Aula 08 ENE005

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Análise de Sistemas 
Elétricos de Potência 1
Representação em PU
UNIVERSIDADE FEDERAL
DE JUIZ DE FORA
P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G om e s
E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b r
E N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3
1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;
2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;
3. Revisão de Circuitos Trifásicos Equilibrados e 
Desequilibrados;
4. Revisão de Representação “por unidade” (PU);
5. Componentes Simétricas;
6. Representação Matricial da Topologia de Redes (Ybarra, 
Zbarra);
7. Cálculo de Curto-circuito Simétrico e Assimétrico;
Ementa Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF
2
Introdução
� Sistema em Valor Percentual ou Por Unidade (ou PU) 
� é uma forma de expressar as grandezas elétricas em um 
circuito de forma normalizada, com base em valores pré-
determinados.
� Exemplo: 
� Para uma potência base igual a 100MVA
� Uma potência de 80MVA terá valor de 0,80pu ou 80% 
(=80MVA/100MVA)
� Vantagens:
� Simplificação dos cálculos (Normalização)
�Melhor sensibilidade entre grandezas
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
3
Valores em PU
� Em Análise de Redes, os valores percentuais ou PU são 
determinados a partir das duas relações físicas a seguir:
� Assim, duas grandezas são escolhidas como valores bases e 
as outras duas são calculadas em relação as bases adotadas.
� Por convenção são escolhidas a tensão e a potência.
� Em SEP as bases geralmente são os valores nominais.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
4
IVS
IZV
⋅=
⋅=
Impedância
Corrente
Tensão
Potência
Valores Base
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
5
base
base
base V
SI =
Corrente base: 
base
base
base
base
base S
V
I
VZ
2
==
Impedância base: 
basebase SeV
Cálculo das Grandezas em PU
� Tensão em PU:
� Potência em PU:
� Impedância em PU:
� Corrente em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
6
)( Vpu
V
V
v
base
−=
)( VApu
S
S
s
base
−=
)( Ω−⋅== pu
V
SZ
Z
Z
z
base
base
base
2
)( Apu
S
VI
I
Ii
base
base
base
−⋅==
Sistema PU com grandezas fasoriais
� Seja a tensão fasorial em Volt:
� Em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
7
mr VjVVV .+=∠= θ&
base
m
base
r
base
pu V
Vj
V
V
V
VV .+=∠= θ&
Sistema PU com grandezas fasorias
� A potência base adota é sempre a potência aparente,
� Então:
� Obs: 
� E se fosse adotado uma base para o P e outra para o Q?
� Digamos que desejamos calcular:
� Teríamos:
� Portanto, somente a potência aparente é usada como base.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
8
pupu
basebasebase
pu QjPS
Qj
S
P
S
SS .. +=+=∠= θ&
22 QPS +=
22
22
basebasebase QP
QP
S
S
s
+
+
==
22
22
qpQ
Q
P
P
basebase
+=





