Homework 8 Cacyo Mecânica dos Sólidos I Jakson

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
CACYO MATTOS NUNES
Turma: A
No. Cartão: 275836
HOMEWORK 1
Seja a porção infinitesimal de viga mostrada abaixo:
	O equilíbrio de forças no eixo y nos dá
	E o equilíbrio de momentos, com relação ao ponto médio do intervalo, nos dá
	O termo duplamente infinitesimal será tão pequeno que poderá ser desconsiderado:
	Sejam as Hipóteses da Teoria Estrutural de Vigas de Euler-Bernoulli:
O comprimento da viga é muito maior que todas as suas outras dimensões;
O material do qual a viga é feita é isotrópico, seu diagrama tensão-deformação possui uma zona elástica linear, e nos encontramos dentro dessa zona;
O coeficiente de Poisson do material é desprezível;
Planos perpendiculares à linha média da viga permanecem planos e perpendiculares à ela após a deformação;
A viga é simétrica com relação ao plano horizontal que contém sua linha média;
O esforço interno cisalhante é desprezível.
	Eis abaixo uma representação esquemática da viga deformada conforme essa teoria:
	Sendo em preto a viga, em vermelho a linha média, em azul um plano transversal, em verde o ponto central desse plano e em laranja um outro ponto qualquer pertencente a esse plano. O sistema de coordenadas aqui utilizado tem origem na posição inicial do ponto verde, eixo x paralelo à viga e eixos y e z consequentemente perpendiculares a ela.O ângulo entre a antiga e a nova posição do plano é , e é muito pequeno, tal que a distância v que o ponto central do plano percorreu, por ser o maior cateto de um triângulo retângulo, será muito próxima da hipotenusa desse triângulo; o cateto menor é dx, a distância que o ponto laranja percorreu em x. Sendo v por si só um pequeno deslocamento, ele pode também ser chamado de dv. Pois bem, , e , tal que o vetor deslocamento do ponto laranja será
	O que nos dará o seguinte tensor de deformações infinitesimais:
	yv’’
	v’
	0
	v’
	0
	0
	0
	0
	0
	Mas como as hipóteses da teoria nos mandam desprezar efeitos cisalhantes:
	yv’’
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	E logo o tensor de tensões será
	Eyv’’
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	Pois bem, , e se fizermos um corte transversal na viga, o vetor normal a esse corte será i, tal que t = <Eyv’’,0,0>. O momento nesse corte poderá ser dado por
	A integral de -yz na área será o negativo do produto de inércia yz dessa seção, o que é zero para uma figura simétrica conforme exigem as hipóteses da teoria. Já a integral de y² na área retornará o momento de inércia zz, tal que
	Porém,
	Sendo o sinal negativo devido ao sistema de coordenadas adotado. E relembrando que
	Desta forma,
	Agora, consideremos uma porção infinitesimal de viga carregada conforme essa equação que acabamos de deduzir:
	O fato de os momentos dos dois lados serem diferentes obriga as tensões nos dois lados a serem diferentes, desta forma obrigando as forças dos dois lados a serem diferentes, desta forma criando a obrigação da existência de uma força cisalhante F3 para equilibrar o sistema; desta forma, sempre que houver variação de momento fletor ao longo da viga, haverá tensão cisalhante.
	Por fim, seja uma viga carregada conforme o que prega a teoria:
	
O diagrama de corpo livre vai ficar
	
E as equações de equilíbrio serão
	O que nos dá V=18kN e M=15kNm. Segundo a equação que deduzimos, e considerando que a viga tenha uma seção quadrada de lado 10cm, as tensões normais nos pontos A, B e C poderão ser dadas por
	O que pode ser representado por 
	
	Ou por
	Agora, se considerarmos que esses pontos se localizam em uma seção x tal que 0<x<2m, então os esforços cisalhantes nesses pontos poderão ser dados por
	Tal que
540 GPa
	O que pode ser representado por
	Ou por