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1 Cálculo Aplicado: Semana 01 Objetivos: O principal objetivo deste curso é estudar equações diferenciais. • Estudar qualitativamente equações diferenciais e determinar suas propriedades. • Estudar processos analíticos e numéricos de resolução de equações diferenciais. Equações Diferenciais - Classi�cação: Ordinárias × Parciais • Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Nesse caso a função desconhecida depende apenas de uma variável. Aparecem apenas derivadas ordinárias (simples) na equação. Exemplos: 1) ds dt = 5s. 2) y′′(t) + 3y′(t)− y(t) = t et. • Equações Diferenciais Parciais (EDP) Nesse caso a função desconhecida depende de várias variáveis (mais de uma variável). Aparecem derivadas parciais na equação. Exemplos: 1) α2 ∂2u(x, t) ∂x2 = ∂u(x, t) ∂t . (Equação do calor) 2) a2 ∂2u(x, t) ∂x2 = ∂2u(x, t) ∂t2 . (Equação da onda) 3) uxx − uyy = sen t. Ordem de uma Equação Diferencial: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação. Exemplos: 1) ds dt = 5s. EDO de 1a ordem. 2) y′′(t) + 3y′(t)− y(t) = t et. EDO de 2a ordem. 2 3) y′′′(t) = y(t). EDO de 3a ordem. 4) α2 ∂2u(x, t) ∂x2 = ∂u(x, t) ∂t . EDP de 2 a ordem. 5) a2 ∂2u(x, t) ∂x2 = ∂2u(x, t) ∂t2 . EDP de 2 a ordem. 6) ∂2f(x, y) ∂x = ∂f(x, y) ∂y . EDP de 1 a ordem. 7) uxx − uyy = sen t. EDP de 2a ordem. Nesse curso, estaremos interessados em estudar as equações que podem ser colocadas na forma: y(n)(t) = f ( t, y(t), y′(t), y′′(t), . . . , y(n−1)(t) ) . y(n) = f ( t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1) ) . Lineares × Não Lineares • Equações Diferenciais Lineares A equação pode ser escrita na forma: F ( t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n) ) Onde F é uma função linear nas variáveis: y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n) Uma EDO Linear tem a forma: a0(t)y (n) + a1(t)y (n−1) + a2y(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = g(t) Exemplos: 1) dv dt = 9.8− v 5 , 2) L d2Q(t) dt2 +R dQ(t) dt + 1 C Q(t) = E(t), 3) α2 ∂2u(x, t) ∂x2 = ∂u(x, t) ∂t , 4) a2 ∂2u(x, t) ∂x2 = ∂2u(x, t) ∂t2 , 5) uxx − uyy = sen t. • Equações Diferenciais Não Lineares A equação pode ser escrita na forma: F ( t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n) ) Mas F não é uma função linear nas variáveis: y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n) Exemplos: 1) y′′′ + 2et y′′ + yy′ = t4, 3 2) d2θ dt2 + g L sen θ = 0, 3) u2xx − u2yy = sen t. Exercícios: Classi�que cada equação abaixo em EDO ou EDP, linear ou não linear e determine sua ordem: 1) y′ + 3y = 0, 2) y′′ + 3eyy′ − 2t = 0, 3) y(4) + 3y′ − 2t2 = 0, 4) d4y dt4 − t d 2y dt2 + 1 = t2, 5) uxx + uyy = sen t, 6) uxx + senuuyy = cos t. Soluções de Equações Diferenciais: Dada uma equação diferencial: y(n)(t) = f ( t, y(t), y′(t), y′′(t), . . . , y(n−1)(t) ) , uma solução dessa equação no intervalo I é uma função φ, diferenciável (pelo menos) até a ordem n no intervalo I, que satisfaz a equação, ou seja, tal que: φ(n)(t) = f ( t, φ(t), φ′(t), φ′′(t), . . . , φ(n−1)(t) ) . Exemplos: 1) A função φ1(t) = sen t é solução da EDO y ′′ + y = 0, pois: φ1(t) = sen t ⇒ φ′1(t) = cos t ⇒ φ′′1(t) = −sen t, portanto φ′′1(t) + φ1(t) = −sen t+ sen t = 0. 2) A função φ2(t) = −cos t é solução da EDO y′′ + y = 0, pois: φ2(t) = −cos t ⇒ φ′2(t) = sen t ⇒ φ′′2(t) = cos t, portanto φ′′2(t) + φ2(t) = cos t− cos t = 0. 3) A função φ3(t) = 7 sen t− 3 cos t é solução da EDO y′′ + y = 0, pois: φ3(t) = 7 sen t− 3 cos t ⇒ φ′3(t) = 7 cos t+ 3 sen t ⇒ φ′′3(t) = −7 sen t+ 3 cos t, portanto: φ′′3(t) + φ3(t) = (−7 sen t+ 3 cos t) + (7 sen t− 3 cos t) = 0. 4) A função φ4(t) = e −t não é solução da EDO y′′ + y = 0, pois: φ4(t) = e −t ⇒ φ′4(t) = −e−t ⇒ φ′′4(t) = e−t, portanto φ′′4(t) + φ4(t) = e−t + e−t 6= 0. 