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RESOLUÇÃO da 1a Questão do 2o Teste de Cálculo 1 1. Calcular o limite: lim 푥→0 ( 1 sen2푥 − 1 푥2 ) Durante a resolução usarei diversas vezes que 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥). Para a identidade acima basta lembrar que sen(푎+ 푏) = sen(푎) cos(푏) + sen(푏) cos(푎) e fazer 푎 = 푏 = 푥: sen(푥+ 푥) = sen(푥) cos(푥) + sen(푥) cos(푥) = 2 sen(푥) cos(푥) Assim: 2 sen(푥) cos(푥) = sen(2푥) RESOLUÇÃO: lim 푥→0 ( 1 sen2푥 − 1 푥2 ) = lim 푥→0 ( 푥2 − sen2푥 푥2 ⋅ sen2푥 ) 퐿′퐻 lim 푥→0 2푥− 2 sen푥 cos푥 2푥 ⋅ sen2푥+ 푥2 ⋅ 2 sen푥 cos푥 Trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos: lim 푥→0 ( 1 sen2푥 − 1 푥2 ) = lim 푥→0 2푥− sen(2푥) 2푥 ⋅ sen2푥+ 푥2 ⋅ sen(2푥) Continua dando 0 0 , portento vamos aplicar regra de L’Hospital novamente: 퐿′퐻 lim 푥→0 2− cos(2푥) ⋅ 2 2 ⋅ sen2푥+ 2푥 ⋅ 2 sen푥 cos푥+ 2푥 ⋅ sen(2푥) + 푥2 ⋅ cos(2푥) ⋅ 2 Arrumando e trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos: 퐿′퐻 lim 푥→0 2− 2 cos(2푥) 2 ⋅ sen2푥+ 2푥 ⋅ sen(2푥) + 2푥 ⋅ sen(2푥) + 2푥2 ⋅ cos(2푥) = lim푥→0 2− 2 cos(2푥) 2 ⋅ sen2푥+ 4푥 ⋅ sen(2푥) + 2푥2 ⋅ cos(2푥) Continua dando 0 0 , portanto vamos aplicar regra de L’Hospital novamente: 퐿′퐻 lim 푥→0 4 sen(2푥) 2 ⋅ 2sen푥 cos푥+ 4 sen(2푥) + 8푥 cos(2푥) + 4푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥) Arrumando e trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos: lim 푥→0 4 sen(2푥) 2 ⋅ sen(2푥) + 4 sen(2푥) + 12푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥) = lim푥→0 4 sen(2푥) 6 sen(2푥) + 12푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥) Continua dando 0 0 , portanto vamos aplicar regra de L’Hospital novamente: lim 푥→0 4 sen(2푥) 6 sen(2푥) + 12푥 cos(2푥)− 4푥2 ⋅ sen(2푥) 퐿 ′퐻 lim 푥→0 8 cos(2푥) 12 cos(2푥) + 12 cos(2푥)− 24푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥2 ⋅ cos(2푥) Arrumando e trocando 2 sen푥 cos푥 = sen(2푥), temos: = lim 푥→0 8 cos(2푥) 24 cos(2푥)− 8푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥2 ⋅ cos(2푥) Agora, depois de muito suor, CONCLUÍMOS que: lim 푥→0 ( 1 sen2푥 − 1 푥2 ) = lim 푥→0 8 cos(2푥) 24 cos(2푥)− 8푥 ⋅ sen(2푥)− 8푥2 ⋅ cos(2푥) = 8 24 = 1 3
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