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Equações Diferenciais - Classificação - ordinária X parciais

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1
Cálculo Aplicado:
Semana 01
Objetivos:
O principal objetivo deste curso é estudar equações diferenciais.
• Estudar qualitativamente equações diferenciais e determinar suas propriedades.
• Estudar processos analíticos e numéricos de resolução de equações diferenciais.
Equações Diferenciais - Classi�cação:
Ordinárias × Parciais
• Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
Nesse caso a função desconhecida depende apenas de uma variável.
Aparecem apenas derivadas ordinárias (simples) na equação.
Exemplos:
1)
ds
dt
= 5s.
2) y′′(t) + 3y′(t)− y(t) = t et.
• Equações Diferenciais Parciais (EDP)
Nesse caso a função desconhecida depende de várias variáveis (mais de uma variável).
Aparecem derivadas parciais na equação.
Exemplos:
1) α2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂u(x, t)
∂t
. (Equação do calor)
2) a2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂2u(x, t)
∂t2
. (Equação da onda)
3) uxx − uyy = sen t.
Ordem de uma Equação Diferencial:
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação.
Exemplos:
1)
ds
dt
= 5s. EDO de 1a ordem.
2) y′′(t) + 3y′(t)− y(t) = t et. EDO de 2a ordem.
2
3) y′′′(t) = y(t). EDO de 3a ordem.
4) α2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂u(x, t)
∂t
. EDP de 2
a
ordem.
5) a2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂2u(x, t)
∂t2
. EDP de 2
a
ordem.
6)
∂2f(x, y)
∂x
=
∂f(x, y)
∂y
. EDP de 1
a
ordem.
7) uxx − uyy = sen t. EDP de 2a ordem.
Nesse curso, estaremos interessados em estudar as equações que podem ser colocadas na forma:
y(n)(t) = f
(
t, y(t), y′(t), y′′(t), . . . , y(n−1)(t)
)
.
y(n) = f
(
t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1)
)
.
Lineares × Não Lineares
• Equações Diferenciais Lineares
A equação pode ser escrita na forma: F
(
t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n)
)
Onde F é uma função linear nas variáveis: y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n)
Uma EDO Linear tem a forma: a0(t)y
(n) + a1(t)y
(n−1) + a2y(n−2) + . . .+ an−1y′ + any = g(t)
Exemplos:
1)
dv
dt
= 9.8− v
5
,
2) L
d2Q(t)
dt2
+R
dQ(t)
dt
+
1
C
Q(t) = E(t),
3) α2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂u(x, t)
∂t
,
4) a2
∂2u(x, t)
∂x2
=
∂2u(x, t)
∂t2
,
5) uxx − uyy = sen t.
• Equações Diferenciais Não Lineares
A equação pode ser escrita na forma: F
(
t, y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n)
)
Mas F não é uma função linear nas variáveis: y, y′, y′′, . . . , y(n−1), y(n)
Exemplos:
1) y′′′ + 2et y′′ + yy′ = t4,
3
2)
d2θ
dt2
+
g
L
sen θ = 0,
3) u2xx − u2yy = sen t.
Exercícios:
Classi�que cada equação abaixo em EDO ou EDP, linear ou não linear e determine sua ordem:
1) y′ + 3y = 0,
2) y′′ + 3eyy′ − 2t = 0,
3) y(4) + 3y′ − 2t2 = 0,
4)
d4y
dt4
− t d
2y
dt2
+ 1 = t2,
5) uxx + uyy = sen t,
6) uxx + senuuyy = cos t.
Soluções de Equações Diferenciais:
Dada uma equação diferencial: y(n)(t) = f
(
t, y(t), y′(t), y′′(t), . . . , y(n−1)(t)
)
, uma solução dessa equação
no intervalo I é uma função φ, diferenciável (pelo menos) até a ordem n no intervalo I, que satisfaz a
equação, ou seja, tal que: φ(n)(t) = f
(
t, φ(t), φ′(t), φ′′(t), . . . , φ(n−1)(t)
)
.
