabilidade do valor da carteira, que 
depende da correlação dos ativos da carteira. O valor dos ativos costuma subir ou cair em 
conjunto: são positivamente correlacionados. A distribuição dos preços dos ativos também 
costuma ter “caudas grossas”, de modo que podem ocorrer movimentos extremos dos preços. 
Isso significa que, para computar o VaR, é necessária uma série longa de preços, o que não é 
factível para ativos novos e exóticos. 
 Em retrospecto, não surpreende que, no final de 2008, muitas instituições financeiras 
tenham descoberto que suas estimativas do VaR, baseadas em séries históricas em que os 
preços eram estáveis, estavam fundamentalmente incorretas: os preços dos ativos caíram 
muito mais do que o estimado. 
 
Exemplo 5: Fundos mútuos. São organizações que captam dinheiro de investidores 
individuais para comprar e vender ações, retornando os lucros para os investidores. Dados 
históricos de ir e iβ de fundos mútuos mostram que fundos com alto ir também apresentam 
alto risco (Figura 5). Os retornos são elevados para compensar o alto risco. 
 Os fundos-mútuos podem ser comparados com um fundo-índice, composto das ações 
constituintes de algum índice como, por exemplo, o índice S&P500. Este índice baseia-se no 
desempenho médio de 500 ações negociadas na bolsa de Nova Iorque e seu iβ é, por 
definição, igual a 1. 
 Na Figura 5, em cima da reta do mercado que liga ( ,0)fr do ativo sem risco a ( ,1)mr 
do fundo-índice, o consumidor pode escolher qualquer fundo-mútuo, escolhendo quanto de 
risco quer correr ( iβ ) aceitando o correspondente retorno ( ir ). Os fundos com pontos acima 
da reta do mercado na Figura 5 mostram fundos que apresentam desempenho superior à 
média do mercado, o que é muito difícil de ocorrer. O típico é o desempenho do fundo-mútuo 
ficar abaixo da reta. 
 
 
© Sergio Da Silva 2010 
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