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MANUAL DEL ESTUDIANTE
DE
CÁLCULO I
(CON TABLAS DE PRECÁLCULO)
Ing. Alfredo Almenares Muñiz
Octubre 2011
�
A MIS ALUMNOS:
El presente trabajo constituye un material de consulta, una guía para estudiar las asignaturas de Matemática Básica y Cálculo I, pues en él aparecen extractados los principales objetivos a estudiar por Uds., aunque el mismo no sustituye los libros de texto aprobados en los programas de esas asignaturas, a saber: Precálculo de Raymond A. Barnett y otros (5 tomos), Cálculo con Trascendentes Tempranas de James Stewart (4 tomos) y como complementario, Cálculo con Geometría Analítica de Earl W. Swokowski (3 tomos).
El Manual que pongo a su disposición consta de dos partes, una inicial que resume las principales tablas a utilizar en la asignatura de Precálculo o Matemática Básica y una segunda parte, relacionada con el cálculo de funciones reales de una variable o Cálculo I, en la que se muestran resúmenes de teoremas, fórmulas, algoritmos y ejemplos típicos de cada tema, de forma muy precisa y sintética. Mediante él pueden hacer cualquier consulta o aclaración de dudas, sin necesidad de acudir a ninguno de los 11 tomos con que cuentan sus libros de texto
Estudien por ellos y háganlo bien. No se desalienten durante las primeras lecturas, pues las Ciencias Exactas y sobre todo las Matemáticas, son de mucha lectura y mucha práctica. Al principio les será un poco densa, pero en la medida que se adentren en sus conocimientos y la comprendan, verán lo maravillosa y bella que resulta. Para ello, deben confiar en ustedes mismos y en su capacidad de asimilación y muy importante, confíen mucho en sus profesores, sin esa confianza mutua les será imposible progresar. 
He tenido alumnos con grandes dificultades iniciales y los he visto progresar paulatinamente y hoy son estudiantes aventajados, e inclusive, destacados profesionales. Para ello, una sugerencia: asimilen bien la asignatura Aprender a Aprender que se les imparte durante el Curso Introductorio, ella les muestra el camino para desarrollar su auto preparación.
AGRADECIMIENTOS:
 Agradezco la colaboración del ing. José Luis Alonso Lanza, profesor de la Cátedra de Matemática del Instituto Superior del MININT Capitán San Luis (ISMI), al primer teniente David Acuña Rivera, especialista de la Facultad de Informática Operativa del ISMI y a la teniente Yoramis Rodríguez Acosta, informática del Centro de Software del ISMI, por sus aportes en la elaboración de las figuras y gráficos contenidos en el trabajo. A la Ing. Dra. C. Sonia Fleitas Triana, Vicedecana de Investigaciones de la Facultad de Ingeniería Industrial, de la CUJAE, por su colaboración. 
 
 Ing. Alfredo Eugenio Almenares Muñiz
Autor
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A mis alumnos
A mis hijos
A Juan Raúl Delgado Rubí y Maria Gulnara Baldoquín de la Peña
A Sonia 
 A David y a Pepé
INDICE
	
	Página
	TABLAS DE PRECÁLCULO
	1
	I. GEOMETRÍA
	1
	1.1 Fórmulas geométricas
	1
	1.2 Fórmulas de distancia y punto medio
	3
	1.3 Rectas
	3
	1.4 Valor absoluto
	3
	1.5 Funciones
	4
	1.6 Ecuaciones Cónicas
	4
	II. ÁLGEBRA
	5
	2.1 Propiedades
	5
	2.2 Operaciones aritméticas
	5
	2.3 Factorización
	6
	2.4 Teorema del binomio
	6
	2.5 Exponentes y radicales
	6
	2.6 Logaritmos
	7
	III. TRIGONOMETRÍA
	8
	3.1 Trigonometría del triángulo rectángulo
	8
	3.2 Valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables y axiales
	
9
	3.3 Identidades trigonométricas
	9
	
	
	CÁLCULO DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
	
11
	I. LÍMITES
	11
	1.1 Definición formal de límite
	11
	1.2 Leyes de los límites (propiedades)
	12
	1.3 Límites laterales
	13
	1.4 Teorema de cancelación
	14
	1.5 Teorema de intercalación (emparedado)
	15
	1.6 Límites de funciones racionales
	15
	1.7 Teoremas de infinitos y funciones acotadas
	16
	1.8 Resumen de límites
	16
	II. CONTINUIDAD
	17
	III. LÍMITES DE FORMAS INDETERMINADAS
	21
	3.1 Regla de L´Hospital (forma indeterminada tipo 0/0 ó ∞/∞ )
	
