cálculo 1 - aplicações das derivadas

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Ca´lculo I -
Aplicac¸o˜es das
Derivadas
Profa. Simone
Batista e Prof.
Josinaldo Menezes
Extremos de
Func¸o˜es
Func¸o˜es
Monotoˆnicas e o
Teste da Primeira
Derivada
Concavidade e
Esboc¸o de Curvas
Otimizac¸a˜o
Otimizac¸a˜o
Otimizac¸a˜o
Formas
Indeterminadas e a
Regra de L’hoˆpital
Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Derivadas
Profa. Simone Batista e Prof. Josinaldo Menezes
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
18 de outubro de 2009
Ca´lculo I -
Aplicac¸o˜es das
Derivadas
Profa. Simone
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Extremos de
Func¸o˜es
Ma´ximos e
M´ınimos Absolutos
Exerc´ıcio
O Teorema do
Valor Extremo
Extremos Locais
ou Relativos
Primeiro Teorema
da Derivada para
Valores de
Extremos Locais
Pontos Cr´ıticos e
Extremos
Absolutos
Teorema de Rolle
Teorema do Valor
Me´dio
Func¸o˜es
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Teste da Primeira
Derivada
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Ma´ximos e M´ınimos Absolutos
Seja f uma func¸a˜o de dom´ınio D. Enta˜o
I f tem um valor ma´ximo absoluto em D em um ponto c se
f (x) ≤ f (c), para qualquer x em D
I f tem um valor m´ınimo absoluto em D no ponto c se
f (x) ≥ f (c), para qualquer x em D.
I Ma´ximos e m´ınimos absolutos sa˜o chamados extremos
absolutos.
I Ma´ximos e m´ınimos absolutos sa˜o tambe´m chamados ma´ximos
e m´ınimos globais ou extremos globais.
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Exerc´ıcio
O Teorema do
Valor Extremo
Extremos Locais
ou Relativos
Primeiro Teorema
da Derivada para
Valores de
Extremos Locais
Pontos Cr´ıticos e
Extremos
Absolutos
Teorema de Rolle
Teorema do Valor
Me´dio
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Exerc´ıcio
O Teorema do
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ou Relativos
Primeiro Teorema
da Derivada para
Valores de
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Pontos Cr´ıticos e
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Absolutos
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Exerc´ıcio
Seja a func¸a˜o y = x2. Analisar a existeˆncia de extremos globais nos
intervalos:
1. auseˆncia de ma´ximo absoluto e presenc¸a de m´ınimo absoluto 0
em x = 0 no intervalo D = (−∞,∞).
2. ma´ximo absoluto 4 em x = 2 e m´ınimo absoluto 0 em x = 0
no intervalo D = [0, 2].
3. ma´ximo absoluto 4 em x = 2 e auseˆncia de m´ınimo absoluto
no intervalo D = (0, 2].
4. auseˆncia de extremos globais no intervalo D = (0, 2).
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ou Relativos
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da Derivada para
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Pontos Cr´ıticos e
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O Teorema do Valor Extremo
Seja f e´ cont´ınua em um intervalo fechado [a, b], enta˜o f assume
tanto um valor ma´ximo M como um valor m´ınimo m em [a, b].
I Ha´ nu´meros x1 e x2 em [a, b] tais que f (x1) = m e f (x2) = M
e m ≤ x ≤ M para qualquer outro valor de x em [a, b].
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Extremos Locais ou Relativos
I Uma func¸a˜o f tem um valor ma´ximo local em um ponto
interior c de seu dom´ınio se f (x) ≤ f (c), para qualquer x em
um intervalo aberto que contenha c .
I Uma func¸a˜o f tem um valor m´ınimo local em um ponto
interior c de seu dom´ınio se f (x) ≥ f (c), para qualquer x em
um intervalo aberto que contenha c .
I Uma lista contendo todos os ma´ximos e m´ınimos locais incluira´
tambe´m os ma´ximos e m´ınimos absolutos, se houver.
