Lista de exercícios Paulo Boulos e Resolução

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO -DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
GEOMETRIA ANALI´TICA - 2016.2
PROFESSOR: EDGAR CORREˆA DE AMORIM FILHO
MONITOR: YURI FALCA˜O BASTOS
RESOLUC¸A˜O 5o LISTA DE EXERCI´CIOS (SEC¸A˜O 1: Elipse, Hipe´rbole e Para´bola)
Elipse, Hipe´rbole e Para´bola
Livro: Geometria Anal´ıtica - um tratamento vetorial → Cap. 22: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 19, 20, 21, 22, 26, 30,
31, 32, 34, 37, 38, 39, 43, 44, 45, 128, 129.
22 - 6) Nos casos em que a equac¸a˜o dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados,
especifique-o e calcule: a distaˆncia focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor. Fac¸a
alguns esboc¸os, a ma˜o livre e com aux´ılio do computador, para comparar.
a) 4x2 + 169y2 = 676
d) 8x2 + 3y2 = 24
g) 5x2 + 9y2 = 45
j) 16x2 − 4 + 4y2 = 0
b) x2 + 2y2/3 = 8
e) (3x/5)2 + y2 = 9
h) 3x2 + 5y2 = 15
l) (1 +m2)x2 + y2
c) x2/4 + y2/2 = 0
f) x2 − 4y2 = 1
i) 4x2 + 9y2 + 1 = 0
m) x2 +m2y2 = m
22 - 7) Escreva a equac¸a˜o reduzida da elipse, nos casos:
a) O centro e´ O , os focos em Ox , o eixo menor mede 6 , e a distaˆncia focal e´ 8 .
b) O centro e´ O , os focos esta˜o em Oy , o eixo maior mede 10 , e a distaˆncia focal e´ 6 .
c) Os focos sa˜o (0; 6) e (0;−6) , e o eixo maior mede 34 .
d) Os focos sa˜o (5; 0) e (−5; 0) e um dos ve´rtices e´ (−13; 0) .
e) Os focos sa˜o (−1; 0) e (1; 0) e um dos ve´rtices e´ (0;√2) .
f) As extremidades do eixo menor sa˜o (0; 4) e (0;−4) , e a amplitude focal e´ 8/5 .(?)
g) Os focos sa˜o (0; 2
√
3) e (0;−2√3) , e a amplitude focal e´ 2.(?)
h) O centro e´ a origem, (0;−√40) e´ um foco, e o ponto (√5; 14/3) pertence a` elipse.
22 - 8) Em cada caso, determine os ve´rtices, os focos, e as medidas dos eixos maior e menor da Elipse.
a) E: 16x2 + 25y2 = 400
c) E: 50− y2 − 2x2 = 0
b) E: x2 + 9y2 = 9
d) E: 3x2 + 4y2 − 12 = 0
22 - 10) A elipse E tem centro O , focos em um dos eixos coordenados, e conte´m os pontos A e B. Em cada caso,
escreva uma equac¸a˜o reduzida de E e determine os focos.
(a) A = (3; 2), B = (1; 4) . (b) A = (5; 2), B = (2; 4) . (c) A = (−4;−6), B = (2; 3)
22 - 12) Calcule a a´rea do quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equac¸a˜o
9x2 + 16y2 = 100 .
22 - 14) Pela Primeira Lei de Kepler, a trajeto´ria da Terra e´ el´ıptica e o Sol ocupa a posic¸a˜o de um de seus focos.
Calcule o perie´lio e o afe´lio da Terra (que sa˜o, respectivamente, a menor e a maior distaˆncia da Terra ao
Sol), adotando os valores aproximados: distaˆncia focal da trajeto´ria da Terra, 0, 5 · 107km ; medida do
eixo maior, 30, 00 · 107km .
