Provas fisica 3

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 INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA 
 DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO 
 DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL III (FIS 123) 
 TURMA: T02 SEMESTRE: 2o /2012 
 
1a PROVA 
Gabarito 
 
1. Três partículas carregadas estão dispostas sobre um arco de circunferência 
de raio R, como mostra a figura. Os valores das cargas são e 
 . Determine: 
a. O campo elétrico (módulo, direção e sentido) no centro C do arco 
b. Qual seria a força (módulo, direção e sentido) sobre uma carga 
colocada no ponto C? 
 
Solução: 
 
a. Considere o sistema de referência mostrado na figura acima. Devido ao fato de serem positivas, 
os campos por elas produzidas são divergentes às cargas. Como é negativa, ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ converge para ela. 
Assim: 
 ⃗ 
 
 
( ⃗ ⃗⃗ ) 
 
 
(
√ 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ ) 
 ⃗ 
 
 
( ⃗ ⃗⃗ ) 
 
 
(
√ 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗ ) 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
O campo total é a soma vetorial dos três campos, isto é: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ . Assim: 
 ⃗ 
 
 
( √ ) ⃗⃗ 
 
b. A força sobre a carga será ⃗ . Logo, 
 
 
 
( √ ) ⃗⃗ 
 
2 
 
 
2. Uma casca esférica condutora de raio externo e raio interno , carregada 
com carga , tem em seu interior uma esfera isolante de raio carregada 
uniformemente com carga . 
a. Determine o campo elétrico para todas as regiões do espaço, isto é, para 
 , , e 
b. Determine a densidade superficial de carga nas superfícies interna ( ) e 
externa ( ) do condutor. Utilize a lei de Gauss para justificar este cálculo. 
 
Solução: 
Considere uma superfície gaussiana de raio concêntrica às esferas de 
carga. Aplicando a lei de Gauss, 
∮ ⃗ 
 
 
 
e usando o fato de que o problema tem simetria esférica, obtemos: 
 
 
 
 ( ) 
a) Região 
 Neste caso (veja figura) , de modo que: 
 
 
 
 
- Região 
Esta é uma região no interior do condutor que se encontra em equilíbrio eletrostático, ou seja, não 
existe corrente elétrica em seu interior. Nestas circunstâncias devemos ter 
 
- Região 
 Traçando-se uma superfície gaussiana esférica de raio , onde , tem-se que . 
Usando (1) obtemos: 
 
 
 
 
- Região 
 Traçando-se uma superfície gaussiana esférica de raio , obtemos 
 ( ) ( ) 
 
 
 
Por outro lado 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 ) (
 
 
 ) ( 
 
 
 )
 
 
Usando (1) obtemos: 
3 
 
 
 
 
 
 
b) A superfície interna do condutor tem carga ( ) e área ( ) Assim, a densidade superficial de carga 
nessa superfície é dada por: 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 
 ( ) 
A carga na superfície interna do condutor deve ser igual a ( ) , pois a carga da esfera 
interna atrai os portadores de carga negativos do condutor para suas proximidades. Como a carga total do 
condutor é a carga na superfície externa será ( ) . Podemos provar estas afirmativas 
usando a lei de Gauss: 
∮ ⃗ 
 
 
 
Considere a superfície gaussiana no interior do condutor (veja figura). Contudo, 
no interior do condutor , de modo que . Como a carga no interior 
da superfície gaussiana é ( ) , logo 
 ( ) 
o que nos leva a 
 ( ) 
 
 
 
A carga no condutor é , que é a soma das cargas distribuídas nas superfícies interna e externa, ou seja 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Logo: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
3. Duas cargas positivas, e , estão dispostas sobre o eixo , nas posições e 
respectivamente. 
a. Calcule o potencial elétrico para um ponto sobre o eixo , nas regiões e 
b. A partir do resultado anterior, determine o campo elétrico para cada uma destas regiões. 
c. Determine o(s) ponto(s) de coordenada onde o campo se anula. Para este cálculo, utilize 
exclusivamente o resultado obtido no item anterior. 
d. Suponha que uma carga seja colocada no(s) ponto(s) obtido no item anterior e que seja colocada 
em um ponto de coordenada do eixo. Determine a energia potencial U deste sistema. 
e. Demonstra-se que a força sobre pode ser obtida pela relação ⃗⃗ (
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ ). 
 Usando esta expressão e o resultado do item anterior, calcule a força sobre . 
f. Se for colocada em , o sistema entra em equilíbrio. Determine o valor de . 
 
4 
 
Solução: 
 
 
a) O potencial criado por um conjunto de N cargas puntiformes em um determinado ponto é dado por: 
 ∑
 
 
 
 
 
onde é a distância do ponto à carga . 
Assim, para um ponto na região , o potencial será: 
 ( ) 
 
 
 
 
( )
 
 ( ) 
 
 
 
 
( )
 ( ) 
 Para teremos 
 ( ) 
 
 
 
 
( )
 ( ) 
 
b) O campo elétrico é obtido a partir do potencial utilizando-se a expressão: 
 ⃗ ⃗⃗ (
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ ) 
Como estamos interessados em calcular o campo elétrico sobre o eixo , teremos: 
 ⃗ 
 
 
 
Usando a expressão (1) para a região , teremos: 
 ⃗ 
 
 
(
 
 
 
 
( )
) ⃗ (
 
 
 
 
( ) 
) ( ) 
 Usando a expressão (2) para a região , tem-se que: 
 ⃗ 
 
 
(
 
 
 
 
( )
) ⃗ (
 
 
 
 
( ) 
) ( ) 
c) Para , de acordo com (3) o campo elétrico é: 
 ⃗ (
 
 
 
 
( ) 
) 
Se ⃗ , então 
 
 
 
 
( ) 
 ( ) 
Extraindo a raiz quadrada desta última equação e lembrando que é positivo e menor que , então: 
 
o que nos leva à: 
 
 
 
 
5 
 
 - Para a região , temos 
 ⃗ (
 
 
 
 
( ) 
) 
Se ⃗ , então 
 
 
 
 
( ) 
 ( ) 
 ( ) 
Observe que , de forma que não existe solução real para a equação (5). Isto 
significa que o campo não se anula na região . 
 
d) Cálculo da energia potencial. 
 
Considere que a carga seja colocada na posição . A energia potencial do sistema será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 (
 
 
 
 
( 
 
)
 
 
( 
 
)
) 
e) A força dobre a carga é dada por: 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
[ (
 
 
 
 
( 
 
)
 
 
( 
 
)
)] 
Logo: 
 (
 
 
 
 
( 
 
)
 ) 
f) colocando a carga em , então: 
 (
 
 
 
 
( 
 
)
 ) (
 
 
 
 
( 
 
)
 ) 
Se o sistema entra em equilíbrio significa que . Logo: 
 (
 
 
 
 
 
) 
o que resulta em