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Primeiro Teorema da Derivada para Valores de
Extremos Locais
Se f possui um valor ma´ximo ou m´ınimo local em um ponto c
interior de seu dom´ınio e se f ′ e´ definida em c , enta˜o
f ′(c) = 0.
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Prova: Se f (c) e´ um ma´ximo local, enta˜o f (x)− f (c) ≤ 0:
I Para (x − c) > 0, temos f (x) ≤ 0 e
f ′(c) = lim
x→c+
f (x)− f (c)
x − c ≤ o
I Para (x − c) < 0, temos f (x) ≤ 0 e
f ′(c) = lim
x→c+
f (x)− f (c)
x − c ≥ o
Assim, f ′(c) = 0.
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Pontos Cr´ıticos e Extremos Absolutos
I Um ponto interiordo dom´ınio de uma func¸a˜o f onde f ′ e´ zero
ou indefinida e´ um ponto cr´ıtico de f .
I Para calcular os extremos absolutos de uma func¸a˜o cont´ınua f
em um intervalo fechado e finito:
1. Calculamos f em todos os pontos cr´ıticos e extremidades.
2. Tomamos o maior e o menor dentre os valores obtidos.
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Exemplo: Considerando a func¸a˜o y = x2, os valores ma´ximo e
m´ınimo absolutos no intervalo [−2, 1] sa˜o encontrados fazendo-se
I A func¸a˜o e´ deriva´vel em todo intervalo→ na˜o ha´ f ′(x)→ ±∞.
I Como f ′(x) = 2x = 0, o u´nico ponto cr´ıtico e´ x0 = 0.
I Os valores de f nos pontos cr´ıticos nas extremidades sa˜o
f (0) = 0, f (−2) = 4 e f (1) = 1.
A conclusa˜o e´:
I O valor ma´ximo absoluto e´ 4 em x = −2.
I O valor m´ınimo absoluto e´ 0 em x = 0.
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Teorema de Rolle
Suponha que y = f (x) seja cont´ınua em todos os pontos do
intervalo fechado [a, b] e deriva´vel em todos os pontos de seu
interior (a, b). Se f (a) = f (b), enta˜o ha´ pelo menos um m´ınimo c
em (a, b) no qual
f ′(c) = 0
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I Exemplo: na func¸a˜o polinomial f (x) = x
3
3 − 3x , o teorema de
Rolle e´ notado nos pontos
f ′(x) = x2 − 3 = 0
ou seja, x = ±√3.
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Suponha que y = f (x) seja cont´ınua em todos os pontos do
intervalo fechado [a, b] e deriva´vel em todos os pontos de seu
interior (a, b). Enta˜o ha´ pelo menos um ponto c em (a, b) em que
f (b)− f (a)
b − a = f
′(c)
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I Prova: Considerando o gra´fico da figura abaixo, a reta g(x) e´
g(x) = f (a) +
f (b)− f (a)
b − a (x − a).
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I A func¸a˜o h(x) = f (x)− g(x) e´
h(x) = f (x)− g(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)
b − a (x − a).
Com h(x) obedecendo ao Teorema de Rolle com
h(a) = h(b) = 0,
h′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)
b − a = 0
ou seja,
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b − a
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Exemplo: Considerando f (x) = x2 e o intervalo 0 ≤ x ≤ 2, temos
I f (x) = x2 e´ deriva´vel para (0, 2).
I f (0) = 0 e f (2) = 4.
I Assim, f ′(x) = 2x e f ′(c) = 2c = 4−02−0 = 2, ou seja, c = 1.
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Crescentes e
Decrescentes
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Func¸o˜es Crescentes e Decrescentes
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo I e sejam x1 e x2 dois
pontos quaisquer em I.
1. Se f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2, enta˜o f e´ crescente em I.
2. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, enta˜o f e´ decrescente
em I.
I Uma func¸a˜o crescente ou decrescente em I e´ chamada
monotoˆnica em I.
