Treliças Prof. Gavassoni

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14/08/2017
1
Prof. Elvidio GAVASSONI
2 Treliças
Construção de 1867 – Salt Lake City, EUA
en.wikipedia.org
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
14/08/2017
2
Planta do telhado!
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Pilares de arenito
9 arcos 
treliçados
en.wikipedia.org
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
14/08/2017
3
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
46 m de 
vão livre
18 m de 
altura
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
13 semi- arcos 
treliçados nas 
estremidades
en.wikipedia.org
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
14/08/2017
4
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
Fissuras amarradas com 
couro cru
en.wikipedia.org
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
en.wikipedia.org
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
14/08/2017
5
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Paranaguá, Paraná
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Grandes Edifícios
www.skyscrapercity.com
14/08/2017
6
Treliças Isostáticas
a) Introdução
b) Classificação
c) Método dos nós - Cremona
d) Método das seções – Ritter
e) Treliças compostas
f) Tipologia
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
Prof. Gavassoni
2.a Introdução
Definição:
Estrutura composta unicamente por barras retas e 
articuladas nos nós e carregadas unicamente nestes.
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
Sussekind, 1980
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
14/08/2017
7
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Lotnisko Chopina w Warszawie
Único esforço atuante – normal 
Sussekind, 1980
Análise:
Reações de apoio – VA, VB e HA
FORÇAS NORMAIS N1, N2, E N3
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Constantes em todo comprimento 
da barra
14/08/2017
8
Uso – Vencer grandes vãos nos lugares das vigas de 
modo mais econômico
www.howickltd.com
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Ligações – Sem atrito no parafuso – rótula perfeita
Difícil garantir o atrito nulo 
e raramente usada
Sussekind, 1980
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
14/08/2017
9
Ligações – Sem atrito no parafuso – rótula perfeita
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
Surgem pequenas restrições ao 
movimento – e por isso 
momentos fletores internos–
mas são desprezíveis
Condições:
1 - Eixos das barras no mesmo plano
2 – Eixos se encontrem num único ponto
Experimentalmente estrutura se comporta fundamentalmente à esforços axiais
Sussekind, 1980
Prof. Gavassoni
2.a Introdução
2.a Introdução
14/08/2017
10
Cargas nas rótulas – Restritivo?
www.asce.org
Sussekind, 1980
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Como caminham as 
cargas nesta ponte?
Tabuleiro
Longarinas
Transversinas
Treliças
Pilares
Fundações
Telhado -> Terças-> 
treliças-> pilares-> 
fundações
hardwickpostandbeam.com 
Sussekind, 1980
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Como caminham as 
cargas nesta cobertura?
Telhado
Terças
Treliças
Pilares
Fundações
14/08/2017
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E o peso próprio?
www.yokogawa-bridge.co.jp
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
A flexão pode ser desprezada – peças esbeltas.
Compressão
(-)
Tração
(+)
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Membros de 2 Forças:
Tração ou Compressão
Equilíbrio requer: Forças de mesmo módulo, colineares 
(mesma direção – eixo da barra) e opostas (sentido);
Não importa a orientação da barra!
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Aço – Resiste à tração e à compressão
www.dreamstime.com
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
www.vermonttimberworks.com
2.a Introdução
Madeira – Resiste à tração e à compressão
Prof. Gavassoni
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Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
www.brookfield.com 
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Concreto – Resiste à compressão
Não muito Usado
Rio Sul, RJ
2.a Introdução
Prof. Gavassoni
Concreto – Resiste à compressão
Puente sobre el arroy Tacuarembó Chico, Tacuarembó, Uruguay
14/08/2017
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Quanto à Lei de formação:
1. Simples
2. Compostas
3. Complexas
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
Simples
Sussekind, 1980
Treliça biapoiada 
formada por triângulo 
é isostática.
Se a partir dessa configuração 
básica acrescenta-se duas 
barras e um nó – permanece 
isostática – duas incógnitas e 
duas equações (equilíbrio no nó)
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Barras 4 e 5 – Nó D
Barras 6 e 7 – Nó E
Barras 8 e 9 – Nó F
Barras 10 e 11 – Nó G
Se forma a partir de 
um triângulo base
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15
Simples
Sussekind, 1980
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
Simples
Os apoios não precisam estar no triângulo original – pois fornecem a 
restrição necessária
Sussekind, 1980
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
14/08/2017
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Compostas: Treliças Isostáticas obtidas pela ligação de 
treliças simples.
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
a) 3 barras não paralelas nem
concorrentes no mesmo
ponto
b) Um nó e uma barra não
concorrente com este nó
Dois tipos de Ligação:
Complexas:
Treliças isostáticas nem simples nem compostas.
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
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Estaticidade:
– Hipoestática
– Isostática
– Hiperestática
