Lista Álgebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: A´lgebra Linear I Turmas: T07 e T09
Prof.: Ana Cristina Salviano Veiga Data: 17/01/18
Espac¸os Vetoriais, Subespac¸os Vetoriais, Combinac¸o˜es Lineares, Dependeˆncia e
Independeˆncia Linear, Base, Dimensa˜o e Coordenadas
Bibliografia:
• Zani, Se´rgio Lu´ıs. A´lgebra Linear, Notas de Aula, Depart. de Matema´tica, ICMC, USP.
• Hefez, Abramo. Fernandez, Cec´ılia. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear, PROFMAT.
• Santos, Reginaldo. A´lgebra Linear e Aplicac¸o˜es, Imprensa Universita´ria da UFMG - BH.
• Anton, Howard. Rorres, Chris. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es, Bookman.
• Franco, Neide. A´lgebra Linear, Pearson.
• Lima, Elon Lages. A´lgebra Linear, Colec¸a˜o Matema´tica Universita´ria.
SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Verifique se sa˜o espac¸os vetoriais os seguintes conjuntos:
(a) O conjunto dos nu´meros reais, com adic¸a˜o u + v = ma´ximo{u, v} e a multiplicac¸a˜o
por escalar usual α · u = αu.
(b) O conjunto dos nu´meros reais positivos, com u+ v = uv e αu = uα.
(c) O R2 com adic¸a˜o usual e multiplicac¸a˜o por escalar definida por α(x, y) = (αx, 0).
(d) O R2 com adic¸a˜o (x1, y1)+(x2, y2) = (x1 +2x2, y1 +2y2) e a multiplicac¸a˜o por escalar
usual.
2. Mostre que em um espac¸o vetorial V o vetor nulo e´ u´nico e para cada v ∈ V , o sime´trico
−v tambe´m e´ u´nico.
3. Verifique, em cada caso, se o conjunto W e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o vetorial V .
(a) V = R3, W = {(x, y, z) ∈ R3; z ≥ 0}
(b) V = R3, W = {(x, y, z) ∈ R3; z = x+ y}
(c) V = R3, W = {(x, y, z) ∈ R3; z2 = x2 + y2}
(d) V = R4, W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x− y = 2}
(e) V = R4, W = {(x, y, z, w) ∈ R4; z = x = 2y, w = x− 3y}
(f) V = R4, W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x = y = 0}
(g) V = F(R,R), W = {f ∈ V ; f(−1) = f(1)}
(h) V = F(R,R), W = {f ∈ V ; f(x) = 0,∀x ∈ [0, 1]}.
Nos itens (i), (j) e (k), A e´ uma matriz n× n fixada.
(i) V = M(n× n), W = {B ∈M(n× n); AB = BA}.
(j) V = M(n× n), W = {B ∈M(n× n); AB 6= BA}.
(k) V = M(n× n), W = {B ∈M(n× n); BA = 0}.
(l) V = M(n× n), W = {B ∈M(n× n); B e´ invert´ıvel}.
(m) V = M(3× 3), W = {[aij] ∈M(3× 3); a11 + a22 + a33 = 0}.
(n) V = P2(R); W = {p(x) = a+ bx+ cx2 ∈ P2(R); a, b, c ∈ Z)}.
(o) V = P2(R); W = {p(x) = a+ bx+ cx2 ∈ P2(R); a = c = 0}.
(p) V = P2(R); W = {p(x) = a+ bx+ cx2 ∈ P2(R); c = a+ b}.
4. Sejam W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = z} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = 0}. Mostre que
R3 = W1 ⊕W2.
5. Determine em cada caso, W1 ∩W2 e W1 +W2. Quais das somas sa˜o diretas?
(a) W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = z}.
(b)W1 =
{( a b
c d
)
∈M(2×2); a = d e b = c
}
e W2 =
{( a b
c d
)
∈M(2×2); a = c e b = d
}
.
