Sebenta de Algebra1(explicito)

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Sebenta 
de 
Álgebra Linear e Geometria Analítica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maria Eduarda Pinto Ferreira 
Teresa Araújo 
 
 
Capítulo 1 
Matrizes 
Objectivo 
Neste capítulo vamos introduzir um novo conceito, o de matriz; os diferentes tipos 
de matrizes existentes; estudar algumas operações que se podem efectuar com 
matrizes e as suas propriedades; dar o conceito de operação elementar; calcular a 
característica de uma matriz, quer pela definição, quer utilizando operações 
elementares, a que chamaremos método da condensação e, finalmente, calcular a 
inversa de uma matriz. 
2 Matrizes 
Introdução 
Exemplo: Considere a seguinte tabela de dupla entrada da multiplicação: 
 
* 2 3 4 5 
6 12 18 24 30 
7 14 21 28 35 
8 16 24 32 40 
 
Esta a tabela dá-nos os resultados da multiplicação de 6, 7 e 8 por 2, 3, 4 e 5. 
Por exemplo, na 3ª linha, 4ª coluna está o número 28, resultante da multiplicação de 
7 por 4. 
A entidade matemática que representa uma tabela deste género é uma matriz. 
Definição: Uma matriz A = [aij]mxn, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, do tipo mxn é um 
quadro com m linhas e n colunas cujos elementos aij são escalares, 
representando-se por: 
A = 








mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
 ou A = 










mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
 
As matrizes são representadas, normalmente, por letras maiúsculas (A, B, C, …) e 
os seus elementos pela respectiva letra minúscula com dois índices, o primeiro, 
normalmente representado pela letra i, corresponde ao número da linha e o 
segundo, normalmente representado pela letra j, corresponde ao número da coluna, 
sendo então representado por aij. Excepcionalmente podem aparecer matrizes 
representadas por letras minúsculas, por exemplo, na representação de um sistema 
sob a forma de matriz, Ax = b, como iremos ver num outro capítulo. 
A matriz, A, é delimitada por parênteses rectos ou por parênteses curvos. Daqui 
para a frente vamos utilizar a notação de parênteses rectos. 
Matrizes 3 
Exemplo: O exemplo anterior pode ser convertido numa matriz B=[bij]4x5. 
Substituindo o operando * pelo número 0 obtém-se a seguinte matriz 
O resultado da multiplicação de 7 por 4, que se encontra na 3ª linha, 4ª coluna, 
matematicamente representa-se por b34 = 28. 
 
Podemos então concluir que as matrizes são ferramentas que nos vão ajudar na vida 
real, nomeadamente a programar, na resolução de sistemas (circuitos eléctricos), na 
organização de informação, etc. 
Matrizes do mesmo tipo são matrizes com o mesmo número de linhas e o mesmo 
número de colunas, isto é, A = [aij]mxn e B = [bij]pxq são do mesmo tipo se e só se m=p 
e n=q. 
Exemplo: Dadas as 4 matrizes 
são do mesmo tipo as matrizes C e D e a matrizes E e F. 
(estas matrizes vão servir para exemplificar alguns conceitos) 
 
Elementos homólogos, de matrizes do mesmo tipo, são os que têm índices iguais, 
isto é, pertencem respectivamente à mesma linha e à mesma coluna, isto é, dadas 
duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn diz-se que o elemento aij da matriz A é 
homólogo do elemento bij da matriz B. 
Exemplo: Nas matrizes C e D são elementos homólogos, os elementos 
c23 = 6 e d23 = f; c12 = 2 e d12 = b; c33 = 9 e d33 = i; etc. 
Exemplo: Nas matrizes E e F são elementos homólogos, os elementos 
e13 = 33 e f13 = l; e12 = 22 e f12 = k; e23 = 66 e f23 = o; etc. 
 








=
403224168
352821147
302418126
54320
B
4 Matrizes 
Diagonal principal, em matrizes com o mesmo número de linhas e colunas, são os 
elementos cujo índice da linha é igual ao da coluna, isto é, dada a matriz A = [aij]nxn, 
os elementos aij com i=j são os elementos da diagonal principal. 
Nota: Só existem diagonais principais em matrizes quadradas. 
Exemplo: As diagonais principais nas matrizes C e D são as seguintes 
 Na matriz C: c11 = 1 c22 = 5 c33 = 9 
 Na matriz D: d11 = a d22 = e d33 = i 
 
Elementos opostos, ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, 
isto é, dada a matriz A = [aij]mxn, diz-se que o elemento aij é o oposto do elemento aji. 
Exemplo: Na matriz C, os elementos c12 = 2 e c21 = 4 são elementos opostos. 
Tipos de matrizes 
Alguns tipos de matrizes Descrição 
Matriz linha Matriz com uma só linha A = [a1j]1xn 
A = [ ]n11211 aaa L 
Matriz coluna Matriz com uma só coluna A = [ai1]mx1 
A = 








1m
21
11
a
a
a
M 
Matriz rectangular Matriz com m linhas e n colunas A = [aij]mxn 
A = 








mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
 
Matriz quadrada Matriz cujo número de linhas é igual ao 
número de colunas A = [aij]nxn 
A = 








mm2m1m
m22221
m11211
aaa
aaa
aaa
L
MOMM
L
L
 
Matriz nula Matriz A = [aij]mxn com aij= 0 ji∀∀ 
Matrizes 5 
Matriz diagonal Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos 
acima e abaixo da diagonal são iguais a zero, e 
pelo menos um elemento da diagonal principal 
é diferente de zero 
A = 








nn
22
11
a00
0a0
00a
L
MOMM
L
L
 ∃ aij≠0 i ∈{1,2, … n} 
Matriz triangular superior Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos 
abaixo da diagonal são todos nulos 
A = 








nn
n222
n11211
a00
aa0
aaa
L
MOMM
L
L
 
Matriz triangular inferior Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos 
acima da diagonal são todos nulos 
A = 








mm2m1m
2221
11
aaa
0aa
00a
L
MOMM
L
L
 
Matriz identidade 
(ou unidade) 
 
Matriz diagonal, A = [aij]mxm, cujos elementos 
da diagonal são todos iguais a um 
Imxm = 








100
010
001
L
MOMM
L
L
 
 
Igualdade de matrizes 
Duas matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, são iguais, se e só se, são do mesmo tipo e 
todos os seus elementos homólogos são iguais, isto é, aij = bij, i = 1, 2, …,m, j = 1, 2 
…, n. 
 
6 Matrizes 
Matriz transposta 
Matriz que se obtém da matriz dada, A = [aij]mxn, trocando ordenadamente as suas 
linhas pelas suas colunas, designa-se por AT = [aji]nxm. 
Exemplo: As matrizes transpostas das matrizes C e F são: 
 
Propriedades 
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn: 
I – (AT)T = A 
Exemplo: 
II – (A + B)T = AT + BT 
III – (AB)T = BT AT 
Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. 
 
Exercício: "Algumas propriedades acima nem sempre se verificam.", diga em que 
casos é que isto acontece, para cada uma das propriedades. 
 
Matriz simétrica: Matriz quadrada em que A = AT. 
 
Matrizes 7 
Operações com matrizes 
Adição de matrizes 
Só se podem adicionar matrizes do mesmo tipo. 
Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn da soma destas matrizes resulta uma 
outra matriz C = [cij]mxn (do mesmo tipo) cujos elementos são iguais à soma dos 
elementos homólogos de A e B: cij = aij + bij (i = 1, 2, …,m; j = 1, 2 …, n). 
Propriedades 
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn e D = [dij]mxn: 
I - Comutatividade: A + B = B + A 
Exemplo: 
 
II – Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) 
III – Existência de elemento neutro (matriz nula): A + 0 = 0 + A = A 
IV – Existência de elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0 
V – Se A = B e C = D, então A + C = B + D 
Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. 
Multiplicação de uma matrizpor um escalar 
Dada a matriz A = [aij]mxn, da multiplicação do escalar k pela matriz A resulta uma 
outra matriz C = [cij]mxn, do mesmo tipo, cujos elementos são iguais ao produto do 
escalar, k, por cada elemento da matriz A: cij = kaij, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2 …, n. 
8 Matrizes 
Subtracção de matrizes 
Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn a subtracção destas matrizes 
corresponde à adição de uma outra matriz que resulta da segunda por 
multiplicação desta pelo escalar -1, isto é, A - B = A + (-1)B. 
Exemplo: C - D = C + (-1)D 
 
Propriedades 
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn e k e t escalares reais: 
I – k(A + B) = kA + kB 
II – (k + t) A = kA + tA 
III – (kt) A = k (tA) = t (kA) 
IV – 1A = A 
V – A = B ⇒ kA = kB 
Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. 
Multiplicação de matrizes 
Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxp , onde o número de colunas da 
primeira é igual ao número de linhas da segunda, o produto destas matrizes é uma 
outra matriz, C = [cij]mxp tal que cij =∑
=
n
1k
kjik ba (i= 1, 2, …,m; j= 1, 2 …, p). 
Matrizes 9 
Exemplo: 
 
Propriedades 
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn e D = [dij]mxn: 
I – Associatividade (A B) C = A (B C) 
II – Existência de elemento neutro A I = I A = A 
III – Distributividade da multiplicação à direita e à esquerda em relação à 
adição 
(A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C 
IV – A = B e C = D ⇒ A C = B D 
Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. 
 
Nota: Normalmente a multiplicação de matrizes NÃO É COMUTATIVA, mas 
quando tal acontece as matrizes dizem-se permutáveis, isto é, 
Matrizes permutáveis: Matrizes A e B tais que AB = BA. 
Exercício: Encontre algumas matrizes permutáveis. 
 
Exercício: Demonstre que a multiplicação de matrizes não é comutativa. 



