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UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS CLAUDIUS ADRIANO ROZENDO BOMFIM CRUZ DAS ALMAS 2016 UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS CLAUDIUS ADRIANO ROZENDO BOMFIM CRUZ DAS ALMAS 2016 Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal do Recôncavo da Bahia como parte dos requisitos para a obtenção do título de Bacharel Graduado em Ciências Exatas e Tecnológicas. Orientador: Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas CLAUDIUS ADRIANO ROZENDO BOMFIM DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS Aprovado em X/XX/2017. EXAMINADORES: _______________________________________________ Prof. Dr. Denis Rinaldi Petrucci _______________________________________________ Prof. Helio Guimarães Aragão _______________________________________________ Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês CRUZ DAS ALMAS 2016 Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade Federal do Recôncavo da Bahia como parte dos requisitos para a obtenção do título de Bacharel Graduado em Ciências Exatas e Tecnológicas. Orientador: Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês Agradecimentos Primeiramente, com todo amor e respeito, agradeço aos meus pais Manoel do Rosário Bomfim e Clarice Rozendo Bomfim por serem meu alicerce e por toda dedicação, amor, sacrifício, carinho e confiança que dedicaram para minha formação cidadã e profissional. Agradeço a meus familiares e irmãos Felisberto, Gabriel e Manoela pelo apoio e amizade, além de serem exemplo de dedicação e lealdade. Como nenhuma batalha é vencida sozinha, agradeço as pessoas que estiveram ao meu lado, como verdadeiros soldados estimulando com que eu vencesse essa grande etapa. Agradeço a todos colegas que de alguma forma me ajudaram durante a caminhada pelo BCET, em especial a Carol, Tarcisio e Fernanda, amigos conquistados durante esse árduo período, que permaneceram e me ajudaram nas piores batalhas. Aos meus amigos Israel, Koite, Aldair, Silas, Gustavo, Tacio e Marcos, que ao longo dos semestres, se tornaram minha família. Sem esquecer dos grandes George, Kaique, Celso, Josimar, Lucas, Joyce e Clarissa por toda torcida e incentivo, mesmo de longe. A minha namorada e melhor amiga, Giselle, por ser muito especial em minha vida, pelo incentivo e carinho, por ser meu porto, e por toda paciência desde que ingressei na vida acadêmica. Aos grandes professores desta instituição, que tive a sorte e o prazer de ser aluno e absorver ao máximo os conhecimentos e experiências de vida e profissional. Ao professor Dr. Carlos Frederico Macedo Cortês (orientador), pelo empenho dedicação na elaboração deste trabalho. Muito obrigado a todos que estiveram ao meu lado nessa caminhada. UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas Resumo Apresentam-se neste trabalho um estudo relativo a análise e aplicação da teoria da linha elástica em vigas com a particularidade da hiperestaticidade. Como principal objetivo está a determinação da equação que rege a deflexão causada por esforços solicitantes em vigas que obedecem a teoria de Euller-Bernoulli. Verifica-se que as equações do equilíbrio não são suficientes para a determinação das reações de apoios em vigas hiperestáticas, fazendo-se necessário a aplicação de outro método. Para a resolução dos casos apresentados, empregou-se o método da superposição dos efeitos e o método da integração direta, facilitando o entendimento da teoria da linha elástica além das aplicações em variados casos estruturais, focando principalmente, na visualização das equações que caracterizam cada deflexão. Utiliza- se vigas de dois tipos, engastada-apoiada e bi engastada, variando-se as configurações de carregamento e aplicando para casos genéricos já estudados. Concluindo-se que o método aplicado apresenta segurança para a determinação das equações da linha elástica para vigas hiperestáticas e que, com alguns ajustes, pode-se utilizá-las para carregamentos sobre vigas em posições arbitrarias. Palavras-chave: Euller-Bernoulli; Deflexão; Superposição do Efeitos; Integração; Estruturas; Hiperestaticidade; UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas Abstract In this work are present a relative study for analysis and application of elastic line theory in beams with a particularly of hyperstaticity. The main objective is the determination of the equation rules the deflection caused by forces requesting beams that obey the theory of Euller- Bernoulli. It is verified that the equilibrium equations aren’t sufficient for the determination of the support reactions in hyperstatic beams, making it necessary to apply another method. For resolution the cases presented, was employed the method of overlapping effects and the direct integration method, it facilitating the understanding of elastic line theory besides the applications in various structural cases, mainly focused, in the visualization of the equations that characterize each deflection. Beams of two types are used, crimped-supported and bi- crimped, varying the loading configurations and applying to generic cases already studied. It is concluded that the applied method presents safety for the determination of elastic line equations for hyperstatic beams and that, with some adjustments, they can be used for loads on beams in arbitrary positions. Keywords: Euller-Bernoulli; Deflection; Effects overlap; Integration; Structures; Hyperstaticity; 6 Sumário 1. Introdução ............................................................................................................................ 7 1.1 Objetivo Geral ......................................................................................................................... 8 1.2 Objetivos Específicos ............................................................................................................... 8 2. Revisão Bibliográfica ............................................................................................................. 9 2.1. Resumo Histórico da Linha Elástica ......................................................................................... 9 3. Fundamentação Teórica ...................................................................................................... 16 3.1. Carregamento ........................................................................................................................ 16 3.1.1. Classificação Enquanto a Natureza................................................................................16 3.1.2. Classificação Enquanto ao Tipo ..................................................................................... 17 3.2. Vigas ...................................................................................................................................... 18 3.2.1. Apoios ............................................................................................................................ 19 3.2.2. Classificação de acordo com as vinculações ................................................................. 20 3.2.3. Classificação pelo grau de Estaticidade ......................................................................... 22 3.3. Equilíbrio de corpos Rígidos .................................................................................................. 22 3.4. Momento Fletor .................................................................................................................... 23 3.5. Esforço Cortante .................................................................................................................... 23 3.6. Equação da Linha Elástica ...................................................................................................... 24 3.7. Condições de Contorno ......................................................................................................... 29 4. Desenvolvimento Teórico .................................................................................................... 30 4.1. Método de Resolução ........................................................................................................... 30 4.2. Método de Aplicação ............................................................................................................ 33 5. Aplicações .......................................................................................................................... 34 6. Conclusão ........................................................................................................................... 