21
	3.2 Límite fundamental trigonométrico
	22
	3.3 Indeterminaciones tipo 0 (± ∞ )
	22
	3.4 Potencias indeterminadas
	23
	3.5 Límite fundamental algébrico 
	25
	IV. DERIVADAS
	25
	4.1 Reglas de derivación
	25
	4.2 Derivadas laterales
	28
	4.3 Regla de la cadena para compuestas de 2 funciones
	
29
	4.4 Regla de la cadena para compuestas de 3 funciones 
	
30
	V. APLICACIÓN DE LA DERIVADA
	30
	5.1 Aproximación lineal
	30
	5.2 Diferenciales
	31
	5.3 Razón de cambio (tasas relacionadas)
	32
	5.4 Optimización (extremos condicionados)
	34
	VI. GRAFICACIÓN DE FUNCIONES. ALGORITMO
	35
	VII. INTEGRAL
	37
	7.1 Integral definida
	37
	7.2 Integral indefinida
	39
	VIII. CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS
	40
	IX. CÁLCULO DEL VOLUMEN EN SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
	
42
	X. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
	
43
	10.1 Regla de sustitución (utilizando la regla de la cadena de la derivación)
	
43
	10.2 Sustitución del integrando y del diferencial
	45
	10.3 Sustitución de radicales varios
	45
	10.4 Sustitución trigonométrica
	46
	XI. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
	47
	XII. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 
	48
	12.1 Función racional impropia
	48
	12.2 Función racional propia. Donde el denominador se puede descomponer en factores DESIGUALES
	
49
	12.2 Función racional propia. Donde el denominador se puede descomponer en factores IGUALES
	
49
	12.3 Función racional propia. Donde el denominador se puede descomponer en un factor CUADRÁTICO con raíces complejas
	
50
	XIII. INTEGRALES IMPROPIAS
	51
	13.1 Integrales impropias TIPO 1
	51
	13.2 Integrales impropias TIPO 2
	53
	
	
	
	
�
�
TABLAS DE PRECÁLCULO
(Tomados de Tablas dadas en: Stewart, James, Cálculo con Trascendentes Tempranas, Editorial Félix Varela 2006. Barnett, Raymond A. y otros, Precálculo, Editorial Félix Varela 2003)
I. GEOMETRÍA
 1.1 FÓRMULAS GEOMÉTRICAS:
 Fórmulas para área A, perímetro P, volumen V
 CUADRADO: 
 
 A = a 2
 P = 4 a
 
 RECTÁNGULO: 
 A = a b 
 P = 2 a + 2 b
 
 TRIÁNGULO:
 
 A = ½ b h
 P = a + b + c
 
 
 CASO PARTICULAR: TRIÁNGULO EQUILÁTERO (3 lados iguales: a) 
 
 
 
 CÍRCULO: A = π r 2 
 P = 2 π r
 P = 2 π 
 
 ESFERA:
 
 
 
 CILINDRO:CONO:
 
 
 
 PRISMA (PARALELEPÍPEDO) RECTÁNGULAR:
 
 
 
FÓRMULAS DE DISTANCIA Y PUNTO MEDIO
Sean los puntos P1( x1 , y1 ) y P2( x2 , y2 )
 
 
RECTAS
Sean los puntos P1( x1 , y1 ) y P2( x2 , y2 ), entonces:
La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 es:
 
 Ecuación de la recta forma general:
 
 Ecuación de la recta forma pendiente – intercepto:
 
 
 Ecuación de la recta forma pendiente – punto:
 
 
 Rectas paralelas y rectas perpendiculares:
 Sean r1 y r2 dos rectas con respectivas pendientes m1 y m2 
 Entonces:
 
VALOR ABSOLUTO
Definición:
 
 Propiedades:
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES
 
 
 
 
 
 
 
ECUACIONES CÓNICAS
CIRCUNFERENCIA:
 
 
 PARÁBOLA CON EJE VERTICAL:
 
 
 PARÁBOLA CON EJE HORIZONTAL:
 
 
ELIPSE:
Sea a > b > 0 
Sea: centro (h, k), semieje mayor: a, semieje menor: b
Entonces:
 
