Completando quadrados

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Técnicas de integração:
Completando quadrados:
Completar quadrados não é (apenas) uma técnica de integração é uma técnica que podemos usar em diversas
situações. Inclusive o professor de álgebra linear
1
do semestre passado reclamou que os alunos não sabiam
completar quadrados.
2
Um número natural é chamado de quadrado perfeito se ele é o quadrado de um número natural.
Por exemplo: 4 é quadrado perfeito pois 4 = (2)2 e 2 é número natural.
3 não é um quadrado perfeito pois 3 = (
√
3)2 e
√
3 não é um número natural
Analogamente, um polinômio será chamado de quadrado perfeito se ele for o quadrado de um polinômio.
Por exemplo:
• (x2 + 2x+ 1) é quadrado perfeito pois (x2 + 2x+ 1) = (x+ 1)2.
•
(
x2 − 3x+ 9
4
)
é um quadrado perfeito pois
(
x2 − 3x+ 9
4
)
=
(
x− 3
2
)2
.
•
(
3
25
x4 − 2
√
3
5
x3 + x2
)
é um quadrado perfeito pois
(
3
25
x4 − 2
√
3
5
x3 + x2
)
=
( √
3
5
x2 − x
)2
.
Sabemos que: (mx+ n)2 = m2x2 + 2mnx+ n2 com m,n ∈ R.
Chamando m2 = a, 2mn = b e n2 = c, temos que (mx+ n)2 = ax2 + bx+ c.
Assim, todo trinômio da forma ax2 + bx+ c com a 6= 0 passa a ser suspeito de ser quadrado perfeito!
Observação: Um trinômio que é um quadrado perfeito é chamado trinômio quadrado perfeito.
Na verdade, todo trinômio da forma ax2 + bx+ c (com a 6= 0) é "quase" um quadrado perfeito,
pois todo trinômio da forma ax2 + bx+ c (com a 6= 0) é um quadrado perfeito a menos de uma
constante (−1 ou 1) multiplicando e uma constante ( b
2
4a
− c) somando-se a este trinômio.
Ou melhor, dado um trinômio da forma ax2 + bx+ c existem números reais d = 1 ou d = −1 e
f =
b2
4a
− c tais que d(ax2 + bx+ c) + f é um quadrado perfeito.
Assim, dado um trinômio da forma ax2 + bx+ c com a 6= 0 temos:
• Se a > 0 então podemos escrever: ax2 + bx+ c =
(√
ax+ b
2
√
a
)2
+
(
c− b
2
√
a
)
∗
• Se a < 0 então podemos escrever: ax2 + bx+ c = −
(√|a|x− b
2
√
|a|
)2
+
(
−c− b
2
√
|a|
)
∗∗
Dado ax2 + bx+ c com a 6= 0 escrevê-lo na forma ∗ ou ∗∗ é chamado de completar quadrados.
1
Prof Héctor
2
Estão vendo alunos! Quando vocês estiverem cursando as próximas disciplinas tudo que vocês não souberem é culpa dos professores de
fundamentos de matemática e de cálculo 1
1
Na prática, dado um trinômio da forma ax2 + bx+ c, podemos seguir os seguintes passos
para completar os quadrados:
• Se a > 0 queremos encontrar m, n e f tais que:
ax2 + bx+ c = (mx+ n)2 + f ⇒ ax2 + bx+ c = m2x2 + 2mn+ n2 + f ⇒
 m
2 = a
2mn = b
n2 + f = c
⇒ m = √a , n = b
2
√
a
e f = c− b
2
4a
• Se a < 0 queremos encontrar m, n e f tais que:
ax2 + bx+ c = −(mx+ n)2 + f ⇒ −ax2 − bx− c = m2x2 + 2mn+ n2 + f ⇒
 m
2 = −a
2mn = −b
n2 + f == c
⇒ m = √−a , n = − b
2
√−a e f = −c−
b2
4a
E como se a < 0 temos que −a = |a|, podemos escrever:
Vamos fazer alguns exemplos:
Exemplos:
1. Completar os quadrados dos polinômios abaixo:
