Buscar

Equação da Linha Elástica em Vigas Hiperestáticas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 93 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 93 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 93 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA 
ELÁSTICA PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS 
 
 
 
 
CLAUDIUS ADRIANO ROZENDO BOMFIM 
 
 
 
 
 
 
 
CRUZ DAS ALMAS 
2016 
 
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
 
 
 
 
 
DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA 
ELÁSTICA PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLAUDIUS ADRIANO ROZENDO BOMFIM 
 
 
 
 
 
CRUZ DAS ALMAS 
2016 
Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade 
Federal do Recôncavo da Bahia como parte dos requisitos para a 
obtenção do título de Bacharel Graduado em Ciências Exatas e 
Tecnológicas. 
Orientador: Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês 
 
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
 
 
CLAUDIUS ADRIANO ROZENDO BOMFIM 
 
 
DEMOSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO DA LINHA 
ELÁSTICA PARA VIGAS HIPERESTÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
Aprovado em X/XX/2017. 
EXAMINADORES: 
_______________________________________________ 
Prof. Dr. Denis Rinaldi Petrucci 
 
 
_______________________________________________ 
Prof. Helio Guimarães Aragão 
 
 
_______________________________________________ 
Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês 
 
CRUZ DAS ALMAS 
2016 
 
Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade 
Federal do Recôncavo da Bahia como parte dos requisitos para a 
obtenção do título de Bacharel Graduado em Ciências Exatas e 
Tecnológicas. 
Orientador: Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês 
 
Agradecimentos 
 
 
Primeiramente, com todo amor e respeito, agradeço aos meus pais Manoel do Rosário 
Bomfim e Clarice Rozendo Bomfim por serem meu alicerce e por toda dedicação, amor, 
sacrifício, carinho e confiança que dedicaram para minha formação cidadã e profissional. 
Agradeço a meus familiares e irmãos Felisberto, Gabriel e Manoela pelo apoio e 
amizade, além de serem exemplo de dedicação e lealdade. 
Como nenhuma batalha é vencida sozinha, agradeço as pessoas que estiveram ao meu 
lado, como verdadeiros soldados estimulando com que eu vencesse essa grande etapa. 
Agradeço a todos colegas que de alguma forma me ajudaram durante a caminhada pelo 
BCET, em especial a Carol, Tarcisio e Fernanda, amigos conquistados durante esse árduo 
período, que permaneceram e me ajudaram nas piores batalhas. 
Aos meus amigos Israel, Koite, Aldair, Silas, Gustavo, Tacio e Marcos, que ao longo 
dos semestres, se tornaram minha família. Sem esquecer dos grandes George, Kaique, Celso, 
Josimar, Lucas, Joyce e Clarissa por toda torcida e incentivo, mesmo de longe. 
A minha namorada e melhor amiga, Giselle, por ser muito especial em minha vida, pelo 
incentivo e carinho, por ser meu porto, e por toda paciência desde que ingressei na vida 
acadêmica. 
Aos grandes professores desta instituição, que tive a sorte e o prazer de ser aluno e 
absorver ao máximo os conhecimentos e experiências de vida e profissional. 
Ao professor Dr. Carlos Frederico Macedo Cortês (orientador), pelo empenho dedicação 
na elaboração deste trabalho. 
Muito obrigado a todos que estiveram ao meu lado nessa caminhada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
 
 
Resumo 
 
 
Apresentam-se neste trabalho um estudo relativo a análise e aplicação da teoria da linha 
elástica em vigas com a particularidade da hiperestaticidade. Como principal objetivo está a 
determinação da equação que rege a deflexão causada por esforços solicitantes em vigas que 
obedecem a teoria de Euller-Bernoulli. Verifica-se que as equações do equilíbrio não são 
suficientes para a determinação das reações de apoios em vigas hiperestáticas, fazendo-se 
necessário a aplicação de outro método. Para a resolução dos casos apresentados, empregou-se 
o método da superposição dos efeitos e o método da integração direta, facilitando o 
entendimento da teoria da linha elástica além das aplicações em variados casos estruturais, 
focando principalmente, na visualização das equações que caracterizam cada deflexão. Utiliza-
se vigas de dois tipos, engastada-apoiada e bi engastada, variando-se as configurações de 
carregamento e aplicando para casos genéricos já estudados. Concluindo-se que o método 
aplicado apresenta segurança para a determinação das equações da linha elástica para vigas 
hiperestáticas e que, com alguns ajustes, pode-se utilizá-las para carregamentos sobre vigas em 
posições arbitrarias. 
 
 
Palavras-chave: Euller-Bernoulli; Deflexão; Superposição do Efeitos; Integração; Estruturas; 
Hiperestaticidade; 
 
 
 
 
UFRB - Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 
CETEC - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 
BCET-Bacharelado de Ciências Exatas e Tecnológicas 
 
 
 
Abstract 
 
 
In this work are present a relative study for analysis and application of elastic line theory 
in beams with a particularly of hyperstaticity. The main objective is the determination of the 
equation rules the deflection caused by forces requesting beams that obey the theory of Euller-
Bernoulli. It is verified that the equilibrium equations aren’t sufficient for the determination of 
the support reactions in hyperstatic beams, making it necessary to apply another method. For 
resolution the cases presented, was employed the method of overlapping effects and the direct 
integration method, it facilitating the understanding of elastic line theory besides the 
applications in various structural cases, mainly focused, in the visualization of the equations 
that characterize each deflection. Beams of two types are used, crimped-supported and bi-
crimped, varying the loading configurations and applying to generic cases already studied. It is 
concluded that the applied method presents safety for the determination of elastic line equations 
for hyperstatic beams and that, with some adjustments, they can be used for loads on beams in 
arbitrary positions. 
 
 
Keywords: Euller-Bernoulli; Deflection; Effects overlap; Integration; Structures; 
Hyperstaticity; 
 
 
6 
 
Sumário 
1. Introdução ............................................................................................................................ 7 
1.1 Objetivo Geral ......................................................................................................................... 8 
1.2 Objetivos Específicos ............................................................................................................... 8 
2. Revisão Bibliográfica ............................................................................................................. 9 
2.1. Resumo Histórico da Linha Elástica ......................................................................................... 9 
3. Fundamentação Teórica ...................................................................................................... 16 
3.1. Carregamento ........................................................................................................................ 16 
3.1.1. Classificação Enquanto a Natureza................................................................................16 
3.1.2. Classificação Enquanto ao Tipo ..................................................................................... 17 
3.2. Vigas ...................................................................................................................................... 18 
3.2.1. Apoios ............................................................................................................................ 19 
3.2.2. Classificação de acordo com as vinculações ................................................................. 20 
3.2.3. Classificação pelo grau de Estaticidade ......................................................................... 22 
3.3. Equilíbrio de corpos Rígidos .................................................................................................. 22 
3.4. Momento Fletor .................................................................................................................... 23 
3.5. Esforço Cortante .................................................................................................................... 23 
3.6. Equação da Linha Elástica ...................................................................................................... 24 
3.7. Condições de Contorno ......................................................................................................... 29 
4. Desenvolvimento Teórico .................................................................................................... 30 
4.1. Método de Resolução ........................................................................................................... 30 
4.2. Método de Aplicação ............................................................................................................ 33 
5. Aplicações .......................................................................................................................... 34 
6. Conclusão ........................................................................................................................... 44 
6.1. Trabalhos Propostos .............................................................................................................. 44 
Referencias ................................................................................................................................ 45 
Apêndice A – Tabela de Vigas Isostáticas .................................................................................... 46 
Apêndice B – Tabela de Vigas USP, Departamento de Engenharia de Estrutura ............................ 48 
Apêndice C – Demonstrações das Equações da Linha Elástica ....................................................... 49 
Apêndice D - Tabela Condições de Contorno ................................................................................ 92 
 
 
 
 
7 
 
1. Introdução 
 
O trabalho proposto consiste no estudo e na abordagem teórica para determinação de 
equações diferenciais não lineares da linha elástica aplicadas à vigas hiperestáticas. 
Bibliografias referentes ao assunto abordam, de maneira sucinta e breve, as soluções para 
situações comuns. O estudo de particularidades da hiperestaticidade abrange infinitas 
possibilidades de combinações de casos que devem ser esclarecidas ao longo deste trabalho. 
As demonstrações serão construídas utilizando basicamente o método de integração direta 
e o método da superposição dos efeitos, aplicados criteriosamente para vigas que trabalham 
proporcionalmente no regime da Lei de Hooke, desde que as tensões efetivas não extrapolem o 
limite do material. 
A forma da linha elástica de vigas pode ser obtida através da solução linearizada da equação 
diferencial não-linear de segunda ordem, como mostrado em livros de Resistência dos Materiais 
(Beer & Johnston, 1995), Mecânica dos Materiais (Hibbeler, 1997) e Teoria da Elasticidade 
(Timoshenko & Goodier, 1980). 
Os modelos de vigas complexas, podem ser trabalhados por meio de uma técnica analítica, 
relativamente simples, como é o caso do modelo de viga de Euler-Bernoulli ¹, tendo resultados 
satisfatórios. 
No dimensionamento dos elementos estruturais, além de se considerar a resistência do 
material e a rigidez da estrutura, deve-se levar em conta certos valores críticos, característicos 
do carregamento, que podem provocar a sua instabilidade. A linha elástica, que é a curva 
formada pela deflexão do eixo longitudinal de uma viga devido a aplicação de momentos de 
flexão, é um elemento essencial para o dimensionamento. 
As deflexões são calculadas de modo a se analisar se estão dentro do tolerável, papel 
significativo em estruturas estaticamente indeterminadas, onde essencialmente, as condições de 
equilíbrio não são suficientes para a determinação dos esforços internos e das reações de apoios. 
¹ Viga de Euler-Bernoulli consiste no modelo teórico de vigas prismáticas de seção transversal uniforme e constante, com 
comprimento longitudinal como dimensão predominante sobe efeito da teoria linear da elasticidade, onde suas seções permanecem 
planas, indeformadas e ortogonais ao eixo longitudinal. 
 
 
8 
 
O procedimento para determinação das equações da linha elástica (ELE), contará com o 
método da superposição dos efeitos, que se utiliza o emprego das equações de vigas isostáticas, 
compatibilizando os efeitos isolados de deformação, de modo a resulta na estrutura hiperestática 
analisada, possibilitando o cálculo das reações. 
1.1 Objetivo Geral 
Demostrar a importância da teoria da linha elástica para o estudo e determinação das 
equações de deflexões em casos de vigas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas, 
aplicando o método da superposição dos efeitos e integração direta. 
 
