Aula 2 FUNÇÕES.1

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Aula 2
Funções
Funções
• Funções são ferramentas que descrevem o mundo real em termos
matemáticos.
• Uma função pode ser representada por uma equação, um gráfico,
uma tabela numérica ou uma descrição verbal.
Definição:
Sejam 𝐴 e 𝐵 subconjuntos de ℝ. Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é uma lei ou
regra que a cada elemento de 𝐴 faz corresponder um único elemento
de 𝐵.
• O conjunto 𝐴 é chamado domínio de 𝒇, e denotado por D 𝑓 e 𝐵 é
chamado de contradomínio da função.
Exemplo 1: Sejam 𝐴 = 1, 2, 3, 4 e 𝐵 = 2, 3, 4, 5
1. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dada pelo diagrama ao lado é uma
1. função de 𝐴 em 𝐵.
2. 𝑔: 𝐴 → 𝐵 + 1 é uma função de 𝐴 em 𝐵.
2. 𝑥 → 𝑥 + 1
Entrada
(domínio)
𝑥
Função
𝑓
Saída
(Imagem)
𝑓 𝑥
1•
2•
3•
4•
•2
•3
•4
•5
Imagem
• Seja 𝑓: 𝐴 → 𝐵, dado 𝑥 ∈ 𝐴, o elemento 𝑓 𝑥 ∈ 𝐵 é chamado de valor da
função 𝑓 no ponto 𝑥 ou de imagem de 𝒙 por 𝒇.
• O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto
imagem de 𝒇 e é denotado por Im 𝑓 .
Exemplo 2: Sejam 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5 e 𝐵 = ℤ e 𝑓: 𝐴 → 𝐵 definida pela regra
que a cada elemento faz corresponder o dobro. Então a imagem do
elemento 1 é 2, de 2 é 4, de 3 é 6, de 4 é 8 e de 5 é 10.
O domínio de 𝑓: D 𝑓 = 𝐴
A imagem de 𝑓: Im 𝑓 = 2, 4, 6, 8, 10
Exemplo 3: Seja 𝑓: ℝ → ℝ, então D 𝑓 = ℝ, Im 𝑓 = 0,+∞ .
𝑥 → 𝑥2
• Quando trabalhamos com subconjuntos de ℝ, é usual caracterizar a
função apenas pela regra ou fórmula que a define.
• Neste caso, entende-se que o domínio de 𝑓 é o conjunto de todos os
números reais para os quais a função está definida.
Gráficos de funções
• Se ƒ é uma função com domínio D, seu gráfico consiste dos pontos no
plano cartesiano cujas coordenadas são pares de entrada/saída para
ƒ. Na notação de conjunto, o gráfico é
𝑥, 𝑓 𝑥 𝑥 ∈ 𝐷
• Na forma gráfica a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2,
por exemplo, é expressada como na forma
ao lado
• Como fazer um gráfico de uma função?
• Assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela que nos dá as
coordenadas.
Exemplo 4: O gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 consiste em todos os pares
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 tais que 𝑦 = 𝑥2.
𝒙 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐
−2 4
−1 1
0 0
1 1
2 4
Exemplo 5: O gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑥.
Exemplo 6: O gráfico da função 𝑓:ℝ → ℝ, definida por
𝑓 𝑥 = ቐ
−2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −2
2, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 ≤ 2
4, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
Operações
• O domínio das funções nos itens de 1 a 3 é a intersecção dos domínios de 𝑓 e 𝑔. 
O domínio de 𝑓/𝑔 é a intersecção dos domínios excluindo-se os pontos 𝑥 onde 
𝑔 𝑥 = 0.
Definição:
Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, também
podemos produzir novas funções através de operações. Essas são produzidas
como segue:
1. 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
2. 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
3. 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
4.
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
Exemplo 7: Sejam 𝑓 𝑥 = 5 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3, então:
1. 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 5 − 𝑥 + 𝑥 − 3
2. 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 5 − 𝑥 − 𝑥 − 3
3. 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 5 − 𝑥 ∙ 𝑥 − 3
4.
𝑓
𝑔
𝑥 =
5 − 𝑥
𝑥 − 3
• O domínio de 𝑔 ∘ 𝑓 é o conjunto de todos os pontos de 𝑥 no domínio
de 𝑓 tais que 𝑓 𝑥 está no domínio de 𝑔.
• Simbolicamente, D 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑥 ∈ D 𝑓 𝑓 𝑥 ∈ D 𝑔
Definição:
Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta de 𝒈 com 𝒇, denotada
por 𝑔 ∘ 𝑓, é definida por
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
Exemplo 8: Sejam 𝑓 𝑥 = 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1. Encontre 𝑔 ∘ 𝑓.
Exemplo 9: Sejam 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3 e 𝑔 𝑥 = 𝑥. Encontre
(a) 𝑔 ∘ 𝑓
(b) 𝑓 ∘ 𝑔
(c) 𝑓 ∘ 𝑓
(d) 𝑔 ∘ 𝑔
Exemplo 10: Se 𝑓 𝑥 =
𝑥2−4
𝑥−1
, ache.
Exemplo 11: Se 𝑓 𝑥 =
3𝑥−1
𝑥−7
, determine.