(a) x2 + 3x+ 2
Resolução:
x2 + 3x+ 2 = (mx+ n)2 + f ⇒ x2 = 3x+ 2 = m2x2 + 2mnx+ n2 + f ⇒
 m
2 = 1
2mn = 3
n2 + f = 2
⇒ m = 1 , n = 3
2
e f = 2− 9
4
= − 1
4
Portanto x2 + 3x+ 2 =
(
x+
3
2
)2
− 1
4
(b) 2x2 + x
Resolução:
2x2 + x = (mx+ n)2 + f ⇒ 2x2 + x = m2x2 + 2mnx+ n2 + f ⇒
 m
2 = 2
2mn = 1
n2 + f = 0
⇒ m =
√
2 , n =
1
2
√
2
=
√
2
4
e f = − 1
8
Portanto 2x2 + x =
(√
2x+
√
2
4
)2
− 1
8
2
(c) 2x2 − x+ 7
Resolução:
2x2 − x+ 7 = (mx+ n)2 + f ⇒ 2x2 − x+ 7 = m2x2 + 2mnx+ n2 + f ⇒
 m
2 = 2
2mn = −1
n2 + f = 7
⇒ m =
√
2 , n = − 1
2
√
2
= −
√
2
4
e f = 7− 1
8
=
55
8
Portanto 2x2 − x+ 7 =
(√
2x−
√
2
4
)2
+
55
8
,
(d) −x2 − x+ 1
Resolução:
−x2 − x+ 1 = −(mx+ n)2 + f ⇒ −x2 − x+ 1 = −m2x2 − 2mnx− n2 + f ⇒
 −m
2 = −1
−2mn = −1
−n2 + f = 1
⇒ m = 1 , n = 1
2
e f = 1 +
(
1
2
)2
=
5
4
Portanto −x2 − x+ 1 = −
(
x+
1
2
)2
+
5
4
(e) −4x2 + 3x+ 5
Resolução:
−4x2 + 3x+ 5 = −(mx+ n)2 + f ⇒ −4x2 + 3x+ 5 = −m2x2 − 2mnx− n2 + f ⇒
 −m
2 = −4
−2mn = 3
−n2 + f = 5
⇒ m = 2 , n = − 3
4
e f = 5 +
(
3
4
)2
= 5 +
9
16
=
89
16
Portanto −4x2 + 3x+ 5 = −
(
2x− 3
4
)2
+
89
16
Exercícios:
1. Completar os quadrados:
(a) x2 + 2x+ 1 (b) 3x2 + 4
√
3x+ 4 (c) − x2 + 2x+ 8 (d) − x2 − 3x
(e)
x2
4
+
x
3
+
5
3
(f) 4x4 + 3x2 − 1 (g) − x2 + 8 (h) − x2 − 3x− 7
2. Determinar, caso existam m, n e f tais que
[
(mx+ n)2 + f
]2
= x4 + 6x3 + 13x2 + 12x+ 4
3
Respostas dos Exercícios:
1.
(a) x2 + 2x+ 1 = (x+ 1)2 (b) 3x2 + 4
√
3x+ 4 = (
√
3x+ 2)2
(c) − x2 + 2x+ 8 = −(x− 1)2 + 9 (d) − x2 − 3x = −
(
x+
3
2
)2
+
9
4
(e)
x2
4
+
x
3
+
5
3
= 3(x+ 2)2 +
56
3
(f) 4x4 + 3x2 − 1 =
(
2x2 +
3
4
)2
− 25
16
(g) − x2 + 8 = −x2 + 8 (h) − x2 − 3x− 7 = −
(
x+
3
2
)2
− 19
4
2. Não existem m, n e f tais que
[
(mx+ n)2 + f
]2
= x4 + 6x3 + 13x2 + 12x+ 4
4
Provando a fórmula e Báskara:
Uma aplicação interessante da técnica de completar quadrados é a fórmula de Báskara
3
Vamos considerara a equação: ax2 + bx+ c = 0 com a 6= 0.
Como a 6= 0 podemos colocar a em evidência4
ax2 + bx+ c = 0 ⇒ a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0 ⇒
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0
Agora vamos completar quadrados no trinômio x2 +
b
a
x+
c
a
x2 +
b
a
x+
c
a
= (mx+ n)2 + f ⇒ x2 + b
a
x+
c
a
= m2x2 + 2mnx+ n2 + f ⇒

m2 = 1
2mn = ba
n2 + f = ca
⇒ m = 1, n = b
2a
e f =
c
a
− b
2
4a2
Portanto
x2 +
b
a
x+
c
a
=
(
x+
b
2a
)2
+
(
c
a
− b
2
4a2
)
⇒ x2 + b
a
x+
c
a
= x+
b
2a
+
(
4ac− b2
4a2
)
Assim, temos:
ax2 + bx+ c = 0 ⇒ a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0 ⇒
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0
⇒
[(
x+
b
2a
)2
+
4ac− b2
4a2
]
= 0 ⇒
(
x+
b
2a
)2
= − 4ac− b
2
4a2
⇒
(
x+
b
2a
)2
=
−(4ac− b2)
4a2
⇒
(
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a2
chamando ∆ = b2 − 4ac, temos: ⇒
(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
Agora queremos extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação, mas temos que tomar cuidado!