44 6.1. Trabalhos Propostos .............................................................................................................. 44 Referencias ................................................................................................................................ 45 Apêndice A – Tabela de Vigas Isostáticas .................................................................................... 46 Apêndice B – Tabela de Vigas USP, Departamento de Engenharia de Estrutura ............................ 48 Apêndice C – Demonstrações das Equações da Linha Elástica ....................................................... 49 Apêndice D - Tabela Condições de Contorno ................................................................................ 92 7 1. Introdução O trabalho proposto consiste no estudo e na abordagem teórica para determinação de equações diferenciais não lineares da linha elástica aplicadas à vigas hiperestáticas. Bibliografias referentes ao assunto abordam, de maneira sucinta e breve, as soluções para situações comuns. O estudo de particularidades da hiperestaticidade abrange infinitas possibilidades de combinações de casos que devem ser esclarecidas ao longo deste trabalho. As demonstrações serão construídas utilizando basicamente o método de integração direta e o método da superposição dos efeitos, aplicados criteriosamente para vigas que trabalham proporcionalmente no regime da Lei de Hooke, desde que as tensões efetivas não extrapolem o limite do material. A forma da linha elástica de vigas pode ser obtida através da solução linearizada da equação diferencial não-linear de segunda ordem, como mostrado em livros de Resistência dos Materiais (Beer & Johnston, 1995), Mecânica dos Materiais (Hibbeler, 1997) e Teoria da Elasticidade (Timoshenko & Goodier, 1980). Os modelos de vigas complexas, podem ser trabalhados por meio de uma técnica analítica, relativamente simples, como é o caso do modelo de viga de Euler-Bernoulli ¹, tendo resultados satisfatórios. No dimensionamento dos elementos estruturais, além de se considerar a resistência do material e a rigidez da estrutura, deve-se levar em conta certos valores críticos, característicos do carregamento, que podem provocar a sua instabilidade. A linha elástica, que é a curva formada pela deflexão do eixo longitudinal de uma viga devido a aplicação de momentos de flexão, é um elemento essencial para o dimensionamento. As deflexões são calculadas de modo a se analisar se estão dentro do tolerável, papel significativo em estruturas estaticamente indeterminadas, onde essencialmente, as condições de equilíbrio não são suficientes para a determinação dos esforços internos e das reações de apoios. ¹ Viga de Euler-Bernoulli consiste no modelo teórico de vigas prismáticas de seção transversal uniforme e constante, com comprimento longitudinal como dimensão predominante sobe efeito da teoria linear da elasticidade, onde suas seções permanecem planas, indeformadas e ortogonais ao eixo longitudinal. 8 O procedimento para determinação das equações da linha elástica (ELE), contará com o método da superposição dos efeitos, que se utiliza o emprego das equações de vigas isostáticas, compatibilizando os efeitos isolados de deformação, de modo a resulta na estrutura hiperestática analisada, possibilitando o cálculo das reações. 1.1 Objetivo Geral Demostrar a importância da teoria da linha elástica para o estudo e determinação das equações de deflexões em casos de vigas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas, aplicando o método da superposição dos efeitos e integração direta. 1.2 Objetivos Específicos • Aplicar conhecimentos adquiridos durante o curso de bacharelado em ciências exatas e tecnológicas, especificamente da disciplina de Mecânica dos Sólidos 2; • Determinar as reações de apoios; • Estudar os resultados e as deformações causadas pelos variados tipos de carregamento em vigas hiperestáticas; • Demostrar as equações da linha elástica em vigas estaticamente indeterminadas; 9 2. Revisão Bibliográfica 2.1. Resumo Histórico da Linha Elástica A forma exata da deformada de um elemento flexível é chamada de “elástica”. Alguns problemas simples da elástica foram, inicialmente, investigados por Bernoulli, Lagrange, Euler e Plana. Soluções também foram obtidas por Fresch-Fay (Fertis, 1993). A primeira referência de grandes deformações de elementos flexíveis vem do trabalho publicado em 1774 por Leonhard Euler. Segundo Fertis (1993), a teoria da “elástica” é um processo clássico do estudo que examina as deformações elásticas de vigas retas sujeitas a uma flexão, desenvolvido por Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli e Leonhard Euler no século XVIII. Em seu trabalho, Euler mostrou que a inclinação 𝑑𝑦/𝑑𝑥 não pode ser extraída da expressão que determina a curvatura sofrida pelo elemento, a menos que a deflexão seja pequena. A descoberta foi analisada também por Lagrange, e posteriormente por Plana, que mostrou erros na solução de Lagrange. Devido a necessidade de minimizar o peso de cada elemento em projetos estruturais, houve uma crescente aplicação de materiais poliméricos pelo fato de suportar grandes deslocamentos sem exceder o limite elástico. Eventualmente, tais materiais poderiam substituir os convencionais, e desde o fim da Segunda Guerra Mundial, o campo dos materiais foi revolucionado com a utilização dos polímeros sintéticos (Callister Jr. apud Gonçalves, 2006). Para as constantes descobertas de materiais, é interessante determinar se a linearizaçãoda equação para se determinar a inclinação do elemento, pode ser aplicada para casos tradicionais além de definir quais métodos de solução que podem ser utilizados. 2.2. A Linha Elástica O elemento chamado de linha elástica é a curva que representa o eixo da viga, inicialmente retilíneo, após a deformação devido a aplicação de qualquer carregamento que, consequentemente, gera momentos de flexão. As equações que derivam da teoria da linha elástica, são de extrema importância nas engenharias, principalmente na Engenharia Civil e Engenharia Mecânica, pois visam limitar os 10 deslocamentos de determinados pontos da estrutura além de viabilizar a resolução dos sistemas estáticos e hiperestáticos. Essas deflexões são calculadas para se verificar que elas estão dentro de limites aceitáveis. Por exemplo, especificações para o projeto de edifícios usualmente impõem limites superiores nas deflexões. Grandes deformações em edifícios são desagradáveis (mesmo sendo irrelevantes) e podem levar o surgimento de fendas nas paredes e em tetos. Em projeto de máquinas e de aeronaves, as especificações podem limitar as deflexões, evitando vibrações indesejáveis. Como enfatizado, a determinação da linha elástica do elemento estrutural em análise se torna indispensável no ramo da Engenharia. Em estruturas e sistemas mecânicos, acaba-se gerando falhas quando submetidos a algum tipo de carregamento, podendo comprometer a estrutura e que, por consequência, podem levar ao colapso estrutural. Rocha, de Paula e Siqueira (1998) relataram o ensaio de flexão estática numa viga bi apoiada, submetida a uma carga pontual P onde foi possível medir a flexão no centro do vão da viga de madeira com o auxílio da clássica equação da linha elástica. Conceição (2016) apresentou de forma clara os ensaios de flexão estática em painéis compensados de madeira realizado por Zonta, Nadal e Prata (2014). O trabalho utilizou uma Máquina Universal de Ensaios, aplicando-se juntamente o monitoramento de deslocamentos de pontos de interesse através do método de irradiação tridimensional. A cada parada da máquina foi efetuado o cálculo da deformação ou deflexão no meio do vão de medição, ou seja, a flecha máxima do corpo de prova. A Figura 2.1 apresenta a linha elástica nas primeiras e segunda paradas da máquina. 11 A deflexão remete a deformação na componente vertical; as normas técnicas especificam os valores máximos que podem alcançar, em função das formas geométricas dos diversos elementos (ZONTA; PRATA apud Conceição, 2016). Figura 2. 1- Aspecto do deslocamento da linha elástica na segunda parada da máquina de ensaios Fonte: ZONTA, PRATA, 2014 (Adaptado pelo Autor) A flecha máxima 𝑓1 se encontra no ponto 𝑃3 (deslocamento máximo da linha elástica) e é dada por: 𝑓1 = 𝛿2 − 𝛿1 onde: ▪ 𝑓1: Flecha Máxima ou deslocamento no ponto P3, mensurado com a estação total (método de irradiação); ▪ 𝛿1: Deslocamento da linha elástica na primeira parada da máquina de ensaios; ▪ δ2: Deslocamento da linha elástica na segunda parada da máquina de ensaios. Ao término do ensaio de flexão estática, a máquina forneceu o tempo, deformação e força sobre o corpo de prova de acordo com a Figura 2.2. Figura 2. 