I O intervalo I pode ser finito ou infinito.
I Em outra notac¸a˜o usa-se ≤ para crescente e < para
estritamente crescente.
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Exemplo: A func¸a˜o f (x) = x2:
I e´ crescente no intervalo (−∞, 0].
I e´ decrescente no intervalo [0,∞).
I e´ monotoˆnica no intervalo (−∞, 0]U[0,∞).
I na˜o e´ monotoˆnica no intervalo (−∞,∞).
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Teste da Primeira Derivada e as Func¸o˜es
Crescentes de Decrescentes
Suponha que f seja cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b):
1. Se f ′(x) > 0 em qualquer ponto x ∈ (a, b), enta˜o f e´ crescente
em [a, b].
2. Se f ′(x) < 0 em qualquer ponto x ∈ (a, b), enta˜o f e´
decrescente em [a, b].
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Exemplo: seja a func¸a˜o f (x) = x3 − 12x − 5
I f ′(x) = 3x2− 12 = 0 indica que os pontos cr´ıticos sa˜o x = ±2.
I No intervalo −∞ < x < −2 a func¸a˜o e´ crescente pois
f ′(x) > 0.
I No intervalo −2 < x < 2 a func¸a˜o e´ decrescente pois
f ′(x) < 0.
I No intervalo 2 < x <∞ a func¸a˜o e´ crescente pois f ′(x) > 0.
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Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
I Seja c um ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o cont´ınua f , e que f
seja deriva´vel em qualquer ponto de certo intervalo que
contenha c , exceto possivelmente no pro´prio c .
I Movendo-se ao longo de c , da esquerda para a direita:
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1. Se f ′ muda de negativa para positiva em c , enta˜o f possui um
m´ınimo local em c .
2. Se f ′ muda de positiva para negativa em c , enta˜o f possui um
ma´ximo local em c .
3. Se f ′ na˜o muda de sinal em c , enta˜o c na˜o e´ um extremo local
de f .
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Indeterminadas e a
Regra de L’hoˆpital
Exemplo: Seja a func¸a˜o f (x) = (x2 − 3)ex .
I Como e´ cont´ınua e deriva´vel para todo x , temos
f ′(x) = (x2−)ex − 2xex = (x2 + 2x − 3)ex = 0
que resulta nos pontos cr´ıticos x = −3 e x = 1.
I No intervalo x < −3, f ′ > 0 e assim f e´ crescente.
I No intervalo −3 < x < 1, f ′ < 0 e assim f e´ decrescente.
I No intervalo x > 1, f ′ > 0 e assim f e´ crescente.
I Conclusa˜o: ha´ um ma´ximo local em x = 3 e ha´ um m´ınimo
local em x = 1.
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Derivadas
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Func¸o˜es
Func¸o˜es
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Teste da Primeira
Derivada
Concavidade e
Esboc¸o de Curvas
Concavidade para
Cima e para Baixo
O Teste da
Segunda Derivada
para a
Concavidade
Ponto de Inflexa˜o
Exerc´ıcios
Teste da Segunda
Derivada
Exerc´ıcios
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Concavidade para Cima e para Baixo
O gra´fico de uma func¸a˜o deriva´vel y = f (x) em I aberto e´
I Coˆncavo para baixo se f ′ e´ decrescente em I.
I Co˜ncavo para cima se f ′ e´ crescente em I.
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O Teste da Segunda Derivada para a Concavidade
Seja f (x) uma func¸a˜o duplamente deriva´vel em um intervalo I
I Se f ′′(x) > 0 em I, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo para
cima.
I Se f ′′(x) < 0 em I, o gra´fico de f ao longo de I e´ coˆncavo para
baixo.
Exemplo 1: Considerando a func¸a˜o y = x3 temos que y ′′ = 6x e
I y ′′ < 0→ x < 0, neste intervalo o gra´fico de y e´ coˆncavo para
baixo.