Exemplos:
1) A função φ1(t) = sen t é solução da EDO y
′′ + y = 0, pois:
φ1(t) = sen t ⇒ φ′1(t) = cos t ⇒ φ′′1(t) = −sen t, portanto φ′′1(t) + φ1(t) = −sen t+ sen t = 0.
2) A função φ2(t) = −cos t é solução da EDO y′′ + y = 0, pois:
φ2(t) = −cos t ⇒ φ′2(t) = sen t ⇒ φ′′2(t) = cos t, portanto φ′′2(t) + φ2(t) = cos t− cos t = 0.
3) A função φ3(t) = 7 sen t− 3 cos t é solução da EDO y′′ + y = 0, pois:
φ3(t) = 7 sen t− 3 cos t ⇒ φ′3(t) = 7 cos t+ 3 sen t ⇒ φ′′3(t) = −7 sen t+ 3 cos t,
portanto: φ′′3(t) + φ3(t) = (−7 sen t+ 3 cos t) + (7 sen t− 3 cos t) = 0.
4) A função φ4(t) = e
−t
não é solução da EDO y′′ + y = 0, pois:
φ4(t) = e
−t ⇒ φ′4(t) = −e−t ⇒ φ′′4(t) = e−t, portanto φ′′4(t) + φ4(t) = e−t + e−t 6= 0.
4
5) A função y(x) = x e−x é solução da EDO 2y′′y′ + 3(y′)2 − y2 = − e−2x, pois:
y(x) = x e−x ⇒ y′(x) = e−x − x e−x ⇒ y′′(x) = −2e−x + x e−x,
portanto: 2y′′y′ + 3(y′)2 + 5y2 = 2 (−2e−x + x e−x) (e−x − x e−x) + 3 (e−x − x e−x)2 − (x e−x)2 =
= 2
(−2e−2x + 3x e−2x − x2e−2x)+ 3 (e−2x − 2x e−2x + x2e−2x)− (x2 e−2x) =
= −4e−2x + 6x e−2x︸ ︷︷ ︸
∗
∗∗︷ ︸︸ ︷
−2x2e−2x+3e−2x−6x e−2x︸ ︷︷ ︸
∗
∗∗︷ ︸︸ ︷
+3x2e−2x
∗∗︷ ︸︸ ︷
−x2 e−2x = −e−2x
Equações Diferenciais:
Dada uma Equação Diferencial estamos preocupados com:
• Existência: Essa Equação Diferencial tem alguma solução?
• Unicidade: Se essa Equação Diferencial tem solução, ela é única?
• Determinação: Se essa Equação Diferencial tem solução, como determiná-la?
• Vamos usar processos analíticos?
• Vamos usar processos numéricos?
• O que encontramos é uma solução ou uma aproximação de uma solução?
• Encontramos uma expressão para a solução ou apenas uma curva ou apenas pontos de uma curva?
• Análise: O que posso dizer da solução?
Modelos Matemáticos:
Muitos dos princípios físicos, ou leis, que explicam o comportamento do mundo físico são relações en-
volvendo a taxa segundo a qual as coisas acontecem. Quando expressamos o comportamento em lin-
guagem matemática as relações são equações e as taxas são derivadas.
Equações contendo derivadas são equações diferenciais.
Para investigar e compreender problemas envolvendo, por exemplo, movimento dos �uidos, o �uxo de
corrente elétrica em circuitos, a dissipação do calor em objetos sólidos, a detecção e a propagação de
ondas sísmicas ou o aumento ou diminuição de populações, é preciso saber "alguma coisa" sobre equa-
ções diferenciais.
Uma equação diferencial que descreve algum processo físico é chamada, muitas vezes, de modelo
matemático do processo.
