GRELHAS - Exercícios resolvidos

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Exercícios resolvidos (Lista 4) 
 
1) Traçar para a grelha isostática dada abaixo os diagramas de esforço cortante, momento fletor e 
momento torsor. A seguir, calcular o deslocamento vertical do nó 1, considerando tanto o efeito do 
momento fletor quanto o efeito do momento torsor. Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão e 
torção, sendo EI=104kN/m2 e GIt=2EI. 
 
2 kN 4
1 kN/m
2 kN
2
1
3
8
76
5
4 kN.m
 
2 m
2 m
1 m1 m
5
8
76
1
342
 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN 4
1 kN/m
2 kN
2
1
3
8
76
5
4 kN.m
V5
V3V2
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kN2V0V42242:0V
kN4V02224224V:0M
kN2V022142V4:0M
22
5532
3325
=⇒=+++−−−=Σ
=⇒=−−−=Σ
=⇒=−−+=Σ
−
−
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
+
+
+
++
-
-
4 kN
2 m
0.0
2 kN
2 kN
2 kN
2 kN
2 kN
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
-
2 kN.m
-
-
-
+
+
+
4 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
6 kN.m
 
 
Diagrama de momento torsor: 
 
4 kN.m
-
-
-
+
4 kN.m
6 kN.m4 kN.m
6 kN.m
0.0
0.0
0.0
 
 
 
Deslocamento do nó 1: 
 
Carga e reações virtuais: 
 
1 kN
0.01/2 kN
1/2 kN
 
 
Diagrama de momento fletor virtual: 
 
2 kN.m
+
1/2 kN.m
2 kN.m
1/2 kN.m
+
-
-
0.0
0.0
0.0
 
 
Diagrama de momento torsor virtual: 
 
2 kN.m
-
1/2 kN.m
2 kN.m
1/2 kN.m
0.0
0.00.0
0.0
0.0
-
 
 
 
 
 
Combinação de diagramas de momentos fletores: 
 
-
+
3.0 kN.m
1.0 kN.m
 ( )( )
EI3
1624*
EI
2
*
3
1
=−−= 
 
-
+
3.0 kN.m
3.0 kN.m
 ( )
EI
1
2
14*
EI
1
*
2
1
=





−−= 
 
-
+
+
-
+
8.5 kN.m
1.0 kN.m
0.5 kN.m
3.0 kN.m
8.5 kN.m
3.0 kN.m
+
=
 
( )
EI3
2
2
14*
EI
1
*
3
1
=





= 
 
-
2 kN.m
4 kN.m =4 kN.m 6 kN.m+
4 kN.m 2 kN.m
+
+ +
 
( )( ) ( )( )
EI3
16
EI
1622*
EI
4
*
3
124*
EI
4
*
2
1
+=+= 
 
somando: 





=





++++= 17
3
34
EI
116
3
16
3
21
3
16
*
EI
1
 
 
 
 
 
Combinação de momentos torsores: 
 
-
-
4 kN.m
2 kN.m
 ( )( )
EI
4
GI
824*
GI
1
tt
==−−= 
 
-
-
1/2 kN.m
6 kN.m
( )
EI2
3
GI
3
2
16*
GI
1
tt
==





−−= 
 
somando: 




 +=
2
34
EI
1
; logo, o deslocamento do nó 1 será: 
 
m10*83.33
2
3417
3
34
EI
1 4
1
−
=





+++=δ
 
 
2) Traçar para a grelha isostática os diagramas de momento fletor (DM), esforço cortante (DQ) e 
momento torsor (DT), destacando os valores extremos. Perde-se também mostrar o equilíbrio dos 
momentos fletores e torsores nos nós da grelha. 
 