1.2 Objetivos Específicos 
• Aplicar conhecimentos adquiridos durante o curso de bacharelado em ciências exatas e 
tecnológicas, especificamente da disciplina de Mecânica dos Sólidos 2; 
• Determinar as reações de apoios; 
• Estudar os resultados e as deformações causadas pelos variados tipos de carregamento 
em vigas hiperestáticas; 
• Demostrar as equações da linha elástica em vigas estaticamente indeterminadas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
2. Revisão Bibliográfica 
2.1. Resumo Histórico da Linha Elástica 
A forma exata da deformada de um elemento flexível é chamada de “elástica”. Alguns 
problemas simples da elástica foram, inicialmente, investigados por Bernoulli, Lagrange, Euler 
e Plana. Soluções também foram obtidas por Fresch-Fay (Fertis, 1993). 
A primeira referência de grandes deformações de elementos flexíveis vem do trabalho 
publicado em 1774 por Leonhard Euler. Segundo Fertis (1993), a teoria da “elástica” é um 
processo clássico do estudo que examina as deformações elásticas de vigas retas sujeitas a uma 
flexão, desenvolvido por Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli e Leonhard Euler no século XVIII. 
Em seu trabalho, Euler mostrou que a inclinação 𝑑𝑦/𝑑𝑥 não pode ser extraída da expressão 
que determina a curvatura sofrida pelo elemento, a menos que a deflexão seja pequena. A 
descoberta foi analisada também por Lagrange, e posteriormente por Plana, que mostrou erros 
na solução de Lagrange. 
Devido a necessidade de minimizar o peso de cada elemento em projetos estruturais, houve 
uma crescente aplicação de materiais poliméricos pelo fato de suportar grandes deslocamentos 
sem exceder o limite elástico. Eventualmente, tais materiais poderiam substituir os 
convencionais, e desde o fim da Segunda Guerra Mundial, o campo dos materiais foi 
revolucionado com a utilização dos polímeros sintéticos (Callister Jr. apud Gonçalves, 2006). 
Para as constantes descobertas de materiais, é interessante determinar se a linearizaçãoda 
equação para se determinar a inclinação do elemento, pode ser aplicada para casos tradicionais 
além de definir quais métodos de solução que podem ser utilizados. 
2.2. A Linha Elástica 
 O elemento chamado de linha elástica é a curva que representa o eixo da viga, inicialmente 
retilíneo, após a deformação devido a aplicação de qualquer carregamento que, 
consequentemente, gera momentos de flexão. 
As equações que derivam da teoria da linha elástica, são de extrema importância nas 
engenharias, principalmente na Engenharia Civil e Engenharia Mecânica, pois visam limitar os 
 
10 
 
 
deslocamentos de determinados pontos da estrutura além de viabilizar a resolução dos sistemas 
estáticos e hiperestáticos. 
Essas deflexões são calculadas para se verificar que elas estão dentro de limites aceitáveis. 
Por exemplo, especificações para o projeto de edifícios usualmente impõem limites superiores 
nas deflexões. Grandes deformações em edifícios são desagradáveis (mesmo sendo 
irrelevantes) e podem levar o surgimento de fendas nas paredes e em tetos. Em projeto de 
máquinas e de aeronaves, as especificações podem limitar as deflexões, evitando vibrações 
indesejáveis. 
Como enfatizado, a determinação da linha elástica do elemento estrutural em análise se 
torna indispensável no ramo da Engenharia. Em estruturas e sistemas mecânicos, acaba-se 
gerando falhas quando submetidos a algum tipo de carregamento, podendo comprometer a 
estrutura e que, por consequência, podem levar ao colapso estrutural. 
Rocha, de Paula e Siqueira (1998) relataram o ensaio de flexão estática numa viga bi 
apoiada, submetida a uma carga pontual P onde foi possível medir a flexão no centro do vão da 
viga de madeira com o auxílio da clássica equação da linha elástica. 
Conceição (2016) apresentou de forma clara os ensaios de flexão estática em painéis 
compensados de madeira realizado por Zonta, Nadal e Prata (2014). O trabalho utilizou uma 
Máquina Universal de Ensaios, aplicando-se juntamente o monitoramento de deslocamentos de 
pontos de interesse através do método de irradiação tridimensional. A cada parada da máquina 
foi efetuado o cálculo da deformação ou deflexão no meio do vão de medição, ou seja, a flecha 
máxima do corpo de prova. A Figura 2.1 apresenta a linha elástica nas primeiras e segunda 
paradas da máquina. 
 
 
 
 
 
11 
 
A deflexão remete a deformação na componente vertical; as normas técnicas especificam 
os valores máximos que podem alcançar, em função das formas geométricas dos diversos 
elementos (ZONTA; PRATA apud Conceição, 2016). 
 
Figura 2. 1- Aspecto do deslocamento da linha elástica na segunda parada da máquina de ensaios 
Fonte: ZONTA, PRATA, 2014 (Adaptado pelo Autor) 
A flecha máxima 𝑓1 se encontra no ponto 𝑃3 (deslocamento máximo da linha elástica) e é 
dada por: 
𝑓1 = 𝛿2 − 𝛿1 
onde: 
▪ 𝑓1: Flecha Máxima ou deslocamento no ponto P3, mensurado com a estação total 
(método de irradiação); 
▪ 𝛿1: Deslocamento da linha elástica na primeira parada da máquina de ensaios; 
▪ δ2: Deslocamento da linha elástica na segunda parada da máquina de ensaios. 
 Ao término do ensaio de flexão estática, a máquina forneceu o tempo, deformação e força 
sobre o corpo de prova de acordo com a Figura 2.2. 
 
Figura 2. 2- Dimensionamento do corpo de prova para o ensaio estrutural 
Fonte: ZONTA, PRATA, 2014 
 
 
12 
 
 
onde: 
▪ 𝐿1: Vão de medição da deformação e/ou deslocamento (mm); 
▪ 𝐿2: Distância entre os apoios e a aplicação de carga (mm); 
▪ 𝐿3: Distância entre os pontos de aplicações de carga (mm); 
▪ 𝐹: Força/carga aplicada (N). 
Com os resultados das flechas, calculados para os corpos de prova em ambos os métodos, 
pode-se então, compara-los e desta forma avaliar o método de irradiação como uma nova 
proposta para verificação de ensaios estruturais de madeira (ZONTA; PRATA, 2014). 
Codovil e Cadamuro (2010) utilizaram o princípio da mínima energia potencial total, 
aplicando-o em barras comprimidas, cujos contraventamentos funcionavam como molas 
elásticas. Discutiram também o contraventamento de peças estruturais comprimidas (sistema 
de proteção de edificações contra a ação do vento), considerando as forças que atuam nestas 
estruturas e suas respectivas rigidezes. Seguindo esse raciocínio, fizeram uma estimativa da 
carga de flambagem mediante a adoção de uma linha elástica aproximada para o formato da 
curva. Considerando que é difícil encontrar uma solução exata para o problema em questão, a 
escolha adequada da equação aproximada da linha elástica foi essencial para assegurar boa 
precisão nos resultados finais. 
Foi apresentado por Wahrshafting, Rocha e Brasil (2010), em seu artigo, um estudo da 
expressão matemática simples para o cálculo da frequência fundamental de vigas em balanço, 
que leva em conta a presença do efeito da solicitação axial sobre a rigidez da viga com curvatura 
aproximada. 
No caso de uma viga em balanço, a rigidez geométrica é caracterizada pela ação da forca 
normal sobre a curvatura da estrutura. Uma viga submetida a carregamento transversal se 
deforma pela ação das forças atuantes. Para um mesmo nível de carregamento, à medida que a 
viga se alonga, a diferença entre a configuração deformada e a indeformada aumenta. Se a 
estrutura carregada é excitada, ela vibra e o movimento oscilatório ocorre a partir da 
configuração deformada, conforme ilustrado na Figura 2.3. 
 
13 
 
 
Figura 2. 3 - Configuração a partir da qual ocorre o movimento 
Fonte: WAHRHAFTIG, 2010 
A teoria da Viga de Euler-Bernoulli assume que as seções planas permaneceram planas 
quando sujeitas a pequenas deformações. Essa afirmação é uma consideração que balizará toda 
teoria desenvolvida nesse trabalho. 
Euler e Bernoulli afirma em sua lei que o momento fletor 𝑀 é inversamente proporcional 
ao raio de curvatura 𝑟 da curva derivada da ação do carregamento, isto é, 
1
𝑟
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥0
=
𝑀
𝐸𝐼
 (2.1) 
onde: 
▪ 𝐼 - momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra LN; 
▪ 𝐸 - módulo de elasticidade longitudinal do material; 
▪ 𝜃 - inclinação no ponto 𝑥0 , o qual é medido ao longo do comprimento do arco como 
mostrado na Figura 2.4. 
 
Figura 2. 4 - Deformação de viga de seção uniforme em balanço 
Fonte: Gonçalves, 2016 
 
14 
 
em coordenadas retangulares (𝑥, 𝑦), a Equação (2.1) é escrita como 
1
𝑟
=
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
[1 + (
𝑑𝑦
𝑑𝑥)
2
]
3
2⁄
=
𝑀
𝐸𝐼
 (2.2) 
As ações de movimento possíveis, fazem com que ocorra um deslocamento constantes em 
todos os pontos da seção vertical na direção 𝑦, para cada seção na direção 𝑥, além de uma 
rotação rígida em torno do eixo 𝑧. 
Desenvolvendo a Equação (2.2), chegamos a expressão estática apresentada por Hibbler 
(2010). 
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
 (2.2) 
onde: 𝑦 = 𝑦(𝑥) – deslocamento no ponto 𝑥; 
Fleischfresser (2012) apresentou em seu trabalho um estudo relativo a análise dinâmica de 
vigas regidas pelas teorias de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. Para isso, considerou os quatro 
tipos mais comuns de vigas (bi apoiada, bi engastada, engastada-apoiada e em balanço) sujeitas 
a ação de um carregamento uniformemente distribuído. 
A solução da Equação (2.2) se dá com integração direta e os valores das constantes de 
integração são obtidos com as condições de contorno. As condições de contorno são dadas pelas 
restrições dos apoios ou pela extremidade livre. Estas integrações resultam nas equaçõesda 
Tabela 1. 
 
Tabela 2. 1 - LINHA ELÁSTICA PARA CASO ESTÁTICO EULER-BERNOULLI 
Fonte: FLEISCHFRESSER apud MELLO ,2014 
 
15 
 
Observando-se que os primeiros termos a direita das igualdades na tabela correspondem aos 
deslocamentos obtidos pela teoria de Euler-Bernoulli (FLEISCHFRESSER apud MELLO, 
2014). 
Preservando-se a teoria que as seções permanecem planas e normais a linha neutra, e 
utilizando a teoria de Timoshenko que considera os efeitos de inercia à rotação e os efeitos de 
cortante no cálculo de deflexão, determina-se que equações de momento fletor e esforço 
cortante podem ser encontradas por (RAO apud MELLO): 
𝑀 = 𝐸𝐼
𝑑∅
𝑑𝑥
 (2.3) 
𝑉 = 𝑘𝐺𝐴 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− ∅) (2.4) 
onde aparece as seguintes variáveis: 
▪ 𝝋 = 𝝋(𝒙) - rotação da seção localizada no ponto x; 
▪ 𝜿 - fator de cisalhamento; 
▪ 𝑨 - área da seção transversal; 
▪ 𝑮 - módulo de elasticidade transversal. 
Sendo obtida analiticamente, as seguintes soluções para casos estáticos. 
 
Tabela 2. 2 - LINHA ELÁSTICA PARA CASO ESTÁTICO – TEORIA DE TIMOSHENKO 
Fonte: CARRER apud MELLO ,2014 
 
 
16 
 
3. Fundamentação Teórica 
 
3.1. Carregamento 
Objetivando analisar uma estrutura, bem como projetá-la, um engenheiro deve se balizar 
em pressupostos que possibilitam a compreensão do fenômeno resultante da ação, por contato 
ou não, de um corpo sobre uma estrutura e o comportamento da mesma em contrapartida. 
Segundo Sussekind (1981), podem-se definir força como a grandeza vetorial que mede a 
ação de um corpo sobre outro e momento de uma força como a grandeza física que descreve a 
tendência que um corpo tem de rotacionar em torno de um ponto devido uma força, não estando 
este ponto situado sobre a linha de ação da mesma. 
As forças aplicadas, de diferentes naturezas em determinada estrutura, são chamadas de 
esforços externos ou carregamentos. No projeto, cada tipo de obra possui uma carga, 
especificada em norma. Essa carga realiza um efeito na estrutura, sendo avaliadas através de 
métodos de análise estrutural. 
As forças são designadas por ações diretas e as deformações impostas por ações indiretas. 
Em função de sua variabilidade no tempo, a NBR 6120 classifica os carregamentos enquanto 
sua natureza: 
3.1.1. Classificação Enquanto a Natureza 
• Carregamentos Permanentes 
São causados exclusivamente por forças gravitacionais, com valores praticamente 
constantes, ou com pequena variabilidade em torno de sua média, atuando em toda a vida útil 
da construção. Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de 
todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes (NBR 6120, 1980). 
 