2- Dimensionamento do corpo de prova para o ensaio estrutural Fonte: ZONTA, PRATA, 2014 12 onde: ▪ 𝐿1: Vão de medição da deformação e/ou deslocamento (mm); ▪ 𝐿2: Distância entre os apoios e a aplicação de carga (mm); ▪ 𝐿3: Distância entre os pontos de aplicações de carga (mm); ▪ 𝐹: Força/carga aplicada (N). Com os resultados das flechas, calculados para os corpos de prova em ambos os métodos, pode-se então, compara-los e desta forma avaliar o método de irradiação como uma nova proposta para verificação de ensaios estruturais de madeira (ZONTA; PRATA, 2014). Codovil e Cadamuro (2010) utilizaram o princípio da mínima energia potencial total, aplicando-o em barras comprimidas, cujos contraventamentos funcionavam como molas elásticas. Discutiram também o contraventamento de peças estruturais comprimidas (sistema de proteção de edificações contra a ação do vento), considerando as forças que atuam nestas estruturas e suas respectivas rigidezes. Seguindo esse raciocínio, fizeram uma estimativa da carga de flambagem mediante a adoção de uma linha elástica aproximada para o formato da curva. Considerando que é difícil encontrar uma solução exata para o problema em questão, a escolha adequada da equação aproximada da linha elástica foi essencial para assegurar boa precisão nos resultados finais. Foi apresentado por Wahrshafting, Rocha e Brasil (2010), em seu artigo, um estudo da expressão matemática simples para o cálculo da frequência fundamental de vigas em balanço, que leva em conta a presença do efeito da solicitação axial sobre a rigidez da viga com curvatura aproximada. No caso de uma viga em balanço, a rigidez geométrica é caracterizada pela ação da forca normal sobre a curvatura da estrutura. Uma viga submetida a carregamento transversal se deforma pela ação das forças atuantes. Para um mesmo nível de carregamento, à medida que a viga se alonga, a diferença entre a configuração deformada e a indeformada aumenta. Se a estrutura carregada é excitada, ela vibra e o movimento oscilatório ocorre a partir da configuração deformada, conforme ilustrado na Figura 2.3. 13 Figura 2. 3 - Configuração a partir da qual ocorre o movimento Fonte: WAHRHAFTIG, 2010 A teoria da Viga de Euler-Bernoulli assume que as seções planas permaneceram planas quando sujeitas a pequenas deformações. Essa afirmação é uma consideração que balizará toda teoria desenvolvida nesse trabalho. Euler e Bernoulli afirma em sua lei que o momento fletor 𝑀 é inversamente proporcional ao raio de curvatura 𝑟 da curva derivada da ação do carregamento, isto é, 1 𝑟 = 𝑑𝜃 𝑑𝑥0 = 𝑀 𝐸𝐼 (2.1) onde: ▪ 𝐼 - momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra LN; ▪ 𝐸 - módulo de elasticidade longitudinal do material; ▪ 𝜃 - inclinação no ponto 𝑥0 , o qual é medido ao longo do comprimento do arco como mostrado na Figura 2.4. Figura 2. 4 - Deformação de viga de seção uniforme em balanço Fonte: Gonçalves, 2016 14 em coordenadas retangulares (𝑥, 𝑦), a Equação (2.1) é escrita como 1 𝑟 = 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 [1 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥) 2 ] 3 2⁄ = 𝑀 𝐸𝐼 (2.2) As ações de movimento possíveis, fazem com que ocorra um deslocamento constantes em todos os pontos da seção vertical na direção 𝑦, para cada seção na direção 𝑥, além de uma rotação rígida em torno do eixo 𝑧. Desenvolvendo a Equação (2.2), chegamos a expressão estática apresentada por Hibbler (2010). 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑀 𝐸𝐼 (2.2) onde: 𝑦 = 𝑦(𝑥) – deslocamento no ponto 𝑥; Fleischfresser (2012) apresentou em seu trabalho um estudo relativo a análise dinâmica de vigas regidas pelas teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. Para isso, considerou os quatro tipos mais comuns de vigas (bi apoiada, bi engastada, engastada-apoiada e em balanço) sujeitas a ação de um carregamento uniformemente distribuído. A solução da Equação (2.2) se dá com integração direta e os valores das constantes de integração são obtidos com as condições de contorno. As condições de contorno são dadas pelas restrições dos apoios ou pela extremidade livre. Estas integrações resultam nas equaçõesda Tabela 1. Tabela 2. 1 - LINHA ELÁSTICA PARA CASO ESTÁTICO EULER-BERNOULLI Fonte: FLEISCHFRESSER apud MELLO ,2014 15 Observando-se que os primeiros termos a direita das igualdades na tabela correspondem aos deslocamentos obtidos pela teoria de Euler-Bernoulli (FLEISCHFRESSER apud MELLO, 2014). Preservando-se a teoria que as seções permanecem planas e normais a linha neutra, e utilizando a teoria de Timoshenko que considera os efeitos de inercia à rotação e os efeitos de cortante no cálculo de deflexão, determina-se que equações de momento fletor e esforço cortante podem ser encontradas por (RAO apud MELLO): 𝑀 = 𝐸𝐼 𝑑∅ 𝑑𝑥 (2.3) 𝑉 = 𝑘𝐺𝐴 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − ∅) (2.4) onde aparece as seguintes variáveis: ▪ 𝝋 = 𝝋(𝒙) - rotação da seção localizada no ponto x; ▪ 𝜿 - fator de cisalhamento; ▪ 𝑨 - área da seção transversal; ▪ 𝑮 - módulo de elasticidade transversal. Sendo obtida analiticamente, as seguintes soluções para casos estáticos. Tabela 2. 2 - LINHA ELÁSTICA PARA CASO ESTÁTICO – TEORIA DE TIMOSHENKO Fonte: CARRER apud MELLO ,2014 16 3. Fundamentação Teórica 3.1. Carregamento Objetivando analisar uma estrutura, bem como projetá-la, um engenheiro deve se balizar em pressupostos que possibilitam a compreensão do fenômeno resultante da ação, por contato ou não, de um corpo sobre uma estrutura e o comportamento da mesma em contrapartida. Segundo Sussekind (1981), podem-se definir força como a grandeza vetorial que mede a ação de um corpo sobre outro e momento de uma força como a grandeza física que descreve a tendência que um corpo tem de rotacionar em torno de um ponto devido uma força, não estando este ponto situado sobre a linha de ação da mesma. As forças aplicadas, de diferentes naturezas em determinada estrutura, são chamadas de esforços externos ou carregamentos. No projeto, cada tipo de obra possui uma carga, especificada em norma. Essa carga realiza um efeito na estrutura, sendo avaliadas através de métodos de análise estrutural. As forças são designadas por ações diretas e as deformações impostas por ações indiretas. Em função de sua variabilidade no tempo, a NBR 6120 classifica os carregamentos enquanto sua natureza: 3.1.1. Classificação Enquanto a Natureza • Carregamentos Permanentes São causados exclusivamente por forças gravitacionais, com valores praticamente constantes, ou com pequena variabilidade em torno de sua média, atuando em toda a vida útil da construção. Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes (NBR 6120, 1980). 17 • Carregamento Acidental São carregamentos que variam de intensidade de forma significativa em torno de sua média, apresentando dificuldade a ser determinada por variar de acordo com o tipo de edificação. São classificadas em diretas, indiretas e dinâmicas que atuam nas construções em função de seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc) (NBR 6120, 1980). 3.1.2. Classificação Enquanto ao Tipo • Carga pontual ou concentrada É uma força de uma resultante de forças é aplicada em um único ponto. Como exemplo de cargas concentradas tem-se, a carga do pilar que chega em uma fundação, um pilar que está sobre uma viga, uma viga apoiada em outra viga, um cofre no meio de uma sala, etc (BEER, JOHNSTON, 2014). Figura 3. 1 - Carga Pontua • Carga distribuída Como o nome sugere, é uma força distribuída quando sua aplicação em um corpo é feita em mais do que um ponto, ao longo de um comprimento, uma área ou um volume. Como exemplo, tem-se o peso próprio da viga, a pressão da agua no fundo de uma piscina, o peso de uma parede sobre uma viga, entre outros. 18 Figura 3. 2 - Carga distribuída superficialmente e linearmente Com tudo, para a realização do estudo proposto nesse trabalho, será considerando a até a distribuição bidimensional. O tipo de carregamento linear pode ser dividido em três cargas mais comuns: carga distribuída retangular, triangular e trapezoidal. Figura 3. 3 - Carga linear retagular, triangular e trapezoidal 3.2. Vigas Segundo Gere (2003), vigas são elementos estruturais utilizados na engenharia e resistem a esforços de flexão (momentos) e de cisalhamento, geralmente prismáticas, comumente usado no sistema laje-viga-pilar com o intuito de transferir os esforços sobre a laje e as demais cargas na estrutura para os pilares, através de uma carga concentrada. Pode ser composta de madeira, ferro ou concreto armado. De modo a restringir as tendências de movimentos que uma carga gera em uma viga, faz- se necessário o uso de apoios, que são elementos que geram reações opostas aos movimentos, mantendo assim o equilíbrio da estrutura. As vigas podem ser classificadas de acordo com suas vinculações e com sua estaticidade. Vinculações ou apoios clássicos, são divididos de acordo com o grau de liberdade ou quantidade de movimento o qual eles particularmente restringem. 