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RESOLUÇÃO da 1 a Questão do 2 o Teste de Cálculo 1

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RESOLUÇÃO da 1a Questão do 2o Teste de Cálculo 1
1. Calcular o limite: lim
푥→0
(
1
sen2푥
− 1
푥2
)
Durante a resolução usarei diversas vezes que 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥).
Para a identidade acima basta lembrar que sen(푎+ 푏) = sen(푎) cos(푏) + sen(푏) cos(푎) e fazer 푎 = 푏 = 푥:
sen(푥+ 푥) = sen(푥) cos(푥) + sen(푥) cos(푥) = 2 sen(푥) cos(푥)
Assim: 2 sen(푥) cos(푥) = sen(2푥)
RESOLUÇÃO:
lim
푥→0
(
1
sen2푥
− 1
푥2
)
= lim
푥→0
(
푥2 − sen2푥
푥2 ⋅ sen2푥
)
퐿′퐻 lim
푥→0
2푥− 2 sen푥 cos푥
2푥 ⋅ sen2푥+ 푥2 ⋅ 2 sen푥 cos푥
Trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos:
lim
푥→0
(
1
sen2푥
− 1
푥2
)
= lim
푥→0
2푥− sen(2푥)
2푥 ⋅ sen2푥+ 푥2 ⋅ sen(2푥)
Continua dando
0
0
, portento vamos aplicar regra de L’Hospital novamente:
퐿′퐻 lim
푥→0
2− cos(2푥) ⋅ 2
2 ⋅ sen2푥+ 2푥 ⋅ 2 sen푥 cos푥+ 2푥 ⋅ sen(2푥) + 푥2 ⋅ cos(2푥) ⋅ 2
Arrumando e trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos:
퐿′퐻 lim
푥→0
2− 2 cos(2푥)
2 ⋅ sen2푥+ 2푥 ⋅ sen(2푥) + 2푥 ⋅ sen(2푥) + 2푥2 ⋅ cos(2푥) = lim푥→0
2− 2 cos(2푥)
2 ⋅ sen2푥+ 4푥 ⋅ sen(2푥) + 2푥2 ⋅ cos(2푥)
Continua dando
0
0
, portanto vamos aplicar regra de L’Hospital novamente:
퐿′퐻 lim
푥→0
4 sen(2푥)
2 ⋅ 2sen푥 cos푥+ 4 sen(2푥) + 8푥 cos(2푥) + 4푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥)
Arrumando e trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos:
lim
푥→0
4 sen(2푥)
2 ⋅ sen(2푥) + 4 sen(2푥) + 12푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥) = lim푥→0
4 sen(2푥)
6 sen(2푥) + 12푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥)
Continua dando
0
0
, portanto vamos aplicar regra de L’Hospital novamente:
lim
푥→0
4 sen(2푥)
6 sen(2푥) + 12푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥) 퐿
′퐻 lim
푥→0
8 cos(2푥)
12 cos(2푥) + 12 cos(2푥)− 24푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥2 ⋅ cos(2푥)
Arrumando e trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos:
= lim
푥→0
8 cos(2푥)
24 cos(2푥)− 8푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥2 ⋅ cos(2푥)
Agora, depois de muito suor, CONCLUÍMOS que:
lim
푥→0
(
1
sen2푥
− 1
푥2
)
= lim
푥→0
8 cos(2푥)
24 cos(2푥)− 8푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥2 ⋅ cos(2푥) =
8
24
=
1
3

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