++++++
++++++=










=
9*6*3*8*5*2*7*04*1*
9*6*3*8*5*2*7*4*1*
987
654
321
onmonmnm
lkjlkjlkj
onm
lkj
FC 


++++++
++++++=










=
9*6*3*8*5*2*7*04*1*
9*6*3*8*5*2*7*4*1*
987
654
321
onmonmnm
lkjlkjlkj
onm
lkj
FC
10 Matrizes 
Combinação linear de linhas e colunas 
Dadas as matrizes coluna 








=
1m
21
11
1
a
a
a
A M , 







=
2m
22
12
2
a
a
a
A M ,..., 







=
mn
n2
n1
k
a
a
a
A M , e dada uma 
matriz C, diz-se que C é combinação linear de n21 A,,A,A K , se e só se 
∑
=
α=α++α+α=ℜ∈ααα∃
n
1i
iinn2211n21 AAAAC:,,, KK 
Dependência e independência linear 
Colunas linearmente dependentes 
As matrizes coluna n21 A,,A,A K , dizem-se linearmente dependentes se e só se: 
ℜ∈ααα∃ n21 ,,, K \{0}: 0AAA nn2211 =α++α+α K 
Colunas linearmente independentes 
As matrizes coluna n21 A,,A,A K , dizem-se linearmente independentes se e só se: 
00AAA n21nn2211 =α==α=α⇒=α++α+α KK 
Analogamente para as linhas. 
Exercício: Dê a definição de combinação linear, dependência e independência linear 
para as linhas. 
Nota: A dependência e independência linear das colunas (linhas) de uma matriz 
não se altera quando se efectuam operações elementares. 
Matrizes 11 
Característica de uma matriz 
Definição 
A característica de uma matriz corresponde ao número máximo de colunas (linhas) 
linearmente independentes. 
Nota: O número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número 
máximo de colunas linearmente independentes. 
 
 
Exemplo: Para a matriz calcule 
 
 
a) as linhas linearmente independentes; 
b) as colunas linearmente independentes; 
c) a característica da matriz A. 
a) 
L1, L2 e L3 são linearmente dependentes; 
 
L2 e L3 são linearmente independentes; 
 
L1 e L3 são linearmente dependentes; 
 
L1 e L2 são linearmente independentes; 
Concluindo, temos dois conjuntos de duas linhas linearmente independentes, {L2,L3} 
e {L1,L2}. 
 
b) 
C1, C2 e C3 são linearmente dependentes, porque L1, L2 e L3 o são; 
 
 
 
C1 e C2 são linearmente independentes; 
 
 
 








=
642
540
321
A
( ) ( ) ( ) ( ) 

=β
δ−=α⇒=δ+β+α
0
2
0,0,06,4,25,4,03,2,1
( ) ( ) ( ) 

=δ
=β⇒=δ+β
0
0
0,0,06,4,25,4,0
δαδα 2)0,0,0()6,4,2()3,2,1( −=⇒=+
( ) ( ) ( ) 

=β
=α⇒=β+α
0
0
0,0,05,4,03,2,1


=
=⇒=+
0
0
)0,0,0()4,4,2()2,0,1( β
αβα
12 Matrizes 
 
 
 
C2 e C3 são linearmente independentes; 
 
 
 
C1 e C3 são linearmente independentes; 
Concluindo temos três conjuntos de duas colunas linearmente independentes, 
{C2,C3}, {C1,C3} e {C1,C2}. 
 
c) A característica de uma matriz é igual ao número máximo de linhas/colunas 
linearmente independentes. Logo, das alíneas anteriores, podemos concluir que 
a característica da matriz é igual a 2. 
Operações elementares sobre matrizes 
Existem três operações elementares: 
I) Permuta de duas linhas (colunas); 
II) Multiplicação de uma linha (coluna) por um número diferente de zero; 
III) Adição aos elementos de uma linha (coluna) os elementos 
correspondentes de uma outra linha (coluna) paralela multiplicada por 
um número qualquer. 
Exemplo: Aplicando a operação elementar tipo I) à matriz C vem: 
 
 
 
 
 
 Aplicando a operação elementar tipo II) à matriz C vem: 
 
 
 
 
 
 Aplicando a operação elementar tipo III) à matriz C vem: 
 
 
 


=
=⇒=+
0
0
)0,0,0()6,5,3()4,4,2( δ
βδβ


=
=⇒=+
0
0
)0,0,0()6,5,3()2,0,1( δ
αδα
Matrizes 13 
Matrizes equivalentes 
Duas matrizes dizem-se equivalentes, e escreve-se A ~ B, se uma delas puder ser 
obtida da outra realizando um número finito de operações elementares. 
Exemplo: As matrizes do exemplo anterior são matrizes equivalentes, isto é, 
Método da condensação 
Vamos apresentar o método da condensação. Veremos posteriormente como 
utilizar este método no cálculo da característica, da inversa e do determinante de 
uma matriz e na resolução de sistemas de equações lineares. 
A condensação de uma matriz A = [aij]mxn consiste nas seguintes fases: 
a) Tome-se 0a11 ≠ (se 0a11 = , troca-se a primeira linha com outra, de modo 
a que 11a seja não nulo, a esta operação chama-se pivotagem, se a primeira 
linha for toda nula, troca-se com a última linha e repete-se o raciocínio), 
designando-se este por elemento redutor ou pivot; 
b) Fixado o elemento 11a , procuram-se escalares iλ tais que 0aa 1i11i =+λ , 
m,...,2i = ; soma-se à linha i a primeira multiplicada por iλ , anulando-se, 
assim, todos os elementos abaixo de 11a , diz-se então que se condensou a 
primeira coluna; 
c) Na matriz obtida procede-se do mesmo modo, desta vez tomando como 
elemento redutor 22a , e assim sucessivamente, até um determinado 
elemento rra . A condensação termina, obtendo-se a matriz condensada A', 
quando já não existem: 
14 Matrizes 
i) mais colunas, ou seja, nr = 














=
000
000
'a00
'a'a0
'a'a'a
'A rn
n222
n11211
L
MOMM
L
L
MOMM
L
L
 
ii) mais linhas, ou seja, mr = 










=
+
+
+
mn1m,mmm
n21m,2m222
n11m,1m11211
'a'a'a00
'a'a'a'a0
'a'a'a'a'a
'A
LL
MOMMOMM
LL
LL
 
iii) apenas linhas nulas, ou seja, mr < 














= +
+
+
00000
00000
'a'a'a00
'a'a'a'a0
'a'a'a'a'a
'A rn1r,rrr
n21r,2r222
n11r,1r11211
LL
MOMMOMM
LL
LL
MOMMOMM
LL
LLNote-se que todas as matrizes A' contêm uma submatriz triangular superior de 
ordem máxima, r, de elementos diagonais não nulos. 
A passagem da matriz inicial, A, para a matriz condensada, A', foi realizada 
utilizando unicamente operações elementares, logo as matrizes A e A' são 
equivalentes. 
Matrizes 15 
Exemplo: Vamos aplicar o método da condensação a várias matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Característica de uma matriz utilizando o método da condensação 
Como a independência linear não se altera quando se efectuam operações 
elementares, a característica de uma matriz pode ser obtida por condensação, e 
corresponde à ordem da submatriz triangular superior da matriz condensada, ou 
seja, car(A) = r. 
Exemplo: No exemplo dado para exemplificar as operações elementares vimos que 
as matrizes C, CI, CII, CIII, CIV, CV e CVI são matrizes equivalentes, isto é, 
foram obtidas umas das outras através de operações elementares, e pode 
escrever-se 
 
Logo, têm a mesma característica, 
car(C) = car(CI) = car(CII) = car(CIII) = car(CIV) = car(CV) = car(CVI) 
 
16 Matrizes 
Exemplo: Dos exemplos da condensação de matrizes, temos: 
 
A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 3, logo a 
característica desta matriz é 3. 
 
A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 2, logo a 
característica desta matriz é 2. 
 
A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 3, logo a 
característica desta matriz é 3. 
Inversa de uma matriz 
Inversa esquerda e inversa direita de uma matriz 
Seja A = [aij]mxn. Chama-se inversa esquerda da matriz A, a qualquer matriz M do 
tipo nxm tal que M A = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. Chama-se 
inversa direita da matriz A, a qualquer matriz N do tipo nxm tal que A N = I, onde 
I é a matriz identidade de ordem m. 
Definição de inversa de uma matriz 
Chama-se inversa da matriz A a uma matriz, que se representa por A-1, tal que 
A-1 A = A A-1 = I 
Nota: Uma condição necessária para uma matriz ter inversa, é que seja quadrada. 
No entanto, nem todas as matrizes quadradas têm inversa. 
Matrizes 17 
Exercício: Dê um exemplo de uma matriz quadrada que não tenha inversa. 
Propriedades 
Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn e k escalar inteiro: 
I – (A B)-1 = B-1 A-1 
II – Se A é quadrada e invertível então (A-1)-1 = A 
III – I-1 = I 
IV– A-1 (A B) = 0 ⇒ B = 0 
V – Se A é quadrada e invertível então (Ak) -1 = (A-1) k 
VI - (AT)-1 = (A-1)T 
Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades. 
Cálculo da inversa de uma matriz por condensação 
A inversa de uma matriz A pode ser calculada através da realização de um número 
finito de operações elementares sobre linhas (colunas), a este método chama-se 
método da condensação. Neste método o objectivo é, aplicando operações 
elementares às linhas: 
 ou 
 
ou, aplicando operações elementares às colunas: 
 
 ou 
 
 
 IA ~operaçõeselementares
sobre 
linhas
 I A-1
 I
A
A-1
~operações
elementares
sobre 
colunas
 I
 I A ~operaçõeselementares
sobre 
linhas
 IA-1
 I
A
A-1~operações
elementares
sobre 
colunas I
18 Matrizes 
Exercícios 
1 - Considere as seguintes matrizes sobre ℜ: 
 
A = 
1 2 3
2 1 4



 B = 







23
12
01
 C = 
3 1 3
4 1 5
2 1 3
−





 
D = 
3 2
2 4
−


 E = 
2 4 5
0 1 4
3 2 1
−





 F = 
−



4 5
2 3
 
 
a) Para as matrizes A, B e C, identifique: 
i) a12, a22, a23 
ii) b11, b21, b32 
iii) c13, c31, c33 
 
b) Para as matrizes A, B, C, D, E, F, se possível calcule: 
i) C+E 
ii) AB e BA 
iii) 2D - 3F 
iv) CB+D 
v) (3)(2A) e 6A 
vi) A(BD) e (AB)D 
vii) A(C+E) e AC+AE 
viii) 3A+2A e 5A 
ix) DF+2A 
x) (-4A)(3C) e (-12)(AC) 
xi) AT e (AT)T 
xii) (C+E)T e CT+ET 
xiii) (AB)T e BTAT 
xiv) (BC)T e CTBT 
 


=
43
21
A
=− 


−
−
2/12/3
121A
L =L /-22 2 


−
−



−−
−



−−


2
1
2
310
1201
~
1320
1201
~
~
1320
0121
~
1043
0121
L =L + L1 1 2L =L -3L2 2 1
Exemplo:
Matrizes 19 
2 - Dadas as seguintes matrizes sobre ℜ: 
 
A = 








−
210
321
021
 B = 
1 2 1
0 1 2
0 1 3
−
− −






 C = 








−
−
521
132
201
 
 
Determine a matriz X tal que: 
a) A+XT=BT+C 
b) (A+B)T+X=B-CT 
c) X+AB=CTA 
d) X+B2-A=2I+C 
e) (A+X)T=BC+A2 
3 - Dada a matriz A = 


−
−
21
11
, verifique se 3A+A2=A(3I+A). 
 