 
 HIPÉRBOLA:
Sea: centro (h, k), semieje transverso: a, semieje conjugado: b
Entonces:
 
 
II. ÁLGEBRA 
2.1. PROPIEDADES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.2. OPERACIONES ARITMÉTICAS
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.3. FACTORIZACIÓN
 
 
 
 FÓRMULA CUADRÁTICA: 
 
 
 Análisis del discriminante:
 Si: b 2- 4 a c > 0 => Dos raíces reales y desiguales
 Si: b 2- 4 a c = 0 => Dos raíces reales e iguales (DOBLE)
 Si: b 2- 4 a c < 0 => Dos raíces imaginarias y desiguales
 
 2.4. TEOREMA DEL BINOMIO (NEWTON)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.5. EXPONENTES Y RADICALES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.6. LOGARITMOS
 Constante e = 2.7182818285…
 
 
 PROPIEDADES:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. TRIGONOMETRÍA
 3.1. TRIGONOMETRÍA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
 
 
 
 
 
 
3.2. VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Y AXIALES 
 
	GRADOS
	RADIANES
	Sen θ
	Cos θ
	Tan θ
	0º
	
	0
	1
	0
	30º
	
	
	
	
	45º
	
	
	
	1
	60º
	
	
	
	
	90º
	
	1
	0
	S/Sol.
	180º
	
	0
	- 1
	0
	270º
	
	- 1
	0
	S/Sol.
	360º
	
	0
	1
	0
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES RECÍPROCAS:
 
 IDENTIDADES DEL COCIENTE: 
 
 IDENTIDADES PARA NEGATIVOS:
 
 
 IDENTIDADES PITAGÓRICAS:
 
 
 
 IDENTIDADES DEL ÁNGULO DUPLO:
 
 
 
 IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD:
 
 IDENTIDADES DEL ÁNGULO SUMA: 
 
 
 
 
 IDENTIDADES DE COFUNCIÓN:
 
 
 
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CÁLCULO DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
I. LÍMITES
 1.1 DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE
 (Baldoquín, 2003, p.14. Stewart, 2006, p. 112 – 113. Swokowski, 1988, p. 67 – 68)
 
 Sea a un punto de acumulación del domino de la función f(x)
 
 
 Ejemplo. Demostrar que el siguiente límite existe, utilizando la definición formal
 
 
 
 
 
 1.2 LEYES DE LOS LÍMITES
 (Stewart, 2006, p. 102 – 105. Swokowski, 1988, p. 73 – 78)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.3 LÍMITES LATERALES
 (Stewart, 2006, p.107)
 Sea x 0 є ( a , b ) 
 Sea f(x) una función definida en ( a , b ) , excepto quizás en x 0
 Sea L є R. Entonces:
 
 Ejemplos: 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 1.4 TEOREMA DE CANCELACIÓN
 (Swokowski, 1988, p. 61 – 62) 
 Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en una V*(a) (esto es: Vecindad reducida en el punto x ( a))
 Si para toda V*(a) se cumple que f(x) = g(x). Entonces:
 
 Ejemplos. Calcular:
 
 
 
�� EMBED Unknown 
 
 
 
 1.5 TEOREMA DE INTERCALACIÓN
 (Swokowski, 1988, p.79)
 Sean f(x), g(x) y h(x) funciones definidas en un intervalo abierto I, excepto quizás en x = a, tal que: 
 
 
 
 
 
 1.6 FUNCIONES RACIONALES. REGLA DE LEIBNIZ
 (Baldoquín, 2003, p. 52 – 53) 
 Sea la función racional:
 
 NOTA: El límite al infinito de funciones racionales se calcula sólo para los términos con las variables de mayor grado, en los polinomios del numerador y del denominador
 Ejemplos. Calcular:
 
 
 1.7 TEOREMA DE INFINITOS Y FUNCIONES ACOTADAS
(Postgrado impartido por el Jefe del Dpto. de Matemática General de la Facultad de Ing. Industrial de la CUJAE, Dr. C. Juan Raúl Delgado Rubí) 
 
 Entonces:
 