(c) W1 = {(x, y, z) ∈ R3 | z = −x− 3y} e W2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x = y = 0}
(d) W1 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x+2y−w = 0} e W2 = {(x, y, z, w) ∈ R4 | x = y = z = w}
6. Sejam V um espac¸o vetorial e W1,W2 subespac¸os de V . Mostre que V = W1 ⊕W2 se, e
somente se, todo vetor v de V pode ser escrito de modo u´nico sob a forma v = w1 + w2,
onde w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2.
7. Sejam W1 e W2 subespac¸os vetoriais de um espac¸o vetorial V . Vimos que W1 +W2 e´ um
subespac¸o de V . Mostre que W1 + W2 e´ o menor subespac¸o que conte´m W1 e W2, no
sentido de que qualquer subespac¸o que contenha W1 e W2 tem que conter W1 +W2.
8. (a) Calcule o u´nico valor de a que faz com que S = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (3, 2, a)}
na˜o seja um conjunto gerador de R3.
(b) Considere em R4 o conjunto S = {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, a)}. Calcule
o u´nico valor de a que faz com que S na˜o gere R4.
9. Mostre que os polinoˆmios P (x) = 1 + 2x − x2, Q(x) = 3 + x2, R(x) = 5 + 4x − x2,
S(x) = −2 + 2x− x2 geram P2(R).
10. Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespac¸os:
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3; x− 2y + 3z = 0}
(b) W = {(x, y, z, w) ∈ R4; x− y = 0 e x+ w = 0}
(c) W = {
(
a b
c d
)
∈M(2× 2); a+ c = d, b = 0}
(d) W = {p(x) = a+ bx+ cx2 ∈ P2(R); a− b
2
= c}
11. Quais dos seguintes vetores sa˜o combinac¸o˜es lineares de u = (0, 0, 2−2) e v = (0, 1, 3,−1)?
(a) (0, 2, 2, 2) (b) (1, 4, 5, 2) (c) (0, 0, 0, 0) (d) (0, 3, 1, 5).
12. Expresse os polinoˆmios (a) 2 + 5x (b) −x+ 2x2 (c) 3 + 3x+ 5x2
como combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios P (x) = 2 + x + 4x2; Q(x) = 1 − x + 3x2 e
R(x) = 3 + 2x+ 5x2.
13. Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R4?
(a) A = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)}
(b) B = {(1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 1, 2, 2)}
14. Para quais valores de a o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (a2 + 2, 2, 0)} e´ L.D.?
15. Verifique se os vetores sa˜o L.I sobre V .
(a) {(2,−1, 4), (−4, 10, 2)}, V = R3
(b) {(0, 0, 1, 1), (2, 2, 0, 0), (3, 3, 0,−3)}, V = R4
(c) {x3 + 4x2 − 2x+ 3, x3 + 6x2 − x+ 4, 2x3 + 8x2 − 8x+ 7}, V = P3(R)
(d) {1, cos2 x, sen2x}, V = F(R,R)
(e) {ex, coshx, senhx}, V = F(R,R)
(f) {1, senx, cosx}, V = F(R,R)
16. Seja S = {u, v, w} um conjunto Linearmente Independente de vetores de um espac¸o
vetorial V . Os conjuntos abaixo sa˜o Linearmente Independentes ou Linearmente Depen-
dentes? (a) {u+ v, u+ w, v + w} (b) {u, u+ w, u+ v + w}
17. Seja V um espac¸o vetorial e seja A = {v1, v2, ..., vn} um conjunto linearmente indepen-
dente de vetores de V . Mostre que qualquer subconjunto na˜o vazio de A e´ tambe´m
linearmente independente.
18. Mostre que se {v1, v2, v3, v4} e´ um conjunto linearmente dependente de vetores em um
espac¸o vetorial V e se v5 e´ um vetor qualquer em V , enta˜o {v1, v2, v3, v4, v5} tambe´m e´
linearmente dependente.