Exemplo 01:
Suponha que um objeto está caindo na atmosfera, perto do nível do mar.
Formule uma equação diferencial que descreva o objeto.
Começamos usando letras para representar as diversas quantidades de interesse no problema.
Vamos usar t para denotar o tempo e v para denotar a velocidade.
5
A velocidade v deve variar com o tempo, portanto, vamos considerar v como função do tempo v = v(t).
Vamos estabelecer as unidades. Como no enunciado não há nada que sugira quais as unidades seriam
mais adequadas, podemos fazer uma escolha arbitrária.
Vamos medir o tempo t em segundos s e a velocidade v em metros por segundo m/s.
Como o objeto está caindo vamos considrar a velocidade v positiva quando o sentido do movimento for
para baixo.
A lei física que descreve o movimento é a segunda lei de Newton:
F = ma
onde F é a força total agindo no objeto, m é a massa do objeto e a a sua aceleração.
Como a aceleração a é a taxa de variação da velocidade do objeto, temos:
F = m
dv
dt
As forças que agem no objeto: a gravidade e a resistência do ar:
A gravidade exerce uma força igual ao peso do objeto mg e vamos considerar g = 9, 8m/s2.
Vamos considerar a resistência do ar proporcional à velocidade γv.
Assim, F = mg − γv
mg − γv = m dv
dt
Agora, supondo m = 10kg e γ = 2kg/s, temos:
(10)(9, 8)− 2v = 10 dv
dt
⇒ 10 dv
dt
= (10)(9, 8)− 2v ⇒ dv
dt
= 9, 8− 2v
10
⇒ dv
dt
= 9, 8− v
5
dv
dt
= 9, 8− v
5
Campo de Direções:
Como veremos, campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais,
pois ajudam a investigar o comportamento das soluções da equação diferencial sem resolvê-la.
Para construir o campo de direções da equação diferencial
dy
dt
= f(t, y), para y = yn:
• Vamos supor que y tenha um determinado valor yn.
• Vamos substituir este valor y = yn na equação diferencial e calcular dy
dt
∣∣∣
y=yn
.
• Vamos representar gra�camente essa informação no plano t × y desenhando pequenos segmentos de
reta com inclinação igual ao
dy
dt
∣∣∣
y=yn
calculado ao longo da reta horizontal y = yn.
Faremosisto para diversos valores de yn. Construindo assim uma malha de pequenos segmentos.
Exemplo 02:
Construir o campo de direções da equação diferencial do exemplo 01.
Para construir o campo de direções da equação
dv
dt
= 9, 8− v
5
,
• Vamos supor que a velocidade v tenha um determinado valor v = 40.
6
• Vamos substituir este valor v = v˜ na equação diferencial e calcular dv
dt
∣∣∣
v=40
= 1, 8.
• Vamos representar gra�camente essa informação no plano t × v desenhando pequenos segmentos de
reta com inclinação igual ao 1, 8 calculado ao longo da reta horizontal v = 40.
• Vamos supor que a velocidade v tenha um determinado valor v = 50.
• Vamos substituir este valor v = v˜ na equação diferencial e calcular dv
dt
∣∣∣
v=50
= −0, 2.
• Vamos representar gra�camente essa informação no plano t × v desenhando pequenos segmentos de
reta com inclinação igual ao −0, 2 calculado ao longo da reta horizontal v = 50.
.
.
.
v dv//dt
30
35
40 1, 8
45
50 −0, 2
55
60
65
Um campo de direções para a equação diferencial
dy
dt
= f(t, y) pode ser construído calculando-se f
em cada ponto (t, y) de uma malha retangular e desenhando, em cada ponto (t, y) dessa malha retangular,
um pequeno segmento de reta cujo coe�ciente angular é o valor de f naquele ponto.