 
 
17 
 
 
• Carregamento Acidental 
São carregamentos que variam de intensidade de forma significativa em torno de sua média, 
apresentando dificuldade a ser determinada por variar de acordo com o tipo de edificação. São 
classificadas em diretas, indiretas e dinâmicas que atuam nas construções em função de seu uso 
(pessoas, mobiliário, veículos, materiais diversos, etc) (NBR 6120, 1980). 
3.1.2. Classificação Enquanto ao Tipo 
• Carga pontual ou concentrada 
É uma força de uma resultante de forças é aplicada em um único ponto. Como exemplo de 
cargas concentradas tem-se, a carga do pilar que chega em uma fundação, um pilar que está 
sobre uma viga, uma viga apoiada em outra viga, um cofre no meio de uma sala, etc (BEER, 
JOHNSTON, 2014). 
 
Figura 3. 1 - Carga Pontua 
• Carga distribuída 
Como o nome sugere, é uma força distribuída quando sua aplicação em um corpo é feita em 
mais do que um ponto, ao longo de um comprimento, uma área ou um volume. Como exemplo, 
tem-se o peso próprio da viga, a pressão da agua no fundo de uma piscina, o peso de uma parede 
sobre uma viga, entre outros. 
 
18 
 
 
Figura 3. 2 - Carga distribuída superficialmente e linearmente 
Com tudo, para a realização do estudo proposto nesse trabalho, será considerando a até a 
distribuição bidimensional. O tipo de carregamento linear pode ser dividido em três cargas mais 
comuns: carga distribuída retangular, triangular e trapezoidal. 
 
Figura 3. 3 - Carga linear retagular, triangular e trapezoidal 
3.2. Vigas 
Segundo Gere (2003), vigas são elementos estruturais utilizados na engenharia e resistem a 
esforços de flexão (momentos) e de cisalhamento, geralmente prismáticas, comumente usado 
no sistema laje-viga-pilar com o intuito de transferir os esforços sobre a laje e as demais cargas 
na estrutura para os pilares, através de uma carga concentrada. Pode ser composta de madeira, 
ferro ou concreto armado. 
De modo a restringir as tendências de movimentos que uma carga gera em uma viga, faz-
se necessário o uso de apoios, que são elementos que geram reações opostas aos movimentos, 
mantendo assim o equilíbrio da estrutura. As vigas podem ser classificadas de acordo com suas 
vinculações e com sua estaticidade. Vinculações ou apoios clássicos, são divididos de acordo 
com o grau de liberdade ou quantidade de movimento o qual eles particularmente restringem. 
 
 
19 
 
 
 
3.2.1. Apoios 
• Apoio móvel, simples ou de 1º gênero: 
Restringe um grau de liberdade ², impedindo o deslocamento do ponto na direção 
perpendicular à seta e permitindo livre rotação. 
 
Figura 3. 4 – Exemplo de Apoio Móvel 
Fonte: Pagina DOCPLAY ³ 
• Apoio fixo, duplo ou de 2º gênero: 
Restringe dois graus de liberdade e impede o deslocamento em qualquer direção do 
plano, permanecendo livre somente para rotação. 
 
Figura 3. 5 – Exemplo de Apoio fixo 
Fonte: Pagina DOCPLAY 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
² Grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um corpo pode 
executar. 
³ Disponível em: *http://docplayer.com.br/104194-Universidade-santa-cecilia.html* Acesso nov. 
2016 
 
 
 
20 
 
• Engaste ou de 3º gênero: 
Restringe três graus de liberdade, impede o deslocamento em qualquer direção além de 
impedir a rotação (GERE, 2003). 
 
Figura 3. 6 – Exemplo de Engaste 
Fonte: Pagina DOCPLAY 
 
3.2.2. Classificação de acordo com as vinculações 
Os tipos de vigas são classificados de acordo com os apoios que lhes sustentam. Existem as 
Viga em Balanço ou mono engastada; Viga Bi apoiada ou simplesmente apoiada; Viga Bi 
engastada; Viga engastada com apoio. 
• Viga em Balanço ou mono engastada 
É uma viga com um só apoio (engaste). Toda a carga recebida é transmitida a um único 
ponto de fixação. 
 
Figura 3. 7 - Viga engastada 
 
 
 
 
 
 
21 
 
• Viga Bi apoiada ou simplesmente apoiada 
Viga com dois apoios, sendo um deles de grau dois, que impede movimentos em duas 
direções, e o outro de grau um, que impede movimentos em apenas uma direção. 
 
Figura 3. 8 - Viga bi apoiada 
• Viga Bi engastada 
Viga constituída por dois engastes em suas extremidades. 
 
Figura 3. 9 - Viga bi engastada 
• Viga engastada com apoio 
Viga constituída por um engaste e um apoio podendo ser apoio de primeiro ou segundo 
gênero na outra extremidade. 
 
Figura 3. 10 - Viga Engastada e Apoiada 
Fonte: Elaborada pelo autor 
A estaticidade, podem ser divididas em hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas. 
 
 
22 
 
3.2.3. Classificação pelo grau de Estaticidade 
• Hipostática 
De acordo com Süssekind (1981) estruturas hipostáticas não são estáveis, pois não possuem 
vínculos suficiente para garantir a estabilidade da estrutura. Demodo geral, estas estruturas tem 
o número de reações de apoio ou vínculos inferiores ao número de equações fornecidas pelas 
condições de equilíbrio da Estática. 
• Isostática 
Estruturas isostáticas têm o número de reações estritamente necessário para impedir 
qualquer movimento. As reações estão eficazmente dispostas de forma a se restringir os 
possíveis movimento da estrutura, tendo assim o número de reações de apoio igual ao número 
de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio. 
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações 
excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio. Daí se deduz que uma estrutura isostática 
terá grau de hiperestaticidade igual a zero. 
• Hiperestática 
Este tipo de estrutura tem o número de reações superiores ao estritamente necessário para 
impedir qualquer movimento, portanto, as equações de equilíbrio insuficientes para a 
determinação das reações, sendo necessário a inclusão de equações de compatibilidade para sua 
análise (SUSSEKIND, 1981). 
3.3. Equilíbrio de corpos Rígidos 
Considera-se que um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que 
atuam sobre ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças 
externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo (BEER, JOHNSTON, 2014). 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑧 = 0 
∑ 𝑀𝑥 = 0 ∑ 𝑀𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝑧 = 0 
 
23 
 
Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se 
as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido. 
Considerando que os exemplos que serão estudados nesse trabalho são de vigas horizontais 
que se enquadram como modelos em planos, simplificaremos consideravelmente em caso 
bidimensional, escolhendo os eixos 𝑥 e 𝑦 no plano da estrutura. Temos assim: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝐴 = 0 
onde 𝐴, é um ponto qualquer no plano da estrutura. Estas três equações podem ser resolvidas 
para um máximo de três incógnitas (BEER, JOHNSTON, 2014). 
3.4. Momento Fletor 
Os esforços internos provenientes de uma flexão, podem ser esforço normal, esforço 
cortante, momento de torção e momento fletor. O momento fletor é “a soma vetorial das 
componentes, sobre o plano da seção, dos momentos de todas as forças situadas de um dos 
lados da seção em relação ao seu centro de gravidade”. Trata-se do esforço preponderante em 
elementos com cargas perpendiculares aplicadas. Todavia, definido “a soma vetorial das 
componentes sobre o plano da seção, das forças situadas de um dos lados dessa seção”, ou seja, 
é a resultante das forças situadas em uma das partes, de cada seção, do corpo atuando 
paralelamente ao plano de seção (SUSSEKIND, 1981). 
Em outras palavras, o momento fletor é um esforço ao qual a viga sofre flexão, exemplo de 
uma viga em repouso, que ao se aplicar um carregamento, a viga tende a rotacionar, mas os 
apoios impedem essa rotação, portanto, a rotação que seria gerada na viga é dada como 
momento fletor. 
3.5. Esforço Cortante 
O esforço derivado de carregamento axial, que tende a cisalhar uma viga, é chamado de 
esforço cortante. Este item, é de suma importância para projetos de dimensão e materiais, por 
exemplo, em uma viga de concreto armado se utiliza vergalhões para aumentar a resistência ao 
cisalhamento. 
 
 
24 
 
 
 
Podemos obter a equação do esforço cortante apenas derivando a equação do momento 
fletor em relação ao eixo horizontal (SUSSEKIND, 1981). 
𝑑𝑀(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑉(𝑥) (3.1) 
3.6. Equação da Linha Elástica 
Para o estudo da distribuição das tensões decorrentes da flexão pura, devem-se considerar 
as deformações que ocorrerão na viga no mesmo plano onde atua o carregamento, dessa forma, 
pode-se expressar a equação que fornece a curvatura do eixo longitudinal como uma função 
𝑣(𝑥, 𝑦). 
A teoria clássica e suas hipóteses são apresentadas e deduzidas por vários autores, tais como 
Beer et al. (2003), Nash (1982) e Hibbeler (2010). São elas: 
a) A viga possui um eixo central reto, coincidente com o eixo 𝑥 que passa no centro de 
gravidade da seção transversal; 
b) A seção transversal da viga possui pelo menos um eixo de simetria, coincidente com o 
eixo de 𝑦 (vide Figura 2.4); 
c) Todas as cargas atuam no plano de simetria (plano 𝑥𝑦); 
d) As seções perpendiculares ao eixo 𝑥 permanecem planas após a deformação; 
e) O material é admitido como elástico, isotrópico e homogêneo; 
f) As deformações transversais são pequenas. 
Tomando como modelo uma viga engastada sujeita a um carregamento concentrado 
atuando para cima em sua extremidade livre, seu eixo longitudinal deslocará (vide Figura 3.11). 
 
25 
 
 
Figura 3. 11 - Curva de Deflexão de uma viga engastada 
Fonte: Gere,2003 
A deflexão 𝑣 é o deslocamento na direção 𝑦 de qualquer ponto no eixo da viga. Para obter 
a equação da curva de deflexão em função do eixo coordenado 𝑥, aplicando a curva de deflexão 
mais detalhes (GERE, 2003). 
 
 Figura 3. 12 - Curva de Deflexão de uma viga 
Fonte: Gere,2003 
O ponto 𝑚1 está localizado à distância 𝑥 relativo a origem (medida ao longo do eixo), e o 
segundo ponto 𝑚2 à uma distância 𝑥 + 𝑑𝑥 da origem. Observando a imagem, notasse que 
deflexão no segundo ponto é 𝑣 + 𝑑𝑣 e que 𝑑𝑣 é o incremento na deflexão, conforme deslocasse 
ao longo da curva desde 𝑚1 até 𝑚2. 
 
