Técnicas de Integração (3)

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Multiplicação por uma fórmula unitária:
Na 2
a
aula de integrais, �zemos a integral da secante.
Para fazer a integral da secante usamos a técnica: multiplicação por uma fórmula unitária.
Esta técnica "vem" do fato de uma fração não mudar se multiplicarmos o numerador e o denominador
da fração pelo mesmo fator (não nulo).
Já usamos esta técnica para resolver alguns limites (lembra?), por exemplo:
lim
x→2
√
x−√2
x− 2 = limx→2
√
x−√2
x− 2
(√
x+
√
2
)(√
x+
√
2
)︸ ︷︷ ︸
fórmula unitária
== lim
x→2
(√
2
)2 − (√2)2
(x− 2) (√x+√2) = limx→2
(x− 2)
(x− 2) (√x+√2) =
= lim
x→2
1
(
√
x+
√
2)
=
1
(
√
2 +
√
2)
=
1
2
√
2
=
1
2
√
2
√
2√
2
=
√
2
4
lim
x→2
√
x−√2
x− 2 =
1
2
√
2
=
√
2
4
Agora, vamos usar esta técnica (multiplicar por uma fórmula unitária) para resolver integrais!
A integral da secante:
Podemos escrever:
∫
secx dx =
∫
secx
1
dx
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por: (secx+ tgx)∫
secx
1
(secx+ tgx)
(secx+ tgx)
dx =
∫
(sec2 x+ tgx secx)
(secx+ tgx)
dx
Parece que piorou muito, mas como dizem "as aparências enganam!"
Vamos, agora, aplicar a técnica de substituição, chamando (secx+ tgx) de t:
Como
(
secx
)′
= secx tgx e
(
tgx
)′
= sec2 x, temos:
(secx+ tgx) = t ⇒ (secx tgx+ sec2 x) dx = 1 dt
∫
(sec2 x+ tgx secx)
(secx+ tgx)
dx =
∫
1
(secx+ tgx)︸ ︷︷ ︸
t
1 dt︷ ︸︸ ︷
(sec2 x+ tgx secx) dx =
∫
1
t
dt =
Após a substituição, a integral que parecia pior, �cou muito fácil!
=
∫
1
t
dt = ln(t) + C = ln(sec2 x+ tgx secx) + C
∫
secx dx = ln(sec2 x+ tgx secx) + C
Alguns alunos perguntam: "De onde veio a idéia de multiplicar (numerador e denominador) por (secx+ tgx) ?
Vamos esclarecer que a idéia não foi minha. Eu, como você, aprendi com minha professora de Cálculo 1. Obs
1
Mas, observando que
(
secx
)′
= secx tgx,
(
tgx
)′
= sec2 x e tg2 x+ 1 = sec2 x, e depois de fazer muitas
derivadas, a idéia não parece tão mágica.
Vamos, agora fazer a integral da cossecante, pois é análoga a integral da secante.
1
Professora Zara Issa Abud, a "melhor professora do mundo!"
1
A integral da cossecante:
Podemos escrever:
∫
cossecx dx =
∫
cossec x
1
dx
Agora, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por: (cossecx+ cotgx)∫
cossecx
1
(cossecx+ cotgx)
(cossecx+ cotgx)
dx =
∫
(cossec2 x+ cossecx cotgx)
(cossecx+ cotgx)
dx
Vamos, agora, aplicar a técnica de substituição, chamando (cossecx+ cotgx) de t:
Como
(
cossecx
)′
= −cossecx cotgx e (cotgx)′ = −cossec2x, temos:
(cossecx+ cotgx) = t ⇒ (−cossecx cotgx− cossec2 x) dx = 1 dt⇒
⇒ −(cossecx cotgx+ cossec2 x) dx = 1 dt⇒ (cossecx cotgx+ cossec2 x) dx = −1 dt
∫
(cossec2 x+ cotgx cossecx)
(cossecx+ cotgx)
dx =
∫
1
(cossecx+ cotgx)︸ ︷︷ ︸
t
−1 dt︷ ︸︸ ︷
(cossec2x+ cotgx cossecx) dx =
∫
1
t
(−dt) = −
∫
1
t
dt =
= −
∫
1
t
dt = − ln(t) + C = − ln(cossec2x+ cotgx cossecx) + C
∫
cossecx dx = − ln(cossec2x+ cotgx cossecx) + C
Vamos aproveitar este �m de folha para fazer algumas derivadas usadas acima, que você
(bom aluno) já deve ter feito muitas vezes!
Algumas derivadas:
(secx)
′
=
(
1
cosx
)′
=
(1)′ (cosx)− (1) (cosx)′
(cosx)2
=
(0) (cosx)− (1) (−senx)
(cosx)2
=
senx
(cosx)2
=
1
cosx
senx
cosx
= secx tgx
(secx)
′
= secx tgx
(tgx)
′
=
(
senx
cosx
)′
=
(senx)′ (cosx)− (sen ) (cosx)′
(cosx)2
=
(cosx) (cosx)− (senx) (−senx)
(cosx)2
=
1︷ ︸︸ ︷
cos2 x+ sen2 x
(cosx)2
⇒
(tgx)
′
=
1
cos2 x
=
(
1
cosx
)2
= (secx)2 = sec2 x
(tgx)
′
= sec2 x
(cossecx)
′
=
[
(senx)
−1
]′
︸ ︷︷ ︸
Obs
2
=
[
−1(senx)−2 (senx)′] = [−1(senx)−2 (cosx)] = − cosx
(senx)2
= − 1
senx
cosx
senx
⇒
⇒ (cossecx)′ = −cossecx cotgx
(cossecx)
′
= −cossecx cotgx
(cotgx)
′
=
[
(tgx)
−1]′︸ ︷︷ ︸
Obs
3
=
[
−1(tgx)−2 (tgx)′] = [−1(tgx)−2 (sec2 x)] = − sec2x
tg
2x
= −
1
cos2 x
sen
2 x
cos2 x
= − 1
sen
2 x
= −cossec2x
(cotgx)
′
= −cossec2 x
2