2 kN
2 kN
2 kN/m
2 kN
7
6
5
4
3
2
1
 
1 m
1 m
1 m
4 m
1 6
75
43
2
 
 
 
 
 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN
2 kN
2 kN/m
2 kN
7
6
5
4
3
2
1
V2 = 5.5 kN
V7 = 5 kN
V4 = 3.5 kN
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kN5.5V0V5.352822:0V
kN5.3V015182V22:0M
kN5V042284V1212:0M
22
4421
7742
=⇒=+++−−−−=Σ
=⇒=+−+−=Σ
=⇒=−−++=Σ
−
−
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
-
-
-
+
+
+
+
2 kN
2 kN
3 kN
2 kN
1.5 kN
5 kN
3.5 kN
2.5 m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
-
-
-
+
-
+
+
2 kN.m
2.25 kN.m1.5 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
3.5 kN.m
2 kN.m
 
 
Diagrama de momento torsor: 
 
+
-
+
2 kN.m
2 kN.m
2 kN.m 0.0
0.0
0.0
 
 
Equilíbrio no nós: 
 
2
1.5
2
4
3.5
2
2
2
Nó 5
Nó 2, 4 e 7
 
 
 
 
 
 
3) Traçar para a grelha dada abaixo os diagramas de momento fletor (DM), esforço cortante (DQ) e 
momento fletor (DT), destacando os valores extremos. Pede-se também mostrar o equilíbrio dos 
momentos fletores e torsores nos nós da grelha. 
 
4 kN
4 kN
2 kN/m
4 kN
7
65
4
3
2
1
 
2 m
1 m
2 m
4 m
1
6
7
5
43
2
 
 
Cálculo das reações: 
 
4 kN
4 kN
2 kN/m
4 kN
7
65
4
3
2
1
V6 = 6 kN
V4 = 9 kN
V2 = 5 kN
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kN5V0V964844:0V
kN9V04V26442844:0M
kN6V04V28441414:0M
22
4421
6642
=⇒=+++−−−−=Σ
=⇒=−−++=Σ
=⇒=+−−+=Σ
−
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
+
+
+
-
-
-
4 kN
2 kN
5 kN
4 kN6 kN
1 kN
4 kN
1 m
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
-
+
-
+
-
+
-
4 kN.m
8 kN.m
1 kN.m
8 kN.m
10 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
 
 
Diagrama de momento torsor: 
 
- 8 kN.m
-
+
4 kN.m
4 kN.m
0.0
0.0
0.0
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio dos nós: 
 
4 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
10 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
8 kN.m
 
 
4) Traçar para o pórtico isostático dado abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e momento fletor 
(DM) mostrando todos os valores necessários ao entendimento dos resultados. A seguir, usando o 
Princípio dos Trabalhos Virtuais Complementar (PTVC), calcular o deslocamento vertical do nó 2 (δ2). 
Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI = 104 kN/m2. 
 
2 kN
2 kN/m
3 kN/m
2 m
2 m
2 m
6 m
1 7
6
54
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
 
2 kN
2 kN/m
3 kN/m
1 7
6
54
3
2
V1 = 11 kN
V7 = 9 kN
H7 = 6 kNH1 = 2 kN
M7 = 12 kN.m
 
 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )eM
2
1H0M2H:0M
d54MV6H2
0M6V2H3182214:0M
kN2H0142H:0M
c66MV60M6V2221828:0M
b8HH0HH8:0H
a20VV0VV218:0V
7777inf6
777
777sup3
11inf3
77771
7171
7171
=⇒=+−=Σ
=++−⇒
=++−−+−=Σ
=⇒=+−=Σ
=+⇒=+++−−=Σ
=+⇒=−−=Σ
=+⇒=++−−=Σ
 
 
Substituindo-se (e) em (d), (c), (a) e (b); chega-se a: 
 
m.kN12M
kN6H
kN9V
kN2H
kN11V
7
7
7
1
1
=
=
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
-
+
-
+
-
+
2 kN
6 kN
9 kN
6 kN
9 kN
2 kN
3 m
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
-
+
--
+
-
+
-
1 kN.m
12 kN.m12 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
12 kN.m
1.5 kN.m
12 kN.m
 
 
Deslocamento vertical no nó 2: A estrutura com a carga virtual e as reações verticais é: 
 
1 kN
1/3 kN4/3 kN
 
-
-
12
2
+
2
13.5
-
logo, o diagrama de momento fletor virtual será: 
 
-
0.0 0.0
2 kN.m
 
 
Fazendo as combinações dos diagramas de momentos, tem-se: 
 
