slide mecanica dos solidos vigas

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Lúcia M.J.S. Dinis
2007/2008
Mecânica dos Sólidos
10ª Aula
1
Sumário e Objectivos
Sumário: Conceito de viga. Vigas Isostáticas. Equações de 
Equilíbrio de Forças e Momentos. Reacções de Apoio. 
Esforços Transversos e Momentos Flectores. Esforço 
Axial. Diagramas de Esforços.
Objectivos da Aula: Rever a Cálculo Reacções de Apoio 
em Vigas Isostáticas e ser capaz de traçar os Diagramas 
de Esforços e Momentos Flectores.
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Ilustração do Ensaio de 
Galileu
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Ensaio em Pórtico
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Estrutura de Madeira
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Estrutura de Ponte
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Poseidon
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Viga Plana Isostática
Uma peça linear pode estar sujeita a forças laterais, esforços transversos e 
momentos flectores, podendo ser considerada plana ou tridimensional 
conforme o tipo de solicitação a que está sujeita. No caso das acções 
estarem contidas num plano, o chamado plano de solicitação que 
também contém o eixo da peça linear, a viga é dita viga plana. O tipo de 
ligações ao exterior usualmente consideradas estão representadas na 
figura seguinte. As peças lineares consideradas são do tipo viga plana
isostática, isto é são vigas cujo eixo está contido no plano de solicitação 
e para as quais as equações da Estática são suficientes para efeitos de 
cálculo das reacções de apoio
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Tipos de Apoios e Esforços
Apoio Duplo
A
B
M
T
T
M
B
P
C
L
Encastramento 
x
A x
P
B C
P
T
M
A
B
B
M
T
C
L
A
x
B
P
C x
Apoio Simples
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Diagramas de Corpo 
livre
θ
θ
θ
Apoio DuploEncastramento Apoio Simples
θoscP
θsenP
θsenP/2 θsenP/2θoscP
θsenPL
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Esforços Internos e 
Externos
As cargas exteriores e as reacções de apoio constituem o 
conjunto dos esforços externos na viga, as forças 
directamente aplicadas são em geral conhecidas e as 
reacções de apoio necessitam em geral de ser calculadas. Os 
esforços internos são os esforços que se desenvolvem numa 
secção da viga e são obtidos considerando um corte na viga 
passando na referida secção e impondo o equilíbrio estático
de cada uma das partes em que a viga ficou dividida.
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Equações de Equilíbrio 
Viga Isostática Plana
Equações de Equilíbrio de Forças
0F
0F
y
x
=∑
=∑
Equação de Equilíbrio de Momentos 0M z =∑
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Exemplos de Vigas 
Isostáticas Planas
x
y
P
p(x) y p(x)
x
P
p(x)P P p(x) P
y
x x
y
O número de equações necessárias para efeitos de cálculo das 
reacções são três, eventualmente duas no caso de não existirem 
forças axiais.
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Vigas Encastradas 
Cálculo de Reacções
x
y
P
y
xA B
BA
M M
Ry Ry
PLMM
PRF
z
yy
=⇒=∑
=⇒=∑
0
0
L L
/2LpMM
pLRF
2
z
yy
=⇒=∑
=⇒=∑
0
0
p(x)=p
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Exemplo 8.1
10kN /m
20kN
8m
2 .0m
3 .0m
A
B
B
C
C
20kN
20kN
M A
M A
M B
M B
M C
M C
T B
T B
T C
T C
R A
R A
Considere a viga encastrada representada na figura e determine
a) As reacções de Apoio.
b) Os Esforços Transversos e os Momentos Flectores nas
Secções B-B eC-C.
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Exemplo 8.1 –
Resolução
a) Cálculo das Reacções de Apoio
m.kN480480820M0M
kN1002080R0F
Az
Ay
=×+×=⇒=∑
=+=⇒=∑ m.kN480M;kN100R AA ==
b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C
kNT B 7051020 =×+= C 20 10 2 40kNT = + × =
m.kN2255.2510520MB =××+×=
C 20 2 10 2 1 60kN.mM = × + × × =
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Vigas Simplesmente Apoiadas
Cálculo de Reacções
y
x
y
x
P
A B C
p(x)=p
L/2 L/2 L
RA RC RA RC
P/2RP/2;R
PL/2LR0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
pL/2RpL/2;R
/2LpLR0M
pLRR0F
CA
2
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
CA
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Exemplo 8.2
30kN
2.0m
B
15kN/mB
2.0m
C
C
3.5m 3.5m
A D
RA
R A
RD
RD
MB
MB
TB
30kN
15kN/m
15kN/m
15kN/m
30kN
15kN/m
MC
MC
TB
TC
TC
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura e determine 
a)As Reacções de Apoio.
b) Os Esforços Transversos e os Momemtos Flectores nas Secções B-B eC-C.
