LISTA 2 c/ Resolução - CÁLCULO II - UFRGS - 2017/02 - Profª L. G. Mendes

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1) Considere a curva g(t) = (t cos(t) , t sin(t) , t^2), t nos Reais 
e o paraboloide F(x,y,z) : z = x^2 + y^2, que contém a curva g(t)
Confira que vale 
2) Determine o(s) instante(s) onde é mínima a norma da velocidade de g(t)
 3) Determine o(s) instante(s) onde a aceleração de g(t) é ortogonal ao plano
tangente de S .
4) O importante conceito de curva geodésica pode ser definido do seguinte modo.
A curva c(t) é uma geodésica de uma superfície se em todos os instantes t 
a aceleração de c(t) é ortogonal ao plano tangente de S.
Prove que se c(t) é uma geodésica de S então a norma da velocidade de c(t)
tem que ser constante.
5) Voltando à notação da Questão 1), calcule a equação do plano tangente do
paraboloide S no ponto g( ) 
6) Considere a função f(x,y) = x^2-y^3
Esboce os vetores gradiente de f(x,y) nos pontos (0,0), (-1,1) (-1,2),(1,1),(1,2)
(-1,-1),(1,-1) e esboce a curva de nível f(x,y)=0. 
7) O ponto crítico de f(x,y) é degenerado ou não-degenerado ? Se der para usar nele 
o Teste da Hessiana, classifique-o como mínimo/máximo ou séla. Mas se não 
puder usar o Teste da Hessiana, classifque-o com base na Questão 6.
8) Determine o(s) ponto(s) do paraboloide z = x^2+y^2 onde o plano tangente é 
paralelo ao plano é paralelo ao plano: 3 x + 5 y + 2 z + 100=0
9) Se a altura z de uma montanha é dada por z = e^(x^2-y^2) + x^3-y^4
e se a posição de um montanhista é (x,y) = (1,1), qual o vetor unitário que indica 
a direção/sentido de decrescimento máximo da altura ? Determine-o.
10) Considere a espiral infnita e(t) = (e^(-t) cos(t) , e^(-t) sin(t) ), para t 
( a semireta). Faz sentido falar do comprimento dessa espiral infinita ? Se faz,
calcule o comprimento.
11) Determine o(s) ponto(s) criticos de f= 4 x^2 - 3 y^2 + 6 x y +x - 8 y+2
e classifique-o(s) com o Teste da Hessiana