4 - Dadas a matriz A = 


−
−
bba
baa
 e B = 


−
−
ddc
dcc
 sobre ℜ, mostre que são 
permutáveis. 
 
5 - Sejam i,j ∈ ℵ e A=[aij] uma matriz nxn. 
Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: 
a) (A+I)2=A2+2A+I 
b) (A+B)2=A2+2AB+B2 
c) se AB=BA, então (A+B)(A-B)=A2-B2 
 
6 - Seja A = 
1 2
4 3−



 , encontre f(A) onde f(X)=2X
3-4X+3. 
 
7 - Encontre todas as matrizes B que permutam com a matriz A dada em 6. 
 
8 - Determine uma matriz B de 2ª ordem, sem elementos nulos, tal que B2=0. 
 
9 - Para A = 
−
−
−






1 2 0
2 5 3
0 3 0
, B = 








−
−
120
022
431
 e C = 
1 0 1 2
3 1 0 1
2 1 0 2
−
−
−






 
 
a) simplifique a expressão AB+5B+BTB-M=0 
b) determine o valor de M da expressão anterior 
c) verifique se A e B são permutáveis 
d) verifique se A e C são permutáveis 
 
20 Matrizes 
10 - Para M = 








−−
−
−
−
2331
0212
3121
1201
, calcule MMT e classifique a matriz produto. 
 
11 - Para a matriz A=







−
640
531
321
 calcule 
 
a) as linhas linearmente independentes 
b) as colunas linearmente independentes 
c) a característica de A 
 
12 - Calcule a característica das seguintes matrizes: 
 
A=








321
110
321
 B=








2001
1011
1111
 C=








001
010
100
 D=








100
000
111
001
 
 
13 - Dadas as matrizes A, B e C determine as matrizes X que verifiquem as 
condições: 
A= 

 −
10
11
 B= 


51
32
 C= 


80
01
 
a) AX=B2+C 
b) BX=AT+BC 
c) XC=(AB)2 
d) XC=(A-B)2 
 
14 - Dadas as matrizes A=








b32a
1a05
a243
2b1a
 e B=








−−
−−
−−
−−
2110
7b110
1111
b221a2
 
 
a) Calcule AB 
b) Determine a e b, tal que A=B-1 
 
15 - Para A=








801
352
321
 B=








235
540
321
 C=








963
642
321
 D=








642
540
321
 
 
a) Verifique que (AB)-1=B-1A-1 
b) Utilizando o método da condensação calcule car(A), car(B), car(C) e car(D) 
Matrizes 21 
 
16 - Calcule a característica das seguintes matrizes: 
 
A=








−−−
−−−
−−−
1a21a21a
2a1a2a
2a1a22
 B=








−−−
−−−
−−−
112121
212
12122
aaa
aaaa
aa
 
 
17 - Dadas as matrizes 










π
π
π
0
2
3cis
2
cis1
2
4
cis2
 , 


 ππ
2
cis20
1cis0cise 










π
π
π
0
2
cis
2
3cis3
5
4
cis2
 
a) Identifique cada uma das matrizes acima indicadas com as letras A, B e C tal 
que D=AB= 


i2L
LL
. 
b) Calcule a matriz D. 
c) Simplifique a expressão X = (BTATC)T+AB 
d) Determine o valor da matriz X. 
18 - Dadas as matrizes A = 

 

 π+
2
cis2i2 , B = ( )


π
−
cis2
i104
 e C = 


43
21
 
a) Determine C-1, utilizando o método da condensação. 
b) Simplifique a expressão AB+ACB+X = 0. 
c) Determine o valor da matriz X. 
19 - Dadas as matrizes A = 
0 1 2
1 12a



 B = 
1 0
2 1
1 1−






 
a) Verifique se (AB) T= BT AT . 
b) Determine o valor da matriz X tal que X = (AB) TxA+ BT AT xA. 
 
20 - Dadas as matrizes A= 


−
+
1i3
ii21
, B=










 π


 π

 π
0cis
2
cis
2
3cis
2
3cis2
 e C=
1 2
1 3



 
a) Simplifique a expressão AX+BX+X-C=0. 
b) Determine a matriz X que verifica a condição AX+BX+X-C=0. 
Soluções 
 
1 - a) i) 2;1;4 ii) 1;2;2 iii) 3;2;3 
 
b) i)







 −
435
924
855
 ii) 


916
814
; 








1787
1054
321
 iii) 
18 19
2 1
−
− −



 
22 Matrizes 
iv) IMP v) 


24612
18126
 vi) 
58 4
66 4



 vii) 


41434
38828
 
viii) 


20510
15105
 ix) IMP x) 
− − −
− − −




204 48 264
216 36 276 xi) 
1 2
2 1
3 4






; A 
xii)








−
498
325
545
 xiii) 


98
1614
 xiv) IMP; IMP 
 
2 - a) 








−−
−−
032
362
251
 b) 
−
−
− −






2 1 0
4 1 0
1 7 7
 c) 








−
−
1763
134
372
 
d) 
3 3 4
1 2 12
1 1 2
−
−






 e) 








−
−
−−
112011
2103
654
 
 
3 - Verdadeira 
 
5 - a) Verdadeira b) Falsa c) Verdadeira 
 
6 - 


−
−
119104
5215
 
 
7 - 

 +
wy2
ywy2
 
 
8 - Por exemplo: 
1 1
1 1− −



 
 
9 - a) (A+5I+BT)B-M=0 b) M = 








−
−
223010
19311
1215
 
c) Não Permutáveis d) Não Permutáveis 
10 - 








−
−
−−
2311143
11922
142150
3206
 Matriz Simétrica 
 
11 - a) as 3 linhas 
 b) as 3 colunas 
 c) 3 
 
12 - Car(A)=2 Car(B)=3 Car(C)=3 Car(D)=3 
Matrizes 23 
 
13 - a) 


367
5715
 b) 








−
−
7
58
7
3
7
3
7
15
 c) 







 −−
8
236
2
31
 d) 








8
205
8
205
 
 
14 - a) 










++−++−−−−
+−−−
+−−+−−−
++−−+−−−−−
19b2ab22b2a21ba32a2
2b10a711aba40
10b6a22b2aa524a6
3b7ab21ba21bab101a2
2
22
 
b) Por exemplo a=4 ∧ b=3 
 
15 - a) Verdadeira 
b) Car(A)=3; Car(B)=3; Car(C)=1; Car(D)=2 
 
16 - Se a ≠ -1 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 Car(A) = 3 
Se a = -1 ∨ a = 1 ∨ a = 0 Car(A) = 2 
 
Se a ≠ -1 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 Car(B) = 3 
Se a = 0 Car(B) = 3 
Se a = 1 Car(B) = 3 
Se a = -1 Car(B) = 2 
Resumo: Se a ≠ -1 Car(B) = 3 
 Se a = -1 Car(B) = 2 
17 - a) B, A, C b) 

 −
i23
i20
 c) X = (CT + I)(AB) d) IMP 
18 - a) 



−
−
2
1
2
3
12
 b) X = - A(I + C)B c) 


−−
−
i248
i896
 
19 - a) Verdadeiro b) X = 2 (AB)TA = 


++++ 2422
242
a214a2a26a22
a4a4a4 
20 - a) X = (A + B + I)-1 C b) 








− 0
6
1
1
2
1
 
 
 
24 Matrizes 
 
Capítulo 2 
Determinantes 
Objectivo 
 
O objectivo deste capítulo é introduzir o conceito de determinante de uma matriz, 
ver algumas regras práticas para o calcular, a redução da ordem de um 
determinante utilizando o teorema de Laplace e as suas propriedades. Além disso, 
veremos como calcular a inversa de uma matriz utilizando determinantes, bem 
como a definição e o cálculo dos valores próprios e vectores próprios de uma 
matriz. 
26 Determinantes 
Introdução 
Permutação de n elementos 
Permutação 
Seja n} ..., 2, {1, S= o conjunto dos inteiros de 1 a n, dispostos em ordem crescente. 
Um rearranjo j1 j2 ... jn dos elementos de S é chamado uma permutação de S. 
Exemplo: 4231 é uma permutação de S = {1, 2, 3, 4}. 
Inversão 
Uma permutação j1 j2 ... jn de n} ..., 2, {1, S= tem uma inversão se um inteiro maior jr 
precede um inteiro menor js. 
Exemplo: 4231 é uma permutação de S = {1, 2, 3, 4} e temos 
4 > 2 uma inversão 
4 > 3 uma inversão 
4 > 1 uma inversão 
2 > 1 uma inversão 
3 > 1 uma inversão 
Concluindo em 4231 temos cinco inversões. 
Permutação principal 
Permutação por ordem crescente, isto é, sem inversões. 
Exemplo: 1234 é a permutação principal de S = {1, 2, 3, 4}. 
Classes 
Uma permutação é de classe par se o número total de inversões for par. 
Uma permutação é de classe ímpar se o número total de inversões for ímpar. 
Nota: As permutações principais são consideradas de classe par. 
Exemplo: Em 4132 temos 
4 > 1 uma inversão 
4 > 3 uma inversão 
4 > 2 uma inversão 
3 > 2 uma inversão 
Temos quatro inversões, logo a permutação é de classe par. 
 
Determinantes 27 
Exemplo: Na permutação do exemplo anterior temos cinco inversões, logo 4231 é 
de classe ímpar. 
 
