AP2 Métodos Est I 2014 2 gabarito

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
 
Gabarito 
 
1. (2,0 pontos) De um grupo de 8 homens e 6 mulheres, deve-se formar uma comissão com 5 
pessoas. De quantas formas esta comissão pode ser feitas se: 
a) (0,5 pt) Não houver restrição? 
b) (0,5 pt) Deve ter 3 homens e 2 mulheres? 
c) (0,5 pt) Deve ter 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro, 1 primeiro-secretário e 1 
segundo secretário independente de sexo? 
d) (0,5 pt) Deve ter 2 homens, sendo 1 presidente e 1 segundo secretário e 3 mulheres sendo 1 
vice-presidente, 1 tesoureira e 1 primeira secretária? 
 
Solução: 
a) 
sem restrição, é considerado um grupo de 14 pessoas das quais serão sorteadas 5. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e , então: 
 
 
 
 
 
b) 
Devemos escolher os homens e as mulheres separadamente e para cada homem escolhido há a 
quantidade escolhida entre as mulheres. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
Neste caso, a ordem da seleção é importante, mas o sexo não. Assim, trata-se de um arranjo dentre 
todas as pessoas do grupo. 
 
 
 
 
 
 
d) 
Arranjo para os homens e arranjo para as mulheres: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filmes, dentre 3 
pesquisados, seguem na tabela abaixo: 
 
 Comédia Aventura Policial Total 
Homens 20 50 10 80 
Mulheres 10 20 20 50 
Total 30 70 30 130 
 
Uma pessoa é sorteada aleatoriamente. Determine a probabilidade de: 
a) (0,5 pt) Ela ser do sexo masculino; 
b) (0,5 pt) Ela ser uma mulher que goste de filmes de aventura; 
c) (0,5 pt) Ela preferir filme policial, sabendo-se a priori que é um homem; 
d) (0,5 pt) Gostar de filme de comédia ou ser uma mulher. 
Solução: 
Sejam os seguintes eventos: 
C: a pessoa gosta de Comédia; 
A: a pessoa gosta de Aventura; 
P: a pessoa gosta de Policial; 
H: a pessoa é do sexo masculino; 
M: a pessoa é do sexo feminino. 
 
a) 
Temos um total de 80 pessoas pesquisadas do sexo masculino de um total de 130. Assim: 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
Temos uma probabilidade condicional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
Probabilidade da União: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grandes 
distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, 
enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros 
gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com 
atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da 
proporção do distribuidor 3. 
 
a) (1,0 pt) Qual o percentual de pedidos com atraso de cada distribuidor? 
b) (1,0 pt) Se um pedido chega com atraso, qual a probabilidade de ele ter sido entregue pelo 
distribuidor 2? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
1:O pedido foi entregue pelo distribuidor 1; 
2: O pedido foi entregue pelo distribuidor 2; 
3: O pedido foi entregue pelo distribuidor 3; 
A: O pedido chegou com atraso; 
N: O pedido não chegou com atraso. 
São dados do enunciado: 
 
 
 
 
 
 
a) 
Pelo Teorema da Probabilidade Total, sabemos que: 
 
Sabemos também que: 
 
 
 
 e 
 
 
 
Assim, substituindo no Teorema da Probabilidade Total, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consequentemente: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
b) 
Pelo Teorema de Bayes, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (2,5 pontos) Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos 
vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Cada vendedor recebe comissões de vendas de acordo com a quantidade vendida. Se ele vende 
até três produtos por dia, ele recebe $10,00 por produto vendido. Se ele vende mais de três 
produtos pro dia, a comissão passa a ser de $30,00 por produto de modo que se ele vende 3 
produtos, recebe $30,00 de comissão, mas se ele vende 4 produtos, recebe $ 120,00 de comissão. 
 
a) (1,5 pt) Determine a variância do número de produtos vendidos por dia por 
funcionário; 
b) (1,0 pt) Determine a comissão média diária de cada funcionário. 
 
Solução: 
a) 
Para determinar a variância é necessário obter a média: 
 
 
 
 
Também é necessário calcular . Para isso, precisamos da distribuição de . 
 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
 0 1 4 9 16 25 36 
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
b) 
A distribuição das comissões será dada por: 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
Comissão (C) 0 10 20 30 120 150 180 
Probabilidade de comissão 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Logo: 
 
 
 
 
A comissão média paga por funcionário é de $39,5. 
 
 
5. (1,5 ponto) Dois times de voleibol A e B disputam uma série de oito partidas. A probabilidade de 
o time A ganhar cada partida é de 60%. Determine a probabilidade de o time A ganhar a série. 
 
Solução: 
Para ganhar a série de 8 jogos, o time A precisa ganhar mais que o time B. Como no voleibol não há 
empates, então o time A ganha a série se vencer pelo menos 5 das 8 partidas. Assim, a probabilidade de 
ele vencer a série será a probabilidade de ele vencer 5, 6, 7 ou 8 das partidas, onde a vitória em uma 
partida independe das outras partidas. 
Logo: 
 
 
Observemos que, por conta da independência, o experimento é Binomial. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de o time A ganhar a série é de 59,41%.