 1.8 RESUMEN DE LÍMITES
(El presente resumen de límites no aparece en libros de textos consultados, el mismo fue elaborado por el Jefe del Dpto. de Matemática General de la Facultad de Ing. Industrial de la CUJAE, Dr. C. Juan Raúl Delgado Rubí) 
 Sean L, M є R, límites de funciones.
 Entonces:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. CONTINUIDAD
 (Swokowski, 1988, p. 82)
 Definición: Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto a
 Diremos que f(x) es continua en a si:
 1º. Existe la función evaluada en el punto
 f(a) = L (L є R)
 2º. Existe el límite en el punto
 
 3º. El límite de la función en el punto es igual a la función evaluadaen el punto
 
 Ejemplos:
Dada la función:
 
 Diga si f(x) es continua en x = 1 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
Dada la función:
 
 Diga si f(x) es continua en x = 2 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
Determine los puntos de discontinuidad de la función:
 
 SOLUCIÓN:
 f(x) es continua, excepto quizás, en x = 0, donde se indefine el exponente
 
 
 
 
 TIPOS DE DISCONTINUIDADES (Swokowski, 1988, p. 83 – 84)
 DISCONTINUIDAD EVITABLE 
 
Una función f(x) tiene una discontinuidad evitable en un punto x = a si: 
No existe la función evaluada en el punto
 f(a) NO EXISTE
Existen los límites laterales y son iguales
 
 DISCONTINUIDAD DE SALTO 
Una función f(x) tiene una discontinuidad de salto en un punto x = a si: 
Los límites laterales son diferentes
 
DISCONTINUIDAD INFINITA 
Una función f(x) tiene una discontinuidad infinita en un punto x = a si uno o los dos límites laterales son infinitos (+ ∞ ó - ∞)
 III. LÍMITES DE FORMAS INDETERMINADAS. REGLA DE L´HOSPITAL
(Este tema aparece en los textos, como es lógico, después de estudiar las Derivadas. Nosotros lo incluimos dentro de este capítulo para que los estudiantes puedan acceder de forma consecutiva, a todo lo referente a los límites)
 3.1 REGLA DE L´HOSPITAL (INDETERMINACIONES TIPO: 0/0 ó ∞/∞)
 (Stewart, 2006, p. 306 – 307) 
 Sea el intervalo abierto I que contiene al punto a 
 Sea f(x) y g(x) funciones derivables en I, excepto quizás en a
 
 Entonces:
 
 
 
 
 
 
 
 3.2 LÍMITE FUNDAMENTAL TRIGONOMÉTRICO
 (Baldoquín, 2003, p. 133 – 134)
 
 Ejemplos. Calcular:
 
 
 
 3.3 INDETERMINACIONES TIPO: 0(∞) ó 0(- ∞)
 (Stewart, 2006, p. 309) 
 
 Entonces: 
 
 
 ó
 
 Por lo tanto, podemos aplicar la Regla de L´Hospital
 Ejemplo. Calcular:
 
 SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 3.4 POTENCIAS INDETERMINADAS
 
 (Swokowski, 1988, p. 504)
 ALGORITMO:
 
 Entonces:
 
 
 
 
 
 
 Ejemplos. Calcular:
 
 
 SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 INDETERMINADO
 
 
 
 
 
 3.5 LÍMITE FUNDAMENTAL ALGÉBRICO
(Baldoquín, 2003, p. 139 – 140) 
 
 
 Ejemplo. Calcular:
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
IV. DERIVADAS
 (Stewart, 1988, p. 157)
 
 Definición: Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto que contiene al punto a
 La derivada de f(x) en el punto a se denota por:
 
 NOTA: La segunda expresión proviene de la primera, cuando se hace 
 x = a +h 
 4.1 REGLAS DE DERIVACIÓN
 (Stewart, 2006, p. 180 – 194; p. 208 – 211)
 Sean f(x) y g(x) funciones derivables en x
 Sea c, n є R 
 Entonces:
 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 
 
 
 
 
 
 
 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
 
 
 
 
 
 
 
 DERIVADAS DE POLINOMIOS
 
 
 
 
 
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
 
 
 
OTRAS REGLAS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4.2 DERIVADAS LATERALES 
 (Baldoquín, 2003, p. 87 – 89) 
 Una función f(x) es derivable en un punto a perteneciente a un intervalo abierto I si sus derivadas laterales evaluadas en ese punto, son iguales. O sea si:
 
 Ejemplos. Calcular:
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
Determine si la función:
 