22 - 19) Nos casos em que a equac¸a˜o dada descreve uma hipe´rbole de focos em algum dos eixos coordenados,
especifique-o e calcule a distaˆncia focal e as medidas dos eixos transverso e conjugado. Fac¸a alguns
esboc¸os, a ma˜o livre e com aux´ılio do computador, para comparar.
a) 9x2 − 4y2 = 36
d) −m2x2 + 9y2 = 36, m > 0
b) 9x2/25− y2 + 9 = 0
e) 25x2 − 200y2 = 0
c) x2 + 2y2 = 1
f) 5x2 − 9y2 − 45 = 0
g) x2 − y2 = 1 h) (xsenϕ)2 − (ycosϕ)2 + 1 = 0 (0 < ϕ < pi/2)
22 - 20) Determine, em cada caso, os ve´rtices, os focos, as extremidades do eixo conjugado e equac¸o˜es das
ass´ıntotas da hipe´rbole:
a) 25x2 − 14y2 = 3600
d) 9y2 − 4x2 = 36
b) 16x2 − 25y2 = 400
e) 3x2 − y2 = 3
c) y2 − x2 = 16
f) x2 − y2 = m2 (m > 0)
22 - 21) Obtenha, em cada caso, uma equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole.
a) Os ve´rtices sa˜o (2; 0) e (−2; 0) , e os focos, (3; 0) e (−3; 0) .
b) Os ve´rtices sa˜o (−15; 0) e (15; 0) e as ass´ıntotas teˆm equac¸o˜es 5y − 4x = 0 e 5y + 4x = 0 .
c) Os focos sa˜o (−5; 0) e (5; 0) , e a amplitude focal e´ 9/2.
d) Os focos sa˜o (−5; 0) e (5; 0) e as ass´ıntotas teˆm equac¸o˜es 2y = x e 2y = −x .
e) O ponto (5; 9) pertence a` hipe´rbole, e as ass´ıntotas teˆm equac¸o˜es y = x e y = −x .
f) Os focos esta˜o no eixo Oy , as ass´ıntotas teˆm equac¸o˜es 2y+ 3x = 0 e 2y− 3x = 0 , e o eixo conjugado
mede 8 .
22 - 22) A hipe´rbole H tem centro O , focos em um dos eixos coordenados, e conte´m os pontos A e B .
Escreva equac¸o˜es reduzidas de H e de suas ass´ıntotas e determine os focos e ve´rtices.
a) A = (6;
√
7), B = (−1; 0).
c) A = (3; 2), B = (1;
√
2).
b) A = (3; 2), B = (1; 4).
d) A = (1; 1), B = (4; 4).
22 - 26) Sa˜o dados, em cada caso, o paraˆmetro geome´trico a e os focos de uma hipe´rbole. Obtenha uma equac¸a˜o
alge´bricade segundo grau em x e y que todo ponto (x; y) da hipe´rbole deva satisfazer.
a) a = 3, F1 = (3; 3), F2 = (3; 7). b) a = 1, F1 = (3; 4), F2 = (−1;−2).
22 - 30) Determine o foco, o ve´rtice, o paraˆmetro e a diretriz da para´bola P e fac¸a um esboc¸o.
a) P : y2 = 4x
d) P : 5y2 = 8x
b) P : y2 + 8x = 0
e) P : 5x2 = 8y
c) P : x2 + 6y = 0
f) P : 5x2 = 16y
22 - 31) Obtenha, em cada caso, uma equac¸a˜o da para´bola d eve´rtice (0; 0) , conhecendo seu paraˆmetro p e a
localizac¸a˜o do foco.
(a) p = 2/3 e o foco esta´ no semi-eixo positivo das abscissas.
(b) p = 4/3 e o foco esta´ no semi-eixo negativo das ordenadas.
(c) p = 1 e o foco esta´ no semi-eixo negativo das abscissas.
(d) p = 1/2 e o foco esta´ no semi-eixo positivo das ordenadas.
22 - 32) Obtenha, em cada caso, uma equac¸a˜o reduzida da para´bola de ve´rtice V = (0; 0) , utilizando as in-
formac¸o˜es dadas.
(a) O foco e´ (8; 0).
(b) A diretriz tem equac¸a˜o y = 2.
(c) O eixo e´ Ox e o ponto (5; 10) pertence a` para´bola.
(d) O ponto (4; 7) pertence a` diretriz e o eixo e´ Ox.
(e) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas a amplitude focal e´ 8.
(f) O foco pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas e o triaˆngulo fundamental tem a´rea 18.
22 - 34) Sa˜o dados, em cada caso, o foco e a diretriz de uma para´bola. Obtenha uma equac¸a˜o alge´brica do segundo
grau em x e y que todo ponto (x; y) da para´bola deva satisfazer.
(a) F = (2; 3) r : x = 0.
(c) F = (3; 1) r : y + 3 = 0.