4 5) A função y(x) = x e−x é solução da EDO 2y′′y′ + 3(y′)2 − y2 = − e−2x, pois: y(x) = x e−x ⇒ y′(x) = e−x − x e−x ⇒ y′′(x) = −2e−x + x e−x, portanto: 2y′′y′ + 3(y′)2 + 5y2 = 2 (−2e−x + x e−x) (e−x − x e−x) + 3 (e−x − x e−x)2 − (x e−x)2 = = 2 (−2e−2x + 3x e−2x − x2e−2x)+ 3 (e−2x − 2x e−2x + x2e−2x)− (x2 e−2x) = = −4e−2x + 6x e−2x︸ ︷︷ ︸ ∗ ∗∗︷ ︸︸ ︷ −2x2e−2x+3e−2x−6x e−2x︸ ︷︷ ︸ ∗ ∗∗︷ ︸︸ ︷ +3x2e−2x ∗∗︷ ︸︸ ︷ −x2 e−2x = −e−2x Equações Diferenciais: Dada uma Equação Diferencial estamos preocupados com: • Existência: Essa Equação Diferencial tem alguma solução? • Unicidade: Se essa Equação Diferencial tem solução, ela é única? • Determinação: Se essa Equação Diferencial tem solução, como determiná-la? • Vamos usar processos analíticos? • Vamos usar processos numéricos? • O que encontramos é uma solução ou uma aproximação de uma solução? • Encontramos uma expressão para a solução ou apenas uma curva ou apenas pontos de uma curva? • Análise: O que posso dizer da solução? Modelos Matemáticos: Muitos dos princípios físicos, ou leis, que explicam o comportamento do mundo físico são relações en- volvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Quando expressamos o comportamento em lin- guagem matemática as relações são equações e as taxas são derivadas. Equações contendo derivadas são equações diferenciais. Para investigar e compreender problemas envolvendo, por exemplo, movimento dos �uidos, o �uxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação do calor em objetos sólidos, a detecção e a propagação de ondas sísmicas ou o aumento ou diminuição de populações, é preciso saber "alguma coisa" sobre equa- ções diferenciais. Uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo matemático do processo. Exemplo 01: Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar. Formule uma equação diferencial que descreva o objeto. Começamos usando letras para representar as diversas quantidades de interesse no problema. Vamos usar t para denotar o tempo e v para denotar a velocidade. 5 A velocidade v deve variar com o tempo, portanto, vamos considerar v como função do tempo v = v(t). Vamos estabelecer as unidades. Como no enunciado não há nada que sugira quais as unidades seriam mais adequadas, podemos fazer uma escolha arbitrária. Vamos medir o tempo t em segundos s e a velocidade v em metros por segundo m/s. Como o objeto está caindo vamos considrar a velocidade v positiva quando o sentido do movimento for para baixo. A lei física que descreve o movimento é a segunda lei de Newton: F = ma onde F é a força total agindo no objeto, m é a massa do objeto e a a sua aceleração. Como a aceleração a é a taxa de variação da velocidade do objeto, temos: F = m dv dt As forças que agem no objeto: a gravidade e a resistência do ar: A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto mg e vamos considerar g = 9, 8m/s2. Vamos considerar a resistência do ar proporcional à velocidade γv. Assim, F = mg − γv mg − γv = m dv dt Agora, supondo m = 10kg e γ = 2kg/s, temos: (10)(9, 8)− 2v = 10 dv dt ⇒ 10 dv dt = (10)(9, 8)− 2v ⇒ dv dt = 9, 8− 2v 10 ⇒ dv dt = 9, 8− v 5 dv dt = 9, 8− v 5 Campo de Direções: Como veremos, campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais, pois ajudam a investigar o comportamento das soluções da equação diferencial sem resolvê-la. Para construir o campo de direções da equação diferencial dy dt = f(t, y), para y = yn: • Vamos supor que y tenha um determinado valor yn. • Vamos substituir este valor y = yn na equação diferencial e calcular dy dt ∣∣∣ y=yn . • Vamos representar gra�camente essa informação no plano t × y desenhando pequenos segmentos de reta com inclinação igual ao dy dt ∣∣∣ y=yn calculado ao longo da reta horizontal y = yn. Faremosisto para diversos valores de yn. Construindo assim uma malha de pequenos segmentos. Exemplo 02: Construir o campo de direções da equação diferencial do exemplo 01. Para construir o campo de direções da equação dv dt = 9, 8− v 5 , • Vamos supor que a velocidade v tenha um determinado valor v = 40. 