 Es derivable en x = 0
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 4.3 REGLA DE LA CADENA PARA COMPUESTAS DE 2 FUNCIONES
 (Stewart, 2006, p. 215 – 219. Baldoquín, 2003, p. 99 – 101)
 Sean f y g funciones derivables 
 Entonces, la derivada de la compuesta de ambas funciones se expresa mediante el producto:
 
 
 
 Ejemplos. Derive:
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 4.4 REGLA DE LA CADENA PARA COMPUESTAS DE 3 FUNCIONES
 (Stewart, 2006, p. 220. Baldoquín, 2003, p. 99 – 101)
 Sean f, g y k funciones derivables 
 Entonces, la derivada de la compuesta de esas funciones se expresa mediante el producto:
 
 
 Ejemplo. Derive:
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 V. APLICACIONES DE LA DERIVADA. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
 5.1 APROXIMACIÓN LINEAL
 (Stewart, 2006, p. 259 – 262) 
 Una curva y = f(x) toma valores aproximados a los de su recta tangente en una vecindad del punto de tangencia. Es por ello que, en ocasiones, se utiliza la recta tangente a un punto para estimar valores de dicha curva. Este proceso se denomina linealización o aproximación lineal y su fórmula para una curva f(x) en un punto a es: 
 
 
 Ejemplo:
 Encuentre una expresión lineal que aproxime a la siguiente función, en una vecindad del punto x = 0 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 
 5.2 DIFERENCIALES
 (Stewart, 2006, p. 262 – 264. Swokowski, 1988, p. 123 – 126)
 
 
 Donde: Δ x – Es un incremento (pequeño) de la variable independiente
Palabras claves: 
Estimar aproximadamente
Error en la medición
Cuando existe un incremento ( o decrecimiento)pequeño de la variable independiente y nos solicitan la variación de la función
Ejemplo:
Un globo esférico de 10 cm. de radio se desinfla hasta tener un radio de 9.8 cm. Se desea hallar aproximadamente cuánto ha disminuido su volumen.
SOLUCIÓN:
 NOTA: 1º. Una variación pequeña del radio del globo y nos piden la variación de la función
 2º. Palabra clave: hallar aproximadamente
 IMPLICA: Diferenciales
 
 
 
 5.3 RAZÓN DE CAMBIO (TASAS RELACIONADAS)
 (Stewart, 2006, p. 253 – 256) 
Fórmula: Árbol de dependencia funcional:
 
 Donde: x es la variable independiente (radio, lado, base, altura, etc.)
 f(x) es la función (perímetro, volumen, área, etc.)
 Regla de la Cadena:
 
Palabras claves: 
razón de cambio
tasa de cambio
rapidez
razón
la variable crece (+) ó disminuye (-) a razón de… (unidades/unidad tiempo)
 
 Ejemplos:
 a) En un pastizal se inicia un fuego, el cual se expande formando círculos concéntricos cuyos radios crecen a razón de 3 m/seg. Calcule el área del círculo de fuego cuando su radio mide 2 m. 
 SOLUCIÓN:
 Palabras claves:
radios crecen a razón…
metros por segundo (m/seg.)
 IMPLICA: Razón de Cambio
 
 
 
 
 
 
Una partícula se mueve sobre la curva f(x) = ln │5 – x 2 │
Al llegar al punto (2, 0) la ordenada disminuye a razón de 3 cm/seg. ¿Cuál es la rapidez de variación de la abscisa del punto en ese instante?
SOLUCIÓN:
 Ordenada: y Abscisa: x
 Palabras claves:
rapidez
disminuye a razón
centímetros por segundo (cm/seg.)
variación
 IMPLICA: Razón de Cambio
 
 
 
 
 
 5.4 OPTIMIZACIÓN (EXTREMOS CONDICIONADOS)
 (Stewart, 2006, p. 329 – 334. Swokowski, 1988, p. 194 – 201)
 ALGORITMO:
Identificar las variables
Preguntar al problema: ¿Qué debo hacer?
Respuesta: Función objetivo 1
Preguntar al problema: ¿Bajo qué condiciones?
Respuesta: Ecuación de Enlace
Despejar una variable en la Ecuación de Enlace 2
Sustituir 2 en 1, obteniendo f(xi). Donde: xi es la variable despejada (independiente)
Hacer f ´(xi) = 0 
Hallar el valor de xi 3
Sustituir 3 en 2, obteniendo el valor de la otra variable
Dar la respuesta
 Palabras claves: 
Máxima
Mínima
Punto más cercano a…
Punto más lejano a…
 
