Algebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: A´lgebra Linear I Turmas: T07 e T09
Prof.: Ana Cristina Salviano Veiga Data: 15/11/17
Matrizes,Sistemas Lineares e Determinantes
PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Sejam A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 e B =
 1 2 03 1 2
−2 0 −2

Calcular AB e BA.
2. Escrever uma matriz A = (aij)3×3 e uma matriz B = (bij)3×3, definidas do seguinte
modo:
aij =
{
ij, se i = j
i
j
, se i 6= j e bij =
{
(i+ 1)j, se i = j
i
j+1
, se i 6= j
Calcular 6A− 12B.
3. Determinar o valor de x tal que AB = I3, onde
A =
 2 0 70 1 0
1 2 1
 e B =
 −x −14x 7x0 1 0
x 4x −2x

4. Considere a seguinte matriz
A =
 30 x+ y 12z12− x 20 2x− y
6z −3− x+ y 10

Determinar os valores de x, y e z para os quais A = At.
5. Determine o posto das seguintes matrizes.
A =
 1 3 02 0 1
0 1 −1
, B =
 1 5 3−2 6 2
3 −1 1
 e C =
 1 −2 0 −53 1 2 −3
−5 −4 −4 1

6. Use o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss ou o de Gauss-Jordan (o que voceˆ preferir)
para resolver os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares. Indique claramente cada
operac¸a˜o efetuada nas linhas da matriz aumentada de cada sistema.
a)

x + 3y + 6z = 25
2x + 7y + 14z = 58
2y + 5z = 19
b)

5x + 10y − 7z = −2
2x + 4y − 3z = −1
3x + 6y + 5z = 9
c)

2x + 2y + 2z + 3w = 3
x + y + z + w = 1
3x + 3y + 3z + 2w = 2
d)

x + y + 2z = 1
2x − y + w = −2
x − y − z − 2w = 4
2x − y + 2z − w = 0
e)

x + 2y + 3z = 1
4x + 7y + 7z = 3
2x + 3y + z = 0
f)
{
2x + 3y + z = 0
x + y + z = 0
7. Determine os valores de a para os quais o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, tem exatamente
uma soluc¸a˜o ou tem infinitas soluc¸o˜es.
x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a+ 2
8. Prove que o sistema 
x + 2y + 3z − 3w = a
2x − 5y − 3z + 12w = b
7x + y + 8z + 5w = c
admite soluc¸a˜o se, e somente se, 37a + 13b = 9c. Ache a soluc¸a˜o geral do sistema
quando a = 2 e b = 4.
9. Use o me´todo de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa, se existir, das
seguintes matrizes.
A =
 2 1 01 1 1
1 0 1
, B =
 2 1 −11 0 2
4 −1 3
 C =
 −2 1 −13 1 2
1 −2 0
, D =
 2 −1 1−3 2 −2
−2 1 0

10. Considere as seguintes matrizes
A =
 x −2 10 x+ 1 3
1 −5 1
, B =
 x 1 12 x 3
−1 5 x
 e C = ( x2 2x
10 x
)
Resolva as seguintes equac¸o˜es:
a) det(A) = 9. b) det(B) = det(C).
11. Usando o desenvolvimento de Laplace, calcular o determinante da matriz:
A =

2 7 9 −1 1
2 8 3 1 0
−1 0 4 3 0
2 0 0 −1 0
1 0 0 0 0

12. Determinar os valores de x para que a matriz A seja invert´ıvel.
A =

x 1 2 0
2 x 2 0
0 1 2 0
0 0 0 1

13. Considere o sistema linear:
5x + 2y + z = −12
−x + 4y + 2z = 20
2x − 3y + 10z = 3
Resolva-o usando a Regra de Cramer.
14. Se A e B sa˜o matrizes n×n tais que det(A) = −2 e det(B) = 3, calcule det(AtB−1).
15. Calcule o determinante da matriz a seguir usando operac¸o˜es elementares nas linhas
para transforma´-la em uma matriz triangular superior.
A =