19. Mostre que se {v1, v2, v3, v4} gera um espac¸o vetorial V e se v4 e´ uma combinac¸a˜o linear
de v1, v2 e v3 , enta˜o {v1, v2, v3} ainda gera V .
20. Sejam W1 e W2 os seguintes subespac¸os de R4:
W1 = {(a, b, c, d); b+ c+ d = 0} e W2 = {(a, b, c, d); a+ b = 0, c = 2d}.
Ache uma base e a dimensa˜o de (a) W1, (b) W2, (c) W1 ∩W2, (d) W1 +W2
21. Verifique se as matrizes{( 1 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
0 0
−1 −1
)
,
(
0 0
0 −1
)}
formam uma base de M(2× 2).
22. Determine a dimensa˜o do seguinte subespac¸o de P4(R): W = {P (x) ∈ P4(R);P (1) = 0}.
23. Seja W o subespac¸o vetorial de M(2× 2) dado por
W =
{( a b
c d
)
∈M(2× 2); a = d e c = a+ b
}
(a) Qual a dimensa˜o de W?
(b) O conjunto
{( 1 −1
0 1
)
,
(
2 1
3 4
)}
e´ uma base de W? Por queˆ?
24. Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−2, 3,−3); v2 = (2, 3, 1,−4);
v3 = (3, 8,−3,−5).
(a) Ache uma base e a dimensa˜o de W .
(b) Estenda a base de W a uma base de todo o espac¸o R4.
25. Encontre uma base para os seguintes subespac¸os do R3:
(a) Todos os vetores da forma (a, b, c), onde b = a
(b) Todos os vetores da forma (a, b, c), onde a = 0
(c) Todos os vetores da forma (a− b, b+ c, 2a− b+ c).
26. Determine os valores de a para os quais os vetores {(a2, 0, 1), (0, a, 2), (1, 0, 1)} formam
uma base do R3.
27. Ache uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de R4 gerado por w1 = (−1, 4, 2,−1);
w2 = (1,−3,−1, 2) e w3 = (4,−10,−2, 10). Estenda a base de W a uma base de todo R4.
28. Encontre os vetores da base canoˆnica que podem ser acrescentados ao conjunto v1, v2, v3
para formar uma base de R5, onde v1 = (1, −4, 2, −3, 0), v2 = (−3, 8, −4, 6, 0) e
v3 = (0, −1, 2, 5, −4).
29. Determine uma base e a dimensa˜o de cada um dos subespac¸os de M(3× 3) abaixo:
(a) Matrizes Sime´tricas.
(b) Matrizes anti-sime´tricas.
(c) Matrizes de trac¸o igual a zero.
OBS: O trac¸o de uma matriz e´ a soma dos elementos de sua diagonal principal.
30. Encontre as coordenadas de:
(a) u = (1,−1) em relac¸a˜o a` base {(2,−4), (3, 8)} de R2
(b) u = (1,−1) em relac¸a˜o a` base {(1, 1), (0, 2)} de R2
(c) P (x) = 2 + x− x2 em relac¸a˜o a` base {1 + x, 1 + x2, x+ x2} de P2(R).
31. Encontre uma base e a dimensa˜o do conjunto soluc¸a˜o do sistema
x + 2y − 2z − w = 0
x + y + z + w = 0
x + 2y + 3z +2w = 0
32. Sejam W1 e W2 subespac¸os de um espac¸o vetorial V . Seja V = W1 ⊕W2. Se B1 e´ uma
base de W1 e B2 e´ uma base de W2, mostre que B1 ∩B2 = ∅ e B1 ∪B2 e´ uma base de V .
33. Seja B = {v1, v2, v3} a base de R3 constituida pelos vetores v1 = (2, 0, 0), v2 = (1, 1, 0) e
v3 = (1, 1, 1).