Para construir uma permutação do conjunto n} ..., 2, {1, S= , podemos colocar 
qualquer um dos n elementos de S na primeira posição, qualquer um dos restantes 
n-1 elementos na segunda posição, qualquer um dos restantes n-2 elementos na 
terceira posição, e assim sucessivamente, até que a n-ésima posição só pode ser 
preenchida pelo elemento que falta. Donde, podemos concluir que existem 
123...2)-(n1)-(nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ permutações em S, ou seja, n! permutações. 
Exemplo: 
Conjunto Número de 
permutações 
Permutações Inversões Classes 
S = {1} 1! = 1 1 - par 
S = {1, 2} 2! = 2*1 = 1 12 
21 
- 
2>1 
par 
ímpar 
S = {1, 2, 3} 3! = 3*2*1 = 6 123 
231 
312 
132 
213 
321 
- 
2>1, 3>1 
3>1, 2>1 
3>2 
2>1 
3>2, 3>1, 2>1 
par 
par 
par 
ímpar 
ímpar 
ímpar 
 
Na tabela acima podemos verificar que o número de permutações pares e ímpares 
para cada conjunto S é igual. Generalizando, para n > 1, n} ..., 2, {1, S= tem 
2
n! 
permutações pares e 
2
n! permutações ímpares. 
Teorema de Bezout: Se numa permutação trocarmos entre si dois elementos a 
permutação muda de classe. 
28 Determinantes 



2221
1211
aa
aa
Determinante 
Dada a matriz A = [aij]nxn, definimos o determinante da matriz A, e escrevemos 
|A|, det(A) ou simplesmente ∆, como 
 |A| = 
n21 njj2j1
aaa K∑± (1) 
onde o somatório é realizado para todas as permutações, j1 j2 ... jn, do conjunto 
n} ..., 2, {1, S= . O sinal é escolhido positivo ou negativo consoante a permutação j1 j2 
... jn seja par ou ímpar, respectivamente. 
Em cada termo, ±
n21 njj2j1
aaa K , do determinante da matriz A, os subíndices relativos 
às linhas estão na sua ordem natural, enquanto que os subíndices relativos às 
colunas estão na ordem j1 j2 ... jn. Como a permutação j1 j2 ...jn é simplesmente um 
rearranjo dos números de 1 a n, não contém repetições. Assim, cada termo do 
determinante da matriz A é o produto de n elementos de A com sinal apropriado,com exactamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Como 
estamos a somar todas as permutações do conjunto n} ..., 2, {1, S= , o determinante 
da matriz A tem n! termos na equação (1). 
Exemplo: A = [a11] n = 1 1! = 1 permutação 
Só tem a permutação principal, de classe par, logo |A| = a11. 
 
Exemplo: A = n = 2 2! = 2*1 = 2 permutações 
 
Pela equação (1) vem 
 a11a22 (permutação de classe par) 
 a12a21 (permutação de classe ímpar) 
Logo, |A| = ? a11a22 ? a12a21 
ou seja, |A| = +a11a22 - a12a21 
 
Nota: Só é possível calcular determinantes de matrizes quadradas. A ordem de um 
determinante é igual ao número de linhas (colunas). 
Determinantes 29 
21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa
A −+==
negativostermos
aaa
aaa
aaa
A
positivostermos
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
333231
232221
131211
=
=
Para simplificar, "porque quando as coisas se complicam, vêm os Matemáticos e 
simplificam", surgiram algumas regras práticas. 
Regras práticas 
Para matrizes 2x2 
 
Para matrizes 3X3, temos a regra de Sarrus: 
ou ainda, 
 
 
 
NOTA: Estas regras práticas para o cálculo de determinantes só podem ser 
aplicadas a matrizes de ordem inferior ou igual a três. 
Como se poderá calcular o determinante de uma matriz de ordem superior a três? 
Podemos utilizar a definição, mas tem a desvantagem de ser pouco eficiente. Por 
exemplo, para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 4, vamos ter 4! = 
4*3*2*1 = 24 parcelas, correspondentes às respectivas permutações de um conjunto 
de quatro elementos. 
Novamente para simplificar o cálculo do determinante de uma matriz, surgiu o 
teorema de Laplace. 
232221
131211
211233113223312213231231133221332211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A −−−+++==
30 Determinantes 








−
−
−−
5113
1121
2201
4321
Antes de vermos o teorema de Laplace vamos aprender dois novos conceitos. 
Menor complementar de um elemento, aij, de uma matriz A, é o determinante da 
matriz que se obtém da matriz A, suprimindo-lhe a linha i e a coluna j, ou seja, a 
linha e a coluna que cruzam nesse elemento. 
Complemento algébrico de um elemento, aij, de uma matriz A, é o produto do 
menor complementar desse elemento por (-1)i+j, onde i e j são as ordens da linha e 
da coluna, respectivamente, que se cruzam nesse elemento, e representa-se por Aij. 
 
 
Exemplo: Seja A = . 
 
 
 
O menor complementar do elemento a44 é e o respectivo complemento 
 
 
 
algébrico é A44 = (-1)4+4 . 
 
 
Teorema de Laplace 
O determinante de uma matriz A é igual à soma dos produtos que se obtêm 
multiplicando cada um dos elementos de uma das suas linhas (ou colunas) pelo 
respectivo complemento algébrico. 
Exemplo: Vamos desenvolver o determinante da matriz A, do exemplo anterior, 
segundo a 4ª linha: 
det(A) = a41A41 + a42A42 + a43A43 + a44A44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = (-3)(-28) + (-21) + (-10) + 5(-4) = 33 
121
201
321
−
121
201
321
−
121
201
321
)1(5
121
201
421
(-1))1(
111
221
431
(-1)1
112
220
432
(-1)3
44
434241
−⋅⋅+
+
−
−−⋅⋅−+
−
−−⋅⋅+
−
−⋅⋅=
+
+++
-
Determinantes 31 
Propriedades 
• O valor do determinante de uma matriz não se altera quando se trocam, 
ordenadamente, as suas colunas com as suas linhas, isto é, 
|A| = |AT| 
Demonstração: 
Sejam A = [aij] e AT = [bij] onde bij = aji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n). Então, por (1), temos 
 |AT| = nj2j1jnjj2j1 n21n21 aaabbb KK ∑∑ ±=± (2) 
Reordenando os factores do termo nj2j1j n21 aaa K , de forma a que os índices de linha 
estejam ordenados, vem 
n21n21n21 nkk2k1nj2j1jnjj2j1
aaaaaabbb KKK == 
Supondo que as permutações, k1 k2 ... kn, que determina o sinal associado a 
n21 nkk2k1
aaa K , e j1 j2 ... jn, que determina o sinal associado a 
n21 njj2j1
bbb K , são ambas 
pares ou ambas ímpares. 
 
Exemplo: 
O número de inversões na permutação 45123 é seis e em 34512, também é seis. 
 
E como os termos e o sinal correspondentes em (1) e (2) coincidem, conclui-se que 
|A| = |AT|. 
Nota: Desta propriedade conclui-se que podemos aplicar as propriedades tanto às 
linhas como às colunas. 
 
Exemplo: |A| = 
 
 
 
 |AT| = 
 
 
10)240(480
121
201
421
−=+−−−−=
−
−−
10)240(840
124
202
111
−=+−−−−=
−−
−
534231251425145342315241352413 aaaaaaaaaabbbbb ==
32 Determinantes 
• Se os elementos de uma linha (coluna) da matriz A forem todos nulos, então 
|A| = 0. 
Demonstração: 
Suponhamos que a r-ésima linha da matriz A é formada por zeros. Cada termo da 
definição de determinante da matriz A, em (1), contém um factor da r-ésima linha, 
então cada termo do determinante da matriz A será nulo, logo |A| = 0, isto é, 
|A|= ∑∑ =±=⋅⋅± +− +− 00aa0aaa n1r1r21 njj1rj1rj2j1 KK 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
• Se uma matriz B resulta da matriz A pela troca da posição relativa de duas 
linhas (colunas) de A, então |B| = - |A|. 
Demonstração: 
(linhas) 
Suponhamos que a matriz B provém da matriz A devido à troca da posição relativa 
das linhas r e s da matriz A, com r < s. Temos então que 
bij = aij, i ≠ r; i ≠ s, brj = asj, bsj = arj 
Logo, por (1), 
A
aaaaa
aaaaa
bbbbbB
nrs21
nsr21
nsr21
njsjrjj2j1
njrjsjj2j1
njsjrjj2j1
−=
=±−=
=±=
=±=
∑
∑
∑
KKK
KKK
KKK
 
0)000(000
121
000
421
=++−++=
−
Determinantes 33 
A permutação j1 j2...js ...jr ... jn resulta da permutação j1 j2...jr ...js ... jn devido à troca da 
posição de dois números. Logo, pelo teorema de Bezout, há uma mudança na classe 
da permutação, isto é, o número de inversões na primeira difere do número de 
inversões da segunda por uma "quantidade" ímpar. Isto significa que o sinal de 
cada termo em |B| é simétrico do sinal do termo correspondente em |A|. Assim, 
|B| = -|A|. 
(colunas) 
Aplicando a primeira propriedade à matriz A e à matriz B estamos perante o caso 
de troca de duas linhas, já demonstrado. 
 
 
Exemplo: 
 
 
Trocando a primeira linha com a segunda, obtemos o determinante 
 
 
 
 
 
• Se uma matriz B é obtida de uma matriz A, multiplicando uma linha (coluna) 
da matriz A por um número real k, então |B| = k*|A|. 
Demonstração: 
Suponhamos que a r-ésima linha da matriz A=[aij] é multiplicada por k para se 
obter a matriz B = [bij]. Então, bij=aij se i ≠ r e brj = k*arj. De (1), obtemos 
|A|k
aaaak
aakaa
bbbbB
ns21
ns21
nr21
njrjj2j1
njrjj2j1
njrjj2j1
⋅=
=±⋅=
=⋅±=
=±=
∑
∑
∑
KK
KK
KK
 
10
121
201
421
−=
−
−−
10)084(042
121
421
201
=+−−−+−=
−
−−
34 Determinantes 
Nota: Podemos simplificar o cálculo de |A|, encontrando o máximo divisor 
comum de cada linha e coluna de A. 
 
