Cap_01_3a_aula_SISTEMA DE FORÇAS

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1.3. Momento de uma força (cont.)
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo
Considere agora uma força F no espaço:
Desenvolvendo o determinante, temos:
o x y z
x y z
r r r
F F F
=
i j k
M = r×F
O momento M em relação ao ponto “o” é dado por:
( ) ( ) ( )o y z z y z x x z x y y x
x y z
r F r F r F r F r F r F
M M M
− + − + − =
= + +
M = i j k
i j k
Representação das componentes em notação de vetor de “seta dupla”:
oM
x
y
z
yM
zM
zM
OBS: O sentido da seta dupla segue a regra da mão direita.
( ) ( ) ( )22 20
o x y z
x y z
M M M
M M M M
= = + +
= + +
x y zM M +M +M i j k
EXEMPLO 4: Uma força T=10kN é transmitida pelo cabo fixado em A e B. Determine o 
momento da força de tração no cabo em relação ao ponto “o”.
1.3.2. Caso Tridimensional – Momento em torno de um eixo (cont.)
1.4. Binário
1.4.1. Caso Bidimensional
O momento de um binário (conjugado) ou simplesmente binário é o momento resultante da 
ação de duas forças NÃO COLINEARES, IGUAIS e OPOSTAS.
Considere agora um corpo submetido a um par de forças paralelas de mesma intensidade, 
porém de sentidos contrários:
O momento das forças em torno do ponto “o” é
dado por:
( )M F a d Fa
M Fa Fd Fa M Fd
= + −
∴ = + − ∴ =
Diante do exposto, temos as seguintes observações:
1ª) A RESULTANTE das forças no corpo é NULA, ou seja:
R = F -F = 0
2ª) O BINÁRIO dado por M=Fd independe do ponto de referência “o”, sendo apenas função 
da distância entre as forças.
CONCLUSÃO: O binário apenas tende a provocar o efeito de giro no corpo e seu valor é o 
mesmo para todos os pontos do plano. Então, o BINÁRIO pode ser aplicado em qualquer 
ponto no corpo sem que seu EFEITO EXTERNO seja alterado (vetor livre).
1.4.1. Caso Bidimensional (cont.)
ILUSTRAÇÃO DE BINÁRIOS EQUIVALENTES:
F
F
d
F d F
2F
/ 2d
2F
REPRESENTAÇÃO DE UM BINÁRIO NO PLANO:
F
F
d
M Fd=
F
F
d
M Fd=
1.4. Binário (cont.)
1.4.2. Caso Tridimensional
Considere agora um corpo tridimensional submetido a um par de forças paralelas de mesma 
intensidade, porém de sentidos contrários:
O momento das forças em torno do ponto “o” é
dado por:
( )
( )
= −
∴ −
∴
A B A B
A B
M = r ×F + r × -F r ×F r ×F
M = r r ×F
M = r×F
OBS: As mesmas observações e conclusões do caso bidimensional também podem ser 
tomadas para do binário em três dimensões.
Exemplo de equivalência de binários em três 
dimensões:
1.5. Sistema Força-Binário
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional
Considere agora um corpo submetido a uma força F:
É o chamado sistema FORÇA-BINÁRIO, e demonstra que qualquer força F que atua sobre 
um corpo pode ser deslocada para um ponto arbitrário “B”, desde que seja acrescentado um 
BINÁRIO igual ao MOMENTO de F em relação ao ponto arbitrário “B”.
A mesma conclusão é aplicável para forças no espaço, ou seja:
EXEMPLO 1: A força F=400N é aplicada na estrutura abaixo como ilustrado. Determine o 
sistema força binário equivalente no (a) ponto “A” e (b) ponto “O”. 
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional (cont.)
oθ = 20
EXEMPLO 2: Determine o sistema força-binário equivalente para força aplicada no ponto “o”
da manivela.
1.5.1. Caso Bidimensional e Tridimensional (cont.)