 Ejemplo:
Un granjero tiene 2 400 metros de cerca y desea delimitar un campo rectangular. ¿Qué dimensiones debe tener el campo para que su área sea máxima?
SOLUCIÓN:
 Palabra clave:
Área máxima
 IMPLICA: Optimización
Largo del campo: x 
Ancho del campo: y 
 ¿Qué debo hacer?
 Maximizar el área:
 Función Objetivo: A = x y 1
 ¿Bajo qué condiciones?
 Perímetro: P = 2 400 metros
 Ecuación de Enlace: 2 x + 2 y = 2 400
 y = 1 200 – x 2
 sustituyendo 2 en 1:
 A = x (1 200 – x)
 A = 1 200 x – x 2 
 A´(x) = 0 
 (1 200 x – x 2)´ = 0 
 1 200 – 2 x = 0 => x = 600 metros 
 Sustituyendo en 2:
 y = 1 200 – 600 => y = 600 metros 
 Respuesta: El campo de área máxima debe ser un cuadrado de 600 metros lado
 VI. GRAFICACIÓN DE FUNCIONES
 (Stewart, 2006, p. 314 – 321)
 ALGORITMO
Hallar el dominio de f(x)
Calcular las asíntotas verticales en aquellos puntos donde se indefine el dominio. Verificar si el límite (o uno o los dos límites laterales) tienden a más o menos infinito en dichos puntos. O sea:
 
 y/o
 
Calcular el intercepto con el eje y, haciendo f(0)
Calcular los ceros o raíces de f(x) (interceptos con el eje x), haciendo f(x) = 0 
Hacer un ESQUEMA DE SIGNOS de f(x). Colocando en una recta numérica los ceros del numerador y los puntos donde se indefine el denominador (haciéndolo cero). Hallar el signo de la función f(x)
Comenzar a trazar el gráfico de f(x), debajo del esquema signos anterior
Calcular las asíntotas no verticales:
 
 
 
Hallar la primera derivada: f ´(x)
Hacer cero la primera derivada: f ´(x) = 0
Hallar los puntos críticos. Los ceros del numerador de f ´(x) y los puntos donde la derivada se indefine (haciendo cero el denominador)
Hallar el signo de f ´(x)
Hacer el ESQUEMA DE SIGNOS de f ´(x) con los puntos críticos anteriores 
Extremos mínimos: los puntos donde el signo va de MENOS a MÁS
Extremos máximos: los puntos donde el signo va de MÁS a MENOS
Hallar el valor de los extremos evaluando los puntos en f(x), o sea, hallar el valor de la ordenada (y)
NOTA: Considerar que no son extremos aquellos puntos que no pertenecen al dominio de f(x)
 Determinar la MONOTONIA de la función en el ESQUEMA DE SIGNOS:
Si f ´(x) es POSITIVA → CRECIENTE
Si f ´(x) es NEGATIVA → DECRECIENTE
Hallar la segunda derivada: f ´´(x)
 Hacer cero la segunda derivada: f ´´(x) = 0 y determinar el ESQUEMA DE SIGNOS de f ´´(x) de forma similar al de f ´(x)
Donde f ´´(x) es POSITIVA → CÓNCAVO HACIA ARRIBA
Donde f ´´(x) es NEGATIVA → CÓNCAVO HACIA ABAJO
Hallar los PUNTOS DE INFLEXIÓN, donde hay cambios de signos de f ´´(x), o sea, donde cambia la concavidad, siempre que estos puntos pertenezcan al dominio de la función f(x)
 NOTA DEL AUTOR: En el caso de la graficación es imposible brindarles un ejemplo típico, pues cada función tiene sus particularidades (unas no tienen intercepto, otras no tienen raíces, unas tienen asíntotas verticales, otras tienen horizontales, etc.). Es por ello que, les propongo estudiarse y utilizar el presente algoritmo en la construcción de gráficos de funciones reales de una sola variable independiente, considerando los datos que les pueden suministrar en el problema o en la prueba. Con la aplicación del mismo, mis alumnos han alcanzado resultados satisfactorios
 VII. INTEGRAL
 7.1 INTEGRAL DEFINIDA
 (Stewart, 2006, p. 378 – 398)
 