Exemplo: 
 
 
Multiplicando a 1ª linha por 2, obtemos o determinante 
 
 
 
 
 
 
• Se duas linhas (colunas) da matriz A forem iguais, então |A|= 0. 
Demonstração 
Suponhamos que as linhas r e s da matriz A são iguais. Se trocarmos as posições 
relativas das linhas r e s da matriz A obtemos uma nova matriz, B. Por um lado, 
|B| = -|A| (por uma propriedade anterior). Por outro lado, como B = A então |B| 
= |A|. Logo 
|A| = -|A| ⇒ 2*|A|= 0 ⇒ |A| = 0 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
• Um determinante de uma matriz com duas linhas (colunas) paralelas 
proporcionais é nulo. 
Demonstração: 
nnnini2n1n
n2i2i22221
n1i1i11211
aakaaa
aakaaa
aakaaa
|A|
LLL
MOMOMOMM
LLL
LLL
= 
10
121
201
421
−=
−
−−
20)480(8160
121
201
842
−=+−−−−=
−
−−
0)882(882
121
421
421
=++−−++−=
−
Determinantes 35 
Por uma propriedadeanterior 
Este determinante tem duas colunas iguais, logo, por uma propriedade anterior, 
concluímos que |A| = 0. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
• Se cada elemento de uma linha (coluna) do determinante de uma matriz é 
igual à soma de duas parcelas, ele poder-se-á decompor na soma de dois 
determinantes, que se obtêm daquele substituindo os elementos dessa linha 
(coluna) sucessivamente pelas primeiras e pelas segundas parcelas dessa 
somas, mantendo inalteradas as restantes linhas (colunas). 
Demonstração: 
Pela definição (1) 
|A|=
ni21 njijj2j1
aaaa KK∑± 
Se )m(ij
)2(
ij
)1(
ijij iiii
bbba +++= K (m parcelas), então 
|A|=
niii21 nj
)m(
ij
)2(
ij
)1(
ijj2j1 a)bbb(aa KKK +++±∑ 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição obtemos 
 
 
 
 
ou seja, |A|=|A1|+|A2|+ ... + |Am| 
0)62424(24246
121
1263
421
=−+−++−=
−
ni21
ni21
ni21
nj
)m(
ijj2j1
nj
)2(
ijj2j1
nj
)1(
ijj2j1
abaa
abaa
abaa|A|
KK
K
KK
KK
∑
∑
∑
±+
+
+±+
+±=
ni21
ni21
ni21
nj
)m(
ijj2j1
nj
)2(
ijj2j1
nj
)1(
ijj2j1
abaa
abaa
abaa|A|
KK
K
KK
KK
∑
∑
±+
+
+±+
+±=
nnnini2n1n
n2i2i22221
n1i1i11211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
k|A|
LLL
MOMOMOMM
LLL
LLL
=
nnnini2n1n
n2i2i22221
n1i1i11211
aaaaa
aaaaa
aaaaa
k|A|
LLL
MOMOMOMM
LLL
LLL
=
36 Determinantes 
0
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaaa
nn2n1n
sn2s1s
sn2s1s
n22221
n11211
njsjsj2j1j nsr21
==±∑
L
MOMM
L
MOMM
L
MOMM
L
L
KKK 0
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaaaa
nn2n1n
sn2s1s
sn2s1s
n22221
n11211
njsjsj2j1j nsr21
==±∑
L
MOMM
L
MOMM
L
MOMM
L
L
KKK
 
 
Exemplo: 
 
 
 
• Se uma matriz B for obtida de uma matriz A adicionando a cada elemento da 
r-ésima linha (coluna) da matriz A, o elemento correspondente da s-ésima 
linha (coluna) da matriz A, r ≠ s, multiplicado por k, então |B| = |A|. 
Demonstração: 
Temos bij = aij para i ≠ r e brj = arj + k*asj e r ≠ j, por exemplo, para r < s, por (1) vem 
nsrr21
nr21
njsjsjrjj2j1
njrjj2j1
aa)aka(aa
bbbbB
KKK
KK
⋅+±=
=±=
∑
∑ 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição 
nsr21
nsr21nsr21
njsjsjj2j1
njsjsjj2j1njsjrjj2j1
aaaaak|A|
aaakaaaaaaaB
KKK
KKKKKK
∑
∑∑
±⋅+=
⋅±+±=
 
mas, 
 
 
 
 
Logo, |B| = |A|+ 0 = |A|. 
 
 
Exemplo: 
 
 
10010
121
201
121
121
201
421
121
201
)1(42211
−=+−=
−
−−
−
+
−
−=
−
−−
−+++
10
121
201
421
−=
−
−−
Determinantes 37 
Somando à 2ª linha a 1ª multiplicada por 1, obtemos o determinante 
 
 
 
 
 
• O determinante de uma matriz triangular superior ou triangular inferior é 
igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
Demonstração: 
Recordando a definição de determinante de uma matriz 
|A|= 
ni21 njijj2j1
aaaa KK∑± 
onde o somatório é realizado para todas as permutações, j1 j2 … jn, do conjunto 
n} ..., 2, {1, S= e o sinal é escolhido positivo ou negativo consoante a permutação j1j2 
... jn seja par ou ímpar, respectivamente. 
Com efeito, se para um dos lados da diagonal principal todos os elementos da 
matriz são nulos, então todos os termos diferentes do termo principal têm pelo 
menos um factor nulo, logo, 
|A|= nn2211 aaa K 
 
 
Exemplo: 
 
 
Inversa de uma matriz utilizando determinantes 
Para o cálculo da inversa de uma matriz utilizando determinantes necessitamos de 
aprender mais uma definição, a de matriz adjunta, que vamos representar por 
Adj(A). 
10
121
201
421
−=
−
−− 10)5(21
500
220
421
121
201
421
133
122
LLL
LLL
−=−⋅⋅=
−
=
−
−−
−=
+=
10)048(402
121
220
421
−=++−++−=
−
38 Determinantes 
Matriz Adjunta 
Matriz adjunta de uma matriz quadrada, A, é a matriz que se obtém da matriz A da 
seguinte forma: 
a) Calculam-se os complementos algébricos de todos os elementos de A; 
b) Constrói-se, a partir de A, a matriz Adj(A), substituindo cada elemento de 
A pelo seu complemento algébrico. 
Inversa da matriz A 
)(Adj
||
1))Adj((
||
1 TT1 A
A
A
A
A ==− 
 
Exemplo: 
 
 
A11 = (-1)1+1|4|=4 A12 = (-1)1+2|3|=-3 
A21 = (-1)2+1|2|=-2 A22 = (-1)2+2|1|=1 
 
 
 
 
 
Valores próprios e vectores próprios 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, diz-se que um número real λ é um 
valor próprio de A se existir uma matriz coluna, não nula, X, com 
elementos pertencentes a ℜ , tal que 
XAX λ= 
Qualquer matriz coluna, não nula, X, que verifique a relação anterior, é chamada 
um vector próprio de A associado a λ . 
Seja =A [ ija ] uma matriz quadrada de ordem n, então 


=
43
21
A 26443
21 −=−==A



−
−=
12
34
)(Adj A



−
−=


−
−⋅−=


−
−⋅−=
−
2/12/3
12
13
24
2
1
12
34
2
1
T
1A
Determinantes 39 








=
















⇔=
nnnnnn
n
n
x
x
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
XAX MM
L
MOMM
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
λλ
 
Aplicando multiplicação de matrizes, temos 



=−+++
=++−+
=+++−
⇔



=+++
=+++
=+++
0)(...
................................................
0...)(
0...)(
...
................................................
...
...
2211
2222121
1212111
2211
22222121
11212111
nnnnn
nn
nn
nnnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
xxaxaxa
xxaxaxa
xxaxaxa
λ
λ
λ
λ
λ
λ
 
Que é equivalente, na forma matricial, a 








=
















λ−
λ−
λ−
0
0
0
x
x
x
aaa
aaa
aaa
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
MM
L
MOMM
L
L
 
ou seja, 0)( =− XIA λ , sendo 0 a matriz coluna nula de tipo 1×n . 
Definição: Seja A uma matriz quadrada de tipo nn× . O determinante 
λ−
λ−
λ−
=λ−=λ
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
IA)(f
L
MOMM
L
L
 
é designado por polinómio característico de A. 
A equação 0IA)(f =λ−=λ é designada por equação característica de A. 
Teorema: Os valores próprios da matriz A são as raízes reais do polinómio 
característico de A. 
Depois de obter todos os valores próprios de A, resolvendo a equação 0IA =λ− , 
substituindo na igualdade 0X)IA( =λ− , λ por cada um dos valores próprios e 
40 Determinantes 
resolvendo o sistema daí resultante, obtém-se o conjunto dos vectores próprios de A 
associados a cada valor próprio. 
 
 
Exemplo: Seja, A = para encontrar os valores próprios de A, resolvemos a 
 
equação |A - λI|=0 
 
 
 
Temos então como valores próprios para a matriz A, λ1 = 2 e λ2 = 6. Vamos então 
calcular os vectores próprios associados a cada um deles. 
 
Para λ1 = 2, substituímos λ na igualdade (A-λI)X=0, obtendo 
Então, o conjunto dos vectores próprios associados a λ1, que vamos designar 
por , é 
 
Para λ2 = 6, substituímos λ na igualdade (A-λI)X=0, obtendo 
Então, o conjunto dos vectores próprios associados a λ2, que vamos designar 
por , é 
6201280
31
35 2 =∨=⇔=+−⇔=−
− λλλλλ
λ


=
−=⇔

=+
=+⇔

=



⇔

=




−
−
000
033
0
0
11
33
0
0
31
35 21
21
21
2
1
2
1
1
1 xx
xx
xx
x
x
x
x
λ
λ



 ≠

−= 0: 2
2
2
1 xx
x
Vλ


=
=⇔

=−
=+−⇔
=




−
−⇔

=




−
−
00
3
03
03
0
0
31
31
0
0
31
35 21
21
21
2
1
2
1
2
2 xx
xx
xx
x
x
x
x
λ
λ



 ≠

= 0:3 2
2
2
2 xx
x
Vλ
1λV
2λV



31
35
Determinantes 41 
Exercícios 
1. Encontre o número de inversões para cada uma das seguintes permutações de 
S = {1,2,3,4,5}. 
a) 52134 b) 45213 c) 42135 d) 13542 e) 35241 f) 12345 
2. Determine se cada uma das seguintes permutações de S = {1,2,3,4} é par ou 
ímpar. 
a) 4213 b) 1243 c) 1234 d) 3214 e) 1423 f) 2431 
3. Verifique para o conjunto S = {1, 2, 3} o teorema de Bezout. 
4. Dadas as seguintes matrizes sobre R: 
A = 