26 
 
Com a flexão da viga, há também uma rotação . O ângulo de rotação 𝜃 do eixo da viga, é o 
ângulo entre o eixo 𝑥 e a tangente à curva de deflexão, como mostrado para o ponto 𝑚1 na vista 
expandida da Figura 3.12b . 
De forma análoga, o ângulo de rotação no ponto 𝑚2 é 𝜃 + 𝑑𝜃, em que 𝑑𝜃 é o aumento no 
ângulo conforme se desloca no eixo, construindo linhas normais ao eixo. 
 
Figura 3. 12 - Curva de Deflexão de uma viga 
Fonte: Gere,2003 
As linhas normais ao eixo, se interceptam em um ponto 𝑂′, que é o centro de curvatura da 
curva de deflexão. Como a maior parte das vigas tem deflexões muito pequena, e curvas de 
deflexões quase planas, o ponto 𝑂′ geralmente se localiza distante da viga, como mostra a 
Figura 3.12a). 
𝜌 ∙ 𝑑𝜃 = 𝑑𝑠 (3.2) 
O raio de curvatura, do centro 𝑂′ em relação a curva de deflexão, é chamado de 𝜌, e 𝑘 o 
inverso do raio de curvatura. Dessa forma: 
𝑘 =
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑠
 (3.3) 
Como obtém-se curvas de deflexões quase planas, e visto na Figura 3.12b), o valor do 
elemento de curvatura 𝑑𝑠, pode ser considerado igual a de sua projeção no eixo 𝑥, 𝑑𝑥. Sobe 
condições de pequenas deflexões, a equação para a curvatura torna: 
𝑘 =
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑥
 (3.4) 
 
27 
 
A inclinação da linha elástica é a primeira derivada 𝑑𝑣/𝑑𝑥 da expressão para a deflexão 𝑣. 
Em termos geométricos, a deflexão é igual ao incremento 𝑑𝑣, Figura 3.12b), dividido pelo 
incremento 𝑑𝑥 da distância ao longo do eixo 𝑥. Uma vez que 𝑑𝑣 e 𝑑𝑥 são infinitesimalmente 
pequenos, a inclinação 𝑑𝑣/𝑑𝑥 é igual à tangente do ângulo de rotação 𝜃. 
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= tan 𝜃 → 𝜃 = tan−1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 → 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 (3.5) 
Derivando a equação (3.4) em relação a 𝑥, encontra-se a seguinte relação: 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²
 (3.6) 
dessa forma: 
𝑘 =
1
𝜌
=
𝑑²𝑣
𝑑𝑥²(3.7) 
 
Utilizando a teoria da lei de Hooke para materiais lineares elástico, obtém-se a seguinte 
relação pela equação de tensão normal em vigas fletidas: 
𝜎𝑥 = 𝐸𝜀𝑥 ; 𝜀𝑥 =
1
𝜌
𝑦 (3.8) 
Utilizando a relação da equação (3.6) 
𝜎𝑥 = 𝐸
1
𝜌
𝑦 = 𝐸𝑘𝑦 (3.9) 
Onde 𝜎𝑥é a tensão normal na direção 𝑥, 𝐸 o modulo de elasticidade, 𝜀𝑥, a deformação 
normal, e 𝑦, a distância de certo ponto ao eixo longitudinal da viga. 
A segunda equação da estática expressa o fato de que o momento resultante da tensão 
normal 𝜎𝑥, exercida por uma força 𝑃, agindo sobre a área da seção transversal, é igual ao 
momento fletor 𝑀. Assim, em relação ao eixo 𝑥, tem-se: 
𝑦𝑑𝑃 = 𝑑𝑀 (3.10) 
𝑦(𝜎𝑥𝑑𝐴) = 𝑑𝑀 (3.11) 
 
28 
 
Substituindo-se a equação (3.8) na equação (3.10), obtém-se: 
𝐸𝑘𝑦²𝑑𝐴 = 𝑑𝑀 (3.12) 
𝐸𝑘 ∫ 𝑦²𝑑𝐴 = 𝑀 (3.13) 
Reescrevendo, utilizando a propriedade de inercia, 𝐼: 
𝐸𝐼𝑘 = 𝑀 (3.14) 
Por fim, substituindo a relação da equação (3.6), determina-se a equação diferencial da linha 
elástica como a expressão apresentada por GERE (2003): 
𝐸𝐼
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
= 𝑀 (3.15) 
Integrando a equação (3.14) em relação a 𝑥, sendo 𝑀(𝑥), encontra-se; 
𝐸𝐼
𝑑(𝑑𝑣)
𝑑𝑥
= 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 (3.16) 
𝐸𝐼 ∫
𝑑(𝑑𝑣)
𝑑𝑥
= ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
 (3.17) 
𝐸𝐼
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
+ 𝐶1 (3.18) 
Pela igualdade da equação (3.4), tem-se que; 
𝐸𝐼𝜃 = ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
+ 𝐶1 (3.19) 
onde, 𝜃 é o ângulo de rotação da linha elástica e 𝐶1, constante de integração. Integrando 
novamente, desta vez a equação (3.17), obtém-se; 
𝐸𝐼𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
+ 𝐶1𝑑𝑥 (3.20) 
𝐸𝐼 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥
𝑥
0
∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
+ ∫ 𝐶1𝑑𝑥
𝑥
0
 (3.21) 
𝐸𝐼𝑣 = ∫ 𝑑𝑥
𝑥
0
∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥
𝑥
0
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 (3.22) 
 
29 
 
sendo 𝑣, a equação da deflexão e 𝐶2 a segunda constante de integração. 𝐶1 e 𝐶2, serão 
determinadas a partir das condições de contorno. 
3.7. Condições de Contorno 
As condições de contorno podem ser retratadas pelo tipo de vinculação a qual se caracteriza, 
como no ponto onde contem apoio móvel ou apoio fixo, tem-se que 𝑣 = 0, ou seja, a deflexão 
nesse ponto é nulo. No engaste, tanto a deflexão quando a rotação, são nulos (𝑣 = 0 e 𝜃 = 0), 
e entre seções, a deflexão da esquerda é igual a deflexão, de mesmo modo que a rotação da 
esquerda é igual a rotação da direita. Outras condições que envolvem esses e outros tipos de 
vínculos e condições, estão ilustradas e exemplificadas no Apêndice C. 
As condições de contorno mais utilizadas nos exemplos deste trabalho, estão contidas na 
figura abaixo. 
 
Figura 3. 13 - Condiçoes de Contorno 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
4. Desenvolvimento Teórico 
 
4.1. Método de Resolução 
Será feito inicialmente o estudo e levantamento teórico do conteúdo e do método de 
aplicação. A execução do trabalho, se dividirá basicamente nas etapas preponderantes do 
método da superposição dos efeitos, utilizando equações da linha elásticas de vigas isostáticas. 
A resolução seguirá os seguintes passos; 
I. Retiram os vínculos em excesso, de modo que a viga resulte em estruturas isostáticas, 
denominadas estruturas primárias; 
II. Identificar as estruturas primárias e retirar suas respectivas equações de tabelas das 
bibliografias referenciadas; 
III. Pelo princípio da superposição de efeitos, utilizar singularidades onde o deslocamento 
final é conhecido, aplicando as decorrentes ações simultâneas das cargas reais e das 
cargas correspondentes aos vínculos, devendo ser igual à soma algébrica dos 
deslocamentos calculados separadamente; 
IV. A partir dessa compatibilização, obter um sistema de equações lineares cuja solução 
resulta nas reações excedentes (reações hiperestáticas); 
V. Utilizando as equações de equilíbrio da estática, determinar as reações restantes; 
VI. Determinar a equação de momento fletor para as seções quem compõem a estrutura; 
VII. Por fim, realizar as integrações necessárias para a determinação da equação do ângulo 
de rotação e da deflexão da linha elástica; 
Como proposto, serão empregados os passos do I ao VII, para se identificar a expressão 
algébrica que remete ao valor da reação de apoios excedentes, e a determinação da equação que 
rege a deformação causada pelos determinados tipos de carregamentos nas vigas hiperestáticas 
escolhidas. Os casos a se analisar, estão contidos na Tabela 4.1 abaixo. 
 
 
 
 
31 
 
 
 
VIGAS ESTUDADAS 
PARTE I 
 
 
Caso 1 
 
 
 
Caso 2 
 
 
 
Caso 3 
 
 
 
Caso 4 
 
Tabela 4. 3 – Casos genéricos de vigas estudadas- Parte I 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
VIGAS ESTUDADAS 
PARTE II 
 
 
Caso 5 
 
 
 
Caso 6 
 
 
 
Caso 7 
 
 
 
Caso 8 
 
Tabela 4. 2 – Casos genéricos de vigas estudadas- Parte II 
Para a uma melhor organização deste trabalho, as aplicações e demonstrações do caso 1 ao 
8, estão contidas no Apêndice C. 
 
 
 
 
 
33 
 
4.2. Método de Aplicação 
Posteriormente, com o auxílio das equações relativas das vigas hiperestáticas determinadas 
nesse trabalho, utilizando o tópico anterior, será realizado aplicações algébricas para variáveis 
estratégicas. 
As aplicações terão a finalidade de analisar o trabalho desenvolvido, verificando a validade 
das equações encontradas com os resultados de outras publicações. 
Este tópico será desenvolvido nos seguintes passos: 
i. Analise de distribuição dos carregamentos; 
ii. Rearranjo dos valores das seções das vigas desenvolvidas para pontos singulares; 
iii. Comparação das novas equações encontradas com os existentes no material publicado 
pela USP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
5. Aplicações 
Como determinado, serão realizadas aplicações algébricas para variáveis estratégicas com 
o intuito de verificar e comparar a validade das equações. O material a ser comparado segue em 
anexo, Apêndice B. 
- Caso 1: 
Utilizando a equação demostrada do caso 1, seção 1(vide Anexo C), tem-se: 
• 𝑉𝑎 =
𝑞𝑏
2𝐿³
[−𝑐3 + 𝑏2 (𝑎 +
3𝑏
4
) − 3(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] +
3(2𝑐+𝑏)[(𝑎+𝑏)2+𝐿2]
2
] 
• 𝐸𝐼𝑣1 =
𝑉𝑎𝑥³
6
+
𝑞𝑏3𝑥
24
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
𝑥 
Para 𝑎 = 0 , 𝑐 = 0 e 𝑏 = 𝐿; 
 
Figura 5. 1 - Caso 1 com carga distribuida em todo seu comprimento 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se a reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 =
𝑞𝑏
2𝐿³
[−𝑐3 + 𝑏2 (𝑎 +
3𝑏
4
) − 3(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] +
3(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
2
] 
𝑉𝑎 =
𝑞𝐿
2𝐿³
[−03 + 𝐿2 (0 +
3𝐿
4
) − 3(0 + 𝐿)[𝐿(2∙ 0 + 𝐿) − 0(0 + 𝐿)] +
3(2 ∙ 0 + 𝐿)[(0 + 𝐿)2 + 𝐿2]
2
] 
𝑉𝑎 =
𝑞
2𝐿²
[0 +
3𝐿2
4
− 3𝐿(𝐿2) +
3𝐿[2𝐿2]
2
] 
𝑉𝑎 =
𝑞
2𝐿²
[
3𝐿3
4
− 3𝐿3 +
3𝐿3
2
] 
𝑉𝑎 =
𝑞
2𝐿²
[
3𝐿3
4
− 3𝐿3 + 3𝐿3] 
 