 
Definición: Si f(x) es una función continua definida para un intervalo cerrado a ≤ x ≤ b y hacemos una partición del mismo en n subintervalos de igual ancho, donde elegimos los puntos muestra x i de ese intervalo
Entonces, la integral definida de f(x) desde a hasta b, es:
 PROPIEDADES:
 
 
 
 
 
 
 
 
 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
 
 
 
 Ejemplos. Calcular:
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 7.2 INTEGRAL INDEFINIDA
 (Stewart, 2006, p. 401 – 402)
 SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTALDEL CÁLCULO
 Si F(x) es una antiderivada de f(x) en un cierto intervalo I, entonces todas las demás primitivas son de la forma F(x) + C, donde C es un número Real. O sea:
 TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 	
VIII. CÁLCULO DE ÁREAS ENTRE CURVAS
 (Stewart, 2006, p. 433 – 438)
Definición: Sean f(x) y g(x) funciones continuas en un intervalo cerrado a ≤ x ≤ b .
 Sea f(x) ≤ g(x) en a ≤ x ≤ b .
 Entonces:
 
 
 NOTA: El área es la integral de la curva que está por encima menos la integral de la curva que está por debajo, ambas definidas en el intervalo dado
 Ejemplo: Calcule el área de la región dada por:
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ADITIVIDAD DE LAS ÁREAS
 En el cálculo del área entre funciones, muchas veces es necesario efectuar una subdivisión de la misma y aplicar la propiedad de aditividad de las áreas en un intervalo de integración 
 Ejemplo:
 
 
 
 
IX. CÁLCULO DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
 (Swokowski, 1988, p. 289-295)
 Definición: Se denomina sólido de revolución al cuerpo geométrico (sólido) generado por un área de un plano, al girar sobre una recta o eje de revolución. El VOLUMEN de ese sólido se calcula mediante las ecuaciones siguientes:
 
 
 
 
 
 
X. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
 10.1 REGLA DE SUSTITUCIÓN (UTILIZANDO LA REGLA DE LA CADENA DE LA DERVACIÓN)
 (Stewart, 2006, p. 410 – 413)
 Definición: Si u = g(x) es una función diferenciable cuya imagen es un intervalo I
 Si f es continua en I 
 Entonces:
 
Ejemplos:
 SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
10.2 SUSTITUCIÓN DEL INTEGRANDO Y DEL DIFERENCIAL
 (Stewart, 2006, p. 497)
NOTA: En estos tipos de integrales no puede utilizarse la Regla de la Cadena de la derivada, y es necesario sustituir toda la integral (integrando y diferencial)
Ejemplo. Calcular:
SOLUCIÓN:
 
 Sustituyendo: 
 
 
10.3 SUSTITUCIÓN DE RADICALES VARIOS
 (Baldoquín, 2003, p. 245) 
 NOTA: Cuando en el integrando existen radicales con diferentes índices, se halla el m.c.m. de dichos índices y se realiza una sustitución con el mismo, de forma similar al acápite anterior 
 Ejemplo. Calcular:
 
 SOLUCIÓN:
 Como los índices de los radicales son 2 y 3, el m.c.m. es 6 
 
 
 
 Sustituyendo el integrando y el diferencial, tenemos:
 
 Como en el integrando tenemos una fracción impropia, realizamos una División Larga y la descomponemos en un polinomio más una fracción propia
 
 Lo cual es muy sencillo de integrar, recordando siempre que la respuesta debe darse en términos de “x” 
 
 
 
10.4 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
 Cuando en el integrando aparece una expresión similar a las dadas en la columna número 1 de la siguiente tabla, se realiza la sustitución indicada y luego, se utiliza la identidad correspondiente, para así eliminar el radical e integrar de forma más sencilla.
 Tabla de sustituciones trigonométricas
	Expresión
	Sustitución
	Identidad
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
 NOTA: Los ejemplos de este tipo de sustitución pueden estudiarse en los libros de textos recomendados, especialmente el de James Stewart (sección 7.3, pág. 483 – 488)
XI. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
 (Stewart, 2006, p. 469 – 474) 
 El método de integración por partes se origina de la Regla del Producto para la derivación, que al elaborarla tenemos:
 
 Donde: u se deriva y se obtiene du
 dv se integra y se obtiene v 
 
 ¿Cómo escogemos u y dv?
 Si la función integrando es el producto de dos funciones, donde una de ellas es x n y la otra: sen x, cos x ó sec2 x
 
 Si la función integrando es el producto de dos funciones, donde una de ellas es x n y la otra: ln x, arctan x ó arcsen x
 