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Exemplo 10.2 – Resolução
a) Cálculo das Reacções de Apoio
m.kN5.4725.3305.3715R70M
kN13530715RR0F
Dz
DAy
=×+××=×⇒=∑
=+×=+⇒=∑
5.67R;5.67R DA ==
b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C
kN5.372155.67T B =×−= kN5.37515305.67T C −=×−−=
Cálculo dos Momentos flectores em B-B e C-C
m.kN105121525.67M B =××−×= m.kN1055.1305.251555.67MC =×−××−×=
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Vigas Simplesmente Apoiadas 
com tramo em consola 
y p(x)=p
x
y
xA
RA RA
A
B
P
C
L/3
C
RC
L/3 L/3
P/2RP/2;R
PL/3L/32R0M
PRR0F
CA
Cz
CAy
==
=⇒=∑
=+⇒=∑
RC
2L/3 L/3
3pL/4RpL/3;R
/18L5p/18L4p
L/32R0M
pLRR0F
CA
22
Cz
CAy
==
+=
=⇒=∑
=+⇒=∑
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Exemplo 8.3
2.0m
B
B
A
C
C
RA
RA
MB
MB
TB
TB
1.0m
1.0m
RD
D
TC
MC
TC
MC
RD
20kN/m
25kN
2.5m
20kN/m
20kN/m
20kN/m
25kN
25kN
Considere a viga simplesmente apoiada 
com tramo em consola representada na 
e determine a) As Reacções de Apoio.b)
Os Esforços Transversos e os Momentos 
Flectores nas Secções B-B e C-C.
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Exemplo 8.3 – Resolução
a) Cálculo das Reações de Apoio
m.kN3655.62525.25.420R5.40M
kN115255.420RR0F
Dz
DAy
=×+××=×⇒=∑
=+×=+⇒=∑
kN)1(1.81R;kN)8(8.33R DA ==
b) Cálculo dos Esforças Transversos em B-B e C-C
B 33.88(8) 20 2 6,11(1)kNT = − × = − kN25T C =
m.kN)7(7.2712202)8(8.33M B =××−×=
m.kN25125M C =×=
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Diagramas de Esforços 
O diagrama de esforços é um gráfico que mostra o valor do esforço 
transverso em função da distância x ao longo do eixo da viga e o 
diagrama de momentos flectores é um gráfico que mostra o valor do 
momento flector em função da distância x ao longo do eixo da viga.
Para traçar os diagramas de esforços é necessário considerar um 
corte na viga a uma distância x da origem e determinar os valores 
dos esforços transversos e momentos flectores em função de x e 
desenhar o gráfico das funções obtidas. 
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Diagrama de Esforços-
Convenção de Sinais
Esforços Transversos 
Positivos
+
Esforços Transversos 
Negativos
-
+
Momentos Flectores 
Positivos
Momentos Flectores 
Negativos
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Exemplo 8.4 
P
L
x
A B C CB
BA
RA
MA
P
TB
TB
MB
MB
PTB =
PxMB=
Considere a viga encastrada representada na 
figura e desenhe os diagramas de esforços 
transversos e momentos flectores.
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Exemplo 10.4 –Resolução
P
L
x
A B C
RA
MA PT =
PxM =
y
+
-
P
PL
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Exemplo 8.5
P
a b
L
RA RC
B C
Pa/LRPb/L;R cA ==
x
RA
RA
x
T
M
M
T
P
0<x<a
a<x<L
A
y
x
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga pontual, 
representada na figura e desenhe os diagramas de esforços transversos e 
momentos flectores.
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Exemplo 8.5 –Resolução
P
a b
L
A B C
y
x
+
-
Esforços Transversos
Momentos Flectores
+
y
y
x
x
RA RC
Pa/LRPb/L;R cA ==
Pb/LR A =
Pa/LR C =
Pab/L
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Exemplo 8.6
L
x
B
MB
MB
B CA
p(x)=p
A
TB
B
TB
C
/2xPM 2B =
pxTB =
RA
MA
MA
RA
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga 
uniformemente distribuida, representada na figura e 
desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos 
flectores.
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Exemplo 8.6 –Resolução
L
x
A B C
RA
MA
p(x)=p
pxT =
x
+
/2xPM 2=
x
-
pL
pLR A =
/2LpM 2A = /2Lp
2
T=px
2/xpM 2=
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Exemplo 8.7
A C
x
y
x
B
x
L
RA RC
PL/2RPL/2;R cA ==
R A
/2xppLx/2M 2B −=
MB
MB
TB
TB
p(x)=p
p(x)=p
p(x)=p
pxpL/2T B −=
Considere a viga simplesmente apoiada, sujeita a uma carga uniformemente 
distribuída, representada na figura e desenhe os diagramas de esforços 
transversos e momentos flectores.