35 
 
𝑉𝑎 =
𝑞
2𝐿²
[
3𝐿3
4
] 
𝑉𝑎 =
3𝑞𝐿
8
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣2 =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24
+
𝑞𝑏3𝑥
24
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
𝑥 +
𝑞𝑏4
48
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
−
𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏)
24
 
𝐸𝐼𝑣 = (
3𝑞𝐿
8
)
𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 0)4
24
+
𝑞𝐿3𝑥
24
− (
3𝑞𝐿
8
)
𝐿2𝑥
2
+
𝑞𝐿
2
(0 +
𝐿
2
)
2
𝑥 +
𝑞𝐿4
48
+ (
3𝑞𝐿
8
)
𝐿3
3
+
𝑞𝐿
6
(0 +
𝐿
2
)
3
−
𝑞𝐿𝐿
2
(0 +
𝐿
2
)
2
−
𝑞𝐿3(0 + 𝐿)
24
 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑞𝐿𝑥³
16
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝐿3𝑥
24
−
3𝑞𝐿3𝑥
16
+
𝑞𝐿3𝑥
8
+
𝑞𝐿4
48
+
𝑞𝐿4
8
+
𝑞𝐿4
48
−
𝑞𝐿4
16
−
𝑞𝐿4
24
 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑞𝐿𝑥³
16
−
𝑞𝑥4
24
−
𝑞𝐿3𝑥
48
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 3, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
- Caso 2: 
Utilizando a equação demostrada do caso 2, seção 1(vide Anexo C), tem-se; 
• 𝑉𝑎 = −
𝑞𝑏3
8𝐿3
(
𝑏
5
− 𝐿) 
• 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥−𝑎)5
120𝑏
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
24
+
𝑉𝑎𝐿³
3
+
𝑞𝑏4
120
−
𝑞𝑏3𝐿
24
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 𝐿; 
 
Figura 5. 2 - Caso 2 com carga distribuida em todo seu comprimento 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 = −
𝑞𝑏3
8𝐿3
(
𝑏
5
− 𝐿) 
𝑉𝑎 = −
𝑞𝐿3
8𝐿3
(
𝐿
5
− 𝐿) 
𝑉𝑎 = −
𝑞
8
(−
4𝐿
5
) 
𝑉𝑎 =
𝑞𝐿
10
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)5
120𝑏
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
24
+
𝑉𝑎𝐿³
3
+
𝑞𝑏4
120
−
𝑞𝑏3𝐿
24
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) = (
𝑞𝐿
10
)
𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 0)5
120𝐿
− (
𝑞𝐿
10
)
𝐿2𝑥
2
+
𝑞𝐿3𝑥
24
+ (
𝑞𝐿
10
)
𝐿³
3
+
𝑞𝐿4
120
−
𝑞𝐿3𝐿
24
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
𝑞𝐿𝑥³
60
−
𝑞𝑥5
120𝐿
−
𝑞𝐿3𝑥
20
+
𝑞𝐿3𝑥
24
+
𝑞𝐿4
30
+
𝑞𝐿4
120
−
𝑞𝐿4
24
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
𝑞𝐿𝑥³
60
−
𝑞𝑥5
120𝐿
−
𝑞𝐿3𝑥
120
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 4, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
 
 
 
37 
 
- Caso 3: 
Utilizando a equação demostrada do caso 3, seção 1 (vide Anexo C), tem-se; 
• 𝑉𝑎 =
𝑞𝑎
2
+
𝑞𝑎4
40𝐿3
−
𝑞𝑎2
4𝐿
 
• 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝑎
+
𝑞𝑎3𝑥
24
+
𝑞𝑎4𝑥
40𝐿
(
𝑎
𝐿
− 1) −
𝑞𝑎𝑏2𝑥
4
+
𝑉𝑎(𝑏
2−𝑎2)𝑥
2
+
𝑞𝑎2𝐿𝑥
12
 
Para 𝑎 = 𝐿 e 𝑏 = 0; 
 
Figura 5. 3 - Caso 3 com carga distribuida em todo seu comprimento 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 =
𝑞𝑎
2
+
𝑞𝑎4
40𝐿3
−
𝑞𝑎2
4𝐿
 
𝑉𝑎 =
𝑞𝐿
2
+
𝑞𝐿4
40𝐿3
−
𝑞𝐿2
4𝐿
 
𝑉𝑎 =
𝑞𝐿
2
+
𝑞𝐿
40
−
𝑞𝐿
4
 
𝑉𝑎 =
11𝑞𝐿
40
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝑎
+
𝑞𝑎3𝑥
24
+
𝑞𝑎4𝑥
40𝐿
(
𝑎
𝐿
− 1) −
𝑞𝑎𝑏2𝑥
4
+
𝑉𝑎(𝑏
2 − 𝑎2)𝑥
2
+
𝑞𝑎2𝐿𝑥
12
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) = (
11𝑞𝐿
40
)
𝑥³
6
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝐿
+
𝑞𝐿3𝑥
24
+
𝑞𝐿4𝑥
40𝐿
(
𝐿
𝐿
− 1) −
𝑞𝐿 ∙ 02𝑥
4
+ (
11𝑞𝐿
40
)
(02 − 𝐿2)𝑥
2
+
𝑞𝐿2𝐿𝑥
12
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
11𝑞𝐿𝑥³
240
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝐿
+
𝑞𝐿3𝑥
24
+
𝑞𝐿2𝑥
40
(0) − 0 +
11𝑞𝐿(−𝐿2)𝑥
80
+
𝑞𝐿3𝑥
12
 
 
 
38 
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
11𝑞𝐿𝑥3
240
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝐿
+
𝑞𝐿3𝑥
24
−
11𝑞𝐿3𝑥
80
+
𝑞𝐿3𝑥
12
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
11𝑞𝐿𝑥3
240
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝐿
−
𝑞𝐿3𝑥
80
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 5, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
- Caso 4: 
Utilizando a equação demostrada do caso 4, seção 2 (vide Anexo C), tem-se; 
• 𝑉𝑎 = −
3𝑀(𝑎2−𝐿2)
2𝐿3
 
• 𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑀𝑥2
2
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+ 𝑀𝐿𝑥 +
𝑉𝑎𝐿³
3
−
𝑀𝐿2
2
 
Para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 𝐿; 
 
Figura 5. 4 - Caso 4 com momento na extremidade 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 = −
3𝑀(𝑎2 − 𝐿2)
2𝐿3
 
𝑉𝑎 = −
3𝑀(02 − 𝐿2)
2𝐿3
 
𝑉𝑎 = −
3𝑀(−𝐿2)
2𝐿3
 
𝑉𝑎 =
3𝑀
2𝐿
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑀𝑥2
2
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+ 𝑀𝐿𝑥 +
𝑉𝑎𝐿³
3
−
𝑀𝐿2
2
 
 
39 
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) = (
3𝑀
2𝐿
)
𝑥³
6
−
𝑀𝑥2
2
− (
3𝑀
2𝐿
)
𝐿2𝑥
2
+ 𝑀𝐿𝑥 + (
3𝑀
2𝐿
)
𝐿³
3
−
𝑀𝐿2
2
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
𝑀𝑥³
4𝐿
−
𝑀𝑥2
2
−
3𝑀𝐿𝑥
4
+ 𝑀𝐿𝑥 +
𝑀𝐿²
2
−
𝑀𝐿2
2
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) =
𝑀𝑥3
4𝐿
−
𝑀𝑥2
2
+
𝑀𝐿𝑥
4
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 6, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
- Caso 5: 
Utilizando a equação demostrada do caso 5, seção 2 (vide Anexo C), tem-se; 
• 𝑉𝑎 =
2𝑞𝑏3
𝐿3
(𝑎 +
3𝑏
4
) −
2𝑞𝑏𝑐3
𝐿3
−
6𝑞𝑏(𝑎+𝑏)[𝐿(2𝑐+𝑏)−𝑐(𝑐+𝑏)]
𝐿3
+
3𝑞𝑏(2𝑐+𝑏)[(𝑎+𝑏)2+𝐿2]
𝐿3
−
3𝑞𝑏𝑐(𝑎+𝑏)
𝐿2
−
𝑞𝑏3
𝐿2
 
• 𝑀𝑎 =
𝑉𝑎𝐿
2
−
𝑞𝑏𝑐(𝑎+𝑏)
2𝐿
−
𝑞𝑏3
6𝐿
 
• 𝐸𝐼𝑣𝑥2 = −
𝑉𝑎𝐿𝑥
2
4
+
𝑞𝑏𝑎(𝑎+𝑏)𝑥2
4𝐿
+
𝑞𝑏(𝐿−2𝑎−𝑏)𝑥2
4
+
𝑞𝑏3𝑥2
12𝐿
+
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥−𝑎)4
24
 
Para 𝑎 = 0 , 𝑐 = 0 e 𝑏 = 𝐿; 
 
Figura 5. 5 - Caso 5 com carga distribuida em todo seu comprimento 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 =
2𝑞𝑏3
𝐿3
(𝑎 +
3𝑏
4
) −
2𝑞𝑏𝑐3
𝐿3
−
6𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)]
𝐿3
+
3𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
𝐿3
−
3𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)
𝐿2
−
𝑞𝑏3
𝐿2
 
𝑉𝑎 =
2𝑞𝐿3
𝐿3
(0 +
3𝐿
4
) −
2𝑞𝐿 ∙ 03
𝐿3
−
6𝑞𝐿(0 + 𝐿)[𝐿(2 ∙ 0 + 𝐿) − 0(0 + 𝐿)]
𝐿3
+
3𝑞𝐿(2 ∙ 0 + 𝐿)[(0 + 𝐿)2 + 𝐿2]
𝐿3
−
3𝑞𝐿 ∙ 0(0 + 𝐿)
𝐿2
−
𝑞𝐿3
𝐿2
 
𝑉𝑎 =
3𝑞𝐿
2
− 0 −
6𝑞𝐿𝐿𝐿2
𝐿3
+
3𝑞𝐿𝐿2𝐿2
𝐿3
− 0 − 𝑞𝐿 
 
 
40 
 
𝑉𝑎 =
3𝑞𝐿
2
− 6𝑞𝐿 + 6𝑞𝐿 − 𝑞𝐿 
𝑉𝑎 =
𝑞𝐿
2
 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se o momento de reação 𝑀𝑎: 
𝑀𝑎 =
𝑉𝑎𝐿
2
−
𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)
2𝐿
−
𝑞𝑏3
6𝐿
 
𝑀𝑎 = (
𝑞𝐿
2
)
𝐿
2
−
𝑞𝐿 ∙ 0(0 + 𝐿)
2𝐿
−
𝑞𝐿3
6𝐿
 
𝑀𝑎 =
𝑞𝐿²
4
− 0 −
𝑞𝐿2
6
 
𝑀𝑎 =
𝑞𝐿²
12
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣𝑥2 = −
𝑉𝑎𝐿𝑥
2
4
+
𝑞𝑏𝑎(𝑎 + 𝑏)𝑥2
4𝐿
+
𝑞𝑏(𝐿 − 2𝑎 − 𝑏)𝑥2
4
+
𝑞𝑏3𝑥2
12𝐿
+
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24
 