 −
54
23
 B = 


+
−
aba
aab
 C = 








−
−
152
324
321
 
a) Calcule os determinantes das matrizes A e C utilizando a definição. 
b) Calcule os determinantes das matrizes A, B e C utilizando as regras práticas. 
5. Determine os valores de k, para os quais: 
k24
kk
 = 0. 
6. Calcule os determinantes: 
a) 
1 8
7 4 b) 
752
413
201
 c) 
512
122
401
− 
42 Determinantes 
7. Aplicando propriedades e os resultados do exercício anterior, calcule os 
determinantes: 
a) 
514
120
221
−
 b) 
215
221
104
− c)
32567
000
30201
 d) 
323
626
222
−−−
−−−
 
e) 
7152
433
201
 f) 
7152
866
201
 g) 
632
010
311 −
 
8. Calcule o valor do determinante 
50012
03010
10022
02210
42001
− 
a) Aplicando o Teorema de Laplace à 1ª linha; 
b) Aplicando o Teorema de Laplace à 3ª linha; 
c) Aplicando propriedades. 
9. Sejam i,j ∈ N e A=[aij] e B=[bij] uma matriz nxn. Diga, justificando, se são 
verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: 
a) |A| ≥ 0 
b) |A|= 0 se e só se A = 0 
c) |-A|= -|A| 
d) |AB|=|BA| 
Determinantes 43 
10. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, prove que: 
a) 
2100
408305202101
10953
4321
=0 b) 
dccbbaad
cbbaaddc
baaddccb
addccbba
++++
++++
++++
++++
=0 
c) 
gidfac
ihfecb
hgedba
−−−
−−−
−−−
=0 d) 4a
dc3b6a10cb3a6ba3a
dc2b3a4cb2a3ba2a
dcbacbabaa
dcba
=
++++++
++++++
++++++
 
11. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, calcule: 
a) 
dcba
ccba
bbba
aaaa
 b) 
baabab1
accaca1
cbbcbc1
22
22
22
+
+
+
 c) 
xxx2
xyyx
xyzx
+
+
 
d) 
b2ba21b3a
aba2a
01ba
−−−+
+
−+
 e) 
ba2b3a5ba3
aa2b2ab
aba3a2
−−−
−−−
−
 
f) 
ββ+β+
+α+α+α
212
13212
312
, para 0≠α e 0≠β (sol: -9) 
12. Calcule: 
a) 
n...111
...............
1...311
1...121
1...111
 b) 
1n2n...nnn
1n3n2...1n1n1n
..................
33...533
22...232
11...111
−
−−−−−
 
44 Determinantes 
c) 
0...111
...............
1...011
1...101
1...111
−−−
−−
−
 d) 
n2...222
21n...222
..................
22...322
22...222
22...221
−
 
e) 
nn...n3n2n
...............
n3...1263
n2...662
n...321
2 +
 h) 
n1...111
...............
1...b111
1...1a11
1...111
+
+
+
 
i) 
kn...nnn
...............
4...k444
3...3k33
1...111
−
−
−
 j) 
1...11x
...............
0...11x
0...01x
a...aax1 n11312+
 
k) 
x12...222
2x1...222
..................
22...x122
22...2x12
22...22x1
−
−
−
−
−
 i) 
xn...321
...............
n...x321
n...3x21
n...32x1
+
+
+
+
 
13. Determine as raízes das equações: 
a) 
x4321
4x321
43x21
432x1
+
+
+
+
 = 0 b) 
02x
2x0
x02
 = 0 c) 
4x2
2xx
1x1
3
2 = 0 
d) 
dddxd
ccxcc
bxbbb
xaaaa
−
−
−
−
 = 0 e) 
xxxx
fxxx
edxx
cbax
 = 0 
Determinantes 45 
f) 
bbaaxx
1b1a1x
111
222 +++
+++ = 0 g) 
x61119x142x3
6x4x685x3
10x76x132x
−++
−−−−
−−−−−
 = 0 
h) 
xabc
axcb
bcxa
cbax
−
−
−
−
 = 0 
14. Mostre que 
a) 
cbad
badc
adcb
dcba
 = 0 se a+b+c+d = 0 
b) 
2222
2222
2222
bacc
bcab
aacb
+
+
+
 = 2
22
22
22
a0c
0ab
bc0 −−
 
c) 
1111
xyzxywxzwyzw
wkzkykxk
zwz2zyzx
2222 ++++
+++
 = 
32
32
32
32
www1
zzz1
yyy1
xxx1
 
15. Das matrizes que se seguem , inverta as que forem invertíveis: 
A= 


10
11
 B=
2 6
3 9



 C= 







−
−
100
011
202
 D=








−
−
212
011
111
 
16. Determine a e b de forma a que as matrizes A e B sejam invertíveis: 
A=








210
aa1
111
 B=








−−
−
−
b121
b311
1b21
0111
 
46 Determinantes 
17. Sendo A=








−
−
−
1212
1120
1111
1202
 
a) Calcule A-1 utilizando o método da adjunta; 
b) Represente uma matriz de 5ª ordem cujo determinante seja igual ao det(A). 
18. Sejam A=[aij]nxn e B=[bij]nxn matrizes regulares: 
a) Sabendo que det(AB) = det(A)*det(B) mostre que det(A)*det(A-1) = 1 
b) Mostre que det(A+B) ≠ det(A) + det(B) 
c) Mostre que (A*B)-1 = B-1 * A-1 
19. Sabendo que 
1 1 1
2 3 3
1 2
1 2
+ + +
+ +
= − −
i i i
i i i
i e utilizando somente as propriedades, 
resolva a equação 
x xi i
x xi i
x xi i
i
+ +
+ +
+
= +
2 1
3 2
3
2 2 , apresentando o resultado na forma 
mais simples. 
20. Sabendo que 2
321
222 =zyx
zyx
 e utilizando somente propriedades, calcule 
zzyyxx
zyx
xxx
+++
+++
222
321
32
. 
Determinantes 47 
21. Determine o valor do determinante da matriz A, utilizando somente 
propriedades 










−−+π
+−−
−−−+
=
044
4
23
33
121
33
111
cis
iii
iii
A 
22. Determine os valores e vectores próprios das matrizes 
 a) 


20
11
 b) 
6 3
2 1−



 c) 
14 9
6 11



 d) 
−
−
−










2 1 2
5 3 3
3 1 3
 e) 
5 6 8
12 13 16
4 4 5
− −
− −
−










 
(Obs: Em d) e e) os valores próprios são inteiros.) 
Soluções 
1. a) 5 b) 7 c) 4 d) 4 e) 7 f) 0 
2. a) + b) - c) + d) - e) + f) + 
4. a) 23; 79 b) 23; b2-2a2; 79 
5. k=0 ∨ k=2 
6. a) -52 b) 13 c) 3 
7. a) 3 b) -3 c) 0 d) 0 
 e) 39 f) 78 g) 0 
8. -66 
9. a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadeira 
11. a) a(b-a)(c-b)(d-c) b) 0 c) x(y-x)(z-y) d) (a+b)(2a+b)(a+2b) 
e) b(a+b)(a-b) f) -9 
12. a) (n-1)! b) (n-1)! c) 1 d) -2(n-2)! e) n! f) (n+x)xn-1 
48 Determinantes 
g) (x-1)(x-2) ... (x+1-n) h) abc ... n i) (-k)n-2 j) 1+x(1-a12) 
h) (2n-1-x)(-1-x)n-1 
13. a) (10+x)x3 -10; 0 (raíz tripla) b) -(x+2)(x2-2x+4) -2; 1 ± 3i 
c) -x(2-x)(x2-2) 0; 2; ± 2 d) -x3(a+b+c+d-x) a+b+c+d; 0 (raíz tripla) 
e) x(x-a)(x-d)(x-f) 0; d; f; a f) (a-x)(b-x)(a-b) a; b sse b≠a 
g) (5x-5)(x-1)(10x+96) 
5
48− ; 1(raíz dupla) 
h) (-x+a+b+c)(-x+a-b-c)(-x-a+b-c)(x+a+b-c) a+b+c; a-b-c; -a+b-c; -a-b+c 
15. 

 −
10
11
; IMP; 










−
−
100
11
2
1
10
2
1
; 










−
−−
011
3
10
3
2
3
11
3
2
 
16. a ≠ 1 b ≠ 
10
28111±− 
17. a) 








−
−−
−
−−
2021
81103
3041
91113
 b) 


A0
01
 
19. -6/5+2/5i 
20. 2x 
21. -2+2i 
22. a) λ=1 [x 0]T; λ=2 [x x]T b) λ=4 [x -2x/3]T; λ=3 [x -x]T 
c) λ=20 [x 2x/3]T; λ=5 [x -x]T d) λ=1 [x x x]T; λ=2 [x 2x x]T 
e) λ=1 [x 2x -x]T; λ=-1 [x x 0]T; λ=-3 [-2z-4z z]T 
 
Capítulo 3 
Sistemas de Equações Lineares 
Objectivo 
Neste capítulo vamos introduzir um novo processo de resolver sistemas de 
equações lineares, utilizando os conhecimentos adquiridos sobre matrizes e a sua 
característica. Veremos como discutir um sistema de equações lineares, em função 
de um, ou mais, parâmetros. Finalmente, iremos ver dois casos particulares de 
sistemas, sistemas de Cramer, resolvidos utilizando determinantes, e sistemas 
homogéneos, resolvidos utilizando a matriz inversa. 
50 Sistemas de Equações Lineares 
Introdução 
Vamos considerar um sistema de equações lineares, ou seja, 







=+++
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
ininii
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
................................................
...
................................................
...
...
2211
2211
22222121
11212111
 
onde ija , ,...,mi 1= , ,...,nj 1= e ib , ,...,mi 1= são escalares conhecidos pertencentes a 
ℜ e jx , ,...,nj 1= são escalares a determinar, também pertencentes a ℜ . Teremos 
então um sistema de m equações lineares a n incógnitas, jx , ,...,nj 1= , com 
coeficientes ija , ,...,mi 1= , ,...,nj 1= e com termos independentes ib , ,...,mi 1= . 
Definindo as matrizes: 












=
mnmm
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
MOMM
L
L
21
21
22221
11211
 












=
n
i
x
x
x
x
x
M
M
2
1
 












=
m
i
b
b
b
b
b
M
M
2
1
 
onde A é designada como matriz do sistema ou matriz dos coeficientes, x como 
matriz das incógnitas e b como matriz dos termos independentes, este sistema 
pode ser representado sob forma matricial como bAx = . Vamos, além disso, definir 
uma nova matriz A , que designaremos por matriz completa do sistema, como 
Sistemas de Equações Lineares 51 












=
mmnmm
iinii
n
n
baaa
baaa
baaa
baaa
A
L
MMOMM
L
MMOMM
L
L
21
21
222221
111211
 
Chamamos solução do sistema a qualquer ponto nnccc ℜ∈),...,,( 21 tal que, fazendo 
),...,,(),...,,( 2121 nn cccxxx = as m equações do sistema se verificam. 
Se o sistema não tiver soluções diz-se impossível, e no caso de ter, pelo menos, uma 
solução diz-se possível. Se existir apenas uma solução o sistema diz-se 
determinado e se existir mais do que uma solução indeterminado. 
Resolução de sistemas 
Resolver um sistema é determinar todas as suas soluções ou concluir que estas não 
existem. Dois sistemas dizem-se equivalentes se e só se têm as mesmas soluções. A 
equivalência entre sistemas permite resolver um sistema, resolvendo outro, 
equivalente ao sistema dado. Os métodos de resolução de sistemas consistem 
precisamente em passar do sistema inicial para outros, em passagens sucessivas, 
todos equivalentes entre si, de modo que o último seja um sistema muito simples, 
do qual seja imediato determinar as suas soluções, que serão, também, as do 
problema inicial. 
Vamos ver um método de resolução de sistemas de equações lineares: o método da 
condensação, baseado na condensação da matriz completa do sistema. 
52 Sistemas de Equações Lineares 
Método da condensação 
Seja o sistema definido anteriormente, bAx = , de m equações a n incógnitas. 
Consideremos a matriz completa do sistema A , de tipo )1( +× nm , e vamos 
proceder à sua condensação utilizando operações elementares sobre linhas e 
colunas até obtermos uma matriz que contenha uma submatriz triangular inferior, 
de ordem r, de elementos diagonais não nulos. 