I y ′′ > 0→ x > 0, neste intervalo o gra´fico de y e´ coˆncavo para
cima.
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Exemplo 2: Se y = x2 temos que y ′′ = 2 e
I A curva e´ coˆncava para cima em (−∞,∞), y ′′ > 0 sempre.
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Ponto de Inflexa˜o
Um ponto de inflexa˜o e´ um ponto onde o gra´fico de uma func¸a˜o
possui uma reta tangente e onde ha´ mudanc¸a de concavidade.
I Exemplo 1: Considerando a func¸a˜o y = 3 + sen x no intervalo
[0, 2pi], temos o ponto de inflexa˜o (pi, 3).
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I Exemplo 2: a func¸a˜o y = x4 na˜o possui ponto de inflexa˜o pois
apesar de y ′′ = 12x2 = 0 em x = 0, na˜o ha´ mudanc¸a de sinal
de y ′′.
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Exerc´ıciosTeste da Segunda
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I Exemplo 3: f (x) = x
1
3 tem um ponto de inflexa˜o pois
y ′′ =
d
dx
(
1
3
x−
2
3
)
= −2
9
x−
5
3
que na˜o existe para x = 0.
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Exerc´ıcios
1. Determinar os pontos cr´ıticos de f (x) = x
1
3 (x − 4) = x 43 − 4x 13
e analisar o comportamento da func¸a˜o.
2. O deslocamento de uma part´ıcula ao longo de uma reta
horizontal obedece a func¸a˜o s(t) = 2t3 − 14t + 22t − 5, para
t > 0. Qual sua velocidade e acelerac¸a˜o? Em seguida,
descreva o movimento. Utilize:
v(t) = s ′(t)
a(t) = v ′(t) = s ′′(t).
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Teste da Segunda Derivada
Suponha que f seja cont´ınua em um intervalo aberto que contenha
x = c .
1. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) < 0, enta˜o f possui um ma´ximo local
quando x = c .
2. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0, enta˜o f possui um m´ınimo local
quando x = c .
3. Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) = 0, enta˜o o teste e´ inconclusivo.
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Exemplo: O gra´fico da func¸a˜o f (x) = x4 − 4x3 + 10 e´ esboc¸ado
seguindo oa passos:
1. Identificar onde esta˜o os extremos de f : f ′ = 4x3 − 12x2 = 0,
isto e´ x = 0 e x = 3.
2. Determinar os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos
onde f e´ decrescente:
x < 0 0 < x < 3 x > 3
f ′ < 0 f ′ < 0 f ′ > 0
decrescente decrescente crescente
3. Separamos os intervalos onde as concavidades sa˜o diferentes.
A partir de f ′′(x) = 12x2 − 24x = 12x(x − 2) = 0, temos
x < 0 0 < x < 2 x > 2
f ′′ > 0 f ′′ < 0 f ′′ > 0
para cima para baixo para cima
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Considere a func¸a˜o f (x) = (x+1)
2
1+x2 :
1. Encontre seu dom´ınio.
2. Ache as derivadas primeira e segunda.
3. Quais os seus pontos cr´ıticos?
4. A func¸a˜o possui ma´ximo e m´ınimos relativos?
5. Em que intervalos f e´ crescente ou decrescentes?
6. A func¸a˜o possui algum ponto de inflexa˜o?
7. Indique os intervalos em que o gra´fico da func¸a˜o possui
concavidade para cima ou para baixo.
8. A func¸a˜o possui ass´ıntotas horizontais ou verticais?
9. Esboce o gra´fico de f (x).
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Problema 1:
Uma caixa sem tampa sera´ feita recortando-se pequenos quadrados
congruentes dos cantos de uma folha de estanho medindo 12× 12
polegadas e dobrando-se os lados para cima. Que tamanho os
quadrados das bordas devem ter para que a caixa chegue a` sua
capacidade ma´xima?
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I O volume da caixa e´
V (x) = x(12− 2x)2 = 144x − 48x2 + 4x3
cujo dom´ınio e´ 0 ≤ x ≤ 6.