𝐸𝐼𝑣 = − (
𝑞𝐿
2
)
𝐿𝑥2
4
+
𝑞𝐿 ∙ 0(0 + 𝐿)𝑥2
4𝐿
+
𝑞𝐿[𝐿 − (2 ∙ 0) − 𝐿]𝑥2
4
+
𝑞𝐿3𝑥2
12𝐿
+ (
𝑞𝐿
2
)
𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 0)4
24
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑞𝐿2𝑥2
8
+ 0 + 0 +
𝑞𝐿2𝑥212
+
𝑞𝐿𝑥³
12
−
𝑞𝑥4
24
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑞𝐿2𝑥2
24
+
𝑞𝐿𝑥³
12
−
𝑞𝑥4
24
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 7, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
- Caso 6: 
Utilizando a equação demostrada do caso 6, seção 2 (vide Anexo C), tem-se; 
• 𝑉𝑎 = −
𝑞𝑏3
2𝐿3
(
𝑏
5
−
𝐿
2
) 
• 𝑀𝑎 =
𝑉𝑎𝐿
2
−
𝑞𝑏3
24𝐿
 
• 𝐸𝐼𝑣2 = −
𝑀𝑎𝑥
2
2
+
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥−𝑎)5
120𝑏
 
Para 𝑎 = 0 e 𝑏 = 𝐿; 
 
Figura 5. 6 - Caso 6 com carga distribuida em todo seu comprimento 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 = −
𝑞𝑏3
2𝐿3
(
𝑏
5
−
𝐿
2
) 
𝑉𝑎 = −
𝑞𝐿3
2𝐿3
(
𝐿
5
−
𝐿
2
) 
𝑉𝑎 = −
𝑞
2
(−
3𝐿
10
) 
𝑉𝑎 =
3𝑞𝐿
20
 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se o momento de reação 𝑀𝑎: 
𝑀𝑎 =
𝑉𝑎𝐿
2
−
𝑞𝑏3
24𝐿
 
𝑀𝑎 = (
3𝑞𝐿
20
)
𝐿
2
−
𝑞𝐿3
24𝐿
 
𝑀𝑎 =
3𝑞𝐿²
40
−
𝑞𝐿2
24
 
𝑀𝑎 =
𝑞𝐿²
30
 
 
 
42 
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣2 = −
𝑀𝑎𝑥
2
2
+
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)5
120𝑏
 
𝐸𝐼𝑣 = − (
𝑞𝐿²
30
)
𝑥2
2
+ (
3𝑞𝐿
20
)
𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 0)5
120𝐿
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑞𝐿²𝑥2
60
+
𝑞𝐿𝑥³
40
−
𝑞𝑥5
120𝐿
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 8, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
- Caso 7: 
Utilizando a equação demostrada do caso 7, seção 1 (vide Anexo C), tem-se; 
• 𝑉𝑎 = −
2𝑃𝑏3
𝐿3
+
3𝑃𝑏2
𝐿2
 
• 𝑀𝑎 =
𝑉𝑎𝐿
2
−
𝑃𝑏2
2𝐿
 
• 𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = −
𝑀𝑎𝑥
2
2
+
𝑉𝑎𝑥³
6
 
Para 𝑎 =
𝐿
2
 e 𝑏 =
𝐿
2
, temos; 
 
Figura 5. 7 - Caso 7 com carga no meio do vão 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se reação de apoio 𝑉𝑎: 
𝑉𝑎 = −
2𝑃𝑏3
𝐿3
+
3𝑃𝑏2
𝐿2
 
𝑉𝑎 = −
2𝑃(𝐿 2⁄ )
3
𝐿3
+
3𝑃(𝐿 2⁄ )
2
𝐿2
 
 
43 
 
𝑉𝑎 = −
2𝑃𝐿3
8𝐿3
+
3𝑃𝐿2
4𝐿2
 
𝑉𝑎 = −
𝑃
4
+
3𝑃
4
 
𝑉𝑎 =
𝑃
2
 
Aplicando-se as devidas considerações, calcula-se o momento de reação 𝑀𝑎: 
𝑀𝑎 =
𝑉𝑎𝐿
2
−
𝑃𝑏2
2𝐿
 
𝑀𝑎 = (
𝑃
2
)
𝐿
2
−
𝑃(𝐿 2⁄ )
2
2𝐿
 
𝑀𝑎 =
𝑃𝐿
4
−
𝑃𝐿2
8𝐿
 
𝑀𝑎 =
𝑃𝐿
4
−
𝑃𝐿
8
 
𝑀𝑎 =
𝑃𝐿
8
 
Com tudo, tem-se para a equação da Deflexão: 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) = −
𝑀𝑎𝑥
2
2
+
𝑉𝑎𝑥³
6
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) = − (
𝑃𝐿
8
)
𝑥2
2
+ (
𝑃
2
)
𝑥³
6
 
𝐸𝐼𝑣(𝑥) = −
𝑃𝐿𝑥2
16
+
𝑃𝑥³
12
 
 
Convalidada com a Equação da Linha Elástica do caso 9, Apêndice B, Tabela 3.1b. 
 
 
 
 
 
 
44 
 
6. Conclusão 
Desenvolvido o estudo para materiais que obedecem a teoria de vigas de Euller-Bernoulli, 
observou-se que é possível a linearização para a determinação da deformada de vigas 
hiperestáticas. De fato, se faz necessário a utilização de outras ferramentas, além das equações 
da estática, para dedução da equação que rege a deformação de estruturas estaticamente 
indeterminadas. 
O tema e o método discutido ao longo deste trabalho, mostrou-se trabalhoso para casos de 
distribuições genéricas de carregamento, entretanto, tornou-se uma boa ferramenta para 
determinação das ELE’s quando solicitado. 
A aplicabilidade do método de superposição dos efeitos e do método de integração direta, 
mostrou-se eficaz na determinação da equação da linha elástica, obtendo resultado satisfatório 
quando aplicadas para distribuição de carregamentos estratégicos e quando confrontadas com 
o material redigido por Pinheiro, Catoia e Catoia (USP 2010). 
6.1. Trabalhos Propostos 
Sendo imprescindível para a formação acadêmica em Engenharia Civil, a teoria da linha 
elástica aplicada em estruturas hiperestáticas, apresentada pela disciplina de Mecânica dos 
Sólidos, é de notória importância para estudantes que vislumbram seguir a carreira na área de 
estruturas. Seguindo a mesma linha de estudo, pode-se vislumbrar a análise de estruturas 
articuladas ou continuas, como pórticos ou treliças, com a particularidade da hiperestaticidade 
utilizando o método de energia, ou até mesmo o método da superposição dos efeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Referencias 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 1995. 
Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson, 2012. 
CODOVIL, F. A. B.; CADAMURO, I. W. Barras estruturais de contraventamento. 
Universidade Estadual de Maringá – Departamento de Engenharia Civil, 2003. 
FERTIS, D. Non linear mechanics. CRP Press, Florida, 1993. 
GONCALVES, I. H. Análise de deformações em vigas com comportamento 
geometricamente não-linear. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO 
DE ENGENHARIA MECÂNICA, Itajubá, 2006. 
CONCEIÇÃO, D. S.; Demonstrações de Equações da Linha Elástica para Vigas Isostáticas. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA, Cruz das Almas, 2016. 
GERE, J. M.; Mecânica dos Materiais. São Paulo, Pioneira Thomson, 2003. 
HIBBELER, R. C. Engineering Mechanics: Statics. [S.l.]: Prentice Hall PTR, 1987. 
MELLO, E. H. V. M. D. Análise dinâmica de vigas de Euler-Bernoulli e de Timoshenko 
com o Método das Diferenças Finitas. Curso de Eng. Civil, Setor de Tecnologia da 
Universidade Federal do Paraná, CURITIBA, 2014. 
ROCHA, E. V. C. M. d. P. Jadir de S.; SIQUEIRA, M. L. Flexão estática em amostras 
pequenas livres de defeitos. Instituição Nacional de Pesquisas da Amazônia, Manaus, 1988. 
PINHEIRO, L. M.; CATOIA, B.; CATOIA, T. TABELA DE VIGAS: Deslocamentos e 
Momentos de Engastamento Perfeito. UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO, 
Departamento de Engenharia de Estruturas, São Carlos, 2010. 
TIMOSHENKO, J. G. S. Teoria da elasticidade. Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1980. 
WAHRHAFTIG, J. A. L. R. Alexandre de M.; BRASIL, R. M. L. R. da F. Consideração da 
rigidez geométrica na frequência do primeiro modo de vigas em balanço. VI CONGRESSO 
NACIONAL DE ENGENHARIA MECˆANICA, Campina Grande, 2010. 
ZONTA, C. A. N. C.; PRATA, J. G. Monitoramento geodésico tridimensional em ensaios 
estruturais de madeira. Universidade Federal do Paraná, 2014. 
 
46 
 
Apêndice A 
– Tabela de Vigas Isostáticas 
Tabela de vigas Isostáticas 
Caso Vinculação e Carregamento ELE’s 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
• Seção I: 
𝐸𝐼𝜃𝐼 =
𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)
2
+
𝑞𝑏3
6
 
𝐸𝐼𝑣𝐼 =
𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
6
+
𝑞𝑏𝑐3
6
−
𝑞𝑏3
6
(𝑎 +
3𝑏
4
)
+
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝐶(𝑐 + 𝑏)]
2
−
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
4
 
• Seção II: 
𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = −
𝑞(𝑥 − 𝑎)3
6
+
𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)
2
+
𝑞𝑏3
6
 
𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 = −
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24
+
𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
6
+
𝑞𝑏𝑐3
6
−
𝑞𝑏3
6
(𝑎 +
3𝑏
4
)
+
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝐶(𝑐 + 𝑏)]
2
−
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
4
 
• Seção III: 
𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼𝐼 = −
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)𝑥
2
−
𝑞𝑏(𝐿 − 𝑥)2
2
+
𝑞𝑏𝐿(2𝑐 + 𝑏)
2
 
𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼𝐼 = −
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)𝑥2
4
+
𝑞𝑏(𝐿 − 𝑥)3
6
+
𝑞𝑏𝐿(2𝑐 + 𝑏)𝑥
2
−
𝑞𝑏𝐿2(2𝑐 + 𝑏)
4
 
 
 
2 
 
 
• Seção I: 
𝐸𝐼𝜃𝐼 =
𝑞𝑏3
24
 
𝐸𝐼𝑣𝐼 =
𝑞𝑏3𝑥
24
+
𝑞𝑏3
24
(
𝑏
5
− 𝐿) 
• Seção II: 
𝐸𝐼𝜃𝐼 = −
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24𝑏
+
𝑞𝑏3
24
 
𝐸𝐼𝑣𝐼 = −
𝑞(𝑥 − 𝑎)5
120𝑏
+
𝑞𝑏3𝑥
24
+
𝑞𝑏3
24
(
𝑏
5
− 𝐿)3 
 
 
 
• Seção I: 
𝐸𝐼𝜃𝐼 = −
𝑞𝑥3
6
+
𝑞𝑥4
24𝑎
+
𝑞𝑎3
24
−
𝑞𝑎2𝐿
6
+
𝑞𝑎𝐿2
4
 
𝐸𝐼𝑣𝐼 = −
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝑎
+
𝑞𝑎3𝑥
24
−
𝑞𝑎2𝐿𝑥
6
+
𝑞𝑎𝐿2𝑥
4
+
𝑞𝑎2𝐿2
12
−
𝑞𝑎𝐿3
6
−
𝑞𝑎4
120
 
• Seção II: 
𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 =
𝑞𝑎2𝑥
6
−
𝑞𝑎𝑥2
4
−
𝑞𝑎2𝐿
6
+
𝑞𝑎𝐿2
4
 
𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 =
𝑞𝑎2𝑥2
12
−
𝑞𝑎𝑥3
12
−
𝑞𝑎2𝐿𝑥
6
+
𝑞𝑎𝐿2𝑥
4
+
𝑞𝑎2𝐿2
12
−
𝑞𝑎𝐿3
6
 
