2ª Lista Álgebra Linear Verão

Prévia do material em texto

2a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear - Curso de Vera˜o
Profa. Amanda Buosi Gazon - Janeiro/2018
1. Seja V = R3. Mostre que W na˜o e´ um subespac¸o, nos casos seguintes:
(a) W = {(a, b, c) : a > 0};
(b) W = {(a, b, c) : a2 + b2 + c2 ≤ 1.
2. Mostre que os vetores u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3) e u3 = (1, 5, 8) geram R
3.
3. Decida se u e v sa˜o linearmente dependentes, ou na˜o, nos casos seguintes:
(a) u = (1, 2), v = (3,−5);
(b) u = (1,−3), v = (−2, 6);
(c) u = (1, 2,−3), v = (4, 5,−6);
(d) u = (2, 4,−8), v = (3, 6,−12).
4. Decida se os vetores u = (1, 1, 2), v = (2, 3, 1) e w = (4, 5, 5) de R3 sa˜o linearmente dependentes
ou na˜o.
5. Suponha que os vetores u, v, w sejam linearmente independentes. Mostre que os vetores
u + v, u− v, u− 2v + w tambe´m sa˜o linearmente independentes.
6. Decida se os vetores dados formam uma base de R3, nos casos seguintes:
(a) (1,1,1), (1,0,1);
(b) (1,2,3), (1,3,5), (1,0,1), (2,3,0);
(c) (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1);
(d) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4).
7. Estenda {u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2, 2, 3, 4)} a uma base de R4.
8. Encontre uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de R3 nos seguintes casos:
(a) W = {(a, b, c) : a + b + c = 0};
(b) W = {(a, b, c) : a = b = c}.
9. Seja M2 o espac¸o das matrizes de ordem 2. Seja W o subespac¸o das matrizes sime´tricas. Mostre
que dimW = 3 e apresente uma base para W .
10. Suponha que U e W sejam subespac¸os distintos de dimensa˜o 4 de um espac¸o vetorial V de
dimensa˜o 6. Encontre as poss´ıveis dimenso˜es de U ∩W .
11. Sejam U e W os subespac¸os de R3 dados por
U = {(a, b, c) : a = b = c} e W = {(0, b, c)}.
Mostre que R3 = U ⊕W .
12. Mostre que os seguintes subconjuntos de R4 sa˜o subespac¸os
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = 0 e z − t = 0};
(b) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x + y − t = 0 e z = 0}.
13. Seja W o subespac¸o de M2 definido por
W =
{[
2a a + 2b
0 a− b
]
: a, b ∈ R
}
.
(a)
[
0 −2
0 1
]
∈W?
(b)
[
0 2
3 1
]
∈W?
14. Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1), v3 =
(−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ [v1, v2, v3, v4]? Justifique.
(b) Exiba uma base para [v1, v2, v3, v4]. Qual e´ a dimensa˜o?
(c) [v1, v2, v3, v4] = R
4? Por queˆ?
15. Seja U o subespac¸o de R3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespac¸o de R3 gerado por (1, 1, 0) e
(0, 1, 1). Mostre que R3 = U ⊕W .
16. Mostre que, se V = W1 ⊕W2 e B1 = {v1, . . . , vk} e´ base de W1, B2 = {w1, . . . , wr} e´ base de
W2, enta˜o B = {v1, . . . , vk, w1, . . . , wr} e´ base de V .
Mostre com um exemplo que o resultado na˜o continua verdadeiro se a soma de subespac¸os na˜o
for uma soma direta.
17. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+y = 0 e z− t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x−y−z+ t = 0}
subespac¸os de R4.
(a) Determine W1 ∩W2.
(b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
(c) Determine W1 + W2.
(d) W1 + W2 e´ soma direta? Justifique.
(e) W1 + W2 = R
4?
18. (a) Dado o subespac¸o V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + 2y + z = 0} ache um subespac¸o V2 tal que
R3 = V1 ⊕ V2.
(b) Deˆ exemplos de dois subespac¸os de dimensa˜o dois de R3 tais que V1 + V2 = R
3. A soma e´
direta?