 
 
( )( ) 44 10*3
1624*
10
2
*
3
1
−
=−−= 
 
 
( )( ) 44 10*72212*10
6
*
2
1
−
=−−= 
 
 
 
( )( ) 44 10*5425.13*10
6
*
3
1
−
−=−= 
 
 
logo: 
δ2 = 23.3*10-4 m 
 
 
 
 
 
 
-
-
2
4
5) Traçar para o pórtico isostático dado abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e momento fletor 
(DM), mostrando todos os valores necessários ao entendimento dos resultados. a seguir, usando o 
Princípio dos Trabahos virtuais Complementar, calcular o deslocamento vertical do nó 2 (δv2). Todas as 
barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI = 10-4 kN/m2.2 kN
2 kN
3 kN/m
1 m
1 m
1 m
4 m
1 6
5
432
 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN
2 kN
3 kN/m
1 6
5
432
V1 = 9 kN M6 = 2 kN.m
V6 = 5 kN
H6 = 2 kN
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) kN9V021252124V:0M
MH0M1H:0M
kN2H0H2:0H
14VV0VV212:0V
11sup5
6666inf5
66
6161
=⇒=+++−=Σ
=⇒=+−=Σ
=⇒=−=Σ
=+⇒=++−−=Σ
 
 
 
 
logo: 
 
m.kN2M
kN2H
kN5V
kN9V
6
6
6
1
=
=
=
=
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
-
+
+
-
-
2 kN
5 kN
7 kN
2 kN
2 kN
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
+
-
2 kN.m
-
-
-
-
+
2 kN.m
2 kN.m
6 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
2.17 kN.m
 
 
 
 
 
 
 
 
-
-
1 kN.m
2 kN.m
6 kN.m
Deslocamento vertical do nó 2: 
 
A carga virtual, as reações virtuais e o diagrama de momentos fletores virtuais são: 
 
-
1 kN.m
1/4 kN3/4 kN
1 kN
 
 
Combinando os diagramas reais e virtuais, tem-se: 
 
 
( ) ( )[ ] 44 10*3
286221*
10
4
*
6
1
−
=−+−−= 
 
 
 
 
 
 
( )( ) 44 10*861*10
4
*
3
1
−
−=+−= 
 
 
( )( ) 44 10*3
212*
10
1
*
3
1
−
=−−= 
 
 
 
 
-
-
1 kN.m
2 kN.m
-
+
6 kN.m
1 kN.m
logo: 
 
δ2 = 2*10-4 m 
 
6) Calcular para o pórtico isostático dado abaixo, usando o PTVC e considerando apenas o efeito do 
momento fletor, a rotação da tangente à elástica no apoio 10. Todas as barras têm a mesma rigidez a 
flexão, sendo EI=104kN/m2. 
 
 
2 m 2 m 2 m
2 m
2 m
2 m
2 kN.m
3 kN.m
2 kN/m
5
4
6
9
732
101
8
 
 
Cálculo das reações: 
 
Dividindo as estrutura da forma: 
 
2 kN.m
3 kN.m
2 kN/m
5
4
6
973
2
101
8
V6 = 9.25
H6 = 0.5
V10 = 3.5
H10 = 1.5
V1 = 8.5
H1 = 1.5
H6 = 0.5
V6 = 9.25
V2 = 2.75
H2 = 0.5
V2 = 2.75
H2 = 0.5
 
 
 
 
Parte superior: 
 
( )
( ) ( ) ( ) kN25.9V04V2
2
1312:0M
kN
2
1H04H2:0M
0HH:0H
012VV:0V
66dir4
22esq4
62
62
=⇒=+−−=Σ
=⇒=+−=Σ
=−=Σ
=−+=Σ
 
 
logo: 
 
kN25.9V
kN5.0H
kN75.2V
kN5.0H
6
6
2
2
=
=
=
=
 
 
Parte inferior: 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN5.8V025.14V675.2225.925.03:0M
kN5.1H02H3:0M
0HH:0H
025.975.2VV:0V
11esq9
1010dir9
101
101
=⇒=+−++−−=Σ
=⇒=−=Σ
=−=Σ
=−−+=Σ
 
 
logo: 
 
kN5.3V
kN5.1H
kN5.8V
kN5.1H
10
10
1
1
=
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
2.0 kN.m
5.5 kN.m
3 kN.m
1 kN.m
4 kN.m
5 kN.m
1.8 kN.m
1 kN.m
4 kN.m
3 kN.m
8.5 kN.m
3 kN.m
3 kN.m
-
-
- -
-
-
-
+
-
-
++-
 