2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3

16. Seja A uma matriz 3 × 3. Suponha que X = (1 2 3)t e´ soluc¸a˜o do sistema linear
homogeˆneo AX = 0. A matriz A e´ invert´ıvel ou na˜o? Justifique.
17. Prove todas aquelas Propriedades (pa´gina 9 - livro texto) da A´lgebra Matricial
(Livro texto: Matrizes, Vetores e Geometria Anal´ıtica, Reginaldo J Santos), mesmo
as que ja´ foram feitas em aula.
18. Mostre que a matriz identidade In e´ a u´nica matriz tal que AIn = InA = A para
qualquer matriz A,n× n.
19. Dizemos que uma matriz quadrada A, n×n, e´ sime´trica se At = A e e´ anti-sime´trica
se At = −A.
(a) Mostre que se A e´ sime´trica, enta˜o aij = aji, para i, j = 1, ..., n e que se A
e´ anti-sime´trica, enta˜o aij = −aji, para i, j = 1, ..., n. Portanto, os elementos da
diagonal principal de uma matriz anti-sime´trica sa˜o iguais a zero.
(b) Mostre que se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+B e αA sa˜o sime´tricas, para todo
escalar α.
(c) Mostre que se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o AB e´ sime´trica se, e somente se,
AB = BA.
(d) Mostre que se A e B sa˜o anti-sime´tricas, enta˜o A+B e αA sa˜o anti-sime´tricas,
para todo escalar α.
(e) Mostre que para toda matriz A, n × n, A + At e´ sime´trica e A − At e´ anti-
sime´trica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz
sime´trica e uma anti-sime´trica. (Sugesta˜o: Observe o resultado da soma de A+At
com A− At.)
(g) Mostre que AAt, onde A e´ uma matriz quadrada qualquer, e´ uma matriz
sime´trica.
20. Se A e´ uma matriz de ordem n, definimos Ak = AA...A︸ ︷︷ ︸
k vezes
, se k ≥ 1, k inteiro, e
A0 = In. Se A e´ invert´ıvel, mostre que:
(a) Ak e´ invert´ıvel e (Ak)−1 = (A−1)k.
(b) Se α 6= 0, αA e´ invert´ıvel e (αA)−1 = α−1A−1.
(c) Se A3 + 6A2 − 2A = In, enta˜o A−1 = A2 + 6A− 2In.
21. Mostre que se det(AB) = 0, enta˜o ou A e´ singular ou B e´ singular.
22. Sejam A e P matrizes n×n, sendo P invert´ıvel. Mostre que det(P−1AP ) = det(A).
RESPOSTAS
1. AB =
 1 4 −27 13 −2
13 22 −2
 e BA =
 9 12 1521 27 33
−16 −20 −24

2. 6A− 12B =
 −18 −1 −10 −84 −2
0 −3 −606

3. x = 1
5
4. x = 3, y = 6, z = 0
5. posto(A) = 3, posto(B) = 2 e posto(C) = 2
6. (a) Soluc¸a˜o u´nica: (1, 2, 3) (b) O sistema e´ inconsistente (c) Infinitas
soluc¸o˜es com duas varia´veis livres: S = {(−s − t, s, t, 1)|s, t ∈ R} (d) Soluc¸a˜o
u´nica: (1, 2,−1,−2) (e) O sistema e´ inconsistente (f) Infinitas soluc¸o˜es com
uma varia´vel livre: S = {(−2t, t, t)|t ∈ R}
7. Se a = 4 o sistema tem infinitas soluc¸o˜es. Se a = −4 o sistema na˜o tem soluc¸a˜o.
Se a 6= ±4 o sistema tem soluc¸a˜o u´nica.
8. Se a = 2 e b = 4, enta˜o o sistema so´ tera´ soluc¸a˜o se c = 14 e sua soluc¸a˜o geral
sera´ da forma S = {(−s− t+ 2,−s+ 2t, s, t)|s, t ∈ R}.
9. A−1 = 1
2
 1 −1 10 2 −2
−1 1 1
, B−1 = 1
10
 2 −2 25 10 −5
−1 6 −1
 C−1 =
 4 2 32 1 1
−7 −3 −5
,
D−1 =
 2 1 04 2 1
1 0 1

10. (a) x = 1 ou x = −16 (b) x = −7
4
11. det(A) = 32
12. Para x 6= 0 e x 6= 1
13. (−4, 3, 2)
14. −2
3
15. 6
16. A matriz A e´ na˜o invert´ıvel, pois o sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o na˜o nula.
Bibliografia:
Santos, Reginaldo. Matrizes, Vetores e Geometria Anal´ıtica, Imprensa Universita´ria
da UFMG - Belo Horizonte;
Lima, Elon Lages. A´lgebra Linear, Colec¸a˜o Matema´tica Universita´ria;
Anton, Howard, Rorres,Chris. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es, Bookman;
Franco, Neide. A´lgebra Linear, Pearson.