+





≠
Sistema PU com grandezas fasorias
� Portanto:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
9
)(
)(
VA
VA
S
SS
base
pu =
)(
)(
VA
W
S
PP
base
pu =
)(
)(
VA
VAr
S
QQ
base
pu =
basebase
pu Z
Z
Z
Z
Z ==
&
base
pu Z
RR =
base
pu Z
XX =
Exercício 4.0.1
� Seja um sistema do tipo gerador-linha-carga. 
� Calcular, em PU, o circuito equivalente e a tensão 
necessária para o gerador manter a tensão na carga 
em 200V. 
� Sabe-se que a carga absorve 100 kVA com fp=0,8 
indutivo e que a impedância da linha é (0,024+j 
0,08)Ω.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
10
Solução: Exercício 4.0.1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
11
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
12
Solução: Exercício 4.0.1
Exercício p/ Aluno
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
13
Seja um sistema do tipo gerador-linha-carga. A tensão no 
gerador é 220 V/60 Hz. A carga é de impedância constante 
e absorve 10 kW, com fator de potência 0,7 indutivo quando 
alimentada por tensão de 200 V. A impedância da linha é 1,28 
+ j0,80 ohms.
Calcule: 
(a) A tensão na carga;
(b) A potência fornecida pelo gerador.
Adote: Tensão base = 200 V e Potência base = 10 kVA
Dicas de Solução: Exercício p/ Aluno
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
14
Dicas de Solução: Exercício p/ Aluno
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
15
Como continuar?
- Calcular a corrente fornecida pelo gerador;
- Calcular a tensão na carga;
Mudanças de Base
� Normalmente os parâmetros de um equipamento 
estão com base diferente da adotada no sistema, o 
que requer mudança de base.
� Mudança de Base de Tensão;
� Mudança de Base de Potência;
� Mudança de Base de Corrente;
� Mudança de Base de Impedância.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
16
Mudança de Base de Tensão
� A mudança de base de potência é feita de forma análoga
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
17
0
0
base
pu V
V
v = 0011
.. basepubasepu VvVv =
Valor PU base antiga (Tensão)
Relação entre as bases
1
1
base
pu V
V
v =
Mudança de Base
11
. basepu VvV =
00
. basepu VvV =
1
0
01
.
base
base
pupu V
V
vv =
Valor PU base nova (Tensão)
Mudança de Base de Corrente
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
18
0
0
base
pu I
Ii = 00
. basepu IiI =
1
1
1
base
base
base V
S
I =
Valor PU base antiga (corrente)
Valor PU base nova (corrente)
Relação entre as bases
1
1
base
pu I
Ii = 11
. basepu IiI =
0011
.. basepubasepu IiIi =
0
0
0
base
base
base V
S
I =
0
0
0
1
1
1
..
base
base
pu
base
base
pu V
Si
V
Si =
0
1
1
0
01
..
base
base
base
base
pupu V
V
S
Sii =
Mudança de Base
Mudança de Base de Impedância
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
19
0
0
base
pu Z
Z
z = 00
. basepu ZzZ =
1
21
1 )(
base
base
base S
V
Z =
Valor PU base antiga
Valor PU base nova
Relação entre as bases
1
1
base
pu Z
Z
z = 11
. basepu ZzZ =
0011
.. basepubasepu ZzZz =
0
20
0 )(
base
base
base S
V
Z =
0
20
0
1
21
1 )(
.
)(
.
base
base
pu
base
base
pu S
V
z
S
V
z =
0
1
21
20
01
.
)(
)(
.
base
base
base
base
pupu S
S
V
V
zz =
Mudança de Base
Circuito PU de Sistema Trifásico
� Seja um sistema trifásico simétrico equilibrado com 
carga equilibrada:
� Adotando como base: 
� Tensão de fase e Potência Monofásica:
� Então:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
20
fasefasefase IZV .=
fasefasefase IVS .=
faseSS .33 =φ
linhalinhafase IVS .3
1
=
fasebasefasebase SV e 
fasebase
fasebase
fasebase V
S
I =
fasebase
fasebase
fasebase
fasebase
fasebase S
V
I
V
Z
2
==
Circuito PU de Sistema Trifásico
� Considerando o sistema em Y e adotando como base:
� Tensão de Linha e Potência Trifásica:
� Sabendo que:
� Portanto:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
21
φ3 e baselinhabase SV
fasebasebasefasebaselinhabase SSVV .3 e .3 3 == φ
fasebase
fasebase
fasebase
fasebase
fasebase
linhabase
base
linhabase IV
S
V
S
V
S
I ====
.3.3
.3
.3
3φ
( )
fasebase
fasebase
fasebase
fasebase
fasebase
base
linhabase
linhabasebase
linhabase
linhabase
linhabase
base
Z
S
V
S
V
S
V
VS
V
I
V
Z
====
===
22
3
2
3
.3
.3
3
33
φ
φ
Igualdade de valores PU (fase x linha)
� Conseqüentemente, em valores em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
22
fasepufasebase
fase
fasebase
fase
linhabase
linha
linhapu
V
V
V
V
V
V
VV ====
.3
.3
 
3
3
3
3.
 