+
+
+
+
m
r
rrnrrrr
nrr
nrr
b
b
baaa
baaaa
baaaaa
'00000
'00000
''''00
'''''0
''''''
1
1,
221,2222
111,111211
LL
MMOMMOMM
LL
LL
MMOMMOMM
LL
LL
 
Note-se que, durante a condensação da matriz A , nunca podemos realizar 
nenhuma operação elementar sobre a coluna dos termos independentes, nem todas 
as operações elementares sobre linhas e colunas. Vejamos a que corresponde cada 
operação elementar na equivalência de sistemas: 
Operações elementares sobre linhas: 
 I) corresponde à troca de ordem de duas equações; 
 II) corresponde à multiplicação de ambos os membros de uma equação por um 
escalar qualquer; 
 III) corresponde à soma de uma equação com o produto de outra equação por 
um escalar qualquer. 
Sistemas de Equações Lineares 53 
Operações elementares sobre colunas: 
 I) corresponde à troca dos coeficientes de duas incógnitas, ou seja, à troca da 
ordem das incógnitas; 
 II) corresponde à multiplicação dos coeficientes de uma incógnita por um 
escalar qualquer; 
 III) corresponde à soma dos coeficientes de uma incógnita com o produto dos 
coeficientes de outra incógnita por um escalar qualquer. 
Então, poderemos realizar todas as operações elementares sobre linhas, pois para 
todas elas se obtém uma matriz que representa um sistema equivalente ao anterior, 
mas apenas operações elementares de tipo I sobre colunas, o que corresponde à 
troca de ordem das incógnitas, devendo por isso ser anotada e tida em conta no 
final da resolução do problema. 
Obtivemos assim uma nova matriz que representa um sistema equivalente ao 
primeiro, como vimos a partir da correspondência entre operações elementares 
sobre linhas e colunas de uma matriz e as operações elementares possíveis de 
realizar sobre um sistema de modo a obter um sistema equivalente. 
É evidente, a partir da observação da nova matriz, que o novo sistema só será 
possível se as últimas r equações forem satisfeitas, ou seja, se e só se 0' =ib , 
mri ,...,1+= , o que nos leva ao seguinte teorema: 
Teorema: É condição necessária e suficiente para que uma sistema de equações 
lineares seja possível que a matriz dos coeficientes e a matriz completa 
tenham a mesma característica, isto é, 
)(car)(car AA = 
54 Sistemas de Equações Lineares 



=+
−=++−
=−
23
132
1
31
321
21
xx
xxx
xx
Temos então, como consequência imediata do teorema, que se )(car)(car AA ≠ o 
sistema é impossível. 
 
 
Exemplo: Consideremos o sistema 
 
 
 
Temos, então, car(A) = 2 ≠ car(A ) = 3, logo o sistema é impossível (SI). 
 
No caso de o sistema ser possível, obtemos o sistema equivalente ao primeiro: 



=+++
=+++++
=++++++
++
++
++
rnrnrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
bxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxaxa
''...''
....................................................................
''...''...'
''...''...''
11,
2211,22222
1111,11212111
 
Este novo sistema contém apenas r equações, a que chamaremos equações 
principais, designando as restantes por equações não principais ou redundantes. 
As incógnitas correspondentes à matriz triangular superior são designadas por 
incógnitas principais e as restantes por incógnitas não principais. Teremos, assim, 
r incógnitas principais e n-r incógnitas não principais. 
Note-se que, se r=n, não existem incógnitas não principais e, portanto, o sistema 
será reduzido a: 



=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
''
.............................
''...'
''...''
22222
11212111
 







 −







 −








−−
−
= −=
−=
+=
1000
0310
1011
~
1310
0310
1011
~
2301
1321
1011
233
133
122 LLL
LLL
LLL
A
Sistemas de EquaçõesLineares 55 



=
=
=
⇔



=
=×+
−=−
⇔



−=−
=+
−=−
2
0
1
2
422
12
84
42
1
3
2
1
3
2
1
3
32
31
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
(1,0,2)S =
sendo, portanto, um sistema possível e determinado, bastando apenas para 
encontrar a sua solução realizar a substituição sucessiva dos valores das incógnitas 
nx , 1−nx ,..., 2x , 1x . 
 
Exemplo: Consideremos o sistema 
 
 
 
 
 
Temos, então, car(A) = car(A ) = r = 3, n = 3, n – r = 0, logo o sistema é possível e 
determinado (SPD). Além disso, contém uma equação não principal, que é, por 
coincidência, a última. Passemos ao sistema condensado equivalente, e a partir 
deste à solução do sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
Se r<n, para resolver o sistema bastará passar para o segundo membro as incógnitas 
não principais, obtendo-se: 



−−−=
−−−=++
−−−=+++
++
++
++
nrnrrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
xaxabxa
xaxabxaxa
xaxabxaxaxa
'...'''
.....................................................................
'...'''...'
'...'''...''
11,
211,222222
111,111212111
 



=+
=++−
=+
−=−
232
12
22
1
21
321
21
31
xx
xxx
xx
xx








−−
−−








−−
−−
−−







 −−








−
−−
=
−=
−=
−=
−=
+=
−=
0000
8400
4210
1101
~
~
8400
8400
4210
1101
~
4230
0020
4210
1101
~
2032
1121
2012
1101
344
2344
2233
1244
133
1222
LLL
LLL
LLL
LLL
LLL
LLL
A
56 Sistemas de Equações Lineares 







=−+−
=+−+
−=−+−
=−+−
=+−+
22624
51067
1443
132
232
4321
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Neste caso, o sistema terá várias soluções, dizendo-se, portanto, indeterminado. O 
número de incógnitas não determinadas é igual ao de incógnitas não principais, n-r, 
designando-se este número por grau de indeterminação do sistema, e o sistema 
diz-se possível e n-r vezes indeterminado. As soluções do sistema inicial são 
encontradas do mesmo modo que no caso anterior, ou seja, por substituição 
sucessiva dos valores das incógnitas rx , 1−rx ,..., 2x , 1x . 
 
 
Exemplo: Consideremos o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então car(A) = car(A ) = r = 2, n = 4, n – r = 2, logo o sistema é possível e 
duplamente indeterminado (SP2D). Além disso, contém três equações não 
principais, por coincidência as três últimas e duas incógnitas não principais, x3 e x4. 
Obtemos o sistema condensado equivalente: 
 
 
 
 
 
 
 
 










−−−
−










−−−
−
−−−
−−−
−










−−
−
−−−
−−
−
=
= +=
−=
=
=
==
00000
00000
00000
37550
23121
~
~
61410100
37550
37550
37550
23121
~
22624
510671
14431
11312
23121
255
244
233
155
144
133
122
2L-LL
LLL
LLL
4L-LL
L-LL
L-LL
2L-LL
A
( )


−+=
−−=⇔


−+=
−+=−++⇔
⇔

+−−=−
−+=+⇔

−=−+−
=+−+
432
431
432
43431
432
4321
432
4321
x5/7x5/3x
x5/1x5/4x
x5/7x5/3x
x3x2x5/7x5/32x
x7x53x5
x3x2x2x
3x7x5x5
2x3xx2x


 −+−−= 434343 x,x,x5
7x
5
3,x
5
1x
5
4S
Sistemas de Equações Lineares 57 
101
101
2 ±=⇔=−
=⇔=−
aa
aa
11 −≠∧≠ aa
3
3)car()car(
=
==
n
AA
1=a








−
−








−
−
↔
0000
5050
2111
~
0000
5500
2111
32 CC 3
2)car()car(
=
==
n
AA
Discussão de sistemas 
Por vezes surgem casos em que não necessitamos de resolver um sistema de 
equações lineares, mas apenas de o classificar. Normalmente, nesse tipo de sistemas 
os coeficientes das incógnitas dependem de um ou mais parâmetros e o que se 
pretende é simplesmente determinar se o sistema é impossível, possível e 
determinado ou possível e indeterminado, e, neste último caso, qual o grau de 
indeterminação, em função dos ditos parâmetros, sem nunca chegar a resolver 
realmente o sistema. Assim, a matriz obtida por condensação a partir da matriz 
completa, não necessita de representar um sistema equivalente ao inicial, podendo, 
portanto, realizar-se todas as operações elementares sobre colunas, excluindo, 
unicamente, a última, sobre a qual continua a não se poder realizar qualquer 
operação. 
Exemplo: Consideremos o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os elementos da diagonal principal, verificamos que estes se anulam 
quando 
 
Logo, teremos 
 
 sistema possível e determinado (SPD) 
 
 
 
 
 
 sistema possível e simplesmente indeterminado(SP1D) 
 



−=+++
+=−−−
−=−+
axaaxx
axxxa
aaxxx
3)3(
124)2(
13
321
321
321








+−−
−+−−−−
−−








+−+−
−+−−−−
−−








−+
+−−−
−−
=
+=
−=
+−+=
aaa
aaaaa
aa
aaa
aaaaa
aa
aaa
aa
aa
A
LLL
LL
L
LaL
L
33100
1934210
1311
~
~
16310
1934210
1311
331
12412
1311
22
22
233
22
133
1)2(22
2
~
58 Sistemas de Equações Lineares 
 
 
 
 
 sistema impossível (SI) 
 
 
Exemplo: Consideremos o sistema 
 
 
 
 
 
 
 
Observando os elementos da diagonal principal, verificamos que estes se anulam 
quando 
 