 Recordar que x 0 = 1
 	
 Ejemplos. Calcular:
 
	 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
XII. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
 (Stewart, 2006, p. 490 – 497)
 12.1 FUNCIÓN RACIONAL IMPROPIA
 Cuando en el integrando tenemos una fracción impropia, realizamos una División Larga y la descomponemos en un polinomio más una fracción propia
 Ejemplo. Calcular:
 
 SOLUCIÓN:
 Al efectuar la División Larga, tenemos:
 
 
 
 12.2 FUNCIÓN RACIONAL PROPIA. Donde el denominador se puede descomponer en factores DESIGUALES
Cuando el integrando está formado por una fracción propia irreducible y el denominador contiene factores lineales diferentes, entonces: 
 
 Ejemplo. Calcular:
 
 SOLUCIÓN:Hallemos A y B. De I:
 
 
 
 
 
 
 Sustituyendo 3 en 1: A = 7
 Sustituyendo en II:
 
12.3 FUNCIÓN RACIONAL PROPIA. Donde el denominador se puede descomponer en factores IGUALES
Cuando el integrando está formado por una fracción propia irreducible y el denominador es un producto de factores lineales iguales, entonces:
 
 
 Ejemplo. Calcular:
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 Hallemos A y B. De I:
 
 
 
 
 
 Sustituyendo en II:
 
12.4 FUNCIÓN RACIONAL PROPIA. Donde el denominador se puede descomponer en un factor CUADRÁTICO con raíces complejas
 Cuando el integrando está formado por una fracción propia irreducible y el denominador contiene un factor cuadrático que no se repite, entonces, la expresión p(x)/q(x) tendrá un término de la forma: 
 
 
 Ejemplo. Calcular: 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 
 
 Hallemos A, B y C. De I:
 
 
 
 
 
 
 Sustituyendo en II:
 
 
 XIII. INTEGRALES IMPROPIAS
 (Stewart, 2006, p. 523 – 531) 
 13.1. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO 1
 
 
 
 Definición:
 
 
 
 
 
 NOTA: En ambos casos cuando el límite exista (como un número finito), se dice que es CONVERGENTE
 
 Definición:
 
 
NOTAS: - Aquí se escoge c arbitrariamente
 - Para que la integral sea convergente, ambos sumandos deben serlo 
 Ejemplo. Calcular:
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 CONVERGENTE
 
 13.2. INTEGRALES IMPROPIAS TIPO 2 
 
 Definición:
 
 
 
 Definición:
 
 
 
 Definición: 
 
 
 Ejemplo. Calcular:
 
 
 SOLUCIÓN:
 
 
 
 
 
 
 
 Ambos sumandos son DIVERGENTES
�
BIBLIOGRAFÍA
Apóstol, Tom M. Calculus, vol. I. Editorial Ciencia y Técnica, Instituto del Libro, La Habana, 1970
Baldoquín de la Peña, Maria Gulnara. Manual del profesor, Matemática I. Editorial Félix Varela, La Habana, 2003
Claro Duyos, Maria S. y otros. Matemática superior. Editorial Pueblo y Educación, Instituto del Libro, La Habana, 1989
Hodgman, Charles D. Mathematical tables from Handbook of chemistry and physics. Edición Revolucionaria, La Habana, 1972
Piskunov, N. Cálculo diferencial e integral. Editorial MIR, Moscú, 1983
Rodríguez Macías, Raúl. Cálculo diferencial e integral. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1990
Rodríguez Macías, Raúl. Tablas Matemáticas. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, 1986
Stewart, James. Cálculo con trascendentes tempranas. Editorial Félix Varela, La Habana, 2006
Swokowski, Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Iberoamérica S.A. de C. V. California, 1988
�
ACLARACIÓN: 
Este documento es una versión preliminar del material deseado, pues se elaboró con cierta premura, para que los alumnos del Curso 2011/2012 puedan utilizarlo en su formación. Por favor, agradecemos cualquier sugerencia o crítica al mismo. Inmediatamente que se elabore la versión definitiva, comenzaremos la preparación de un trabajo parecido en la asignatura Cálculo II, para funciones de varias variables.
 
 
 
 
 
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a
a
a
b
b 
a
c
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b
y
x
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X
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a
Xi
b
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Hipotenusa
Cateto Adyacente
Cateto Opuesto
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