derivação implicitas

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Derivadas Implícitas:
Vamos pensar em um círculo de raio 1 e centro (0, 0) no plano x× y.
Sua equação é: x2 + y2 = 1
Podemos pensar em y em função de x, para isto vamos isolar y:
y2 = 1− x2 ⇒ y = ±√1− x2
Assim, para isolarmos y temos que fazer: y(x) = +
√
1− x2 ou y(x) = −√1− x2.
Vamos observar que aqui: y(x) = +
√
1− x2 ou y(x) = −√1− x2 o y está dado explicitamente.
Vamos observar que aqui: x2 + y2 = 1 o y está dado implicitamente.
Vamos calcular a derivada y′(x):
Se y(x) = +
√
1− x2 = (1− x2) 12 ⇒ y′(x) = 1
2
(1− x2)− 12 (−2x) ⇒ y′(x) = −x(1− x2)− 12
⇒ y′(x) = −x(1− x2)− 12 = − x
(1− x2) 12
= − x√
1− x2 .
Se y(x) = +
√
1− x2 = (1− x2) 12 ⇒ y′(x) = − x√
1− x2 .
Se y(x) = −
√
1− x2 = −(1− x2) 12 ⇒ y′(x) = −1
2
(1− x2)− 12 (−2x) ⇒ y′(x) = x(1− x2)− 12
⇒ y′(x) = x(1− x2)− 12 = x
(1− x2) 12
=
x√
1− x2 ⇒ y
′(x) =
x√
1− x2 .
Será que poderíamos encontrar a derivada sem isolar o y ?
Vamos, derivar a frase (em relação a x): x2 + y2 = 1 lembrando que y é função de x, ou seja, y = y(x) !
2x+ 2y y′ = 0 ⇒ 2y y′ = −2x ⇒ y′ = − x
y
Vamos observar que aqui: y′ = − x
y
derivada está dada implicitamente.
Observe também que se trocarmos y = +
√
1 = x2 ou y = −
√
1− x2 teremos:
y′ = − x
y
⇒ y′ = − x√
1− x2 ou y
′ = − x
y
⇒ y′ = − x−√1− x2 =
x√
1− x2 ⇒
y′ =
x√
1− x2
Portanto, podemos encontrar y′ sem isolar o y, chamamos isto de derivada implícita.
basta derivarmos a frase em relação a x e lembrar que y é uma função de x e usar a regra da cadeia.
Mas, lembramos que encontraremos y′ dado implicitamente por uma equação envolvendo x e y !
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Exercícios:
1. Encontrar (mesmo que implicitamente) y′:
(a)
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
(b) x2y + xy2 = 6.
(c) x = tgx.
(d) x2 cos2(3y)− ey sen (xy) = 5y3 − x.
2. Determinar a reta tangente e a reta normal ao grá�co de y = y(x)
sendo y dado implicitamente pela equação: (x2 + y2)2 = (x− y)2
(a) No ponto P = (1, 0).
(b) No ponto P = (1,−1).