Frações Redutiveis

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Técnicas de integração:
Frações Impróprias ou Redutíveis:
Após a integração por frações parciais para podermos conseguir integrar qualquer
função racional (divisão de polinômios) só falta estudar a situação em que o grau do
polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio de denominador.
Então, vamos lá:
Frações Impróprias ou Redutíveis
Se precisamos calcular uma integral do tipo
∫
p(x)
q(x)
dx e o grau de p(x) é maior
ou igual ao grau de q(x), ou seja , grau
(
p(x)
)
≥ grau
(
q(x)
)
,
iniciamos a resolução executando a conta de divisão:
p(x) | q(x)
.
.
. s(x) onde p(x) é o dividendo, q(x) é o divisor,
r(x) s(x) é o quociente (resultado) e r(x) é o resto.
Neste caso, temos que
p(x)
q(x)
= s(x) +
r(x)
q(x)
com grau de r(x) menor que grau de q(x).
Portanto temos:
∫
p(x)
q(x)
dx =
∫
s(x) dx︸ ︷︷ ︸
fácil
+
∫
r(x)
q(x)
dx︸ ︷︷ ︸
caso anterior∫
s(x) dx︸ ︷︷ ︸
fácil
é fácil pois é integral de polinômio,
∫
r(x)
q(x)
dx︸ ︷︷ ︸
caso anterior
caso anterior pois grau de r(x) é menor que grau de q(x)
podemos fazer: substituição e/ou completar quadrados e/ou frações parciais.
Observação:
• Se r(x) = 0 chamamos a fração p(x)
q(x)
de fração imprópria,
• Se r(x) 6= 0 chamamos a fração p(x)
q(x)
de fração redutível.
1
Exemplos:
1. Calcular as integrais abaixo:
(a)
∫
4x4 + 6x3 + 6x2 − 12x− 28
2x2 + 3x+ 7
dx
Resolução:
4x4 + 6x3 + 6x2 − 12x − 28 | 2x2 + 3x+ 7
2x2 − 4
−4x4 − 6x3 − 14x2
0 + 0 − 8x2 − 12x − 28 ⇒ 4x
4 + 6x3 + 6x2 − 12x− 28
2x2 + 3x+ 7
= 2x2 − 4
+ 8x2 + 12x + 28
0
∫
4x4 + 6x3 + 6x2 − 12x− 28
2x2 + 3x+ 7
dx =
∫
(2x2 − 4) dx =
∫
2x2 dx−
∫
4 dx == 2
∫
x2 dx− 4
∫
dx = 2
x3
3
− 4x+ C
∫
4x4 + 6x3 + 6x2 − 12x− 28
2x2 + 3x+ 7
dx =
2x3
3
− 4x+ C
(b)
∫
5x2 + 2x+ 2
x2 + 1
dx
Resolução:
5x2 + 2x+ 2 |x2 + 1
5
− 5x2 − 5 ⇒ 5x
2 + 2x+ 2
x2 + 1
= 5 +
2x− 3
x2 + 1
2x − 3
∫
5x2 + 2x+ 2
x2 + 1
dx =
∫ (
5 +
2x− 3
x2 + 1
)
dx =
∫ (
5 +
2x
x2 + 1
+
−3
x2 + 1
)
dx =
=
∫
5 dx+
∫
2x
x2 + 1
dx︸ ︷︷ ︸
(2)
+
∫ −3
x2 + 1
dx = 5
∫
dx+
∫ dt︷ ︸︸ ︷
2x dx
x2 + 1︸ ︷︷ ︸
t
− 3
∫
1
x2 + 1
dx =
Fazendo a substituição x2 + 1 = t ⇒ 2x dx = dt
= 5
∫
dx+
∫
dt
t
− 3
∫
1
x2 + 1
dx = 5x+ ln(t)− 3 arctgx+ C = 5x+ ln(x2 + 1)− 3 arctgx+ C
∫
5x2 + 2x+ 2
x2 + 1
dx = 5x+ ln(x2 + 1)− 3 arctgx+ C
2
(c)
∫
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx
Resolução:
Vamos dividir:
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9 | x3 + 3x2 − 4x− 12
2x+ 1
−2x4 − 6x3 + 8x2 + 24x
x3 + 3x2 + 26x− 9
−x3 − 3x2 + 4x+ 12 ⇒ 2x
4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 = (2x+ 1) +
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12
30x+ 3
∫
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx =
∫ [
(2x+ 1) +
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12
]
dx
∫
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx =
∫
(2x+ 1) dx︸ ︷︷ ︸
Fácil
+
∫
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx︸ ︷︷ ︸
Trabalhosa
∫
(2x+ 1) dx = x2 + x+ C1
∫
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx
Fatorando o denominador: x3 + 3x2 − 4x− 12 = x2 (x+ 3)− 4(x+ 3) = (x+ 3) (x2 − 4) = (x+ 3) (x− 2) (x+ 2)
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 =
30x+ 3
(x+ 3)(x− 2)(x+ 2) =
A
(x+ 3)
+
B
(x− 2) +
C
(x+ 2)
Tirando o mínimo:
30x+ 3
(x+ 3)(x− 2)(x+ 2) =
A(x− 2)(x+ 2) +B(x+ 3)(x+ 2) + C(x+ 3)(x− 2)
(x+ 3)(x− 2)(x+ 2)
30x+ 3 = A(x− 2)(x+ 2) +B(x+ 3)(x+ 2) + C(x+ 3)(x− 2)
30x+ 3 = A(x2 − 4) +B(x2 + 5x+ 6) + C(x2 + x− 6)
30x+ 3 = Ax2 − 4A+Bx2 + 5Bx+ 6B + Cx2 + Cx− 6C
30x+ 3 = (A+B + C)x2 + (5B + C)x(−4A+ 6B − 6C)
A+B + C = 0
5B + C = 30 ⇒ C = 30− 5B
−4A+ 6B − 6C = 3
⇒
 A− 4B = −30−4A+ 36B = 183 ⇒ 20B = 63 ⇒ B =
63
20
B =
63
20
, A = − 348
20
e C = − 285
20
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 =
30x+ 3
(x+ 3)(x− 2)(x+ 2) =
− 34820
(x+ 3)
+
63
20
(x− 2) +
285
20
(x+ 2)
3
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 =
30x+ 3
(x+ 3)(x− 2)(x+ 2) = −
348
20
1
(x+ 3)
+
63
20
1
(x− 2) +
285
20
1
(x+ 2)∫
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx = −
348
20
∫
1
(x+ 3)
dx+
63
20
∫
1
(x− 2) dx+
285
20
∫
1
(x+ 2)
dx
∫
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx = −
348
20
ln(x+ 3) +
63
20
ln(x− 2) + 285
20
ln(x+ 2) + C2
∫
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx =
∫
(2x+ 1) dx+
∫
30x+ 3
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx
∫
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx =
(
x2 + x+ C1
)
+
[
− 348
20
ln(x+ 3) +
63
20
ln(x− 2) + 285
20
ln(x+ 2) + C2
]
∫
2x4 + 7x3 − 5x2 + 2x− 9
x3 + 3x2 − 4x− 12 dx = x
2 + x− 348
20
ln(x+ 3) +
63
20
ln(x− 2) + 285
20
ln(x+ 2) + C
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