 
5 kN.m
1 kN.m
4 kN.m
3 kN.m 4 kN.m
1 kN.m
5.5 kN.m
3 kN.m
8.5 kN.m
 
 
Rotação no apoio 10: 
 
O momento virtual e as reações virtuais são: 
 
1 kN.m
5
6
9
732
101
8
0.5
0.25
0.5
0.25
 
 
 
O diagrama de momento virtual é: 
 
+
++
1 kN.m
1 kN.m
0.5 kN.m
1 kN.m0.0
0.0
0.0
0.0 0.0
 
 
combinação dos diagramas de momentos: 
 
 
 
 
( )( )
EI
213*
EI
2
*
3
1
−=+−= 
 
 
 
( )( )
EI
113*
EI
2
*
6
1
=−−= 
 
-
+
+
-
+
8.5 kN.m
1.0 kN.m
0.5 kN.m
3.0 kN.m
8.5 kN.m
3.0 kN.m
+
=
 
 
( ) ( )( ) 0113*
EI
2
*
6
1
2
125.8*
EI
2
*
6
1
=++




 +−= 
 
-
1.0 kN.m
3.0 kN.m
-
-
+
3.0 kN.m
1.0 kN.m
-
-
+4.0 kN.m
3.0 kN.m
0.5 kN.m
4.0 kN.m
3.0 kN.m
+
-
+=
 
 
( ) ( )
EI3
4
EI2
1
2
14*
EI
2
*
3
13
2
1
*
EI
2
*
6
1
+−=




+−





= 
 
logo, a rotação no nó 10 será: 
 
rad10*67.1
EI3
4
EI2
1
EI
1 5
10
−
−=+−−=φ
 
 
7) Classificar a estrutura dada abaixo, mostrando claramente as restrições e, usando a numeração dos 
nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores 
necessários ao completo entendimento dos resultados. 
 
 
2 kN/m
4 kN.m
3 kN
2 m
2 m
2 m 2 m4 m2 m
1
9876
543
2
10
 
 
ISO
R6
LG6



 
 
 
 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN/m
4 kN.m
3 kN
1
9876
543
2
10
H1
V1 V10
H10
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0H2V04H2V144:0M
9HV04H4V312:0M
3HH0HH3:0H
16VV0VV16:0V
1111esq7
10101010dir7
101101
101101
=+−⇒=+−+−=Σ
=−⇒=−+−=Σ
−=−⇒=−+=Σ
=+⇒=++−=Σ
 
 
Resolvendo as equações, chega-se a: 
 
kN33.4H
kN33.13V
kN33.1H
kN67.2V
10
10
1
1
=
=
=
=
 
 
Diagrama de esforço normal: 
 
0.0
0.0
0.0
-4.33 kN
-2.67 kN
-2.67 kN
-3 kN
-13.3 kN
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
-
+ +
+
+
-
-
3 kN
4 kN
4.33 kN
9.33 kN
2.67 kN
4.33 kN
0.0
1.33 kN
0.0
1.34 m
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
+
-
-
-
+
-
+
-
7.33 kN.m6 kN.m
6 kN.m
2.67 kN.m
4 kN.m
21.32 kN.m
0.44 kN.m
1.34 kN.m
1.34 kN.m
4 kN.m
17.32 kN.m
-
 
 
7.33 kN.m
6.0 kN.m
2.67 kN.m
4.0 kN.m
 
 
 
 
 
 
8) Classificar a estrutura dada abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de 
normal, cortante e momento f;etor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento 
dos resultados. 
 