(b) F = (2; 3) r : x = 0.
22 - 37) Escreva uma equac¸a˜o reduzida da elipse de excentricidade e = 3/5 , sabendo que dois ve´rtices sa˜o (5; 0)
e (−5; 0) e que os focos esta˜o em:
(a) Ox (b) Oy
22 - 38) Utilizando as informac¸o˜es dadas em cada caso, calcule a excentricidade da elipse E . Aponte, entre las,
quais sa˜o semelhantes, qual e´ a mais alongada e qual e´ a menos alongada.
(a) E : 16x2 + 25y2 = 400.
(b) A coroa fundamental de E tem raios 5 e 10.
(c) E : 2x2 + y2 − 50 = 0.
(d) O triaˆngulo F1B2F2 e´ retaˆngulo.
(e) As diagonais do retaˆngulo fundamental de E formam aˆngulos de 60o.
(f) A a´rea do retaˆngulo fundamental e´ 8 , e a da coroa fundamental e´ 3pi .
22 - 39) Obtenha uma equac¸a˜o reduzida da elipse de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados,
excentricidade
√
3/2 , e conte´m o ponto (
√
3; 1/2) .
22 - 43) Escreva, em cada caso, uma equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole.
(a) Os focos sa˜o (−13; 0) e (13; 0) , e a excentricidade, 13/12 .
(b) Os ve´rtices sa˜o (0;−4) e (0; 4) , e a excentricidade, √2 .
(c) A excentricidade e´ 2 , e as ass´ıntotas teˆm equac¸o˜es y = 2x e y = −2x .
(d) As extremidades do eixo conjugado sa˜o (−2; 0) e (2; 0) , e a excentricidade e´ 2/√5 .
(e) As ass´ıntotas tem equac¸o˜es y = x/
√
3 e y = −x/√3 , e a excentricidade e´ 2.
22 - 44) Calcule, em cada caso, a excentricidade da hipe´rbole H .
(a) H : 4x2 − y2 = 16
(b) H : x2 − 2y2 + 8 = 0
(c) O triaˆngulo F1B2F2 e´ retaˆngulo.
(d) As diagonais do retaˆngulo fundamental formam aˆngulos de 60o.
(e) Os pontos A1 , A2 , B1 e B2 sa˜o ve´rtices de um quadrado.
22 - 45) Obtenha uma equac¸a˜o reduzida da hipe´rbole de centro O que tem focos em um dos eixos coordenados,
excentricidade 2 , e conte´m o ponto (2;
√
7) .
22 - 128) Calcule a a´rea do losango cujos ve´rtices sa˜o os focos e as extremidades do eixo menor da elipse de equac¸a˜o
x2/a2 + y2/b2 = 1 . Em que condic¸o˜es esse losango e´ um quadrado?22 - 129) Deˆ condic¸o˜es sobre a e b para que o losango cujos ve´rtices sa˜o os focos e as extremidades do eixo
conjugado da hipe´rbole H : x2/a2 − y2/b2 = 1 seja um quadrado. Calcule a a´rea do losango.
RESOLUC¸A˜O
Questa˜o (22 - 6)
a) 4x2 + 169y2 = 676
Dividindo todos os termos da igualdade por 676 , temos:
x2
169
+
y2
4
= 1
Assim, conhecendo a equac¸a˜o da Elipse, podemos dizer que:
a2 = 169
a = 13
b2 = 4
b = 2
a2 = b2 + c2
169 = 4 + c2
c =
√
165
Agora, sabendo como sa˜o os ve´rtices para uma elipse nesse formato, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (−13; 0), A2 = (13; 0)
B1 = (0;−2), B2 = (0; 2)
C1 = (−
√
165; 0), C2 = (
√
165; 0)
b) 4x2 + 169y2 = 676
Dividindo todos os termos da igualdade por 8 , temos:
x2
8
+
y2
12
= 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = 12
a = 2
√
3
b2 = 8
b = 2
√
2
a2 = b2 + c2
12 = 8 + c2
c = 2
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (0;−2
√
3), A2 = (0; 2
√
3)
B1 = (−2
√
2; 0), B2 = (2
√
2; 0)
C1 = (0;−2), C2 = (0; 2)
c) NA˜O E´ UMA ELIPSE.