(a) Qual e´ o vetor de R3 que nesta base tem coordenadas (0, 3, 5)?
(b) Calcule as coordenadas do vetor (2, 0, 1) nesta base.
34. Seja B = {P (x), Q(x), R(x)} o subconjunto de P2(R) constitu´ıdo pelos polinoˆmios
P (x) = 1 + x,Q(x) = 1 + 2x,R(x) = x2
(a) Mostre que B e uma base de P2(R).
(b) Qual e´ o polinoˆmio que nesta base tem coordenadas (1, 3,−2)?
(c) Calcule as coordenadas do vetor 2 + 2x− x2 nesta base.
RESPOSTAS
1. (a) Na˜o, (b) Sim, (c) Na˜o, (d) Na˜o
3. (a) Na˜o, (b) Sim, (c) Na˜o, (d) Na˜o, (e) Sim, (f) Sim, (g) Sim
(h) Sim, (i) Sim, (j) Na˜o, (k) Sim, (l) Na˜o, (m) Sim, (n) Na˜o
(o) Sim, (p) Sim
5. (a) V ∩ W = W,V + W = V (b) V ∩ W = {[aij]2×2; a11 = a12 = a21 = a22},
V +W = {[aij]2×2; a11 = −a12 + a21 + a22}
(c) V ∩W = {(0, 0, 0)}, V +W = R3, (d) V ∩W = {(0, 0, 0)}, V +W = R4
8. (a) a = 3, (b) a = 1
10. (a) {(2, 1, 0), (−3, 0, 1)}, (b) {(1, 1, 0,−1), (0, 0, 1, 0)}
(c)
{( 1 0
−1 0
)
,
(
0 0
1 1
)}
, (d) {1 + x2, x− 1
2
x2}
11. (a), (c) e (d)
12. (a) −1P (x)−2Q(x)+2R(x), (b) 3P (x)+0Q(x)−2R(x), (c) 2P (x)−1Q(x)+0R(x)
13. A e B
14. a = ±2
15. (a) LI , (b) LI, (c) LI, (d) LD, (e) LD, (f) LI
16. (a) LI , (b) LI
20. (a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0,−1), (0, 0, 1,−1)} e dim(W1) = 3
(b) {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)} e dim(W2) = 2
(c) {(3,−3, 2, 1)} e dim(W1 ∩W2) = 1
(d) Qualquer base de R4 e dim(W1 +W2) = 4
21. SIM
22. 4
23. (a) 2 (b) Na˜o, porque
(
2 1
3 4
)
/∈ W
24. (a) {v1, v2, v3} e dim(W ) = 3 (b) {v1, v2, v3, v4}, onde v4 = (1, 0, 0, 0)
25. (a) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} (c) {(1, 0, 2), (−1, 1,−1)}
26. a 6= 0; 1;−1
27. Base de W = {w1, w2} e dim(W ) = 2; Base de R4 = {w1, w2, (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)
28. (0, 0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 0, 1)
29. (a)

 1 0 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 1 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 1
 ,
 0 1 01 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 10 0 0
1 0 0
 ,
 0 0 00 0 1
0 1 0

Dimensa˜o do espac¸o = 6
(b)

 0 1 0−1 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 10 0 0
−1 0 0
 ,
 0 0 00 0 1
0 −1 0

Dimensa˜o do espac¸o = 3
(c)
{ −1 0 00 1 0
0 0 0
 ,
 −1 0 00 0 0
0 0 1
 ,
 0 1 00 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 10 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 01 0 0
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 1
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 1 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 1
}
Dimensa˜o do espac¸o = 8
30. (a)
(11
28
,
1
14
)
(b) (1,−1) (c) (2, 0,−1)
31. Base = {(−3, 1,−3, 5)} e Dimensa˜o = 1
33. (a) (8, 8, 5) (b) (1,−1, 1)
34. (b) 4 + 7x− 2x2 (c) (2, 0,−1)