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DISCIPLINA: CÁLCULO II 
2º BIMESTRE 
 
INTEGRAIS DEFINIDAS E IMPRÓPRIAS E COORDENADAS POLARES 
 
1) Calcule as integrais definidas. 
a) dx∫
3
0
 4 R: 12 b) dx 
4
0∫ x R: 8 
c) ∫
4
0
dx 
2
x
 R: 4 d) ∫ +
2
0
dx )52( x R: 14 
e) ∫ −
5
0
dx )5( x R: 25/2 f) ∫ −+−
3
1
2 dx )34( xx R: 4/3 
g) ∫
−
+
0
3
dx )2(x R: 3/2 h) dx 2
0
3
∫ x R: 5
28
 
i) ∫ −
4
0
2)4( dxxx R: 32/3 j) dx 13
2∫ x R: ln(3) – ln(2) 
 
2) Utilizando o método de integração por substituição, calcule as integrais definidas. 
a) ∫ +
1
0
32 )1( dxxx R: 15/8 b) ∫ −
1
0
2
 1 dxxx R: 1/3 
c) ∫ +
4
0 12
1 dx
x
 R: 2 d) ∫ +
9
1 2)1(
1 dx
xx
 R: 1/2 
e) ∫
+
2
0 221
dx
x
x
 R: 1 f) dxx 1
1
1∫− + R: 23
4
 
g) ∫ +
2
0
3
 )21( 2 dxx R: 156 h) dxxx∫
−
−−
0
1
32)21)(4( R: 0 
i) ∫
2
1 2)3(
1 dx
x
 R: 1/18 
 
3) Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as 
integrais. 
a) dx 4
3
1∫ R: 8 b) ∫ +
3
0
 )2( dxx R: 21/2 
c) ∫
2
0
2
 dxx R: 8/3 d) ∫ −
2
0
 )24( dxx R: 4 
 
4) Calcule, se existir: 
a) ∫
∞
−
0
 dxe x R: 1 (Converge) 
b) ∫
∞
1
 
1 dx
x
 R: ∞ (Diverge) 
c) ∫
−
1
0
 
1
1 dx
x
 R: 2 (Converge) 
5) Calcule as seguintes integrais por partes: 
a) ∫
−
1
0
5
 dxxe x R. 4/15 
b) ∫
1
0
 x-1x dx R. 





− 5
61
25
1
e
 
 
 
 
COORDENADAS POLARES 
 
1. Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares. 
(a) P1 (4, π/4) (b) P2 (4, - π /4) 
 (c) P3 (-4, π /4) (d) P4 (-4, - π /4) 
 
3. Demarcar os seguintes pontos no sistema de coordenadas polares e encontrar suas 
coordenadas cartesianas. 
(a) (3, π/3) (b) (-3, π/3) (c) (3, - π/3) (d) (-3, - π/3) 
 
4. Encontrar as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em coordenadas 
polares. 
(a) (-2, 2 π /3) (b) (0,π/9) (c) (3, 13 π /4) (d) (-10, π /2) 
(e) (-10, 3 π /2) (f) (1, 0) (g) (–2,49π/6) 
 
5. Usar (a) r > 0 e 0 ≤ θ < 2 π; (b) r<0 e 0 ≤ θ < 2 π; 
para escrever os pontos P1 (√3, — 1) e P2(—√2, , —√2,) , em coordenadas polares.

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