2 prova de EDO

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IFG
Matema´tica Data: 27/06/2014
Professor:Ms.: Alfredo de Oliveira Assis.
2a Prova - Engenharia - EDO.
1. Calcule as Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
• x dy
dx
− y = 2x2y e y(1) = 0
•
dy
dx
=
2x+ 5y
2x− y
• y′ =
−y
3 + 3x− y
• y′′ − 5y′ + 6y = 3x2cos(x)
• y′′ + 2y′ + y = x2
• y′′ + 2y′ + 2y = e2x
• y′′ + y′ − y = sen(x) + 2x
2. Fac¸a um resumo do principais me´todos aprendidos.(Explique por que quando mostramos que uma EDO e´ exata no´s
procuramos um certo tipo de soluc¸a˜o.)
3. Prove que a condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que f(x)dx+ g(x)h(x)dy = 0 seja exata e´ que g(x) = c constante.
.
4. Determine a equac¸a˜o mais geral N(x, y) tal que (ysen(x) + x2y − xsec(y))dx + N(x, y)dy = 0 seja exata. Depois
Resolva.
5. Utilizando das Leis de Kirchhoff e Ohms encontre a equac¸a˜o da corrente e carga. Sabendo que uma fem e´ dada por
E = 12e−2x Volts, a indutaˆncia e´ dada por 1
2
Henry e a resisteˆncia e´ dada por 10 ohms. Mostre tambe´m que ao
passar muito tempo a corrente do circuito e´ praticamente governada pela lei da Ohm (E = iR)
6. Dada uma corda presa em dois postes fixos, onde sua densidade e´ constante. Determine a equac¸a˜o da curva descrita
pela corda. (Dica: Adote na equac¸a˜o diferencial y”=u’ para facilitar a resoluc¸a˜o)
7. Um reator converte uraˆnio 238 em iso´topo de plutoˆnio 239. Apo´s 15 anos, foi detectado que 0, 043% da quantidade A0
de a´tomos de plutoˆnio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse iso´topo, se a taxa de desintegrac¸a˜o e´ proporcional
a´ quantidade remanescente.
8. Dada uma corda com comprimento L e densidade linear φ esticada na horizontal, suponha que ela seja enta˜o a
girada em torno de um eixo paralelo a horizontal a´ uma velocidade angular constante igual a w. Determine a func¸a˜o
y(x) ”Curva de deflexa˜o”em relac¸a˜o a posic¸a˜o inicial.
9. Dada a EDO y′′ − 3y′ + 2y = 0, e sabendo que y(x) = ce2x e´ soluc¸a˜o, encontre a segunda soluc¸a˜o a partir desta.
(Na˜o utilize a equac¸a˜o caracter´ıstica.)
10. Determine se o grupo de func¸o˜es y1 = e
2x+2ex, y2 = 5e
2x+4ex, y3 = e
x
− e2x forma˜o um conjunto fundamental
de soluc¸o˜es da EDO y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0.
11. Uma massa pesando 2Kg distende uma mola em 6 cm. No instante t = 0, a massa e´ solta de um ponto a 8 cm
abaixo da posic¸a˜o de equil´ıbrio com uma velocidade direcionada para cima de 25cm/s. Determine a func¸a˜o x(t) que
descreve o movimento livre subsequente. Escreva a soluc¸a˜o da forma x(t) = Asen(wt+ φ).
12. Classifique os tipos de movimentos amortecidos.
13. Dado a EDO
1
5
d2x
dt2
+ 1, 2
dx
dt
+ 2x = 5cos(4t), x(0) =
1
2
, x′(0) = 0,
Interprete como uma mola amortecida com forc¸amento descobrindo o que significa cada constante e func¸a˜o. Tambe´m
descubra se com o passar do tempo ele para (mostre a equac¸a˜o da posic¸a˜o da mola).
14. A partir da EDO de um circuito ele´trico em se´rie L-R-C e de um sistema de mola forc¸ado com amortecimento,
estabelec¸a as semelhanc¸a e diferenc¸as destes sistemas.
15. (extra 2 pontos) Dado uma sala quadrada de lados l1, l2, l3 e l4, de comprimentos l, e uma porta de comprimento
l que tampa o lado l4 Sabendo que esta porta esta fixa nas paredes l4 e l1 descreva a func¸a˜o que separa onde pode
ou na˜o ter moveis.
16. encontre as func¸o˜es ortogonais a
y =
c1x
x+ 1
.
Ps: Boa sorte.