6 • Vamos substituir este valor v = v˜ na equação diferencial e calcular dv dt ∣∣∣ v=40 = 1, 8. • Vamos representar gra�camente essa informação no plano t × v desenhando pequenos segmentos de reta com inclinação igual ao 1, 8 calculado ao longo da reta horizontal v = 40. • Vamos supor que a velocidade v tenha um determinado valor v = 50. • Vamos substituir este valor v = v˜ na equação diferencial e calcular dv dt ∣∣∣ v=50 = −0, 2. • Vamos representar gra�camente essa informação no plano t × v desenhando pequenos segmentos de reta com inclinação igual ao −0, 2 calculado ao longo da reta horizontal v = 50. . . . v dv//dt 30 35 40 1, 8 45 50 −0, 2 55 60 65 Um campo de direções para a equação diferencial dy dt = f(t, y) pode ser construído calculando-se f em cada ponto (t, y) de uma malha retangular e desenhando, em cada ponto (t, y) dessa malha retangular, um pequeno segmento de reta cujo coe�ciente angular é o valor de f naquele ponto. Dessa forma, cada segmento de reta desenhado é tangente ao grá�co de uma solução contendo aquele ponto. Um campo de direções desenhado em uma malha relativamente �na fornece uma boa idéia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.Basta, em geral, uma malha contendo uma centena de pontos. A construção de um campo de direções é muitas vezes um primeiro passo bastante útil na investigação de uma equação diferencial. Observações: • Para construir um campo de direções não precisamos resolver a equação diferencial, apenas calcular a função f = f(t, y) em diversos pontos (t, y). Dessa forma campos de direções podem ser construídos com facilidade mesmo para equações diferenciais muito difíceis de resolver. • Fazer cálculos repetidos de uma função f = f(t, y) é uma tarefa para a qual um computador é particu- larmente apropriado. Em geral, usamos computadores para construir um campo de direções. Existem diversos programas que já tem uma "função" pré de�nida para construir campo de direções, por exem- plo: matemática, mathcad, mathlab, scilab, maxima. Observe que os dois últimos são softwares free, ou seja, programas livres que você encontra facilmente na internet. Soluções de Equilíbrio: Uma solução constante, que não varia com o tempo, de uma equação diferencial é chamada de solução de equilíbrio. Por exemplo, na equação diferencial dv dt = 9, 8− v 5 a solução v(t) = 49m/s é uma solução de equilíbrio. 7 Essa é a solução que corresponde a um equilíbrio pefeito entre a gravidade e a resistência do ar. Se desenharmos a reta v = 49 no campo de direções da equação diferencial dv dt = 9, 8− v 5 , podemos observar que velocidades menores que v = 49 aumentam de velocidade com o tempo e que soluções maiores que v = 49 diminuem de velocidade com o tempo e que todas as soluções se aproximam da solução de equilíbrio quando t �ca muito grande, ou seja, lim t→+∞ v(t) = 49. Exemplo 03: Ratos do campo e corujas: Considere uma população de ratos do campo que habitam uma certa área rural. Vamos supor que, na ausência de predadores, a população de ratos cresce à uma taxa proporcional a população atual. Esta hipótese é uma lei que não está muito bem estabelecida mas, é uma hipótese inicial usual em um estudo de crescimento populacional. Se denotarmos o tempo por t e a população de ratos do cam- po por p = p(t), essa hipótese pode ser representada pela equação diferencial: dp dt = rp onde o fator de proporcionalidade r é chamado taxa de crescimento. Nesse exemplo, vamos medir o tempo em meses e vamos supor que a taxa r é de 0, 5 por mês. Vamos "aperfeiçoar" nosso exemplo supondo que várias corujas moram na mesma vizinhança e que elas matam 15 