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
Número de incógnitas - N
Reações de apoio - r
Número de Equações - Neq
Número de barras - b
N = r+b
2 equações por nó
Número de nós - n
Neq= 2n
Neq> N
Neq= N
Neq< N
3 reações de apoio
HA
vA
vB
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
N= r+b
r=?
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18
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
b =?
15 barras
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
HA
vA
vB
2.b Classificação
Prof. Gavassoni
N= r+b
N= 3+15=18 
incógnitas
14/08/2017
19
21
3 4
5
6
7
8
9
Isostática
2.b Classificação
n =?
Prof. Gavassoni
Neq= 2n
n = 9
Neq = 18
HA
vA vB vc
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
4 reações de apoio
N= r+b
r=?
14/08/2017
20
2
1
3
4
5
6 7
8
9
10 11
12
13 14
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
b =?
14 barras
2
1
3
4
5
6 7
8
9
10 11
12
13 14
HA
vA vB vc
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
N= r+b
N= 4+14=18 
incógnitas
14/08/2017
21
2
1 3
4 5
6 7
8
n =?
Neq= 2n
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Hiperestática
n = 8
Neq = 16
As barras das treliças, são consideradas, na maior parte 
das aplicações, barras rígidas, ou seja, a mudança de 
comprimento – deformação – é desprezível
AB é indeslocável - vida 
biapoiada, logo o ponto C é 
indeslocável e a treliça é uma 
cadeia rígida.
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Sussekind, 1980
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22
4 barras
3 reações de apoio
4 nós
8 equações
C e D não estão ligados a 
dois pontos indeslocáveis
e portanto não é uma 
cadeia rigída, e sim uma 
cadeia deformável -
ruína
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Quanto à estaticidade como se classifica esta treliça?
Hipoestática
Falta algo?
Barra que falta.5
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
14/08/2017
23
1
23 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
HA
vA vB
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
3 reações de apoio
15 barras
n = 9 
(A,B,C,D,E,F,G,H,I) 
18 equações
Isostática
Trecho rígido
D é rígido, pois está 
ligado a A e B, que 
são nós rígidos.
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
A,B, D – Nós 
rígidos 
(indeslocáveis)
14/08/2017
24
A,B, D– Nós 
rígidos 
(indeslocáveis)
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Trechos rígido
Prof. Gavassoni – Mecânica das Estruturas II, Curitiba, PR
C é indeslocável, pois 
está ligado a dois nós 
indeslocáveis = A, D
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Trechos rígidos
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E e F não são 
indeslocáveis
E’ F’
Internamente hipoestática
Externamente Isostática
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Sobra algo?
2.b Classificação
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Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Altura variável
Ponte ferroviária, Varsóvia, PO
Banzo 
superior retomontantes
Banzo inferior – arco treliçado
Diagonais 
Carga móvel - trem
Longarinas - vigas
Transversinas – pontos de apoio
Reações de apoio
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Donaukanal, Wien
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Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Altura constante
Leoben, AT
Banzos retos
Diagonais 
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Forma geral – Treliças 
3D
Biblioteca da universidade de Varsóvia
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Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Forma geral – Treliças 3D
Biblioteca da universidade de Varsóvia
Prof. Gavassoni
2.b Classificação
Forma geral – Treliças 3D
Metro de Varsóvia, PO
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Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Utilizado para treliças simples:
Rompe as barras nos nós – isolando-os:
P1
N1
N2
C
P3
N1
N3
A
VA
HA
P2
N3
N2
B
VB
=
Para cada nó, aplica-se o equilíbrio de forças na horizontal e 
vertical:
Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Exemplo Nó C
P1
N1
N2
C
00 211  xxxx NNPF
00 211  yyyy NNPF
2 equações e 2 incógnitas.
A chave do processo é escolher uma sequência de pontos 
nodais para escrever as equações de Equilíbrio e permitir sua 
solução.
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Membros de força zero
• A analise da treliça pelo método dos nós pode 
ser simplificada se forem identificados os 
membros que não suportam carregamento.
• Em geral, podem ser identificados através da 
observação (inspeção) de cada um dos nós
2.c Método dos Nós
2.c Método dos Nós
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2.c Método dos Nós
“Se apenas dois membros formam um nó da 
treliça e nenhuma carga externa ou reação de 
apoio é aplicado no nó, os dois membros só 
podem ser membros de força zero.”
2.c Método dos Nós
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2.c Método dos Nós
“Se três membros formam um nó da treliça onde 
dois dos membros são colineares, o terceiro 
membro é um membro de força zero, já que 
nenhuma força externa ou reação de apoio é 
aplicada no nó.”
Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Por que barras de esforço nulo são utilizadas:
1 - Aumentar a estabilidade da estrutura 
2 - Prover suporte quando as cargas mudarem
3 - Questões estéticas
Mudança do 
carregamento
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Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
N2
C
Caso a) 4 barras situadas em 2 direções no mesmo nó – Sem 
carga externa.
N3N4 Se a resultante é 
zero, o polígono de 
forças é fechado
N1
N2 N3
N4
Paralelograma, logo 
as forças nas barras 
opostas são iguais 
em módulo 31 NN