2 kN/m
2 kN
1 kN
2 m
2 m
2 m 2 m3 m2 m
1
9
76
543
2
11
108
1 m
2 kN.m
 
 
Cálculo das reações: 
 
2 kN/m
2 kN
1 kN
1
9
76
543
2
11
108
2 kN.m
V1 = 12 kN
H11 = 1 kN
V11 = 7 kN
 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) kN7V0412415V5.210:0M
kN1T0224T:0M
12VV0VV102:0V
kN1H0H1:0H
1111dir6
111111inf6
111111
1111
=⇒=−−−+−=Σ
=⇒=−=Σ
=+⇒=++−−=Σ
=⇒=+−=Σ
−−
 
 
 
 
 
 
logo: 
 
kN1T
kN7V
kN1H
kN5V
111
11
11
1
=
=
=
=
−
 
 
Reações internas na treliça do pórtico: 
 
9
7
108
2 kN.m
H8 = 1 kN
V7 = 1 kN
V8 = 1 kN
H7 = 1 kN
 
 
( )
( ) ( ) kN1VkN1V0212V:0M
kN1HkN1H02H2:0M
0VV:0H
0HH:0H
877sup9
8778
87
87
=∴=⇒=+−=Σ
=∴=⇒=+−=Σ
=−=Σ
=+−=Σ
 
logo: 
 
2 kN.m
2 kN
1 kN
1 kN
1 kN
1 kN1 kN
1 kN1 kN
7 kN
1 kN1 kN
5 kN
1 kN
1 kN
-1 kN
1 kN
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço normal: 
 
0.0
-1 kN
-5 kN
0.0-1 kN
-1.41 kN
0.0
-8 kN-3 kN
-2 kN
+1 kN
-7 kN
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
+
2 kN
+
-
-
-
-
-
+
+
1 kN
3 kN
7 kN
3 kN
2 kN
2 kN
1 kN
1 kN
0.0
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
4 kN.m
-
-
-
+
-
+
-
+
+
2 kN.m
10 kN.m
10 kN.m
2.25 kN
4 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
2 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
 
 
9) Para a estrutura dada abaixo pede-se identificar as barras que estão submetidas apenas a esforço 
normal e as barras que podem ter, além do normal, cortante e momento fletor. A seguir, traçar os 
diagramas de momento fletor e esforço cortante, explicitando todos os valores necessários à completa 
compreensão dos mesmos, e mostrar a distribuição do esforço normal nas barras da estrutura. 
Determinar também o número de graus de liberdade e o número de restrições. 
 
1 m 2 m 2 m
2 m
2 m
1 m 2 m
4 kN/m9
87654
32
1
10
 
 
ISO
R27
LG27



 
 
Cálculo das reações: 
 
4 kN/m
9
87654
32
1
10
H1
V1 H10
V10
M10
V9
H9
V9
H9
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0VV32:0V
0HH:0H
64HV302H6V432:0M
16HV02H2V216:0M
91
91
99991
9999dir6
=++−=Σ
=−=Σ
=+⇒=++−=Σ
=−⇒=−+−=Σ
 
 
resolvendo resulta em: 
 
kN20V
kN4H
kN12V
kN4H
9
9
1
1
=
=
=
=
 
Na barra 9 – 10: 
 
( ) 0M24:0M
0H4:0H
0V20:0V
109
10
10
=+−=Σ
=−=Σ
=+−=Σ
 
 
logo: 
m.kN8M
kN4H
kN20V
10
10
10
=
=
=
 
 
Cálculo das barras submetidas a força axial: 
 
9
87654
32
1 10
12 kN
4 kN 4 kN
20 kN
8 kN.m
-4 kN
-8.9 kN
0
-4 kN 0
-8.9 kN
0 -4.0 kN 0
-20.0 kN
-20.0 kn
-4.0 kN
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante: 
 
-
+
+
+
+
-
4 kN
8 kN
4 kN
4 kN
4 kN
12 kN
 
 
Diagrama de momento fletor: 
 
2 kN.m
8 kN.m
8 kN.m
16 kN.m
2 kN.m
8 kN.m
+
+
-
-
-
+