19 3.2.1. Apoios • Apoio móvel, simples ou de 1º gênero: Restringe um grau de liberdade ², impedindo o deslocamento do ponto na direção perpendicular à seta e permitindo livre rotação. Figura 3. 4 – Exemplo de Apoio Móvel Fonte: Pagina DOCPLAY ³ • Apoio fixo, duplo ou de 2º gênero: Restringe dois graus de liberdade e impede o deslocamento em qualquer direção do plano, permanecendo livre somente para rotação. Figura 3. 5 – Exemplo de Apoio fixo Fonte: Pagina DOCPLAY ² Grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um corpo pode executar. ³ Disponível em: *http://docplayer.com.br/104194-Universidade-santa-cecilia.html* Acesso nov. 2016 20 • Engaste ou de 3º gênero: Restringe três graus de liberdade, impede o deslocamento em qualquer direção além de impedir a rotação (GERE, 2003). Figura 3. 6 – Exemplo de Engaste Fonte: Pagina DOCPLAY 3.2.2. Classificação de acordo com as vinculações Os tipos de vigas são classificados de acordo com os apoios que lhes sustentam. Existem as Viga em Balanço ou mono engastada; Viga Bi apoiada ou simplesmente apoiada; Viga Bi engastada; Viga engastada com apoio. • Viga em Balanço ou mono engastada É uma viga com um só apoio (engaste). Toda a carga recebida é transmitida a um único ponto de fixação. Figura 3. 7 - Viga engastada 21 • Viga Bi apoiada ou simplesmente apoiada Viga com dois apoios, sendo um deles de grau dois, que impede movimentos em duas direções, e o outro de grau um, que impede movimentos em apenas uma direção. Figura 3. 8 - Viga bi apoiada • Viga Bi engastada Viga constituída por dois engastes em suas extremidades. Figura 3. 9 - Viga bi engastada • Viga engastada com apoio Viga constituída por um engaste e um apoio podendo ser apoio de primeiro ou segundo gênero na outra extremidade. Figura 3. 10 - Viga Engastada e Apoiada Fonte: Elaborada pelo autor A estaticidade, podem ser divididas em hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. 22 3.2.3. Classificação pelo grau de Estaticidade • Hipostática De acordo com Süssekind (1981) estruturas hipostáticas não são estáveis, pois não possuem vínculos suficiente para garantir a estabilidade da estrutura. Demodo geral, estas estruturas tem o número de reações de apoio ou vínculos inferiores ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. • Isostática Estruturas isostáticas têm o número de reações estritamente necessário para impedir qualquer movimento. As reações estão eficazmente dispostas de forma a se restringir os possíveis movimento da estrutura, tendo assim o número de reações de apoio igual ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio. O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio. Daí se deduz que uma estrutura isostática terá grau de hiperestaticidade igual a zero. • Hiperestática Este tipo de estrutura tem o número de reações superiores ao estritamente necessário para impedir qualquer movimento, portanto, as equações de equilíbrio insuficientes para a determinação das reações, sendo necessário a inclusão de equações de compatibilidade para sua análise (SUSSEKIND, 1981). 3.3. Equilíbrio de corpos Rígidos Considera-se que um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo (BEER, JOHNSTON, 2014). ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0 ∑ 𝑀𝑥 = 0 ∑ 𝑀𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0 23 Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido. Considerando que os exemplos que serão estudados nesse trabalho são de vigas horizontais que se enquadram como modelos em planos, simplificaremos consideravelmente em caso bidimensional, escolhendo os eixos 𝑥 e 𝑦 no plano da estrutura. Temos assim: ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝐴 = 0 onde 𝐴, é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas para um máximo de três incógnitas (BEER, JOHNSTON, 2014). 3.4. Momento Fletor Os esforços internos provenientes de uma flexão, podem ser esforço normal, esforço cortante, momento de torção e momento fletor. O momento fletor é “a soma vetorial das componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em relação ao seu centro de gravidade”. Trata-se do esforço preponderante em elementos com cargas perpendiculares aplicadas. Todavia, definido “a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção, das forças situadas de um dos lados dessa seção”, ou seja, é a resultante das forças situadas em uma das partes, de cada seção, do corpo atuando paralelamente ao plano de seção (SUSSEKIND, 1981). Em outras palavras, o momento fletor é um esforço ao qual a viga sofre flexão, exemplo de uma viga em repouso, que ao se aplicar um carregamento, a viga tende a rotacionar, mas os apoios impedem essa rotação, portanto, a rotação que seria gerada na viga é dada como momento fletor. 3.5. Esforço Cortante O esforço derivado de carregamento axial, que tende a cisalhar uma viga, é chamado de esforço cortante. Este item, é de suma importância para projetos de dimensão e materiais, por exemplo, em uma viga de concreto armado se utiliza vergalhões para aumentar a resistência ao cisalhamento. 24 Podemos obter a equação do esforço cortante apenas derivando a equação do momento fletor em relação ao eixo horizontal (SUSSEKIND, 1981). 𝑑𝑀(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑉(𝑥) (3.1) 3.6. Equação da Linha Elástica Para o estudo da distribuição das tensões decorrentes da flexão pura, devem-se considerar as deformações que ocorrerão na viga no mesmo plano onde atua o carregamento, dessa forma, pode-se expressar a equação que fornece a curvatura do eixo longitudinal como uma função 𝑣(𝑥, 𝑦). A teoria clássica e suas hipóteses são apresentadas e deduzidas por vários autores, tais como Beer et al. (2003), Nash (1982) e Hibbeler (2010). São elas: a) A viga possui um eixo central reto, coincidente com o eixo 𝑥 que passa no centro de gravidade da seção transversal; b) A seção transversal da viga possui pelo menos um eixo de simetria, coincidente com o eixo de 𝑦 (vide Figura 2.4); c) Todas as cargas atuam no plano de simetria (plano 𝑥𝑦); d) As seções perpendiculares ao eixo 𝑥 permanecem planas após a deformação; e) O material é admitido como elástico, isotrópico e homogêneo; f) As deformações transversais são pequenas. Tomando como modelo uma viga engastada sujeita a um carregamento concentrado atuando para cima em sua extremidade livre, seu eixo longitudinal deslocará (vide Figura 3.11). 25 Figura 3. 11 - Curva de Deflexão de uma viga engastada Fonte: Gere,2003 A deflexão 𝑣 é o deslocamento na direção 𝑦 de qualquer ponto no eixo da viga. Para obter a equação da curva de deflexão em função do eixo coordenado 𝑥, aplicando a curva de deflexão mais detalhes (GERE, 2003). Figura 3. 12 - Curva de Deflexão de uma viga Fonte: Gere,2003 O ponto 𝑚1 está localizado à distância 𝑥 relativo a origem (medida ao longo do eixo), e o segundo ponto 𝑚2 à uma distância 𝑥 + 𝑑𝑥 da origem. Observando a imagem, notasse que deflexão no segundo ponto é 𝑣 + 𝑑𝑣 e que 𝑑𝑣 é o incremento na deflexão, conforme deslocasse ao longo da curva desde 𝑚1 até 𝑚2. 26 Com a flexão da viga, há também uma rotação . O ângulo de rotação 𝜃 do eixo da viga, é o ângulo entre o eixo 𝑥 e a tangente à curva de deflexão, como mostrado para o ponto 𝑚1 na vista expandida da Figura 3.12b . De forma análoga, o ângulo de rotação no ponto 𝑚2 é 𝜃 + 𝑑𝜃, em que 𝑑𝜃 é o aumento no ângulo conforme se desloca no eixo, construindo linhas normais ao eixo. Figura 3. 12 - Curva de Deflexão de uma viga Fonte: Gere,2003 As linhas normais ao eixo, se interceptam em um ponto 𝑂′, que é o centro de curvatura da curva de deflexão. Como a maior parte das vigas tem deflexões muito pequena, e curvas de deflexões quase planas, o ponto 𝑂′ geralmente se localiza distante da viga, como mostra a Figura 3.12a). 𝜌 ∙ 𝑑𝜃 = 𝑑𝑠 (3.2) O raio de curvatura, do centro 𝑂′ em relação a curva de deflexão, é chamado de 𝜌, e 𝑘 o inverso do raio de curvatura. Dessa forma: 𝑘 = 1 𝜌 = 𝑑𝜃 𝑑𝑠 (3.3) Como obtém-se curvas de deflexões quase planas, e visto na Figura 3.12b), o valor do elemento de curvatura 𝑑𝑠, pode ser considerado igual a de sua projeção no eixo 𝑥, 𝑑𝑥. Sobe condições de pequenas deflexões, a equação para a curvatura torna: 𝑘 = 1 𝜌 = 𝑑𝜃 𝑑𝑥 (3.4) 27 A inclinação da linha elástica é a primeira derivada 𝑑𝑣/𝑑𝑥 da expressão para a deflexão 𝑣. Em termos geométricos, a deflexão é igual ao incremento 𝑑𝑣, Figura 3.12b), dividido pelo incremento 𝑑𝑥 da distância ao longo do eixo 𝑥. Uma vez que 𝑑𝑣 e 𝑑𝑥 são infinitesimalmente pequenos, a inclinação 𝑑𝑣/𝑑𝑥 é igual à tangente do ângulo de rotação 𝜃. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = tan 𝜃 → 𝜃 = tan−1 𝑑𝑣 𝑑𝑥 → 𝜃 = 𝑑𝑣 𝑑𝑥 (3.5) Derivando a equação (3.4) em relação a 𝑥, encontra-se a seguinte relação: 𝑑𝜃 𝑑𝑥 = 𝑑²𝑣 𝑑𝑥² (3.6) dessa forma: 𝑘 = 1 𝜌 = 𝑑²𝑣 𝑑𝑥²(3.7) Utilizando a teoria da lei de Hooke para materiais lineares elástico, obtém-se a seguinte relação pela equação de tensão normal em vigas fletidas: 𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 ; 𝜀𝑥 = 1 𝜌 𝑦 (3.8) Utilizando a relação da equação (3.6) 𝜎𝑥 = 𝐸 1 𝜌 𝑦 = 𝐸𝑘𝑦 (3.9) Onde 𝜎𝑥é a tensão normal na direção 𝑥, 𝐸 o modulo de elasticidade, 𝜀𝑥, a deformação normal, e 𝑦, a distância de certo ponto ao eixo longitudinal da viga. A segunda equação da estática expressa o fato de que o momento resultante da tensão normal 𝜎𝑥, exercida por uma força 𝑃, agindo sobre a área da seção transversal, é igual ao momento fletor 𝑀. Assim, em relação ao eixo 𝑥, tem-se: 𝑦𝑑𝑃 = 𝑑𝑀 (3.10) 𝑦(𝜎𝑥𝑑𝐴) = 𝑑𝑀 (3.11) 28 Substituindo-se a equação (3.8) na equação (3.10), obtém-se: 𝐸𝑘𝑦²𝑑𝐴 = 𝑑𝑀 (3.12) 𝐸𝑘 ∫ 𝑦²𝑑𝐴 = 𝑀 (3.13) Reescrevendo, utilizando a propriedade de inercia, 𝐼: 𝐸𝐼𝑘 = 𝑀 (3.14) Por fim, substituindo a relação da equação (3.6), determina-se a equação diferencial da linha elástica como a expressão apresentada por GERE (2003): 𝐸𝐼 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = 𝑀 (3.15) Integrando a equação (3.14) em relação a 𝑥, sendo 𝑀(𝑥), encontra-se; 𝐸𝐼 𝑑(𝑑𝑣) 𝑑𝑥 = 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 (3.16) 𝐸𝐼 ∫ 𝑑(𝑑𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 (3.17) 𝐸𝐼 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 + 𝐶1 (3.18) Pela igualdade da equação (3.4), tem-se que; 𝐸𝐼𝜃 = ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 + 𝐶1 (3.19) onde, 𝜃 é o ângulo de rotação da linha elástica e 𝐶1, constante de integração. Integrando novamente, desta vez a equação (3.17), obtém-se; 𝐸𝐼𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 + 𝐶1𝑑𝑥 (3.20) 𝐸𝐼 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 0 ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 + ∫ 𝐶1𝑑𝑥 𝑥 0 (3.21) 𝐸𝐼𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 0 ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 0 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3.22) 29 sendo 𝑣, a equação da deflexão e 𝐶2 a segunda constante de integração. 𝐶1 e 𝐶2, serão determinadas a partir das condições de contorno. 3.7. Condições de Contorno As condições de contorno podem ser retratadas pelo tipo de vinculação a qual se caracteriza, como no ponto onde contem apoio móvel ou apoio fixo, tem-se que 𝑣 = 0, ou seja, a deflexão nesse ponto é nulo. No engaste, tanto a deflexão quando a rotação, são nulos (𝑣 = 0 e 𝜃 = 0), e entre seções, a deflexão da esquerda é igual a deflexão, de mesmo modo que a rotação da esquerda é igual a rotação da direita. Outras condições que envolvem esses e outros tipos de vínculos e condições, estão ilustradas e exemplificadas no Apêndice C. As condições de contorno mais utilizadas nos exemplos deste trabalho, estão contidas na figura abaixo. Figura 3. 13 - Condiçoes de Contorno Fonte: Elaborada pelo autor 30 4. Desenvolvimento Teórico 4.1. Método de Resolução Será feito inicialmente o estudo e levantamento teórico do conteúdo e do método de aplicação. A execução do trabalho, se dividirá basicamente nas etapas preponderantes do método da superposição dos efeitos, utilizando equações da linha elásticas de vigas isostáticas. A resolução seguirá os seguintes passos; I. Retiram os vínculos em excesso, de modo que a viga resulte em estruturas isostáticas, denominadas estruturas primárias; II. Identificar as estruturas primárias e retirar suas respectivas equações de tabelas das bibliografias referenciadas; III. Pelo princípio da superposição de efeitos, utilizar singularidades onde o deslocamento final é conhecido, aplicando as decorrentes ações simultâneas das cargas reais e das cargas correspondentes aos vínculos, devendo ser igual à soma algébrica dos deslocamentos calculados separadamente; IV. A partir dessa compatibilização, obter um sistema de equações lineares cuja solução resulta nas reações excedentes (reações hiperestáticas); V. Utilizando as equações de equilíbrio da estática, determinar as reações restantes; VI. Determinar a equação de momento fletor para as seções quem compõem a estrutura; VII. Por fim, realizar as integrações necessárias para a determinação da equação do ângulo de rotação e da deflexão da linha elástica; Como proposto, serão empregados os passos do I ao VII, para se identificar a expressão algébrica que remete ao valor da reação de apoios excedentes, e a determinação da equação que rege a deformação causada pelos determinados tipos de carregamentos nas vigas hiperestáticas escolhidas. Os casos a se analisar, estão contidos na Tabela 4.1 abaixo. 31 VIGAS ESTUDADAS PARTE I Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Tabela 4. 3 – Casos genéricos de vigas estudadas- Parte I 32 VIGAS ESTUDADAS PARTE II Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Tabela 4. 2 – Casos genéricos de vigas estudadas- Parte II Para a uma melhor organização deste trabalho, as aplicações e demonstrações do caso 1 ao 8, estão contidas no Apêndice C. 33 4.2. Método de Aplicação Posteriormente, com o auxílio das equações relativas das vigas hiperestáticas determinadas nesse trabalho, utilizando o tópico anterior, será realizado aplicações algébricas para variáveis estratégicas. As aplicações terão a finalidade de analisar o trabalho desenvolvido, verificando a validade das equações encontradas com os resultados de outras publicações. Este tópico será desenvolvido nos seguintes passos: i. Analise de distribuição dos carregamentos; ii. Rearranjo dos valores das seções das vigas desenvolvidas para pontos singulares; iii. Comparação das novas equações encontradas com os existentes no material publicado pela USP. 34 5. Aplicações Como determinado, serão realizadas aplicações algébricas para variáveis estratégicas com o intuito de verificar e comparar a validade das equações. O material a ser comparado segue em anexo, Apêndice B. - Caso 1: Utilizando a equação demostrada do caso 1, seção 1(vide Anexo C), tem-se: • 𝑉𝑎 = 𝑞𝑏 2𝐿³ [−𝑐3 + 𝑏2 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 3(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] + 3(2𝑐+𝑏)[(𝑎+𝑏)2+𝐿2] 2 ] • 𝐸𝐼𝑣1 = 𝑉𝑎𝑥³ 6 + 𝑞𝑏3𝑥 24 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 𝑥 Para 𝑎 = 0 , 𝑐 = 0 e 𝑏 = 𝐿; Figura 5. 1 - Caso 1 com carga distribuida em todo seu comprimento Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se a reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = 𝑞𝑏 2𝐿³ [−𝑐3 + 𝑏2 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 3(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] + 3(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 2 ] 𝑉𝑎 = 𝑞𝐿 2𝐿³ [−03 + 𝐿2 (0 + 3𝐿 4 ) − 3(0 + 𝐿)[𝐿(2∙ 0 + 𝐿) − 0(0 + 𝐿)] + 3(2 ∙ 0 + 𝐿)[(0 + 𝐿)2 + 𝐿2] 2 ] 𝑉𝑎 = 𝑞 2𝐿² [0 + 3𝐿2 4 − 3𝐿(𝐿2) + 3𝐿[2𝐿2] 2 ] 𝑉𝑎 = 𝑞 2𝐿² [ 3𝐿3 4 − 3𝐿3 + 3𝐿3 2 ] 𝑉𝑎 = 𝑞 2𝐿² [ 3𝐿3 4 − 3𝐿3 + 3𝐿3] 35 𝑉𝑎 = 𝑞 2𝐿² [ 3𝐿3 4 ] 𝑉𝑎 = 3𝑞𝐿 8 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣2 = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24 + 𝑞𝑏3𝑥 24 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 𝑥 + 𝑞𝑏4 48 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 − 𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏) 24 𝐸𝐼𝑣 = ( 3𝑞𝐿 8 ) 𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 0)4 24 + 𝑞𝐿3𝑥 24 − ( 3𝑞𝐿 8 ) 𝐿2𝑥 2 + 𝑞𝐿 2 (0 + 𝐿 2 ) 2 𝑥 + 𝑞𝐿4 48 + ( 3𝑞𝐿 8 ) 𝐿3 3 + 𝑞𝐿 6 (0 + 𝐿 2 ) 3 − 𝑞𝐿𝐿 2 (0 + 𝐿 2 ) 2 − 𝑞𝐿3(0 + 𝐿) 24 𝐸𝐼𝑣 = 𝑞𝐿𝑥³ 16 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝐿3𝑥 24 − 3𝑞𝐿3𝑥 16 + 𝑞𝐿3𝑥 8 + 𝑞𝐿4 48 + 𝑞𝐿4 8 + 𝑞𝐿4 48 − 𝑞𝐿4 16 − 𝑞𝐿4 24 𝐸𝐼𝑣 = 𝑞𝐿𝑥³ 16 − 𝑞𝑥4 24 − 𝑞𝐿3𝑥 48 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 3, Apêndice B, Tabela 3.1b. - Caso 2: Utilizando a equação demostrada do caso 2, seção 1(vide Anexo C), tem-se; • 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑏3 8𝐿3 ( 𝑏 5 − 𝐿) • 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥−𝑎)5 120𝑏 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 24 + 𝑉𝑎𝐿³ 3 + 𝑞𝑏4 120 − 𝑞𝑏3𝐿 24 36 Para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 𝐿; Figura 5. 