ratos do campo por dia. Incorporando esta informação à nossa equação temos: dp dt = 0, 5p− 450 Vamos: • Encontrar as soluções de equilíbrio dessa equação diferencial. • Esboçar o campo de direções dessa equação diferencial. • Encontar a solução (particular) cujo grá�co passa pelo ponto (850, 0). • Estudar o comportamento das soluções em relação às soluções de equilíbrio (se converge ou diverge da solução de equilíbrio para valores grandes de t) , ou seja, estudar o limite lim t→+∞ p(t). • Esboçar várias soluções em um grá�co p× t. Muitas vezes chamamos esse estudo que estamos fazendo de estudo geométrico ou estudo qualitativo das soluções da equação diferencial. Se p é uma solução de equilíbrio ela é uma solução constante. E a derivada das funções constantes é nula. Portanto, para encontrar as soluções de equilíbrio resolvemos: dp dt = 0 ⇒ 0, 5p−450 = 0 ⇒ p(t) = 900 Para desenhar o campo de direções usamos o máxima. Para estudar o limite lim t→+∞ p(t), observamos o campo de direções e concluímos que as soluções divergem da solução de equilíbrio. 8 Soluções de Algumas Equações Diferenciais: Vamos considerar a equação diferencial: dp dt = 0, 5p− 450, temos: dp dt = 0, 5p− 450 ⇒ dp dt = p− 900 2 ⇒ dp dt p− 900 = 1 2 ⇒ d dt ln |p− 900| = 1 2 Integrando em relação a t ambos os lados da equação, temos: ∫ d dt ln |p−900| dt = ∫ 1 2 dt ⇒ ln |p−900| = t 2 +C1 ⇒ |p−900| = e t2 +C1 ⇒ |p−900| = e t2 eC1 ⇒ ⇒ |p− 900| = C2e t2 ⇒ p− 900 = ±C2e t2 ⇒ p− 900 = C3e t2 ⇒ p = 900 + C3e t2 Portanto: dp dt = 0, 5p− 450 ⇒ p = 900 + Ce t2 onde C = C3 = ±eC1 é uma constante arbitrária. Ou analogamente: dp dt = 0, 5p− 450 ⇒ dp dt = p− 900 2 ⇒ dp p− 900 = 1 2 dt ⇒ ∫ dp p− 900 = ∫ 1 2 dt ⇒ ⇒ ln |p− 900| = t 2 + C1 ⇒ |p− 900| = e t2 +C1 ⇒ |p− 900| = e t2 eC1 ⇒ |p− 900| = C2e t2 ⇒ ⇒ p− 900 = ±C2e t2 ⇒ p− 900 = C3e t2 ⇒ p = 900 + C3e t2 Portanto: dp dt = 0, 5p− 450 ⇒ p = 900 + Ce t2 Encontramos uma in�nidade de soluções da equação diferencial, que correspondem à in�nidade de valores possíveis que a constante arbitrária C pode assumir. Isso é típico do que acontece ao se resolver uma equação diferencial pois, o processo de solução envolve uma integração (inde�nida) que traz consigo uma constante arbitrária, cujos possíveis valores geram uma in�nidade de soluções. Muitas vezes, queremos focalizar nossa atenção em um único elemento dessa família in�nita de soluções, especi�cando o valor da constante arbitrária. Na maior parte das vezes isto é feito indiretamente, através de um ponto dado que tem que pertencer ao grá�co da solução. Por exemplo, para determinar a constante arbitrária C poderíamos estabelecer a quantidade de elementos da população em um determinado instante, tal como, p = 850 elementos no instante t = 0. Em outras palavras, o grá�co tem que conter o ponto (850, 0). Essa condição pode ser expressa por: p(0) = 850 e é chamada de condição inicial. Substituindo-se, t = 0 e p = 850 na equação p = 900 + Ce t 2 temos: 850 = 900 + Ce 0 2 ⇒ 850 = 900 + Ce0 ⇒ 850 = 900 + C ⇒ C = −50 Dizemos então que o problema de valor inicial: dp dt = 0, 5p− 450 ; p(0) = 850 tem como solução a função p(t) = 900− 50e t2 . 9 Agora, que temos as soluções podemos estudar novamente o limite lim t→+∞ p(t) Para estudar se as soluções convergem ou não para a solução de equilíbrio p(t) = 900, vamos pensar nas soluções da EDO: dp dt = 0, 5p− 450 que tem valor inicial p(0) = p0, ou seja, p(t) = 900 + (p0 − 900)e t2 Temos: • Se a população inicial p0 de nosso estudo é maior que 900 temos lim t→+∞ p(t) = +∞ • Se a população inicial p0 de nosso estudo é menor que 900 temos lim t→+∞ p(t) nãofaz sentido pois em um tempo �nito (t = ln 900900−p0 ) a população será extinta. De qualquer forma as soluções não convergem para a solução de equilíbrio.
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