I
V ′(x) = 144− 96x + 12x2 = 12(2− x)(6− x)
que indica que os pontos cr´ıticos, V ′(x) = 0, sa˜o x = 2 2
x = 6.
I V (x) no ponto cr´ıtico e nas extremidades sa˜o: V (2) = 128,
V (0) = 0 e V (6) = 0.
I O volume ma´ximo e´ 128pol3, que e´ conseguido cortando-se
quadrados com 2pol de lado.
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Problema 2:
Projetar uma lata de um litro com a forma de um cilindro reto.
Quais as dimenso˜es para menos material?
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Problema 3:
Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio
igua a 2. Qual e´ a maior a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais sa˜o
as suas dimenso˜es?
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- Forma Mais Forte
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Formas Inderterminadas
I Se f (x) e g(x) sa˜o zero em x = a, enta˜o
lim
x→a
f (x)
g(x)
gera 00 , que e´ uma expressa˜o matema´tica sem significado: uma
forma indeterminada.
I Ha´ outras formas indeterminadas, como por exemplo, ∞∞ , ∞.0,∞−∞ e ∞0.
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Exerc´ıcios
Regra de L’hoˆpital - Primeira Forma
Suponha que f (a) = g(a) = 0, que f ′(a) e g ′(a) existam e que
g ′(a) 6= 0. Enta˜o,
lim
x→a
f (x)
g(x)
=
f ′(a)
g ′(a)
I Prova:
f ′(a)
g ′(a)
=
limx→a
f (x)−f (a)
x−a
limx→a
g(x)−g(a)
x−a
= lim x → a f (x)− f (a)
g(x)− g(a) = limx→a
f (x)
g(x)
I Exemplo:
lim
x→0
=
3x − sen x
x
=
3− cos x
1
∣∣
x→0 =
1
2
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- Forma Mais Forte
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Regra de L’hoˆpital - Forma Mais Forte
Suponha que f (a) = g(a) = 0, que f e g sejam deriva´veis em um
intervalo I contendo a e que g ′(x) 6= 0 em I se x 6= a. Enta˜o,
lim
x→a
f (x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g ′(x)
I Exemplo:
lim
x→0
√
1 + x − 1− x2
x2
= lim
x→0
(1/2)(1 + x)( − 1/2)− 12
2x
= lim
x→0
−(1/4)(1 + x)( − 3/2)
2
= −1
8
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Exerc´ıcios
Usar a regra de L’Hoˆpital para calcular os limites:
1. limx→0
√
1+x−1
x
2. limx→0 x−sen xx3
3. limx→0 1−cos xx+x2
4. limx→0+ sen xx2
5. limx→0− sen xx2
6. limx→pi2
sen x
1+tg x
7. limx→∞
[
x sen
(
1
x
)]
8. limx→0+
√
x ln x
9. limx→0
(
1
sen x − 1x
)
10. limx→0+(1 + x)
1
x
11. limx→∞ x
1
x
	Extremos de Funções
	Máximos e Mínimos Absolutos
	Exercício
	O Teorema do Valor Extremo
	Extremos Locais ou Relativos
	Primeiro Teorema da Derivada para Valores de Extremos Locais
	Pontos Críticos e Extremos Absolutos
	Teorema de Rolle
	Teorema do Valor Médio
	Funções Monotônicas e o Teste da Primeira Derivada
	Funções Crescentes e Decrescentes
	Teste da Primeira Derivada e as Funções Crescentes de Decrescentes
	Teste da Primeira Derivada e os Extremos Locais
	Concavidade e Esboço de Curvas
	Concavidade para Cima e para Baixo
	O Teste da Segunda Derivada para a Concavidade
	Ponto de Inflexão
	Exercícios
	Teste da Segunda Derivada
	Exercícios
	Otimização
	Problemas de Otimização Aplicada
	Otimização
	Problemas de Otimização Aplicada
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