d) 8x2 + 3y2 = 24
Dividindo todos os termos da igualdade por 24 , temos:
x2
3
+
y2
8
= 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = 8
a = 2
√
2
b2 = 3
b =
√
3
a2 = b2 + c2
8 = 3 + c2
c =
√
5
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (0;−2
√
2), A2 = (0; 2
√
2)
B1 = (−
√
3; 0), B2 = (
√
3; 0)
C1 = (0;−
√
5), C2 = (0;
√
5)
e)
(
3x
5
)2
+ y2 = 9
Dividindo todos os termos da igualdade por 9 , temos:
x2
25
+
y2
9
= 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = 25
a = 5
b2 = 9
b = 3
a2 = b2 + c2
25 = 9 + c2
c = 4
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (−5; 0), A2 = (5; 0)
B1 = (0;−3), B2 = (0; 3)
C1 = (−4; 0), C2 = (4; 0)
f) NA˜O E´ UMA ELIPSE.
g) 5x2 + 9y2 = 45
Dividindo todos os termos da igualdade por 9 , temos:
x2
9
+
y2
5
= 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = 9
a = 3
b2 = 5
b =
√
5
a2 = b2 + c2
9 = 5 + c2
c = 2
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (−3; 0), A2 = (3; 0)
B1 = (0;−
√
5), B2 = (0;
√
5)
C1 = (−2; 0), C2 = (2; 0)
h) 3x2 + 5y2 = 15
Dividindo todos os termos da igualdade por 15 , temos:
x2
5
+
y2
3
= 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = 5
a =
√
5
b2 = 3
b =
√
3
a2 = b2 + c2
5 = 3 + c2
c =
√
2
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (−
√
5; 0), A2 = (
√
5; 0)
B1 = (0;−
√
3), B2 = (0;
√
3)
C1 = (−
√
2; 0), C2 = (
√
2; 0)
i) NA˜O E´ UMA ELIPSE.
j) 16x2 − 4 + 4y2 = 0
Dividindo todos os termos da igualdade por 4 e organizando, temos:
4x2 + y2 = 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = 1
a = 1
b2 =
1
4
b =
1
2
a2 = b2 + c2
1 =
1
4
+ c2
c =
√
3
2
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (0;−1), A2 = (0; 1)
B1 = (−1
2
; 0), B2 = (
1
2
; 0)
C1 = (0;−
√
3
2
), C2 = (0;
√
3
2
)
l) (1 +m2)x2 + y2 = 1 + 2m2 +m4
Sabendo que 1 + 2m2 +m4 = (1 +m2)2 e dividindo todos os termos da igualdade por (1 +m2)2 , temos:
x2
(m2 + 1)
+
y2
(m2 + 1)2
= 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = (m2 + 1)2
a = m2 + 1
b2 = (m2 + 1)
b =
√
m2 + 1
a2 = b2 + c2
c2 =
√
m2 +m4
c = (m2 +m)
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (0;−(m2 + 1)), A2 = (0; (m2 + 1))
B1 = (−
√
m2 + 1; 0), B2 = (
√
m2 + 1; 0)
C1 = (0;−(m2 +m)), C2 = (0; (m2 +m))
m) x2 +m2y2 = m
Dividindo todos os termos da igualdade por m , temos:
x2
m
+my2 = 1
Assim, podemos dizer que:
a2 = m
a =
√
m
b2 =
1
m
b =
1√
m
a2 = b2 + c2
c2 = m− 1
m
c =
√
m− 1
m
Agora, temos os ve´rtices e os focos:
A1 = (−
√
m; 0), A2 = (
√
m; 0)
B1 = (0;− 1√
m
), B2 = (0;
1√
m
)
C1 = (−
√
m− 1
m
; 0), C2 = (
√
m− 1
m
; 0)
Alguns Esboc¸os
Letra b)
−4. −2. 2. 4.
−4.
−2.
2.
4.
0
A2
A1
B1 B2
Letra d)
−2. −1. 1. 2.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
0
A2
A1
B2B1
Letra e)
−6. −4. −2. 2. 4. 6.
−4.
−2.
2.
4.
0
A1 A2
B2
B1
Letra g)
−3. −2. −1. 1. 2. 3.
−2.
−1.
1.
2.
0
A1 A2
B2
B1
Letra h)
−2. −1. 1. 2.
−2.
−1.
1.
2.
0
A1 A2
B2
B1
Questa˜o (22 - 7)