Dessa forma, cada segmento de reta desenhado é tangente ao grá�co de uma solução contendo aquele
ponto. Um campo de direções desenhado em uma malha relativamente �na fornece uma boa idéia do
comportamento global das soluções de uma equação diferencial.Basta, em geral, uma malha contendo
uma centena de pontos. A construção de um campo de direções é muitas vezes um primeiro passo bastante
útil na investigação de uma equação diferencial.
Observações:
• Para construir um campo de direções não precisamos resolver a equação diferencial, apenas calcular a
função f = f(t, y) em diversos pontos (t, y). Dessa forma campos de direções podem ser construídos
com facilidade mesmo para equações diferenciais muito difíceis de resolver.
• Fazer cálculos repetidos de uma função f = f(t, y) é uma tarefa para a qual um computador é particu-
larmente apropriado. Em geral, usamos computadores para construir um campo de direções. Existem
diversos programas que já tem uma "função" pré de�nida para construir campo de direções, por exem-
plo: matemática, mathcad, mathlab, scilab, maxima. Observe que os dois últimos são softwares free,
ou seja, programas livres que você encontra facilmente na internet.
Soluções de Equilíbrio:
Uma solução constante, que não varia com o tempo, de uma equação diferencial é chamada de solução
de equilíbrio.
Por exemplo, na equação diferencial
dv
dt
= 9, 8− v
5
a solução v(t) = 49m/s é uma solução de equilíbrio.
7
Essa é a solução que corresponde a um equilíbrio pefeito entre a gravidade e a resistência do ar.
Se desenharmos a reta v = 49 no campo de direções da equação diferencial
dv
dt
= 9, 8− v
5
, podemos
observar que velocidades menores que v = 49 aumentam de velocidade com o tempo e que soluções
maiores que v = 49 diminuem de velocidade com o tempo e que todas as soluções se aproximam da
solução de equilíbrio quando t �ca muito grande, ou seja, lim
t→+∞ v(t) = 49.
Exemplo 03:
Ratos do campo e corujas:
Considere uma população de ratos do campo que habitam uma certa área rural. Vamos supor que,
na ausência de predadores, a população de ratos cresce à uma taxa proporcional a população atual.
Esta hipótese é uma lei que não está muito bem estabelecida mas, é uma hipótese inicial usual em
um estudo de crescimento populacional. Se denotarmos o tempo por t e a população de ratos do cam-
po por p = p(t), essa hipótese pode ser representada pela equação diferencial:
dp
dt
= rp
onde o fator de proporcionalidade r é chamado taxa de crescimento.
Nesse exemplo, vamos medir o tempo em meses e vamos supor que a taxa r é de 0, 5 por mês.
Vamos "aperfeiçoar" nosso exemplo supondo que várias corujas moram na mesma vizinhança e que elas
matam 15 ratos do campo por dia.
Incorporando esta informação à nossa equação temos:
dp
dt
= 0, 5p− 450
Vamos:
• Encontrar as soluções de equilíbrio dessa equação diferencial.
• Esboçar o campo de direções dessa equação diferencial.
• Encontar a solução (particular) cujo grá�co passa pelo ponto (850, 0).
• Estudar o comportamento das soluções em relação às soluções de equilíbrio (se converge ou diverge da
solução de equilíbrio para valores grandes de t) , ou seja, estudar o limite lim
t→+∞ p(t).
• Esboçar várias soluções em um grá�co p× t.
Muitas vezes chamamos esse estudo que estamos fazendo de estudo geométrico ou estudo qualitativo
das soluções da equação diferencial.
Se p é uma solução de equilíbrio ela é uma solução constante. E a derivada das funções constantes é nula.
Portanto, para encontrar as soluções de equilíbrio resolvemos:
dp
dt
= 0 ⇒ 0, 5p−450 = 0 ⇒ p(t) = 900
Para desenhar o campo de direções usamos o máxima.
Para estudar o limite lim
t→+∞ p(t), observamos o campo de direções e concluímos que as soluções divergem
da solução de equilíbrio.
