Homework 1 Cacyo Mecânica dos Sólidos I Jakson

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CACYO MATTOS NUNES
Turma: A
No. Cartão: 275836
HOMEWORK 1
	Em todos os cálculos e análises deste homework, utilizarei as seguintes convenções para Tensor de Inércia e Cubo de Tensões, com os sentidos positivos das grandezas indicados:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
O Tensor de Inércia para o ponto A vai ficar 
	6
	1
	- 3
	1
	4
	2
	- 3
	2
	-10
	
	O que implica um Cubo de Tensões conforme o abaixo:
E o do ponto B vai ficar =
	12
	1
	- 3
	1
	6
	2
	- 3
	2
	-15
	
O que implica o seguinte Cubo:
2) Cálculo dos autovalores no ponto A:
0 = det 
	6 - 
	1
	- 3
	1
	4 - 
	2
	- 3
	2
	-10- 
	Um polinômio de terceiro grau, para o qual o recurso computacional Wolfram Alpha encontrou as raízes
			
	
	Que são, portanto, as tensões principais em A.
	Cálculo dos autovalores para B:
0 = det 	
	12 - 
	1
	- 3
	1
	6 - 
	2
	- 3
	2
	-15- 
Um polinômio de terceiro grau, para o qual o recurso computacional Wolfram Alpha encontrou as raízes
			
	Que são as três tensões principais no ponto B.
3) Dentre os dois pontos fornecidos, o que teve as maiores tensões principais foi B. Suas máximas tensões normais são as principais e já foram fornecidas no exercício anterior, e as máximas cisalhantes podem ser obtidas do Círculo de Mohr:
	As máximas tensões cisalhates são as metades das distâncias entre as máximas normais, de forma que
	
= 13.9795		= 10.8212		= 3.1583
4) A força de superfície t que atua em B pode ser obtida através da equação de equilíbrio externo
	Sendo o Tensor de Inércia em B, e n = <1,0,0>, tal que
t = <12,1,-3>
	Para efeitos de ilustração, e para fugir do uso de formas convencionais, resolvi supôr que o corpo é um prisma estrelado de seis pontas. Lembrando sempre que a forma verdadeira do corpo não foi dada, e de todo modo, pouco importa para a resolução destes problemas.
5) A força de corpo b que atua em A pode ser obtida através da equação de equilíbrio interno
	Sendo o Tensor de Inércia em A, tal que
b = <-3,-2,5>
6) A Tensão Volumétrica em A será dada por um Tensor da forma , sendo I a Matriz Identidade e k a média dos três valores na diagonal de A.
= 
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
Se 	então 	logo 
 
	6
	1
	- 3
	1
	4
	2
	- 3
	2
	-10
	O ponto B vai seguir a mesma lógica:
= 
	1
	0
	0
	0
	1
	0
	0
	0
	1
	11
	1
	- 3
	1
	5
	2
	- 3
	2
	-16
7) O Cubo de Tensões Volumétrico em A vai ficar 
	E o Cubo de Tensões Desviador em A vai ficar
	
Já o Cubo de Tensões Volumétrico em B vai ficar
E o Cubo de Tensões Desviador em B vai ficar