3.
fase fase
pu pu fase
base base fase base fase
S S S
S S
S S S
ϕ
ϕ
ϕ
= = = =
fasepu
fasebase
fase
linhabase
linha
linhapu
I
I
I
I
II === 
pu
fasebasebase
pu ZZ
Z
Z
ZZ === 
Circuito PU de Sistema Trifásico
� Escolha de base em SEP:
� Tensão de Fase e Potência Monofásica (de Fase), ou
� Tensão de Linha e Potência Trifásica.
� A relação em PU:
� Note que a relação de igualdade acima só diz respeito ao 
módulo das variáveis. Portanto, para carga em Y a relação 
de ângulo entre a tensão de fase e de linha possui uma rotação 
de 30º. Exemplo com seqüência direta:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
23
fasepulinhapu VV = fasepupu SS =φ3 fasepulinhapu II = pupu ZZ =
030∠= fasepulinhapu VV
&&
Igualdade de valores PU
� Observe que as igualdades são válidas para cada variável em PU 
na sua própria base. Exemplo: 
� Termos da direita 
� Tensão de Fase e Potência Monofásica como Bases.
� Termos da esquerda
� Tensão de Linha e Potência Trifásica como Bases.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
24
fasepulinhapu VV = fasepupu SS =φ3 fasepulinhapu II = pupu ZZ =
Exercício 4.0.2
� Três impedâncias de 30 < 60 ohms são conectadas 
em delta e alimentadas por uma tensão de 220 V. 
Calcule as correntes de fase, de linha e a potência 
complexa absorvida do sistema utilizando p.u.
� Resolva considerando como valores base os dois grupos:
� (a) Tensão de Fase e Potência Monofásica (Arbitre 1 kVA)
� (b) Tensão de Linha e Potência Trifásica.
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
25
Exercício 4.0.3
� Um Gerador Trifásico Simétrico alimenta por meio de uma 
linha uma carga trifásica equilibrada em Y. Sabendo:
� Impedância da Linha: (0,05 + j 0,15) Ω;
� Tensão de Linha na Carga: 220V, 60Hz;
� Potência Absorvida pela carga: 60kW com FP=0,60 indutivo.
� Calcule usando PU:
(a) Circuito unifilar em PU;
(b) Tensão no gerador;
(c) O tamanho do banco de capacitor (em Y) para que o FP na barra de 
carga seja unitário, mantendo-se a tensão de carga em 220V.
(d) Para a condição do problema acima, qual a nova tensão do 
gerador?
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
26
Circuito em PU de um Transformador
� O transformador possui uma relação de tensão entre 
os terminais primários e secundários.
� Portanto a tensão base adotada no circuito onde está 
conectado o enrolamento primário do trafo difere da 
tensão base do circuito secundário.
� Exceto se a relação do trafo for de 1:1
� Dados Nominais de um Transformador:
� Potência Nominal Aparente (MVA, kVA, VA)
� Tensão Nominal do Enrolamento de Alta Tensão (kV, V)
� Tensão Nominal do Enrolamento de Baixa Tensão (kV, V)
� Impedância Equivalente ou de Curto-Circuito (% , PU)
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
27
Circuito Equivalente de um Transformador
� Considerando o trafo ideal com a relação:
tem-se:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
28
S
P
S
P
N
N
V
V
=
P
S
S
P
N
N
I
I
=
2








=
S
P
S
P
N
N
Z
Z
S
P
S
P
V
V
N
N
≅
Valores V-PU em Circuito com Trafo
� Seja um trafo ideal com relação de transformação N1:N2
� Seja Vbase a tensão base no primário 
� e V’base a tensão base no secundário.
� Fazendo:
� Sabemos que: logo: 
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
29
pu.emsecundáriatensão
,puemprimárioaoaplicadatensão
'
2
2
1
1
==
==
base
base
V
V
v
V
V
v
2
1
2
1
N
N
V
V
=
1
2
12 N
NVV =
� Como queremos que a relação de espiras, em pu, seja 1:1
� donde 
Valores V-PU em Circuito com Trafo
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
30
21 vv =
'1'
1
2
1'
2
2
1
1
1
..
1
..
baseNA
NB
basebase
base
VV
VV
VN
NV
V
V
v
V
V
v
===
=
'
'1
1 1
..
base
base
NB
NA
baseNA
NB
base
V
V
V
V
VV
VV
V
V
=
=
Valores VA-PU em Circuito com Trafo
� Sabemos que em um trafo ideal a potência que entra 
no primário é a mesma que sai no secundário. 
� Então:
� Ou seja:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
31
)pu( 
(VA) 
21
21
ss
SS
=
=
basebase
base
base
base
base
SS
S
S
Ss
Ss
S
S
'
 
'
1 
'.
.
2
1
2
1
=
=∴=
Para termos em pu potências iguais no primário e no 
secundário as bases deverão ser iguais.
Valores A-PU em Circuito com Trafo
� Em um trafo ideal a relação das correntes é:
� As correntes base são:
� Portanto as correntes em PU são:
� Ou seja, em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
32
1
2
1
2
2
1
V
V
N
N
I
I
==
2
1
1
2
1
12 V
VI
N
NII ⋅=⋅=
base
base
base V
SI =
2
1
2
1
'
'
'
V
VI
V
V
V
S
V
SI base
base
base
base
base
base ⋅=⋅==
baseI
Ii 11 =
( )
( ) 1
1
21
211
'
2
2 iI
I
VVI
VVI
I
Ii
basebasebase
====
21 ii =
Valores Ω-PU em Circuito com Trafo
� Relação das impedâncias transformador:
� Impedâncias Base:
� Impedâncias em PU:
� Ou seja, em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
33
2
1
2








=
NA
NB
V
V
Z
Z
base
base
base S
VZ
2
=
222
'
2'
'