2 - Caso 2 com carga distribuida em todo seu comprimento Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑏3 8𝐿3 ( 𝑏 5 − 𝐿) 𝑉𝑎 = − 𝑞𝐿3 8𝐿3 ( 𝐿 5 − 𝐿) 𝑉𝑎 = − 𝑞 8 (− 4𝐿 5 ) 𝑉𝑎 = 𝑞𝐿 10 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)5 120𝑏 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 24 + 𝑉𝑎𝐿³ 3 + 𝑞𝑏4 120 − 𝑞𝑏3𝐿 24 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = ( 𝑞𝐿 10 ) 𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 0)5 120𝐿 − ( 𝑞𝐿 10 ) 𝐿2𝑥 2 + 𝑞𝐿3𝑥 24 + ( 𝑞𝐿 10 ) 𝐿³ 3 + 𝑞𝐿4 120 − 𝑞𝐿3𝐿 24 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 𝑞𝐿𝑥³ 60 − 𝑞𝑥5 120𝐿 − 𝑞𝐿3𝑥 20 + 𝑞𝐿3𝑥 24 + 𝑞𝐿4 30 + 𝑞𝐿4 120 − 𝑞𝐿4 24 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 𝑞𝐿𝑥³ 60 − 𝑞𝑥5 120𝐿 − 𝑞𝐿3𝑥 120 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 4, Apêndice B, Tabela 3.1b. 37 - Caso 3: Utilizando a equação demostrada do caso 3, seção 1 (vide Anexo C), tem-se; • 𝑉𝑎 = 𝑞𝑎 2 + 𝑞𝑎4 40𝐿3 − 𝑞𝑎2 4𝐿 • 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝑎 + 𝑞𝑎3𝑥 24 + 𝑞𝑎4𝑥 40𝐿 ( 𝑎 𝐿 − 1) − 𝑞𝑎𝑏2𝑥 4 + 𝑉𝑎(𝑏 2−𝑎2)𝑥 2 + 𝑞𝑎2𝐿𝑥 12 Para 𝑎 = 𝐿 e 𝑏 = 0; Figura 5. 3 - Caso 3 com carga distribuida em todo seu comprimento Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = 𝑞𝑎 2 + 𝑞𝑎4 40𝐿3 − 𝑞𝑎2 4𝐿 𝑉𝑎 = 𝑞𝐿 2 + 𝑞𝐿4 40𝐿3 − 𝑞𝐿2 4𝐿 𝑉𝑎 = 𝑞𝐿 2 + 𝑞𝐿 40 − 𝑞𝐿 4 𝑉𝑎 = 11𝑞𝐿 40 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝑎 + 𝑞𝑎3𝑥 24 + 𝑞𝑎4𝑥 40𝐿 ( 𝑎 𝐿 − 1) − 𝑞𝑎𝑏2𝑥 4 + 𝑉𝑎(𝑏 2 − 𝑎2)𝑥 2 + 𝑞𝑎2𝐿𝑥 12 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = ( 11𝑞𝐿 40 ) 𝑥³ 6 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝐿 + 𝑞𝐿3𝑥 24 + 𝑞𝐿4𝑥 40𝐿 ( 𝐿 𝐿 − 1) − 𝑞𝐿 ∙ 02𝑥 4 + ( 11𝑞𝐿 40 ) (02 − 𝐿2)𝑥 2 + 𝑞𝐿2𝐿𝑥 12 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 11𝑞𝐿𝑥³ 240 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝐿 + 𝑞𝐿3𝑥 24 + 𝑞𝐿2𝑥 40 (0) − 0 + 11𝑞𝐿(−𝐿2)𝑥 80 + 𝑞𝐿3𝑥 12 38 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 11𝑞𝐿𝑥3 240 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝐿 + 𝑞𝐿3𝑥 24 − 11𝑞𝐿3𝑥 80 + 𝑞𝐿3𝑥 12 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 11𝑞𝐿𝑥3 240 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝐿 − 𝑞𝐿3𝑥 80 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 5, Apêndice B, Tabela 3.1b. - Caso 4: Utilizando a equação demostrada do caso 4, seção 2 (vide Anexo C), tem-se; • 𝑉𝑎 = − 3𝑀(𝑎2−𝐿2) 2𝐿3 • 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑀𝑥2 2 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑀𝐿𝑥 + 𝑉𝑎𝐿³ 3 − 𝑀𝐿2 2 Para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 𝐿; Figura 5. 4 - Caso 4 com momento na extremidade Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = − 3𝑀(𝑎2 − 𝐿2) 2𝐿3 𝑉𝑎 = − 3𝑀(02 − 𝐿2) 2𝐿3 𝑉𝑎 = − 3𝑀(−𝐿2) 2𝐿3 𝑉𝑎 = 3𝑀 2𝐿 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑀𝑥2 2 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑀𝐿𝑥 + 𝑉𝑎𝐿³ 3 − 𝑀𝐿2 2 39 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = ( 3𝑀 2𝐿 ) 𝑥³ 6 − 𝑀𝑥2 2 − ( 3𝑀 2𝐿 ) 𝐿2𝑥 2 + 𝑀𝐿𝑥 + ( 3𝑀 2𝐿 ) 𝐿³ 3 − 𝑀𝐿2 2 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 𝑀𝑥³ 4𝐿 − 𝑀𝑥2 2 − 3𝑀𝐿𝑥 4 + 𝑀𝐿𝑥 + 𝑀𝐿² 2 − 𝑀𝐿2 2 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = 𝑀𝑥3 4𝐿 − 𝑀𝑥2 2 + 𝑀𝐿𝑥 4 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 6, Apêndice B, Tabela 3.1b. - Caso 5: Utilizando a equação demostrada do caso 5, seção 2 (vide Anexo C), tem-se; • 𝑉𝑎 = 2𝑞𝑏3 𝐿3 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 2𝑞𝑏𝑐3 𝐿3 − 6𝑞𝑏(𝑎+𝑏)[𝐿(2𝑐+𝑏)−𝑐(𝑐+𝑏)] 𝐿3 + 3𝑞𝑏(2𝑐+𝑏)[(𝑎+𝑏)2+𝐿2] 𝐿3 − 3𝑞𝑏𝑐(𝑎+𝑏) 𝐿2 − 𝑞𝑏3 𝐿2 • 𝑀𝑎 = 𝑉𝑎𝐿 2 − 𝑞𝑏𝑐(𝑎+𝑏) 2𝐿 − 𝑞𝑏3 6𝐿 • 𝐸𝐼𝑣𝑥2 = − 𝑉𝑎𝐿𝑥 2 4 + 𝑞𝑏𝑎(𝑎+𝑏)𝑥2 4𝐿 + 𝑞𝑏(𝐿−2𝑎−𝑏)𝑥2 4 + 𝑞𝑏3𝑥2 12𝐿 + 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥−𝑎)4 24 Para 𝑎 = 0 , 𝑐 = 0 e 𝑏 = 𝐿; Figura 5. 5 - Caso 5 com carga distribuida em todo seu comprimento Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = 2𝑞𝑏3 𝐿3 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 2𝑞𝑏𝑐3 𝐿3 − 6𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] 𝐿3 + 3𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 𝐿3 − 3𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏) 𝐿2 − 𝑞𝑏3 𝐿2 𝑉𝑎 = 2𝑞𝐿3 𝐿3 (0 + 3𝐿 4 ) − 2𝑞𝐿 ∙ 03 𝐿3 − 6𝑞𝐿(0 + 𝐿)[𝐿(2 ∙ 0 + 𝐿) − 0(0 + 𝐿)] 𝐿3 + 3𝑞𝐿(2 ∙ 0 + 𝐿)[(0 + 𝐿)2 + 𝐿2] 𝐿3 − 3𝑞𝐿 ∙ 0(0 + 𝐿) 𝐿2 − 𝑞𝐿3 𝐿2 𝑉𝑎 = 3𝑞𝐿 2 − 0 − 6𝑞𝐿𝐿𝐿2 𝐿3 + 3𝑞𝐿𝐿2𝐿2 𝐿3 − 0 − 𝑞𝐿 40 𝑉𝑎 = 3𝑞𝐿 2 − 6𝑞𝐿 + 6𝑞𝐿 − 𝑞𝐿 𝑉𝑎 = 𝑞𝐿 2 Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se o momento de reação 𝑀𝑎: 𝑀𝑎 = 𝑉𝑎𝐿 2 − 𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏) 2𝐿 − 𝑞𝑏3 6𝐿 𝑀𝑎 = ( 𝑞𝐿 2 ) 𝐿 2 − 𝑞𝐿 ∙ 0(0 + 𝐿) 2𝐿 − 𝑞𝐿3 6𝐿 𝑀𝑎 = 𝑞𝐿² 4 − 0 − 𝑞𝐿2 6 𝑀𝑎 = 𝑞𝐿² 12 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣𝑥2 = − 𝑉𝑎𝐿𝑥 2 4 + 𝑞𝑏𝑎(𝑎 + 𝑏)𝑥2 4𝐿 + 𝑞𝑏(𝐿 − 2𝑎 − 𝑏)𝑥2 4 + 𝑞𝑏3𝑥2 12𝐿 + 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24 𝐸𝐼𝑣 = − ( 𝑞𝐿 2 ) 𝐿𝑥2 4 + 𝑞𝐿 ∙ 0(0 + 𝐿)𝑥2 4𝐿 + 𝑞𝐿[𝐿 − (2 ∙ 0) − 𝐿]𝑥2 4 + 𝑞𝐿3𝑥2 12𝐿 + ( 𝑞𝐿 2 ) 𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 0)4 24 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑞𝐿2𝑥2 8 + 0 + 0 + 𝑞𝐿2𝑥212 + 𝑞𝐿𝑥³ 12 − 𝑞𝑥4 24 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑞𝐿2𝑥2 24 + 𝑞𝐿𝑥³ 12 − 𝑞𝑥4 24 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 7, Apêndice B, Tabela 3.1b. 41 - Caso 6: Utilizando a equação demostrada do caso 6, seção 2 (vide Anexo C), tem-se; • 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑏3 2𝐿3 ( 𝑏 5 − 𝐿 2 ) • 𝑀𝑎 = 𝑉𝑎𝐿 2 − 𝑞𝑏3 24𝐿 • 𝐸𝐼𝑣2 = − 𝑀𝑎𝑥 2 2 + 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥−𝑎)5 120𝑏 Para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 𝐿; Figura 5. 6 - Caso 6 com carga distribuida em todo seu comprimento Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑏3 2𝐿3 ( 𝑏 5 − 𝐿 2 ) 𝑉𝑎 = − 𝑞𝐿3 2𝐿3 ( 𝐿 5 − 𝐿 2 ) 𝑉𝑎 = − 𝑞 2 (− 3𝐿 10 ) 𝑉𝑎 = 3𝑞𝐿 20 Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se o momento de reação 𝑀𝑎: 𝑀𝑎 = 𝑉𝑎𝐿 2 − 𝑞𝑏3 24𝐿 𝑀𝑎 = ( 3𝑞𝐿 20 ) 𝐿 2 − 𝑞𝐿3 24𝐿 𝑀𝑎 = 3𝑞𝐿² 40 − 𝑞𝐿2 24 𝑀𝑎 = 𝑞𝐿² 30 42 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣2 = − 𝑀𝑎𝑥 2 2 + 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)5 120𝑏 𝐸𝐼𝑣 = − ( 𝑞𝐿² 30 ) 𝑥2 2 + ( 3𝑞𝐿 20 ) 𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 0)5 120𝐿 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑞𝐿²𝑥2 60 + 𝑞𝐿𝑥³ 40 − 𝑞𝑥5 120𝐿 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 8, Apêndice B, Tabela 3.1b. - Caso 7: Utilizando a equação demostrada do caso 7, seção 1 (vide Anexo C), tem-se; • 𝑉𝑎 = − 2𝑃𝑏3 𝐿3 + 3𝑃𝑏2 𝐿2 • 𝑀𝑎 = 𝑉𝑎𝐿 2 − 𝑃𝑏2 2𝐿 • 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = − 𝑀𝑎𝑥 2 2 + 𝑉𝑎𝑥³ 6 Para 𝑎 = 𝐿 2 e 𝑏 = 𝐿 2 , temos; Figura 5. 7 - Caso 7 com carga no meio do vão Fonte: Elaborada pelo autor Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 𝑉𝑎 = − 2𝑃𝑏3 𝐿3 + 3𝑃𝑏2 𝐿2 𝑉𝑎 = − 2𝑃(𝐿 2⁄ ) 3 𝐿3 + 3𝑃(𝐿 2⁄ ) 2 𝐿2 43 𝑉𝑎 = − 2𝑃𝐿3 8𝐿3 + 3𝑃𝐿2 4𝐿2 𝑉𝑎 = − 𝑃 4 + 3𝑃 4 𝑉𝑎 = 𝑃 2 Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se o momento de reação 𝑀𝑎: 𝑀𝑎 = 𝑉𝑎𝐿 2 − 𝑃𝑏2 2𝐿 𝑀𝑎 = ( 𝑃 2 ) 𝐿 2 − 𝑃(𝐿 2⁄ ) 2 2𝐿 𝑀𝑎 = 𝑃𝐿 4 − 𝑃𝐿2 8𝐿 𝑀𝑎 = 𝑃𝐿 4 − 𝑃𝐿 8 𝑀𝑎 = 𝑃𝐿 8 Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = − 𝑀𝑎𝑥 2 2 + 𝑉𝑎𝑥³ 6 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = − ( 𝑃𝐿 8 ) 𝑥2 2 + ( 𝑃 2 ) 𝑥³ 6 𝐸𝐼𝑣(𝑥) = − 𝑃𝐿𝑥2 16 + 𝑃𝑥³ 12 Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 9, Apêndice B, Tabela 3.1b. 44 6. Conclusão Desenvolvido o estudo para materiais que obedecem a teoria de vigas de Euller-Bernoulli, observou-se que é possível a linearização para a determinação da deformada de vigas hiperestáticas. De fato, se faz necessário a utilização de outras ferramentas, além das equações da estática, para dedução da equação que rege a deformação de estruturas estaticamente indeterminadas. O tema e o método discutido ao longo deste trabalho, mostrou-se trabalhoso para casos de distribuições genéricas de carregamento, entretanto, tornou-se uma boa ferramenta para determinação das ELE’s quando solicitado. A aplicabilidade do método de superposição dos efeitos e do método de integração direta, mostrou-se eficaz na determinação da equação da linha elástica, obtendo resultado satisfatório quando aplicadas para distribuição de carregamentos estratégicos e quando confrontadas com o material redigido por Pinheiro, Catoia e Catoia (USP 2010). 6.1. Trabalhos Propostos Sendo imprescindível para a formação acadêmica em Engenharia Civil, a teoria da linha elástica aplicada em estruturas hiperestáticas, apresentada pela disciplina de Mecânica dos Sólidos, é de notória importância para estudantes que vislumbram seguir a carreira na área de estruturas. Seguindo a mesma linha de estudo, pode-se vislumbrar a análise de estruturas articuladas ou continuas, como pórticos ou treliças, com a particularidade da hiperestaticidade utilizando o método de energia, ou até mesmo o método da superposição dos efeitos. 45 Referencias BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 1995. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 2012. CODOVIL, F. A. B.; CADAMURO, I. W. Barras estruturais de contraventamento. Universidade Estadual de Maringá – Departamento de Engenharia Civil, 2003. FERTIS, D. Non linear mechanics. CRP Press, Florida, 1993. GONCALVES, I. H. Análise de deformações em vigas com comportamento geometricamente não-linear. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA, Itajubá, 2006. CONCEIÇÃO, D. S.; Demonstrações de Equações da Linha Elástica para Vigas Isostáticas. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA, Cruz das Almas, 2016. GERE, J. M.; Mecânica dos Materiais. São Paulo, Pioneira Thomson, 2003. HIBBELER, R. C. Engineering Mechanics: Statics. [S.l.]: Prentice Hall PTR, 1987. MELLO, E. H. V. M. D. Análise dinâmica de vigas de Euler-Bernoulli e de Timoshenko com o Método das Diferenças Finitas. Curso de Eng. Civil, Setor de Tecnologia da Universidade Federal do Paraná, CURITIBA, 2014. ROCHA, E. V. C. M. d. P. Jadir de S.; SIQUEIRA, M. L. Flexão estática em amostras pequenas livres de defeitos. Instituição Nacional de Pesquisas da Amazônia, Manaus, 1988. PINHEIRO, L. M.; CATOIA, B.; CATOIA, T. TABELA DE VIGAS: Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito. 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Universidade Federal do Paraná, 2014. 46 Apêndice A – Tabela de Vigas Isostáticas Tabela de vigas Isostáticas Caso Vinculação e Carregamento ELE’s 1 • Seção I: 𝐸𝐼𝜃𝐼 = 𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏) 2 + 𝑞𝑏3 6 𝐸𝐼𝑣𝐼 = 𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 6 + 𝑞𝑏𝑐3 6 − 𝑞𝑏3 6 (𝑎 + 3𝑏 4 ) + 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝐶(𝑐 + 𝑏)] 2 − 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 4 • Seção II: 𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = − 𝑞(𝑥 − 𝑎)3 6 + 𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏) 2 + 𝑞𝑏3 6 𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 = − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24 + 𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 6 + 𝑞𝑏𝑐3 6 − 𝑞𝑏3 6 (𝑎 + 3𝑏 4 ) + 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝐶(𝑐 + 𝑏)] 2 − 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 4 • Seção III: 𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼𝐼 = − 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)𝑥 2 − 𝑞𝑏(𝐿 − 𝑥)2 2 + 𝑞𝑏𝐿(2𝑐 + 𝑏) 2 𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼𝐼 = − 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)𝑥2 4 + 𝑞𝑏(𝐿 − 𝑥)3 6 + 𝑞𝑏𝐿(2𝑐 + 𝑏)𝑥 2 − 𝑞𝑏𝐿2(2𝑐 + 𝑏) 4 2 • Seção I: 𝐸𝐼𝜃𝐼 = 𝑞𝑏3 24 𝐸𝐼𝑣𝐼 = 𝑞𝑏3𝑥 24 + 𝑞𝑏3 24 ( 𝑏 5 − 𝐿) • Seção II: 𝐸𝐼𝜃𝐼 = − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24𝑏 + 𝑞𝑏3 24 𝐸𝐼𝑣𝐼 = − 𝑞(𝑥 − 𝑎)5 120𝑏 + 𝑞𝑏3𝑥 24 + 𝑞𝑏3 24 ( 𝑏 5 − 𝐿)3 • Seção I: 𝐸𝐼𝜃𝐼 = − 𝑞𝑥3 6 + 𝑞𝑥4 24𝑎 + 𝑞𝑎3 24 − 𝑞𝑎2𝐿 6 + 𝑞𝑎𝐿2 4 𝐸𝐼𝑣𝐼 = − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝑎 + 𝑞𝑎3𝑥 24 − 𝑞𝑎2𝐿𝑥 6 + 𝑞𝑎𝐿2𝑥 4 + 𝑞𝑎2𝐿2 12 − 𝑞𝑎𝐿3 6 − 𝑞𝑎4 120 • Seção II: 𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = 𝑞𝑎2𝑥 6 − 𝑞𝑎𝑥2 4 − 𝑞𝑎2𝐿 6 + 𝑞𝑎𝐿2 4 𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 = 𝑞𝑎2𝑥2 12 − 𝑞𝑎𝑥3 12 − 𝑞𝑎2𝐿𝑥 6 + 𝑞𝑎𝐿2𝑥 4 + 𝑞𝑎2𝐿2 12 − 𝑞𝑎𝐿3 6 47 4 • Seção I: 𝐸𝐼𝜃𝐼 = 𝑀𝑏 𝐸𝐼𝑣𝐼 = 𝑀𝑏𝑥 + 𝑀(𝑎2 − 𝐿2) 2 • Seção II: 𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = −𝑀𝑥 + 𝑀𝐿 𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 = −𝑀𝑥2 2 + 𝑀𝐿𝑥 − 𝑀𝐿2 2 5 • Seção I: 𝐸𝐼𝜃𝐼 = 𝑃𝑏2 2 𝐸𝐼𝑣𝐼 = 𝑃𝑏2𝑥 2 + 𝑃𝑏3 6 − 𝑃𝑏2𝐿 2 • Seção II: 𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = −𝑃𝑏𝑥 − 𝑃(𝐿 − 𝑥)2 2 + 𝑃𝑏𝑙 𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 = −𝑃𝑏𝑥2 2 + 𝑃(𝐿 − 𝑥)3 6 + 𝑃𝑏𝑙𝑥 − 𝑃𝑏𝐿2 2 Fonte: Elaborada pelo Autor 48 Apêndice B – Tabela de Vigas USP, Departamento de Engenharia de Estruturas Adaptação da Tabela de Vigas: Deslocamento e Momento de Engaste Perfeito, USP,2010. Tabela 3.1b Deslocamento Elástico em Vigas, USP (Adaptada) Caso Vinculação e carregamento Equação da Elástica 1 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑃𝑥3 6 + 𝑃𝐿2𝑥 2 − 𝑃𝐿3 3 2 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑀𝐿2 2 + 𝑀𝐿𝑥 − 𝑃𝑥2 2 3 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑝𝑥4 24 + 𝑝𝐿𝑥3 16 − 𝑝𝐿3𝑥 48 4 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑝𝑥5 120𝐿 + 𝑝𝐿𝑥3 60 − 𝑝𝐿3𝑥 120 5 𝐸𝐼𝑣 = 𝑝𝑥5 120𝐿 − 𝑝𝑥4 24 + 11𝑝𝐿𝑥3 240 − 𝑝𝐿3𝑥 80 6 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑀𝑥3 4𝐿 + 𝑀𝑥2 2 − 𝑀𝐿𝑥 4 7 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑝𝑥4 24 + 𝑝𝐿𝑥3 12 − 𝑝𝐿2𝑥2 24 8 𝐸𝐼𝑣 = − 𝑝𝑥5 120𝐿 + 𝑝𝐿𝑥3 40 − 𝑝𝐿2𝑥2 60 9 Seção I: 𝐸𝐼𝑣 = 𝑃𝑥3 12 − 𝑃𝐿𝑥2 16 49 Apêndice C – Demonstrações das Equações da Linha Elástica Caso 1: I. Decomposição em estruturas primarias: Figura C. 1 - Caso 1 – Deccomposição da estrutura II. ELE’s das vigas Isostáticas: • Deflexão devido a reação de apoio 𝑽𝒂, (Apêndice B): 𝐸𝐼𝑣𝐴 = 𝑉𝑎𝑥 3 6 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 • Deflexão devido a carga distribuída 𝒒 (Apêndice A): 𝐸𝐼𝑣𝐵1 = 𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 6 + 𝑞𝑏𝑐3 6 − 𝑞𝑏3 6 (𝑎 + 3𝑏 4 ) + 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] 2 − 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 4 III. Sobreposição dos efeitos; Em 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑇 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵1 = 0; 𝑣𝑇 = ( 𝑞𝑏𝑐3 6 − 𝑞𝑏3 6 (𝑎 + 3𝑏 4 ) + 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] 2 − 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 4 ) + 𝑉𝑎𝐿 3 3 = 0 𝑉𝑎𝐿 3 3 = − 𝑞𝑏𝑐3 6 + 𝑞𝑏3 6 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] 2 + 𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 4 50 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑏𝑐3 2𝐿3 + 𝑞𝑏3 2𝐿3 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 3𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] 2𝐿3 + 3𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 4𝐿3 𝑉𝑎 = 𝑞𝑏 2𝐿³ [−𝑐3 + 𝑏2 (𝑎 + 3𝑏 4 ) − 3(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] + 3(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2] 2 ] IV. Calculo reação de apoio: Figura C. 2 - Caso 1 – Cálculo das reações de apoio ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 − 𝑞𝑏 = 0 𝑉𝑏 = 𝑞𝑏 − 𝑉𝑎 ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝑏𝐿 − 𝑞𝑏 (𝑎 + 𝑏 2 ) − 𝑀𝑏 = 0 𝑀𝑏 = −𝑞𝑏 (𝑐 + 𝑏 2 ) + 𝑉𝑏𝐿 51 V. Calculo do Momento Fletor, Rotação e Deflexão de cada seção; • Seção 1 (AC): para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 Figura C. 3 - Caso 1 – Momento em relação à x, seção 1 𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 Integrando: 𝐸𝐼𝜃1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 2 2 + 𝐶1 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 3 6 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 • Seção 2 (CD): para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 Figura C. 4 - Caso 1 – Momento em relação à x, seção 2 𝑀2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)² 2 52 Integrando: 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)3 6 + 𝐶3 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24 +𝐶3𝑥 + 𝐶4 • Seção 3 (DB): para 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 Figura C. 5 - Caso 1 – Momento em relação à x, seção 3 𝑀3(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞𝑏 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] Integrando: 𝐸𝐼𝜃3(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞𝑏 2 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 2 + 𝐶5 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣3(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞𝑏 6 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 3 𝐶5𝑥 + 𝐶6 53 VI. Condições de contorno: • Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝜃3 = 0 ; 𝜃3 = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞𝑏 2 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 2 + 𝐶5 𝑉𝑎𝐿² 2 − 𝑞𝑏 2 [𝐿 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 2 + 𝐶5 = 0 𝐶5 = − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 • Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑣3 = 0; 𝑣3 = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞𝑏 6 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 3 𝐶5𝑥 + 𝐶6 𝑉𝑎𝐿³ 6 − 𝑞𝑏 6 [𝐿 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 3 + [− 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 ] 𝐿 + 𝐶6 = 0 𝐶6 = − 𝑉𝑎𝐿 3 6 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 + 𝑉𝑎𝐿 3 2 − 𝑞𝑏𝐿 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 𝐶6 = 𝑉𝑎𝐿³ 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 • Para 𝑥 = (𝑎 + 𝑏) ⇒ 𝜃3 = 𝜃2 𝑒 𝑣3 = 𝑣2 ; 𝜃3(𝑎 + 𝑏) = 𝜃2(𝑎 + 𝑏) 𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)² 2 − 𝑞𝑏 2 [(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 + 𝑏 2 )] 2 + 𝐶5 = 𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)² 