8
Soluções de Algumas Equações Diferenciais:
Vamos considerar a equação diferencial:
dp
dt
= 0, 5p− 450, temos:
dp
dt
= 0, 5p− 450 ⇒ dp
dt
=
p− 900
2
⇒
dp
dt
p− 900 =
1
2
⇒ d
dt
ln |p− 900| = 1
2
Integrando em relação a t ambos os lados da equação, temos:
∫
d
dt
ln |p−900| dt =
∫
1
2
dt ⇒ ln |p−900| = t
2
+C1 ⇒ |p−900| = e t2 +C1 ⇒ |p−900| = e t2 eC1 ⇒
⇒ |p− 900| = C2e t2 ⇒ p− 900 = ±C2e t2 ⇒ p− 900 = C3e t2 ⇒ p = 900 + C3e t2
Portanto:
dp
dt
= 0, 5p− 450 ⇒ p = 900 + Ce t2 onde C = C3 = ±eC1 é uma constante arbitrária.
Ou analogamente:
dp
dt
= 0, 5p− 450 ⇒ dp
dt
=
p− 900
2
⇒ dp
p− 900 =
1
2
dt ⇒
∫
dp
p− 900 =
∫
1
2
dt ⇒
⇒ ln |p− 900| = t
2
+ C1 ⇒ |p− 900| = e t2 +C1 ⇒ |p− 900| = e t2 eC1 ⇒ |p− 900| = C2e t2 ⇒
⇒ p− 900 = ±C2e t2 ⇒ p− 900 = C3e t2 ⇒ p = 900 + C3e t2
Portanto:
dp
dt
= 0, 5p− 450 ⇒ p = 900 + Ce t2
Encontramos uma in�nidade de soluções da equação diferencial, que correspondem à in�nidade de valores
possíveis que a constante arbitrária C pode assumir. Isso é típico do que acontece ao se resolver
uma equação diferencial pois, o processo de solução envolve uma integração (inde�nida) que traz consigo
uma constante arbitrária, cujos possíveis valores geram uma in�nidade de soluções.
Muitas vezes, queremos focalizar nossa atenção em um único elemento dessa família in�nita de soluções,
especi�cando o valor da constante arbitrária.
Na maior parte das vezes isto é feito indiretamente, através de um ponto dado que tem que pertencer
ao grá�co da solução. Por exemplo, para determinar a constante arbitrária C poderíamos estabelecer a
quantidade de elementos da população em um determinado instante, tal como, p = 850 elementos no
instante t = 0.
Em outras palavras, o grá�co tem que conter o ponto (850, 0).
Essa condição pode ser expressa por: p(0) = 850 e é chamada de condição inicial.
Substituindo-se, t = 0 e p = 850 na equação p = 900 + Ce
t
2
temos:
850 = 900 + Ce
0
2 ⇒ 850 = 900 + Ce0 ⇒ 850 = 900 + C ⇒ C = −50
Dizemos então que o problema de valor inicial:
dp
dt
= 0, 5p− 450 ; p(0) = 850 tem como solução a
função p(t) = 900− 50e t2 .
9
Agora, que temos as soluções podemos estudar novamente o limite lim
t→+∞ p(t)
Para estudar se as soluções convergem ou não para a solução de equilíbrio p(t) = 900, vamos pensar nas
soluções da EDO:
dp
dt
= 0, 5p− 450 que tem valor inicial p(0) = p0, ou seja, p(t) = 900 + (p0 − 900)e t2
Temos:
• Se a população inicial p0 de nosso estudo é maior que 900 temos lim
t→+∞ p(t) = +∞
• Se a população inicial p0 de nosso estudo é menor que 900 temos lim
t→+∞ p(t) nãofaz sentido pois em
um tempo �nito (t = ln 900900−p0 ) a população será extinta.
De qualquer forma as soluções não convergem para a solução de equilíbrio.

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