Homework 6 Cacyo Mecânica dos Sólidos I Jakson

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CACYO MATTOS NUNES
Turma: A
No. Cartão: 275836
HOMEWORK 6
	Sejam as hipóteses da Teoria Estrutural de Barras:
Hipótese Geométrica: o corpo em questão é praticamente unidimensional, tal que uma dimensão sua é muito maior que qualquer uma das outras;
Hipótese Material: o material do qual o corpo é feito é isotrópico, possui uma região elástica linear dentro de seu gráfico tensão vs deformação, e estamos dentro dessa região;
Hipótese de Estado de Tensão: todas as forças aplicadas no corpo, sejam elas de corpo ou de superfície, estão direcionadas ao longo de sua maior dimensão - e, desta forma, todas as suas tensões internas estarão também orientadas ao longo dessa dimensão;
Hipótese Cinemática: se uma tensão for aplicada ao corpo, a mesma deformação será observada para todos os pontos pertencentes a uma secção perpendicular à maior dimensão do corpo.
	A equação diferencial governante do equilíbrio da barra é
	E isso pode ser demonstrado de duas formas diferentes:
Através da equação de equilíbrio interno:
	A Hipótese de Estado de Tensões nos dá que 
	
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	De forma que
	E a Hipótese Material nos dá que
	Logo,
	Porém,
	Então,
Através do equilíbrio de forças sobre um elemento infinitesimal da barra:
	Sendo F e F’ as forças normais internas, bx a força de corpo e dx o comprimento deste elemento infinitesimal da barra. Este elemento possui uma seção transversal de área A, talq ue seu volume é V = Adx. Pois bem, F e F’ até podem assumir valores reais neste caso, mas bx é infinitesimal, dado que atua sobre uma porção infinitesimal do volume do corpo; isso significa que haverá uma diferença infinitesimal entre F e F’, tal que
	A equação de equilíbrio de forças na direção x vai ficar
	A Hipótese Material nos dá que
	Então,
	Porém,
	Logo,
	Agora que estas hipóteses já foram enunciadas e que esta relação já está provada, é hora de aplicá-las na resolução do problema dado.
	O Diagrama de Corpo Livre vai ficar
	
E a equação de equilíbrio de forças no eixo x vai ficar
	Porém,
	O que equivale a uma tensão
	Cortando-se o corpo em uma altura x, teremos o seguinte diagrama de corpo livre:
	O que supoe a seguinte equação de equilíbrio de forças no eixo x:
	Sendo o sinal negativo devido a tratar-se de uma força interna numa situação de compressão. Isso nos dará a seguinte função de tensão:
	O que, por sua vez, nos dá a seguinte função de deformação:
	Por fim,
 
	Sendo C uma constante arbitrária que teremos de determinar. A condição de contorno que temos é a de que o ponto de contato do corpo com o chão não vai sair do lugar, de forma que
 
	O que nos dá C = 1.112 , ou seja,
Finalmente, a força de corpo será dada por