Cap_tulo_2_parte_1

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Professor: Carlos Alberto Simões Pires Wayhs 
 
Engenheiro Civil – Mestre – UFRGS 
MBA em Gestão de Negócios da Construção Civil - FGV 
Capítulo 2 
Estática dos Pontos Materiais 
Parte 1 
2º Semestre 2012 
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO 
GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS – DCEENG 
CURSO DE ENGENHARIAS CAMPUS IJUÍ 
DISCIPLINA DE MECÂNICA GERAL I 
2. Força sobre um ponto material 
5. Resultante de várias forças concorrentes 
3. Vetores 
4. Adição de Vetores 
1. Introdução 
6. Decomposição de uma força em componentes 
Neste capítulo estudaremos o efeito de forças que atuam em pontos 
materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A utilização do nome “ponto material” não implica restringir o 
estudo a pequenos corpúsculos. Significa, sim, que o tamanho e a 
forma dos corpos em estudo não afetam significativamente a 
solução dos problemas tratados. 
Desta forma, todas as forças que atuam em um dado corpo serão 
consideradas como atuando em um único ponto 
 
 
 
 
 
 
 
 FORÇA SOBRE UM PONTO MATERIAL: 
 Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela pode 
ser caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua 
direção e sentido. 
 
 
 
 
 
 Onde: a direção é definida por sua linha de ação 
 o sentido é definido por uma seta 
 
 
 
• VETORES 
 Os vetores são definidos como entes matemáticos que 
possuem intensidade, direção e sentido e que se somam de 
acordo com a lei do paralelogramo. 
 Onde, dois vetores de mesma intensidade, direção e sentido 
são ditos iguais, quer tenham ou não o mesmo ponto de 
aplicação (vetores livres). E também, podem ser identificados 
pela mesma letra. 
 
 
Vetores de mesma intensidade 
 VETOR OPOSTO 
 O vetor oposto de um dado vetor P é definido como 
sendo um vetor que tem a mesma intensidade e direção 
do vetor P, e sentido oposto ao de P. 
 
P + ( - P) = 0 
• ADIÇÃO DE VETORES 
 Os vetores podem ser somados pela lei do paralelogramo ou 
pela regra do triangulo. 
 
 
 
 
 
 
 Podemos concluir também que a adição de dois vetores é 
comutativa, uma vez que: 
P + Q = Q + P 
• SUBTRAÇÃO DE VETORES 
 Subtrair um vetor é somar o correspondente vetor 
oposto. 
 
 
 
 
 
P - Q = P + ( - Q) 
 
• SOMA DE 3 OU MAIS VETORES 
 Caso os vetores sejam coplanares, é preferível aplicar a 
Regra do Triângulo à Lei do Paralelogramo. 
 
• PRODUTO ESCALAR DE UM VETOR 
P + P = 2P 
P + P + P = 3P 
Soma de n vezes o vetor P = nP 
Produto escalar: Produto de um escalar k (positivo ou 
negativo) por um vetor P = kP. 
 
 
 
 Tem a mesma direção 
 Tem o mesmo sentido, se k for positivo; sentido oposto 
se k for negativo 
 Intensidade é igual ao produto da intensidade de P pelo 
valor k 
 
 
• RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES 
 Forças concorrentes é um conjunto de forças coplanares que atuam 
sobre o mesmo ponto. 
 
• DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA EM COMPONENTES 
 Da mesma forma que as forças atuantes em um ponto material podem ser 
substituídas por uma única força F, uma força F pode ser substituída por 2 
ou mais forças que, juntas, tem o mesmo efeito sobre o ponto material. 
Essas forças são chamadas de componentes da força original F. 
 
 
 
 
 
 O processo de substituição é chamado de decomposição da força F em 
componentes. 
 
•Regra do Triângulo: 
 As forças P e Q agem sobre um parafuso A. Determinar a sua 
resultante. 
 
 
 
 
 
• Pela trigonometria podemos aplicar a regra do triangulo; dois lados e o ângulo 
por eles formados são conhecidos. Aplicamos a lei dos cossenos. 
 Lei dos cossenos 
 R² = P² + Q² – 2.P.Q.cos155° 
 R² = 40² + 60² – 2.40.60.cos155° 
 R = 97,7 N 
 
• Lei dos senos 
 
A = 15° α = 15° + 20° = 35° R = 97,7N ∡ 35° 
 Uma barcaça é puxada por 2 rebocadores. Se a resultante das 
forças exercidas pelos rebocadores é de 5kN e tem a direção do 
eixo da barcaça, determine: 
a) a tração em cada corda, sabendo-se que α=45° 
b) o valor de α para que a tração na corda 2 seja mínima 
 
T1=3,66 kN 
T2=2,59 kN 
 
 
• Para que T2 seja mínimo, T1 e T2 devem ser ortogonais, isto é, devem formar 
um ângulo de 90°. 
 
 
 
 
Obrigado pela atenção ! 
Leitura: Capítulo 2 do livro do Beer e Johnston