2 − 𝑞[(𝑎 + 𝑏) − 𝑎]3 6 + 𝐶3 𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)² 2 − 𝑞𝑏 2 ( 𝑏 2 ) 2 + 𝐶5 = 𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏) 2 2 − 𝑞𝑏3 6 + 𝐶3 𝐶3 = − 𝑞𝑏3 8 + 𝑞𝑏3 6 + 𝐶5 𝐶3 = 𝑞𝑏3 24 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 54 • Para 𝑥 = (𝑎 + 𝑏) ⇒ 𝑣3 = 𝑣2 ; 𝑣3(𝑎 + 𝑏) = 𝑣2(𝑎 + 𝑏) 𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)³ 6 − 𝑞𝑏 6 [(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 + 𝑏 2 )] 3 + 𝐶5(𝑎 + 𝑏) + 𝐶6 = 𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)³ 6 − 𝑞((𝑎 + 𝑏) − 𝑎)4 24 +𝐶3(𝑎 + 𝑏) + 𝐶4 − 𝑞𝑏 6 ( 𝑏 2 ) 3 + 𝐶5(𝑎 + 𝑏) + 𝐶6 = − 𝑞𝑏4 24 +𝐶3(𝑎 + 𝑏) + 𝐶4 − 𝑞𝑏4 48 + [− 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 ] (𝑎 + 𝑏) + 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 = − 𝑞𝑏4 24 + [ 𝑞𝑏3 24 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 ] (𝑎 + 𝑏) + 𝐶4 𝐶4 = − 𝑞𝑏4 48 − 𝑉𝑎𝐿 2(𝑎 + 𝑏) 2 + 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏) 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 + 𝑞𝑏4 24 − 𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏) 24 + 𝑉𝑎𝐿 2(𝑎 + 𝑏) 2 − 𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏) 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 𝐶4 = 𝑞𝑏4 48 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 − 𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏) 24 • Para 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝜃2 = 𝜃1 ; 𝜃2(𝑎) = 𝜃1(𝑎) 𝑉𝑎𝑎 2 2 − 𝑞(𝑎 − 𝑎)3 6 + 𝐶3 = 𝑉𝑎𝑎 2 2 + 𝐶1 𝐶3 = 𝐶1 • Para 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣1 = 0; 𝑣1 = 𝑉𝑎𝑥³ 6 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 𝑉𝑎0³ 6 + 𝐶10 + 𝐶2 = 0 𝐶2 = 055 VII. Equação da Linha elástica em função da reação 𝑽𝒂; • Seção 1 (AC); 𝐸𝐼𝜃1 = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞𝑏3 12 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 𝐸𝐼𝑣1 = 𝑉𝑎𝑥³ 6 + 𝑞𝑏3𝑥 24 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 𝑥 • Seção 2 (CD); 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)3 6 + 𝑞𝑏3 24 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 3 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24 + 𝑞𝑏3𝑥 24 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 𝑥 + 𝑞𝑏4 48 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 − 𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏) 24 • Seção 3 (DB); 𝐸𝐼𝜃3(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞𝑏 2 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 2 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 𝐸𝐼𝑣3(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞𝑏 6 [𝑥 − (𝑎 + 𝑏 2 )] 3 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏 2 [𝑐 + 𝑏 2 ] 2 𝑥 + 𝑉𝑎𝐿³ 3 + 𝑞𝑏 6 (𝑐 + 𝑏 2 ) 3 − 𝑞𝑏𝐿 2 (𝑐 + 𝑏 2 ) 2 56 Caso 2: I. Decomposição em estruturas primarias: Figura C. 6 - Caso 2 – Deccomposição da estrutura II. ELE’s das vigas Isostáticas: • Deflexão devido a reação de apoio 𝑽𝒂, (Apêndice B): 𝐸𝐼𝑣𝐴 = 𝑉𝑎𝑥 3 6 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 • Deflexão devido o carregamento 𝒒, (Apêndice A): 𝐸𝐼𝑣𝐵1 = 𝑞𝑏3𝑥 24 + 𝑞𝑏3 24 ( 𝑏 5 − 𝐿) III. Sobreposição dos efeitos Em 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑇 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵1 = 0; 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑏3 24 ( 𝑏 5 − 𝐿) = 0 𝑉𝑎 = − 𝑞𝑏3 8𝐿3 ( 𝑏 5 − 𝐿) 57 IV. Calculo reação de apoio; Figura C. 7 - Caso 2 – Cálculo das reações de apoio ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 − 𝑞𝑏 2 = 0 𝑉𝑏 = 𝑞𝑏 2 − 𝑉𝑎 ∑ 𝑀𝐵 = 0 −𝑉𝑎𝐿 + 𝑞𝑏 2 𝑏 3 − 𝑀𝑏 = 0 𝑀𝑏 = 𝑞𝑏2 6 − 𝑉𝑎𝐿 V. Calculo do Momento Fletor, Rotação e Deflexão de cada seção; • Seção 1 (AC): para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 Figura C. 8 - Caso 2 – Momento em relação à x, seção 1 𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 58 Integrando: 𝐸𝐼𝜃1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 + 𝐶1 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 • Seção 2 (CB): para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 Figura C. 9 - Caso 2 – Momento em relação à x, seção 2 𝑀2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)³ 6𝑏 Integrando: 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24𝑏 + 𝐶3 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)5 120𝑏 +𝐶3𝑥 + 𝐶4 VI. Condições de contorno; • Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝜃2 = 0 ; 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24𝑏 + 𝐶3 𝑉𝑎𝐿² 2 − 𝑞(𝐿 − 𝑎)4 24𝑏 + 𝐶3 = 0 𝐶3 = − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏3 24 59 • Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑣2 = 0 ; 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)5 120𝑏 + [− 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏3 24 ] 𝑥 + 𝐶4 𝑉𝑎𝐿³ 6 − 𝑞(𝐿 − 𝑎)5 120𝑏 − 𝑉𝑎𝐿 3 2 + 𝑞𝑏3𝐿 24 + 𝐶4 = 0 𝐶4 = 𝑉𝑎𝐿³ 3 + 𝑞𝑏4 120 − 𝑞𝑏3𝐿 24 • Para 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝜃2 = 𝜃1 ; 𝜃2(𝑎) = 𝜃1(𝑎) 𝑉𝑎𝑎² 2 − 𝑞(𝑎 − 𝑎)4 24𝑏 + 𝐶3 = 𝑉𝑎𝑎² 2 + 𝐶1 𝐶3 = 𝐶1 • Para 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣1 = 0; 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 𝑉𝑎0³ 6 + 𝐶10 + 𝐶2 = 0 𝐶2 = 0 VII. Equação da Linha elástica em função da reação 𝑽𝒂; • Seção 1 (AC); 𝐸𝐼𝜃1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏3 24 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 24 • Seção 2 (CB); 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)4 24𝑏 − 𝑉𝑎𝐿 2 2 + 𝑞𝑏3 24 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞(𝑥 − 𝑎)5 120𝑏 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑞𝑏3𝑥 24 + 𝑉𝑎𝐿³ 3 + 𝑞𝑏4 120 − 𝑞𝑏3𝐿 24 60 Caso 3: I. Decomposição em estruturas primarias: Figura C. 10 - Caso 3 – Deccomposição da estrutura II. ELE’s das vigas Isostáticas: • Deflexão devido a reação de apoio 𝑽𝒂, (Apêndice B): 𝐸𝐼𝑣𝐴 = 𝑉𝑎𝑥 3 6 − 𝑉𝑎𝐿 2𝑥 2 + 𝑉𝑎𝐿 3 3 • Deflexão devido ao carregamento 𝒒, (Apêndice A): 𝐸𝐼𝑣𝐵1 = − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝑎 + 𝑞𝑎3𝑥 24 − 𝑞𝑎2𝐿𝑥 6 + 𝑞𝑎𝐿2𝑥 4 + 𝑞𝑎2𝐿2 12 − 𝑞𝑎𝐿3 6 − 𝑞𝑎4 120 III. Sobreposição dos efeitos Em 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑇 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵1 = 0; 𝑉𝑎𝐿 3 3 + 𝑞𝑎2𝐿2 12 − 𝑞𝑎𝐿3 6 − 𝑞𝑎4 120 = 0 𝑉𝑎𝐿 3 3 = − 𝑞𝑎2𝐿2 12 + 𝑞𝑎𝐿3 6 + 𝑞𝑎4 120 𝑉𝑎 = 𝑞𝑎 2 + 𝑞𝑎4 40𝐿3 − 𝑞𝑎2 4𝐿 61 IV. Calculo reação de apoio; Figura C. 11 - Caso 3 – Cálculo das reações de apoio ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 − 𝑞𝑎 2 = 0 𝑉𝑏 = 𝑞𝑎 2 − 𝑉𝑎 ∑ 𝑀𝐵 = 0 −𝑉𝑎𝐿 + 𝑞𝑎 2 (𝐿 − 𝑎 3 ) − 𝑀𝑏 = 0 𝑀𝑏 = 𝑞𝑎𝐿 2 − 𝑞𝑎2 6 − 𝐿 ( 𝑞𝑎 2 + 𝑞𝑎4 40𝐿3 − 𝑞𝑎2 4𝐿 ) 𝑀𝑏 = 𝑞𝑎2 12 − 𝑞𝑎4 40𝐿2 V. Calculo do Momento Fletor, Rotação e Deflexão de cada seção; • Seção 1 (AC): para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 Figura C. 12 - Caso 3 – Momento em relação à x, seção 1 62 𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞(𝑎 − 𝑥)𝑥2 2𝑎 − [𝑞 − 𝑞(𝑎 − 𝑥) 𝑎 ] 𝑥2 3 𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞𝑥2 2 + 𝑞𝑥3 2𝑎 − ( 𝑞𝑥 𝑎 ) 𝑥2 3 𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞𝑥2 2 + 𝑞𝑥3 6𝑎 Integrando: 𝐸𝐼𝜃1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥² 2 − 𝑞𝑥3 6 + 𝑞𝑥4 24𝑎 + 𝐶1 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥³ 6 − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑥5 120𝑎 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 • Seção 2 (CB): para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 Figura C. 13 - Caso 3 – Momento em relação à x, seção 2 𝑀2(𝑥) = −𝑀𝑏 + 𝑉𝑏(𝐿 − 𝑥) 𝑀2(𝑥) = − 𝑞𝑎2 12 + 𝑞𝑎4 40𝐿2 + 𝑞𝑎(𝐿 − 𝑥) 2 − 𝑉𝑎(𝐿 − 𝑥) Integrando: 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = − 𝑞𝑎2𝑥 12 + 𝑞𝑎4𝑥 40𝐿2 − 𝑞𝑎(𝐿 − 𝑥)2 4 + 𝑉𝑎(𝐿 − 𝑥) 2 2 + 𝐶3 Integrando novamente: 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = − 𝑞𝑎2𝑥2 24 + 𝑞𝑎4𝑥2 80𝐿2 + 𝑞𝑎(𝐿 − 𝑥)3 12 − 𝑉𝑎(𝐿 − 𝑥) 3 6 +𝐶3𝑥 + 𝐶4 63 VI. Condições de contorno; • Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝜃2 = 0 ; 𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = − 𝑞𝑎2𝑥 12 + 𝑞𝑎4𝑥 40𝐿2 − 𝑞𝑎 4 (𝐿 − 𝑥)2 + 𝑉𝑎 2 (𝐿 − 𝑥)2 + 𝐶3 − 𝑞𝑎2𝐿 12 + 𝑞𝑎4𝐿 40𝐿2 − 𝑞𝑎 4 (𝐿 − 𝐿)2 + 𝑉𝑎 2 (𝐿 − 𝐿)2 + 𝐶3 = 0 𝐶3 = 𝑞𝑎2𝐿 12 − 𝑞𝑎4 40𝐿 • Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑣2 = 0 ; 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = − 𝑞𝑎2𝑥2 24 + 𝑞𝑎4𝑥2 80𝐿2 + 𝑞𝑎 12 (𝐿 − 𝑥)3 − 𝑉𝑎 6 (𝐿 − 𝑥)3 + [ 𝑞𝑎2𝐿 12 − 𝑞𝑎4 40𝐿 ] 𝑥 + 𝐶4 − 𝑞𝑎2𝐿2 24 + 𝑞𝑎4𝐿2 80𝐿2 + 𝑞𝑎 12 (𝐿 − 𝐿)3 − 𝑉𝑎 6 (𝐿 − 𝐿)3 + 𝑞𝑎2𝐿2 12 − 𝑞𝑎4𝐿 40𝐿 + 𝐶4 = 0 𝐶4 = 𝑞𝑎4 80 − 𝑞𝑎2𝐿2 24 • Para 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝜃1 = 𝜃2 ; 𝜃1(𝑎) = 𝜃2(𝑎) 𝑉𝑎𝑎² 2 − 𝑞𝑎3 6 + 𝑞𝑎4 24𝑎 + 𝐶1 = − 𝑞𝑎2𝑎 12 + 𝑞𝑎4𝑎 40𝐿2 − 𝑞𝑎 4 (𝐿 − 𝑎)2 + 𝑉𝑎 2 (𝐿 − 𝑎)2 + 𝐶3 𝑉𝑎𝑎² 2 − 𝑞𝑎3 6 + 𝑞𝑎3 24 + 𝐶1 = − 𝑞𝑎3 12 + 𝑞𝑎5 40𝐿2 − 𝑞𝑎𝑏2 4 + 𝑉𝑎𝑏 2 2 + ( 𝑞𝑎2𝐿 12 − 𝑞𝑎4 40𝐿 ) 𝐶1 = 𝑞𝑎3 24 + 𝑞𝑎4 40𝐿 ( 𝑎 𝐿 − 1) − 𝑞𝑎𝑏2 4 + 𝑉𝑎(𝑏 2 − 𝑎2) 2 +
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