 
47 
 
 
 
4 
 
• Seção I: 
𝐸𝐼𝜃𝐼 = 𝑀𝑏 
𝐸𝐼𝑣𝐼 = 𝑀𝑏𝑥 +
𝑀(𝑎2 − 𝐿2)
2
 
• Seção II: 
𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = −𝑀𝑥 + 𝑀𝐿 
𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 =
−𝑀𝑥2
2
+ 𝑀𝐿𝑥 −
𝑀𝐿2
2
 
 
 
 
5 
 
 
• Seção I: 
𝐸𝐼𝜃𝐼 =
𝑃𝑏2
2
 
𝐸𝐼𝑣𝐼 =
𝑃𝑏2𝑥
2
+
𝑃𝑏3
6
−
𝑃𝑏2𝐿
2
 
• Seção II: 
𝐸𝐼𝜃𝐼𝐼 = −𝑃𝑏𝑥 −
𝑃(𝐿 − 𝑥)2
2
+ 𝑃𝑏𝑙 
𝐸𝐼𝑣𝐼𝐼 =
−𝑃𝑏𝑥2
2
+
𝑃(𝐿 − 𝑥)3
6
+ 𝑃𝑏𝑙𝑥 −
𝑃𝑏𝐿2
2
 
 
Fonte: Elaborada pelo Autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Apêndice B 
– Tabela de Vigas USP, Departamento de Engenharia de Estruturas 
Adaptação da Tabela de Vigas: Deslocamento e Momento de Engaste Perfeito, 
USP,2010. 
Tabela 3.1b 
Deslocamento Elástico em Vigas, USP (Adaptada) 
Caso Vinculação e carregamento Equação da Elástica 
 
1 
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑃𝑥3
6
+
𝑃𝐿2𝑥
2
−
𝑃𝐿3
3
 
 
 
2 
 𝐸𝐼𝑣 = −
𝑀𝐿2
2
+ 𝑀𝐿𝑥 −
𝑃𝑥2
2
 
 
 
3 
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑝𝑥4
24
+
𝑝𝐿𝑥3
16
−
𝑝𝐿3𝑥
48
 
 
 
4 
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑝𝑥5
120𝐿
+
𝑝𝐿𝑥3
60
−
𝑝𝐿3𝑥
120
 
 
 
5 
 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑝𝑥5
120𝐿
−
𝑝𝑥4
24
+
11𝑝𝐿𝑥3
240
−
𝑝𝐿3𝑥
80
 
 
 
6 
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑀𝑥3
4𝐿
+
𝑀𝑥2
2
−
𝑀𝐿𝑥
4
 
 
 
7 
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑝𝑥4
24
+
𝑝𝐿𝑥3
12
−
𝑝𝐿2𝑥2
24
 
 
8 
 
𝐸𝐼𝑣 = −
𝑝𝑥5
120𝐿
+
𝑝𝐿𝑥3
40
−
𝑝𝐿2𝑥2
60
 
 
 
9 
 
Seção I: 
𝐸𝐼𝑣 =
𝑃𝑥3
12
−
𝑃𝐿𝑥2
16
 
 
49 
 
Apêndice C 
– Demonstrações das Equações da Linha Elástica 
Caso 1: 
I. Decomposição em estruturas primarias: 
 
Figura C. 1 - Caso 1 – Deccomposição da estrutura 
II. ELE’s das vigas Isostáticas: 
 
• Deflexão devido a reação de apoio 𝑽𝒂, (Apêndice B): 
𝐸𝐼𝑣𝐴 =
𝑉𝑎𝑥
3
6
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
 
• Deflexão devido a carga distribuída 𝒒 (Apêndice A): 
𝐸𝐼𝑣𝐵1 =
𝑞𝑏𝑐(𝑎 + 𝑏)𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
6
+
𝑞𝑏𝑐3
6
−
𝑞𝑏3
6
(𝑎 +
3𝑏
4
) +
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)]
2
−
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
4
 
 
III. Sobreposição dos efeitos; 
Em 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑇 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵1 = 0; 
 
𝑣𝑇 = (
𝑞𝑏𝑐3
6
−
𝑞𝑏3
6
(𝑎 +
3𝑏
4
) +
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)]
2
−
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
4
) +
𝑉𝑎𝐿
3
3
= 0 
𝑉𝑎𝐿
3
3
= −
𝑞𝑏𝑐3
6
+
𝑞𝑏3
6
(𝑎 +
3𝑏
4
) −
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)]
2
+
𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
4
 
 
50 
 
 
 
𝑉𝑎 = −
𝑞𝑏𝑐3
2𝐿3
+
𝑞𝑏3
2𝐿3
(𝑎 +
3𝑏
4
) −
3𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)]
2𝐿3
+
3𝑞𝑏(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
4𝐿3
 
𝑉𝑎 =
𝑞𝑏
2𝐿³
[−𝑐3 + 𝑏2 (𝑎 +
3𝑏
4
) − 3(𝑎 + 𝑏)[𝐿(2𝑐 + 𝑏) − 𝑐(𝑐 + 𝑏)] +
3(2𝑐 + 𝑏)[(𝑎 + 𝑏)2 + 𝐿2]
2
] 
 
IV. Calculo reação de apoio: 
 
Figura C. 2 - Caso 1 – Cálculo das reações de apoio 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 − 𝑞𝑏 = 0 
𝑉𝑏 = 𝑞𝑏 − 𝑉𝑎 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
𝑉𝑏𝐿 − 𝑞𝑏 (𝑎 +
𝑏
2
) − 𝑀𝑏 = 0 
𝑀𝑏 = −𝑞𝑏 (𝑐 +
𝑏
2
) + 𝑉𝑏𝐿 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
V. Calculo do Momento Fletor, Rotação e Deflexão de cada seção; 
• Seção 1 (AC): para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
 
Figura C. 3 - Caso 1 – Momento em relação à x, seção 1 
𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥
2
2
+ 𝐶1 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥
3
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
• Seção 2 (CD): para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 
 
Figura C. 4 - Caso 1 – Momento em relação à x, seção 2 
𝑀2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 −
𝑞(𝑥 − 𝑎)²
2
 
 
 
 
52 
 
 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)3
6
+ 𝐶3 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24
+𝐶3𝑥 + 𝐶4 
 
• Seção 3 (DB): para 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
Figura C. 5 - Caso 1 – Momento em relação à x, seção 3 
𝑀3(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 − 𝑞𝑏 [𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)] 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃3(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞𝑏
2
[𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
2
+ 𝐶5 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣3(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞𝑏
6
[𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
3
𝐶5𝑥 + 𝐶6 
 
 
 
 
 
53 
 
 
VI. Condições de contorno: 
• Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝜃3 = 0 ; 
𝜃3 =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞𝑏
2
[𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
2
+ 𝐶5 
𝑉𝑎𝐿²
2
−
𝑞𝑏
2
[𝐿 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
2
+ 𝐶5 = 0 
𝐶5 = −
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
 
• Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑣3 = 0; 
𝑣3 =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞𝑏
6
[𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
3
𝐶5𝑥 + 𝐶6 
𝑉𝑎𝐿³
6
−
𝑞𝑏
6
[𝐿 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
3
+ [−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
] 𝐿 + 𝐶6 = 0 
𝐶6 = −
𝑉𝑎𝐿
3
6
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
+
𝑉𝑎𝐿
3
2
−
𝑞𝑏𝐿
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
 
𝐶6 =
𝑉𝑎𝐿³
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
 
• Para 𝑥 = (𝑎 + 𝑏) ⇒ 𝜃3 = 𝜃2 𝑒 𝑣3 = 𝑣2 ; 
𝜃3(𝑎 + 𝑏) = 𝜃2(𝑎 + 𝑏) 
𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)²
2
−
𝑞𝑏
2
[(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 +
𝑏
2
)]
2
+ 𝐶5 =
𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)²
2
−
𝑞[(𝑎 + 𝑏) − 𝑎]3
6
+ 𝐶3 
𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)²
2
−
𝑞𝑏
2
(
𝑏
2
)
2
+ 𝐶5 =
𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)
2
2
−
𝑞𝑏3
6
+ 𝐶3 
𝐶3 = −
𝑞𝑏3
8
+
𝑞𝑏3
6
+ 𝐶5 
𝐶3 =
𝑞𝑏3
24
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
 
 
 
 
54 
 
• Para 𝑥 = (𝑎 + 𝑏) ⇒ 𝑣3 = 𝑣2 ; 
𝑣3(𝑎 + 𝑏) = 𝑣2(𝑎 + 𝑏) 
𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)³
6
−
𝑞𝑏
6
[(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 +
𝑏
2
)]
3
+ 𝐶5(𝑎 + 𝑏) + 𝐶6 =
𝑉𝑎(𝑎 + 𝑏)³
6
−
𝑞((𝑎 + 𝑏) − 𝑎)4
24
+𝐶3(𝑎 + 𝑏) + 𝐶4 
−
𝑞𝑏
6
(
𝑏
2
)
3
+ 𝐶5(𝑎 + 𝑏) + 𝐶6 = −
𝑞𝑏4
24
+𝐶3(𝑎 + 𝑏) + 𝐶4 
 
−
𝑞𝑏4
48
+ [−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
] (𝑎 + 𝑏) +
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
= −
𝑞𝑏4
24
+ [
𝑞𝑏3
24
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
] (𝑎 + 𝑏) + 𝐶4 
𝐶4 = −
𝑞𝑏4
48
−
𝑉𝑎𝐿
2(𝑎 + 𝑏)
2
+
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
+
𝑞𝑏4
24
−
𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏)
24
+
𝑉𝑎𝐿
2(𝑎 + 𝑏)
2
−
𝑞𝑏(𝑎 + 𝑏)
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
 
𝐶4 =
𝑞𝑏4
48
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
−
𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏)
24
 
• Para 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝜃2 = 𝜃1 ; 
𝜃2(𝑎) = 𝜃1(𝑎) 
𝑉𝑎𝑎
2
2
−
𝑞(𝑎 − 𝑎)3
6
+ 𝐶3 =
𝑉𝑎𝑎
2
2
+ 𝐶1 
𝐶3 = 𝐶1 
• Para 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣1 = 0; 
𝑣1 =
𝑉𝑎𝑥³
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
𝑉𝑎0³
6
+ 𝐶10 + 𝐶2 = 0 
𝐶2 = 055 
 
 
 
VII. Equação da Linha elástica em função da reação 𝑽𝒂; 
• Seção 1 (AC); 
𝐸𝐼𝜃1 =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞𝑏3
12
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
 
𝐸𝐼𝑣1 =
𝑉𝑎𝑥³
6
+
𝑞𝑏3𝑥
24
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
𝑥 
• Seção 2 (CD); 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)3
6
+
𝑞𝑏3
24
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥
3
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24
+ 
𝑞𝑏3𝑥
24
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
𝑥 +
𝑞𝑏4
48
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
−
𝑞𝑏3(𝑎 + 𝑏)
24
 
• Seção 3 (DB); 
𝐸𝐼𝜃3(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞𝑏
2
[𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
2
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
 
𝐸𝐼𝑣3(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞𝑏
6
[𝑥 − (𝑎 +
𝑏
2
)]
3
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏
2
[𝑐 +
𝑏
2
]
2
𝑥 +
𝑉𝑎𝐿³
3
+
𝑞𝑏
6
(𝑐 +
𝑏
2
)
3
−
𝑞𝑏𝐿
2
(𝑐 +
𝑏
2
)
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
Caso 2: 
I. Decomposição em estruturas primarias: 
 