Logo, teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos ver, para a=2, quando se anula o último elemento da coluna dos termos 
independentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1−=a








−
−−
−
6000
13120
4111
3)car(
2)car(
=
=
A
A
002
2024
=⇔=
=⇔=−
bb
aa
32062 =∨−=⇔=−− bbbb
2=a ~
1020
602120
124
~
1200
621200
124
32 







−
+
−−−








−
+
−−−
↔
bb
b
b
bb
b
b
CC








−−
−
−−−








−
−
−−−
−=
=
−=
6000
70120
124
~
660120
70120
124
~
2233
363
322 bb
b
b
bb
b
b
bLLL
LL
LLL
2)car( =A
2=a ~
1020
602120
124
~
1200
621200
124
32 







−
+
−−−








−
+
−−−
↔
bb
b
b
bb
b
b
CC








−−
−
−−−








−
−
−−−
−=
=
−=
6000
70120
124
~
660120
70120
124
~
2233
363
322 bb
b
b
bb
b
b
bLLL
LL
LLL
2)car( =A
)32(2 =∨−=∧= bba
3
2)car()car(
=
==
n
AA SP1I
322 ≠∧−≠∧= bba
3)car(
2)car(
=
=
A
A
SI
2( −=∧ b



=++
=++
−=+−−
bbxxx
axxax
bxxx
321
321
321
24
3
124








−
+−
−−−







 −−−







 −−−
=
+=
+==
1200
312240
124
~
24
41244
124
~
24
31
124
133
122242 bb
aaba
b
bb
aa
b
bb
aa
b
A
LLL
aLLLLL
∧ 0≠b
3
3)car()car(
=
==
n
AA SPD2≠a ∧
Sistemas de Equações Lineares 59 
Sistemas de Cramer 
Vamos agora ver um caso particular dos sistemas possíveis e determinados, que 
pode ocorrer quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou 
seja, quando nm = . 
Definição: Um sistema de equações lineares diz-se um sistema de Cramer se 
forem satifeitas as condições seguintes: 
a) O número de incógnitas é igual ao número de equações; 
b) O determinanteda matriz do sistema é não nulo. 
Consideremos então o sistema: 



=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
................................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
ou, na forma matricial, 
bAx = , com 








=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
, 








=
nx
x
x
x M
2
1
e 








=
nb
b
b
b M
2
1
. 
60 Sistemas de Equações Lineares 
O número de equações e de incógnitas é o mesmo, e, portanto, se 0≠A então 
estamos perante um sistema de Cramer, cuja solução pode ser obtida utilizando as 
chamadas fórmulas de Cramer: 
O valor de cada incógnita, ix , ni ,...,1= , pode ser obtido a partir do quociente 
∆
∆= iix , ni ,...,1= 
onde o denominador é o determinante da matriz dos coeficientes, A=∆ , e o 
numerador, i∆ , é o determinante da matriz que se obtém da matriz dos 
coeficientes, A, substituindo a coluna de ordem i, isto é, a coluna dos coeficientes da 
incógnita ix , pela coluna dos termos independentes, b. 
 
Exemplo: Seja o sistema de equações lineares 
 
 
 
então A = e |A| = -4. Calculemos os determinantes ∆i, i = 1,2,3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos outro método de resolução de um sistema de Cramer, bAx = , utilizando a 
inversa da matriz do sistema, 1−A , que existe sempre, pois 0≠A . Multiplicando à 
esquerda ambos os membros de bAx = por 1−A , tem-se bAAxA 11 −− = , e, como 
IAA =−1 , teremos bAIx 1−= , ou seja, bAx 1−= . 
 



=++
=+−
−=−+
43
322
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx








−
−
113
212
111
1
114
213
111
1 =−
−−
=∆ 8
143
232
111
2 −=
−−
=∆ 11
413
312
111
3 −=−=∆
4
1
4
1
1 −=−=x 24
8
2 =−
−=x
4
11
4
11
3 =−
−=x
Sistemas de Equações Lineares 61 
 
 
Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, temos A = 
 
 
 
Logo A-1 = , e portanto, x = A-1b = . 
 
Sistemas homogéneos 
Definição: Um sistema de m equações lineares a n incógnitas diz-se um sistema 
homogéneo se todos os termos independentes das equações do sistema 
forem nulos, ou seja, se tivermos 



=+++
=+++
=+++
0...
................................................
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
 
ou, na forma matricial, 0=Ax , com 0 a matriz coluna nula com m 
elementos. 
Este sistema é sempre possível, pois admite, pelo menos a solução nula, 0=jx , 
,...,nj 1= . Vejamos em que condições ele admite soluções não nulas. 
Teorema: Um sistema homogéneo, 0=Ax , admite soluções não nulas se e só se 
nrAcar <=)( . 
Neste caso, o sistema será indeterminado, com grau de indeterminação n-r. 
Do teorema anterior, conclui-se que o sistema tem soluções não nulas se e só se 
|A|= 0, ou seja, se a matriz do sistema, A, for singular. No caso de |A|≠ 0, ou seja, 
se a matriz A for regular, o sistema admite apenas a solução nula, sendo, portanto, 
possível e determinado. 








−
−
113
212
111








−−
−−
−
432145
111
412143
///
///







−
4/11
2
4/1
62 Sistemas de Equações Lineares 
Sistemas de Equações Lineares 63 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 SPD 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 SP1I 
 
 
 



=+−
=+−
=−+
023
032
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
3
3)car()car(
=
==
n
AA








−
−
−








−
−
−








−
−
−
−=
−=
−=
0200
0550
0121
~
0350
0550
0121
~
0231
0312
0121
233
133
1222 LLL
LLL
LLL



=
=
=



⇔
=
=−
=+
⇔



=−
=+−
=−+
0
0
0
0
05
02
02
055
02
z
y
x
z
y
yx
z
zy
zyx
)0,0,0(S =



=+−
=+−
=−+
043
032
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx








−
−








−
−
−








−
−
−
−=
−=
−=
000
550
121
~
550
550
121
~
431
312
121
233
133
1222 LLL
LLL
LLL
3
2)car()car(
=
==
n
AA


=
−=

 ⇔=
=−+⇔

=+−
=−+
zy
zx
zy
zzx
zy
zyx 02
055
02
),,(S zzz−=
64 Sistemas de Equações Lineares 
Exercícios: 
1. Dados os seguintes sistemas: 
a) 



=++−
−=−+−
=++−
552
12
12
wzyx
wzyx
wzyx
 b) 







=+
=−
=−+
=+
=+
3
22
1
4
52
zy
zx
zyx
zx
yx
 c) 



=+−+
=+−+
=++−
4447
242
12
tzyx
tzyx
tzyx
 
d) 



=+−−
=+
=+−−
=+++
32224
523
12
4
tzyx
tx
tzyx
tzyx
 e) 



=+−
=
=−−
12
12
1
zx
x
zyx
 f) 



=−++
=+−
−=+−
12
0
1
wzyx
zyx
wzy
 
g) 



=+−−
=+−−
=++
=++
273
135
02
1
wzy
wzyx
wzy
wyx
 h) 



=+−
=+−+
=+−+
−=++
0
123
23422
3336
zx
tzyx
tzyx
tyx
 
i) Resolva, quando possível, os sistemas, utilizando o método da condensação e 
classifique-os; 
ii) Verifique se algum dos sistemas é de Cramer e, caso afirmativo, resolva-o, 
utilizando as fórmulas de Cramer. 
2. Que valores deverá tomar o parâmetro a para o sistema seguinte seja de Cramer? 



=++−
−=+−
=+−+
243
132
1)1(
zyx
zyx
zaayx
 
Sistemas de Equações Lineares 65 
3. Faça a discussão dos sistemas: 
a) 



=−++
=+++
=−++
=−++
atzyx
atzyx
tzyx
tzyx
222
132
123
132
 b) 



=−+−+−
=−+−+−
=−+−+−
1)12()12()1(
)2()1()2(
1)2()12(2
zayaxa
azayaxa
zayax
 
c) 



=+−+
−=−−+
−=+−+
=−+
ptzyx
ptmzyx
tzyx
zyx
222
1233
1423
2
 d) 



=++++
=++++
=++++
azayxa
zayxa
zyaxa
)2(3)12(
2)1(2)1(
12)1()1(
 
e) 



−=−−
=++
=+
bazayx
zayx
zx
3
522
422
 f) 



=++
=−−+−
=++
=+−+
ptzmy
ptzmmy
tzmy
tzyx
933
26)3(2
03
322
 
4. Determine uma relação entre os parâmetros a, b, c e d, de modo que o sistema 



=++
=+
=++
dczyx
bzy
azyx
2
04
1
 seja: 
a) Possível e determinado; 
b) Possível e indeterminado; 
c) Impossível. 
5. Dado o sistema 

=−−
=+−
6zyx
4zyx
 
a) “O sistema é indeterminado”. Justifique a afirmação. 
b) Acrescente uma 3ª equação de modo que o sistema seja 
i) Possível e determinado; 
ii) Impossível; 
iii) Possível e indeterminado. 
66 Sistemas de Equações Lineares 
Soluções: 
1. ii) a) (2y-z,y,z,1) SP2I b) (2,1,2) SPD c) 

 +−
7
1,,
5
32,
35
722 zzz SP1I 
 d) SI e) (1/2,-5/4,3/4) SPD f) (1-w,0,1+w,w) SP1I g) SI 
 h) (-2,11,-2,-8) SPD 
ii) e),h) 
2. a≠3 
3. a) a≠1 SI a=1 SPD 
b) m≠3 SPD m=3 ∧ p=5 SP1I m=3 ∧ p≠5 SI 
c) a≠1 ∧ a≠-2 SPD a=1 ∨ a=-2 SI 
d) a≠0 ∧ a≠1 ∧ a≠3 SPD a=0 ∨ a=1 SP1I a=3 SI 
e) a≠0 ∧ a≠-1 SPD a=0 SI a=-1 ∧ b=2 SP1I a=-1 ∧ b≠2 SI 
f) p≠0 SI m≠1 ∧ p=0 SP1I m=1 ∧ p=0 SP2I 
4. a) b-4c+4a≠0 b) b=4c-4a ∧ d=1 c) b=4c-4a ∧ d≠1 
Capítulo 4 
Geometria Analítica 
Objectivo 
Neste capítulo vamos começar por fazer uma breve revisão sobre geometria 
analítica no espaço, e tentar dar uma perspectiva diferente desta. Irão ser dados 
novos conceitos, nomeadamente, o produto