=





==
NA
NB
base
NA
NB
base
base
base
base
base V
VZ
V
V
S
V
S
VZ
2
12 







=
NA
NB
V
V
ZZ
21
1
1
base
base
base V
SZ
Z
Z
z ==
( )
( ) 1212
2
1
'
2
2 zV
SZ
VVZ
VVZ
Z
Z
z
base
base
NANBbase
NANB
base
====
21 zz =
Representação de Trafo Ideal em PU
� Em PU o trafo passa a ser um transformador com 
relação 1:1
� Ou seja:
� Onde os valores base são dados por:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
34
21 zz =21 ii =21 vv =
basebase VN
NV
1
2
' =
basebase SS ='
21 ss =
Representação de Trafos Reais em PU
� Em grandezas reais:
� Em PU:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
35
Representação de Trafos Reais em PU
� Geralmente:
� O ramo magnetizante é desprezado;
� As impedâncias série são concentradas.
� Assim, o transformador real em PU se torna:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
36
Mudança de Base da Impedância do Trafo
� Normalmente, a impedância série do trafo é dado em 
valor percentual ou PU em função de seus valores 
nominais.
� O problema é que geralmente a potência e tensões 
nominais do equipamento diferem das adotadas pelo 
sistema
� Neste caso exige-se um mudança de base de 
Impedância:
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
37
equip
sistema
sistema
equip
equip
base
Nominal
base
Nominal
pupu S
S
V
V
ZZ
2








=
Rede com Transformadores
� Numa rede com vários níveis de tensão definidos 
pelos transformadores existentes, necessita-se da 
adoção de várias bases para atender os níveis de 
tensão do sistema.
� As bases deverão ser corretamente escolhidas para que, em 
PU, os trafos tenham relação 1:1
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
38
Rede com Transformadores
1. Escolher uma potência base para todo o sistema;
2. Estabelecer os trechos delimitados pelos trafos;
3. Escolher a tensão base para um determinado trecho;
4. A partir desta tensão base calcular seqüencialmentea tensão base dos 
trechos adjacentes respeitando-se a relação de transformação do trafo
de ligação dos trechos;
5. Calcular a corrente e a impedância base de cada trecho;
6. Calcular as impedâncias em PU dos componentes de rede;
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
39
22 : TS
T
P VV 11 : TS
T
P VV
Definida
VVbase =''
1
1
'.'' T
S
T
p
basebase V
V
VV =2
2
'. T
S
T
p
basebase V
V
VV =
Trecho A Trecho CTrecho B
40
Exemplo: Rede com Transformadores
41
Exemplo: Rede com Transformadores
42
Exemplo: Rede com Transformadores
Exercício 4.0.4 (p.u. trafo monofásico)
� Um gerador monofásico alimenta, por meio de uma linha, 
um transformador, o qual alimenta, por outra linha, uma 
carga. 
� A impedância da linha que liga o gerador ao trafo: (2+j4)Ω;
� A impedância de linha que liga o trafo à carga: (290 + j970) Ω;
� A potência absorvida pela carga: 1MVA, fator de potência 0,8 
indutivo;
� A tensão aplicada à carga: 200kV;
� Os dados de chapa do transformador: 13,8 – 220kV; 1,5MVA; 
req=3% e xeq=8%.
� Determinar o circuito equivalente em PU, a tensão e a 
corrente em todos os pontos do circuito em PU e em valores 
reais . 
An. de Sist. Elét. de Potência 1 (4.0)
43
Transformador de 3 enrolamentos
44
-
45
�� =
1
2
��
 + ��� − �
�
�
 =
1
2
��
 + �
� − ���
�� =
1
2
��� + �
� − ��
Transformador de 3 enrolamentos
46
Exemplo: Um transformador de 3 enrolamentos possui os seguintes valores de 
impedância:
��
 = 0.07 pu nas bases do primário
��� = 0.09 pu nas bases do primário
�
� = 0.06 pu nas bases do terciário
Potência nominal: 10/10/7,5 MVA
Tensões nominais: 66/13.2/2.3 kV
Colocar o trafo na base de 10 MVA
�
� = �
�
���.
���
�
����
���
�
��� = 0,06.
10
7,5
= 0,08��
��
 = 0.07 pu
��� = 0.09 pu nas bases mesmas bases
�
� = 0.08 pu
Transformador de 3 enrolamentos
47
�� =
1
2
��
 + ��� − �
� =
1
2
0,07 + 0,09 − 0,08 = 0,04	��
�
 =
 
!
��
 + �
� − ��� = 
 
!
0,07 + 0,08 − 0,09 = 0,03	��
�� =
 
!
��� + �
� − ��
 =
 
!
0,09 + 0,08 − 0,07 = 0,05	��
��
 = 0.07 pu
��� = 0.09 pu nas bases mesmas bases
�
� = 0.08 pu
Transformador de 3 enrolamentos