Figura C. 6 - Caso 2 – Deccomposição da estrutura 
II. ELE’s das vigas Isostáticas: 
 
• Deflexão devido a reação de apoio 𝑽𝒂, (Apêndice B): 
𝐸𝐼𝑣𝐴 =
𝑉𝑎𝑥
3
6
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
 
• Deflexão devido o carregamento 𝒒, (Apêndice A): 
𝐸𝐼𝑣𝐵1 =
𝑞𝑏3𝑥
24
+
𝑞𝑏3
24
(
𝑏
5
− 𝐿) 
III. Sobreposição dos efeitos 
Em 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑇 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵1 = 0; 
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑏3
24
(
𝑏
5
− 𝐿) = 0 
𝑉𝑎 = −
𝑞𝑏3
8𝐿3
(
𝑏
5
− 𝐿) 
 
 
 
57 
 
IV. Calculo reação de apoio; 
 
Figura C. 7 - Caso 2 – Cálculo das reações de apoio 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 −
𝑞𝑏
2
= 0 
𝑉𝑏 =
𝑞𝑏
2
− 𝑉𝑎 
 
∑ 𝑀𝐵 = 0 
−𝑉𝑎𝐿 +
𝑞𝑏
2
𝑏
3
− 𝑀𝑏 = 0 
𝑀𝑏 =
𝑞𝑏2
6
− 𝑉𝑎𝐿 
V. Calculo do Momento Fletor, Rotação e Deflexão de cada seção; 
• Seção 1 (AC): para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
 
Figura C. 8 - Caso 2 – Momento em relação à x, seção 1 
𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 
 
 
58 
 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
+ 𝐶1 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
• Seção 2 (CB): para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 
 
Figura C. 9 - Caso 2 – Momento em relação à x, seção 2 
𝑀2(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 −
𝑞(𝑥 − 𝑎)³
6𝑏
 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24𝑏
+ 𝐶3 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)5
120𝑏
+𝐶3𝑥 + 𝐶4 
VI. Condições de contorno; 
• Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝜃2 = 0 ; 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24𝑏
+ 𝐶3 
𝑉𝑎𝐿²
2
−
𝑞(𝐿 − 𝑎)4
24𝑏
+ 𝐶3 = 0 
𝐶3 = −
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏3
24
 
 
59 
 
• Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑣2 = 0 ; 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)5
120𝑏
+ [−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏3
24
] 𝑥 + 𝐶4 
 
𝑉𝑎𝐿³
6
−
𝑞(𝐿 − 𝑎)5
120𝑏
−
𝑉𝑎𝐿
3
2
+
𝑞𝑏3𝐿
24
+ 𝐶4 = 0 
𝐶4 =
𝑉𝑎𝐿³
3
+
𝑞𝑏4
120
−
𝑞𝑏3𝐿
24
 
• Para 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝜃2 = 𝜃1 ; 
𝜃2(𝑎) = 𝜃1(𝑎) 
𝑉𝑎𝑎²
2
−
𝑞(𝑎 − 𝑎)4
24𝑏
+ 𝐶3 =
𝑉𝑎𝑎²
2
+ 𝐶1 
𝐶3 = 𝐶1 
• Para 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣1 = 0; 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
𝑉𝑎0³
6
+ 𝐶10 + 𝐶2 = 0 
𝐶2 = 0 
VII. Equação da Linha elástica em função da reação 𝑽𝒂; 
• Seção 1 (AC); 
𝐸𝐼𝜃1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏3
24
 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
24
 
• Seção 2 (CB); 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)4
24𝑏
−
𝑉𝑎𝐿
2
2
+
𝑞𝑏3
24
 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞(𝑥 − 𝑎)5
120𝑏
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑞𝑏3𝑥
24
+
𝑉𝑎𝐿³
3
+
𝑞𝑏4
120
−
𝑞𝑏3𝐿
24
 
 
 
60 
 
Caso 3: 
I. Decomposição em estruturas primarias: 
 
Figura C. 10 - Caso 3 – Deccomposição da estrutura 
II. ELE’s das vigas Isostáticas: 
 
• Deflexão devido a reação de apoio 𝑽𝒂, (Apêndice B): 
𝐸𝐼𝑣𝐴 =
𝑉𝑎𝑥
3
6
−
𝑉𝑎𝐿
2𝑥
2
+
𝑉𝑎𝐿
3
3
 
• Deflexão devido ao carregamento 𝒒, (Apêndice A): 
𝐸𝐼𝑣𝐵1 = −
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝑎
+
𝑞𝑎3𝑥
24
−
𝑞𝑎2𝐿𝑥
6
+
𝑞𝑎𝐿2𝑥
4
+
𝑞𝑎2𝐿2
12
−
𝑞𝑎𝐿3
6
−
𝑞𝑎4
120
 
III. Sobreposição dos efeitos 
Em 𝑥 = 0 ⇒ 𝑣𝑇 = 𝑣𝐴 + 𝑣𝐵1 = 0; 
𝑉𝑎𝐿
3
3
+
𝑞𝑎2𝐿2
12
−
𝑞𝑎𝐿3
6
−
𝑞𝑎4
120
= 0 
𝑉𝑎𝐿
3
3
= −
𝑞𝑎2𝐿2
12
+
𝑞𝑎𝐿3
6
+
𝑞𝑎4
120
 
𝑉𝑎 =
𝑞𝑎
2
+
𝑞𝑎4
40𝐿3
−
𝑞𝑎2
4𝐿
 
 
 
61 
 
IV. Calculo reação de apoio; 
 
Figura C. 11 - Caso 3 – Cálculo das reações de apoio 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝑉𝑎 + 𝑉𝑏 −
𝑞𝑎
2
= 0 
𝑉𝑏 =
𝑞𝑎
2
− 𝑉𝑎 
 
∑ 𝑀𝐵 = 0 
−𝑉𝑎𝐿 +
𝑞𝑎
2
(𝐿 −
𝑎
3
) − 𝑀𝑏 = 0 
𝑀𝑏 =
𝑞𝑎𝐿
2
−
𝑞𝑎2
6
− 𝐿 (
𝑞𝑎
2
+
𝑞𝑎4
40𝐿3
−
𝑞𝑎2
4𝐿
) 
𝑀𝑏 =
𝑞𝑎2
12
−
𝑞𝑎4
40𝐿2
 
V. Calculo do Momento Fletor, Rotação e Deflexão de cada seção; 
• Seção 1 (AC): para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 
 
Figura C. 12 - Caso 3 – Momento em relação à x, seção 1 
 
62 
 
𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 −
𝑞(𝑎 − 𝑥)𝑥2
2𝑎
− [𝑞 −
𝑞(𝑎 − 𝑥)
𝑎
]
𝑥2
3
 
𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 −
𝑞𝑥2
2
+
𝑞𝑥3
2𝑎
− (
𝑞𝑥
𝑎
)
𝑥2
3
 
𝑀1(𝑥) = 𝑉𝑎𝑥 −
𝑞𝑥2
2
+
𝑞𝑥3
6𝑎
 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥²
2
−
𝑞𝑥3
6
+
𝑞𝑥4
24𝑎
+ 𝐶1 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣1(𝑥) =
𝑉𝑎𝑥³
6
−
𝑞𝑥4
24
+
𝑞𝑥5
120𝑎
+ 𝐶1𝑥 + 𝐶2 
• Seção 2 (CB): para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑏 
 
Figura C. 13 - Caso 3 – Momento em relação à x, seção 2 
𝑀2(𝑥) = −𝑀𝑏 + 𝑉𝑏(𝐿 − 𝑥) 
𝑀2(𝑥) = −
𝑞𝑎2
12
+
𝑞𝑎4
40𝐿2
+
𝑞𝑎(𝐿 − 𝑥)
2
− 𝑉𝑎(𝐿 − 𝑥) 
Integrando: 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = −
𝑞𝑎2𝑥
12
+
𝑞𝑎4𝑥
40𝐿2
−
𝑞𝑎(𝐿 − 𝑥)2
4
+
𝑉𝑎(𝐿 − 𝑥)
2
2
+ 𝐶3 
Integrando novamente: 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = −
𝑞𝑎2𝑥2
24
+
𝑞𝑎4𝑥2
80𝐿2
+
𝑞𝑎(𝐿 − 𝑥)3
12
−
𝑉𝑎(𝐿 − 𝑥)
3
6
+𝐶3𝑥 + 𝐶4 
 
 
 
63 
 
VI. Condições de contorno; 
• Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝜃2 = 0 ; 
𝐸𝐼𝜃2(𝑥) = −
𝑞𝑎2𝑥
12
+
𝑞𝑎4𝑥
40𝐿2
−
𝑞𝑎
4
(𝐿 − 𝑥)2 +
𝑉𝑎
2
(𝐿 − 𝑥)2 + 𝐶3 
−
𝑞𝑎2𝐿
12
+
𝑞𝑎4𝐿
40𝐿2
−
𝑞𝑎
4
(𝐿 − 𝐿)2 +
𝑉𝑎
2
(𝐿 − 𝐿)2 + 𝐶3 = 0 
𝐶3 =
𝑞𝑎2𝐿
12
−
𝑞𝑎4
40𝐿
 
• Para 𝑥 = 𝐿 ⇒ 𝑣2 = 0 ; 
𝐸𝐼𝑣2(𝑥) = −
𝑞𝑎2𝑥2
24
+
𝑞𝑎4𝑥2
80𝐿2
+
𝑞𝑎
12
(𝐿 − 𝑥)3 −
𝑉𝑎
6
(𝐿 − 𝑥)3 + [
𝑞𝑎2𝐿
12
−
𝑞𝑎4
40𝐿
] 𝑥 + 𝐶4 
−
𝑞𝑎2𝐿2
24
+
𝑞𝑎4𝐿2
80𝐿2
+
𝑞𝑎
12
(𝐿 − 𝐿)3 −
𝑉𝑎
6
(𝐿 − 𝐿)3 +
𝑞𝑎2𝐿2
12
−
𝑞𝑎4𝐿
40𝐿
+ 𝐶4 = 0 
𝐶4 =
𝑞𝑎4
80
−
𝑞𝑎2𝐿2
24
 
• Para 𝑥 = 𝑎 ⇒ 𝜃1 = 𝜃2 ; 
𝜃1(𝑎) = 𝜃2(𝑎) 
𝑉𝑎𝑎²
2
−
𝑞𝑎3
6
+
𝑞𝑎4
24𝑎
+ 𝐶1 = −
𝑞𝑎2𝑎
12
+
𝑞𝑎4𝑎
40𝐿2
−
𝑞𝑎
4
(𝐿 − 𝑎)2 +
𝑉𝑎
2
(𝐿 − 𝑎)2 + 𝐶3 
𝑉𝑎𝑎²
2
−
𝑞𝑎3
6
+
𝑞𝑎3
24
+ 𝐶1 = −
𝑞𝑎3
12
+
𝑞𝑎5
40𝐿2
−
𝑞𝑎𝑏2
4
+
𝑉𝑎𝑏
2
2
+ (
𝑞𝑎2𝐿
12
−
𝑞𝑎4
40𝐿
) 
𝐶1 =
𝑞𝑎3
24
+
𝑞𝑎4
40𝐿
(
𝑎
𝐿
− 1) −
𝑞𝑎𝑏2
4
+
𝑉𝑎(𝑏
2 − 𝑎2)
2
+

Outros materiais