Esta equação só tem solução real se
∆
4a2
≥ 0 ⇒ ∆ ≥ 0
Na verdade
• Esta equação não tem solução real se ∆ < 0
• Esta equação tem duas soluções reais distintas se ∆ > 0
• Esta equação só tem duas soluções reais iguais se ∆ = 0
Agora, vamos terminar:(
x+
b
2a
)2
=
∆
4a2
⇒
(
x+
b
2a
)
= ±
√
∆
4a2
⇒ x = − b
2a
±
√
∆
4a2
⇒
⇒ x = − b
2a
±
√
∆√
4a2
⇒ x = − b
2a
±
√
∆
2a
⇒ x = −b±
√
∆
2a
Podemos concluir:
ax2 + bx+ c = 0⇒ x = −b±
√
∆
2a
Ou melhor:
ax2 + bx+ c = 0 ⇒ x = −b+
√
∆
2a
ou x =
−b−√∆
2a
3
Que não foi bem Báskara que descobriu!
4
Para colocar em a em evidência precisamos é dividir por a !
5
Completando quadrados para resolver integrais
Agora, vamos utilizar a técnica de completar quadrados para resolver algumas integrais.
Exemplos:
1. Resolver as integrais abaixo:
(a)
∫
13
x2 + 2x+ 3
dx
Resolução:
Como x2 + 2x+ 3 = (x+ 1)2 + 2 temos:∫
13
x2 + 2x+ 3
dx =
∫
13
(x+ 1)2 + 2
dx = 13
∫
1
(x+ 1)2 + 2
dx = 13
∫
1
2
[
(x+1)2
2 + 1
] dx = 13
2
∫
1[(
x+1√
2
)2
+ 1
] dx
∫
13
x2 + 2x+ 3
dx =
13
2
∫
1[(
x+1√
2
)2
+ 1
] dx
Chamando
x+ 1√
2
= t ⇒ 1√
2
dx = dt ⇒ dx =
√
2 dt �camos com:
∫
13
x2 + 2x+ 3
dx =
13
2
∫
1[(
x+1√
2
)2
+ 1
] dx = 13
2
∫
1
t2 + 1
√2 dt =
13
√
2
2
∫
1
t2 + 1
dt
∫
13
x2 + 2x+ 3
dx =
13
√
2
2
∫
1
t2 + 1
dt =
13
√
2
2
arctg (t) + C =
13
√
2
2
arctg
(
x+ 1√
2
)
+ C
Portanto:
∫
13
x2 + 2x+ 3
dx =
13
√
2
2
arctg
(
x+ 1√
2
)
+ C
6
(b)
∫
5√−2x2 + 2x dx
Resolução:
Como −2x2 + 2x = −2(x2 − x) = −2
[(
x− 1
2
)2
− 1
4
]
temos:
∫
5√
2x2 + 2x
dx = 5
∫
1√
−2
[(
x− 12
)2 − 14 ] dx = 5
∫
1√
−2
−4
[
−4 (x− 12 )2 + 1] dx =
= 5
∫
1√
1
2
√
1− [2 (x− 12 )]2 dx = 5
√
2
∫
1√√√√√√√1−
2(x− 12
)
︸ ︷︷ ︸
t

2
dx =∗ 5
√
2
∫
1√
1− t2
1
2
dt =
Chamando 2
(
x− 1
2
)
= t ⇒ 2 dx = dt ⇒ dx = 1
2
dt =
=
5
√
2
2
∫
1√
1− t2 dt =
5
√
2
2
arcsen (t) + C =
5
√
2
2
arcsen
[
2
(
x− 1
2
)]
+ C
Portanto
∫
5√−2x2 + 2x dx =
5
√
2
2
arcsen(2x− 1) + C
Exercícios:
1. Resolver as integrais abaixo:
(a)
∫
8 dx
x2 − 2x+ 2 dx (b)
∫
2
3x2 − 6x+ 10 dx (c)
∫
dt
−t2 + 4t− 3 dt
(d)
dθ√
2θ − θ2 (e)
∫
dx
(x+ 1)
√
x2 + 2x
(f)
∫
(3x2 − x+ 7)2 dx
Respostas dos Exercícios:
1.
(a)
∫
8 dx
x2 − 2x+ 2 dx = arctg (x− 1) + C (b)
∫
2
3x2 − 6x+ 10 dx =
√
6
3
arctg
[ √
6(x− 1)
2
]
+ C
(c)
∫
dt
−t2 + 4t− 3 dt =
1
2
ln
(
t− 1
3− t
)
+ C (d)
∫
dθ√
2θ − θ2 = arcsen (θ − 1) + C
(e)
∫
dx
(x+ 1)
√
x2 + 2x
= arcsec (x+ 1) + C (f)
∫
(3x2 − x+ 7)2 dx = 3
5
(
x− 1
6
)5
+
83
54
(
x− 1
6
)3
+ C
7