 42 NN


Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
N2
C
Caso B) 3 barras, 2 situadas em uma única direção e uma 
carga externa na direção da terceira barra.
N3P Se a resultante é 
zero, o polígono de 
forças é fechado
N1
N2 N3
P
Paralelograma, logo 
as forças são iguais 
em módulo
31 NN

 PN

2
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Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
N2
C
Caso C) 3 barras, 2 situadas em uma única direção e sem 
carga externa.
N3 Se a resultante é 
zero, o polígono de 
forças é fechado
N1
N2 N3A barra 2 tem esforço nulo
31 NN

 02 N

N1
N3
Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
C
Caso D) 2 barras situadas em uma única direção e sem carga 
externa.
N2 Se a resultante é 
zero, o polígono de 
forças é fechado
As barra tem esforços 
iguais em módulo
21 NN


N1
N2
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Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
C
Caso E) 2 barras situadas em direções diferentes e sem carga 
externa.
N2
Se a resultante é 
zero, o polígono de 
forças é fechado
O polígono não fecha, 
a não ser que ambas 
as forças sejam nulas
021  NN

N1
N2
Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
N2
C
Caso F) 4 barras (2 numa única direção, 2 com mesma 
inclinação) sem carga externa
N3 Como as únicas 
forças em y, são as 
componentes de N2 e 
N4
N4
42 NN


a
a
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Prof. Gavassoni
2.c Método dos Nós
Forças por inspeção:
N1
N2
C
Caso G) 3 barras (2 com mesma inclinação) sem carga externa
Como as únicas 
forças em x, são as 
componentes de N2 e 
N3
N3
32 NN


a
a
• Permite a obtenção de esforços isolados sem a 
necessidade de calcular toda a treliça;
• Pode ser usado no cálculo de treliças simples e 
treliças compostas;
• Se a treliça está em equilíbrio, então qualquer 
seguimento dela também está em equilíbrio;
• Por meio de uma seção qualquer dividimos a 
estrutura em duas partes e substituímos as 
barras cortadas pelos esforços normais 
atuantes nas mesmas.
2.d Método das Seções
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37
2.d Método das Seções
Prof. Gavassoni
2.d Método das Seções
Observações:
a) Escolher seções de Ritter que interceptem 3 barras (número 
de equações da estática no plano), não paralelas nem 
concorrentes no mesmo ponto;
b) As seções de Ritter podem ter uma forma qualquer, não 
precisam ser planas;
c) As seções de Ritter precisam ser contínuas e interceptar toda 
a treliça.
d) Procurar soluções diretas para o cálculo de esforços
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Prof. Gavassoni
2.d Método das Seções
Onde seccionar o DCL?
Sussekind, 1980
Se quisermos N7, N13 e N3?
Seccionamos a treliça nessas barras.
Prof. Gavassoni
2.d Método das Seções
Substitui as barras rompidas pelos esforços internos:
Sussekind, 1980
Aplica-se equilíbrio a seção.
Também chamado Método de Ritter
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39
Prof. Gavassoni
2.d Método das Seções
Tanto a parte esquerda como a direita podem ser usadas.
Sussekind, 1980
Também chamado Método de Ritter
Prof. Gavassoni
2.e Treliças Compostas
Fazer com que a análise recaia sobre uma treliça simples
Exercícios 2.7-2.8
Romper as 3 barras Romper o nó e a barra
14/08/2017
40
Prof. Gavassoni
2.e Treliças Compostas
Seções de Ritter diversas
Uma barra é seccionada duas vezes
N1
N2 N3
Prof. Gavassoni
2.e Treliças Compostas
Seções de Ritter diversas
Duas barras são seccionadas duas vezes
N1
N’2
N3
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41
2.e Treliças Compostas
Decomposição em treliças simples
Obtemos a treliça principal, substituindo as treliças secundárias por 
barras e a resolvemos
Resolve-se a treliça secundária fazendo agir sobre ela os respectivos 
esforços das barras que as subtituiram
Prof. Gavassoni
Resumo
O que são treliças?
Esforços atuantes nas treliças?
Classificação quanto a formação?
O que são treliças simples?
O que são treliças compostas?
O que são treliças complexas?
Classificação quanto a estaticidade?
Condições para ser isostática?
Como se podem ligar as treliças compostas isostáticas?
14/08/2017
42
Prof. Gavassoni
Resumo
Método dos Nós
Forças por inspeção
Treliças compostas
Cuidados para seção de Ritter