(a) 𝑓 0 (b) 𝑓 −2
(c) 𝑓 Τ1 𝑡 (d) 𝑓 𝑥 − 2
(e) 𝑓 Τ1 2 (f) 𝑓 𝑡2
(a)
5𝑓 −1 − 2𝑓 0 + 3𝑓 5
7
(b) 𝑓 −1/2 2
(c)
𝑓 ℎ − 𝑓 0
ℎ
(d) 𝑓 𝑓 5
Exemplo 12: Determinar o domínio das seguintes funções
(a) 𝑦 = 𝑥2 (b) 𝑦 = 4 − 𝑥2
(c) 𝑦 =
1
𝑥 − 4
(d) 𝑦 = 𝑥 − 2
(e) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ((f) 𝑦 = 3 + 𝑥 +
4
7 − 𝑥
(g) 𝑦 =
3
𝑥 + 7 −
5
𝑥 + 8 (h) 𝑦 =
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎
(i) 𝑦 = 𝑥 + 2 + 4,−5 ≤ 𝑥 ≤ 2 (j) 𝑦 =
𝑥
𝑥 + 1
(k) 𝑦 = 𝑥 −
1
𝑥
(l)
1
1 + 𝑥
Funções crescentes e decrescentes
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo 𝐼 e 𝑥1 e 𝑥2 sejam dois
pontos em 𝐼.
1. Se 𝑓 𝑥2 > 𝑓 𝑥1 sempre que 𝑥1 < 𝑥2, então diz-se que 𝑓 é crescente em 𝐼.
2. Se 𝑓 𝑥2 < 𝑓 𝑥1 sempre que 𝑥1 < 𝑥2, então diz-se que 𝑓 é decrescente em
𝐼.
Funções pares e funções ímpares: simetria
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo 𝒚.
Definição: Uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 é uma
• Função par de 𝒙 se 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥
• Função ímpar de 𝒙 se 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
Para qualquer x dentro do domínio da função
• O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
• Quando trabalhamos com subconjuntos de ℝ, é usual caracterizar a
função apenas pela regra ou fórmula que a define.
• Neste caso, entende-se que o domínio de 𝑓 é o conjunto de todos os
números reais para os quais a função está definida.
Funções lineares
• Função do 1º grau: é toda função que associa a cada número real 𝑥 o número 
real 𝑎𝑥 + 𝑏,𝑚 ≠ 0. Os números reais 𝑎 e 𝑏 são chamados, respectivamente, de 
coeficiente angular e linear.
• Quando 𝑎 > 0 a função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 +
𝑏 é crescente, isto é, a medida que 𝑥
cresce, 𝑓 𝑥 também cresce.
• Quando 𝑎 < 0 a função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 +
𝑏 é decrescente, isto é, a medida que 
𝑥 cresce, 𝑓 𝑥 decresce.
• O gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 é uma reta não-paralela aos eixos
coordenados.
• O domínio de 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 é D 𝑓 = ℝ.
• O conjunto imagem é Im 𝑓 = ℝ.
• Função módulo: A função definida por 𝑦 = 𝑥 chama-se função
módulo
• O seu domínio é o conjunto D 𝑓 = ℝ e o conjunto imagem é
Im 𝑓 = 0,∞ .
• O gráfico desta função está ilustrada a seguir
• Função quadrática: A função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 é chamada função do 2º grau ou quadrática.
• O seu domínio é o conjunto D 𝑓 = ℝ.
• O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de
simetria paralelo ao eixo dos 𝑦.
• Se o coeficiente de 𝑥2 for positivo, a parábola tem a concavidade
voltada para cima. Se 𝑎 < 0, a parábola é voltada para baixo.
• A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto
chamado vértice.
• A intersecção da parábola com o eixo dos 𝑥 define os zeros da função.
• Dada uma função quadrática qualquer 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com a 𝑎 ≠
0, usando a técnica de completar os quadrados, podemos facilmente
escrevê-la na forma
𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑣
2 + 𝑦𝑣
sendo 𝑥𝑣, 𝑦𝑣 = − Τ
𝑏
2𝑎 , − Τ
Δ
4𝑎 o vértice de parábola. Neste caso o
eixo de simetria é dado por 𝑥 = 𝑥𝑣.
Exemplo 13: A parábola dada por 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 por ser escrita
como...
• A expressão 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑥𝑣
2 + 𝑦𝑣 é muito útil quando queremos
fazer um esboço rápido do gráfico de uma função quadrática, pois
permite identificar a concavidade, o vértice e o eixo de simetria.
• Para obter um esboço do gráfico basta determinar mais alguns
pontos, que podem ser tomados de um só lado do eixo de simetria.
Exemplo 14: Dada a função 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 1 podemos escrever...
• Função polinomial: É a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥
1 + 𝑎0
onde 𝑎𝑛, 𝑎1, . . . , 𝑎1, 𝑎0 ∈ ℝ com 𝑎𝑛 ≠ 0 são chamados coeficientes e
𝑛 ∈ ℤ+ determina o grau da função.
• O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar
pontos de máximos e mínimos.
• Posteriormente faremos esboços de gráficos dessas funções com o
auxílio das derivadas.
• O domínio de uma função polinomial é sempre o ℝ.
Exemplo 15:
1. A função constante 𝑓 𝑥 = 𝑘 é uma função polinomialde grau 0
2. A função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0 é uma função polinomial de 1º grau
3. A função quadrática 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 é uma função polinomial do 2º grau.
4. A função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 é uma função polinomial de 3º grau, também chamada função
cúbica.
5. A função 𝑓 𝑥 = 5𝑥5 − 6𝑥 + 7 é uma função polinomial de grau 5.
• Função racional: É a função definida como o quociente de duas funções
polinomiais, isto é, 𝑓 𝑥 =
𝑝 𝑥
𝑞 𝑥
, onde 𝑝 𝑥 e 𝑞 𝑥 são polinômios e 𝑞 𝑥 ≠
0.
• O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo aqueles
valores de 𝑥 que são raízes de 𝑞 𝑥 .