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Exemplo 8.7 –Resolução
2/pLRR CA ==
L
A
x
B
y
C x
Momentos Flectores pL/2
pL/2
Esforços Transversos
/8Lp 2
px2/pL)x(T −=
2/xp2/pLX)x(M 2−=
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Exemplo 8. 8
y
x
x
p(x)=px/L
A B C
p(x)=px/L
pL/2R A =
/6LpM 2A −=
RA R A
MA
MA MB
TB
TB
MB
/2LxpT 2B =
/6LxpM 3B −=
Considere a viga encastrada sujeita a uma carga linearmente distribuída, 
representada na figura 2.19 e desenhe os diagramas de esforços transversos e 
momentos flectores.
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Exemplo 8.8 –Resolução
y
x
x
p(x)=px/L
A B C
Esforços Transversos
pL/2
RAMA
pL/2R A =
/6LpM 2A −=
/2LxpT(x) 2=
Momentos Flectores
-
/6Lxp)x(M 3−=
/6Lp 2
( ) LxpxLpxT 2/2// 2−=×−=
LxpxxLpxM 6/3/2)2/()/( 3−=××−=
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Exemplo 8. 9
px
L
Considere a viga simplesmente apoiada sujeita a uma carga 
linearmente distribuída, representada na figura 10.21 e 
desenhe os diagramas de esforços transversos e momentos 
flectores.
x
y
x
L
A B C
RA=2PL/6
RC=PL/6
3
6 2
6 2 3
6 6
B
B
PL px xT
L
PLx px x xM
L
PLx px
L
= −
= − =
= −
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Equações de Equilíbrio
Forças e Momentos 
x dx M+dMM
T
pdx
M
T
M+dM
T+dT
T+dT
dx
y
x
p(x)
0)( =+−+ pdxTdTT
p
dx
dT −=
0)()()( 2
1 =+++−+ dxpdxMdMMdxdTT
T
dx
dM =
p
xd
Md −=
2
2
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Viga Simplesmente Apoiada 
sujeita a uma carga pontual
P
a b
L
dx
xy
dx
P
)2/( xxM Δ− )2/( xxM Δ+
)2/( xxT Δ−
)2/( xxT Δ+
 Esforços Transversos
+
LPb /
Momentos Flectores
+
0/ =dxdTsalto para T=P
0)(/ =−= xpdxdT
LPbTdxdM // ==
LPbxM /= LxLPaM /)( −=
LPaTdxdM // −==
T
Pa/L
M
x
x
∫+
−=+=
=⇒<<
×+==
=⇒<<
x
a
dxxTaMxMaTxT
xpLxa
xR AMxMTxT
xpax
)()()();()(
0)(
)0()();0()(
0)(0
LPaRLPbR BA /;/ ==
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Viga Simplesmente 
Apoiada 
sujeita a carga distribuída
L
xy
∫−=
−=
=
x
dxxTMxM
pxTxT
pxp
0
)()0()(
)0()(
)(
2/;2/ pLRpLR BA ==
 Esforços Transversos
+
Momentos Flectores
+
M
x
x
T
2/pL
2/pL
pdxdT −=/
0/ >dxdM 0/ <dxdM
0/ =dxdM
8/2Lp
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Viga S. A. Parcial/ carregada 
com Carga Uniformemente Dist.
6.0m 4.0m
6kN/m
A B
kNRkNR CA 8.10;2.25 ==
Esforços Transversos
Reacções de Apoio
T
6/ −=dxdT
25.2
10.8
+
0/ =dxdT2.256)( +−= xxT
8.10)( −=xT
Momentos Flectores
+
x
x
M 0/ =dxdM
xxMxM 2.253)0()( 2 +−=
1088.10)( −−= xxM
C
x
y
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Viga Simplesmente Apoiada
com Tramo em Consola
4.0m
A
10kN/m
2.0m
Esforços Transversos
B C
20kN
-
+
RA RC
kNRkNR CA 50;10 ==
Momentos Flectores
xxT 1010)( −=
T
M
x x
xxxM 2510)( −=
xxM 2040)( −=
20)( =xT
x
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40
Problemas Propostos
1. Determine as Reacções de Apoio e Trace os Diagramas de 
Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas 
figuras. 
10kN/m 20kN.m
2.5m 2.5m
a)
b)
1m 1m 1m 1.5m
20kN
20kN.m 10kN/m
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Problemas Propostos
Diagrama de Esforços 
Transversos
25kN
-
25kN Diagrama de Momentos Flectores
20kN.m
-11,3kN.m
-73,8kN.m
a)
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42
Problemas Propostos
b)
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43
Problemas Propostos
b)
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44
Problemas Propostos
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45
Problemas Propostos
2. Determine as Reacções de Apoio e Trace os Diagramas de 
Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas 
figuras.
a)
30kN 20kN/m
1m 4m
b)
20kN.m
30kN.m
50kN
1m 3m 1m
20kN.m
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46
Problemas Propostos
3. Determine as Reacções de Apoio e Trace os Diagramas de 
Esforços e Momentos Flectores para as vigas representadas nas 
figuras.
b)
a)
40kN15kN/m
1,5m 2m 1,5m
2m 1,5m 2,5m
20kN/m15kN/m