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Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica Maria Eduarda Pinto Ferreira Teresa Araújo Capítulo 1 Matrizes Objectivo Neste capítulo vamos introduzir um novo conceito, o de matriz; os diferentes tipos de matrizes existentes; estudar algumas operações que se podem efectuar com matrizes e as suas propriedades; dar o conceito de operação elementar; calcular a característica de uma matriz, quer pela definição, quer utilizando operações elementares, a que chamaremos método da condensação e, finalmente, calcular a inversa de uma matriz. 2 Matrizes Introdução Exemplo: Considere a seguinte tabela de dupla entrada da multiplicação: * 2 3 4 5 6 12 18 24 30 7 14 21 28 35 8 16 24 32 40 Esta a tabela dá-nos os resultados da multiplicação de 6, 7 e 8 por 2, 3, 4 e 5. Por exemplo, na 3ª linha, 4ª coluna está o número 28, resultante da multiplicação de 7 por 4. A entidade matemática que representa uma tabela deste género é uma matriz. Definição: Uma matriz A = [aij]mxn, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, do tipo mxn é um quadro com m linhas e n colunas cujos elementos aij são escalares, representando-se por: A = mn2m1m n22221 n11211 aaa aaa aaa L MOMM L L ou A = mnmm n n aaa aaa aaa L MOMM L L 21 22221 11211 As matrizes são representadas, normalmente, por letras maiúsculas (A, B, C, …) e os seus elementos pela respectiva letra minúscula com dois índices, o primeiro, normalmente representado pela letra i, corresponde ao número da linha e o segundo, normalmente representado pela letra j, corresponde ao número da coluna, sendo então representado por aij. Excepcionalmente podem aparecer matrizes representadas por letras minúsculas, por exemplo, na representação de um sistema sob a forma de matriz, Ax = b, como iremos ver num outro capítulo. A matriz, A, é delimitada por parênteses rectos ou por parênteses curvos. Daqui para a frente vamos utilizar a notação de parênteses rectos. Matrizes 3 Exemplo: O exemplo anterior pode ser convertido numa matriz B=[bij]4x5. Substituindo o operando * pelo número 0 obtém-se a seguinte matriz O resultado da multiplicação de 7 por 4, que se encontra na 3ª linha, 4ª coluna, matematicamente representa-se por b34 = 28. Podemos então concluir que as matrizes são ferramentas que nos vão ajudar na vida real, nomeadamente a programar, na resolução de sistemas (circuitos eléctricos), na organização de informação, etc. Matrizes do mesmo tipo são matrizes com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, isto é, A = [aij]mxn e B = [bij]pxq são do mesmo tipo se e só se m=p e n=q. Exemplo: Dadas as 4 matrizes são do mesmo tipo as matrizes C e D e a matrizes E e F. (estas matrizes vão servir para exemplificar alguns conceitos) Elementos homólogos, de matrizes do mesmo tipo, são os que têm índices iguais, isto é, pertencem respectivamente à mesma linha e à mesma coluna, isto é, dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn diz-se que o elemento aij da matriz A é homólogo do elemento bij da matriz B. Exemplo: Nas matrizes C e D são elementos homólogos, os elementos c23 = 6 e d23 = f; c12 = 2 e d12 = b; c33 = 9 e d33 = i; etc. Exemplo: Nas matrizes E e F são elementos homólogos, os elementos e13 = 33 e f13 = l; e12 = 22 e f12 = k; e23 = 66 e f23 = o; etc. = 403224168 352821147 302418126 54320 B 4 Matrizes Diagonal principal, em matrizes com o mesmo número de linhas e colunas, são os elementos cujo índice da linha é igual ao da coluna, isto é, dada a matriz A = [aij]nxn, os elementos aij com i=j são os elementos da diagonal principal. Nota: Só existem diagonais principais em matrizes quadradas. Exemplo: As diagonais principais nas matrizes C e D são as seguintes Na matriz C: c11 = 1 c22 = 5 c33 = 9 Na matriz D: d11 = a d22 = e d33 = i Elementos opostos, ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, isto é, dada a matriz A = [aij]mxn, diz-se que o elemento aij é o oposto do elemento aji. Exemplo: Na matriz C, os elementos c12 = 2 e c21 = 4 são elementos opostos. Tipos de matrizes Alguns tipos de matrizes Descrição Matriz linha Matriz com uma só linha A = [a1j]1xn A = [ ]n11211 aaa L Matriz coluna Matriz com uma só coluna A = [ai1]mx1 A = 1m 21 11 a a a M Matriz rectangular Matriz com m linhas e n colunas A = [aij]mxn A = mn2m1m n22221 n11211 aaa aaa aaa L MOMM L L Matriz quadrada Matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas A = [aij]nxn A = mm2m1m m22221 m11211 aaa aaa aaa L MOMM L L Matriz nula Matriz A = [aij]mxn com aij= 0 ji∀∀ Matrizes 5 Matriz diagonal Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos acima e abaixo da diagonal são iguais a zero, e pelo menos um elemento da diagonal principal é diferente de zero A = nn 22 11 a00 0a0 00a L MOMM L L ∃ aij≠0 i ∈{1,2, … n} Matriz triangular superior Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos abaixo da diagonal são todos nulos A = nn n222 n11211 a00 aa0 aaa L MOMM L L Matriz triangular inferior Matriz quadrada, A = [aij]nxn, cujos elementos acima da diagonal são todos nulos A = mm2m1m 2221 11 aaa 0aa 00a L MOMM L L Matriz identidade (ou unidade) Matriz diagonal, A = [aij]mxm, cujos elementos da diagonal são todos iguais a um Imxm = 100 010 001 L MOMM L L Igualdade de matrizes Duas matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, são iguais, se e só se, são do mesmo tipo e todos os seus elementos homólogos são iguais, isto é, aij = bij, i = 1, 2, …,m, j = 1, 2 …, n. 6 Matrizes Matriz transposta Matriz que se obtém da matriz dada, A = [aij]mxn, trocando ordenadamente as suas linhas pelas suas colunas, designa-se por AT = [aji]nxm. Exemplo: As matrizes transpostas das matrizes C e F são: Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn e B = [bij]mxn: I – (AT)T = A Exemplo: II – (A + B)T = AT + BT III – (AB)T = BT AT Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Exercício: "Algumas propriedades acima nem sempre se verificam.", diga em que casos é que isto acontece, para cada uma das propriedades. Matriz simétrica: Matriz quadrada em que A = AT. Matrizes 7 Operações com matrizes Adição de matrizes Só se podem adicionar matrizes do mesmo tipo. Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn da soma destas matrizes resulta uma outra matriz C = [cij]mxn (do mesmo tipo) cujos elementos são iguais à soma dos elementos homólogos de A e B: cij = aij + bij (i = 1, 2, …,m; j = 1, 2 …, n). Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn e D = [dij]mxn: I - Comutatividade: A + B = B + A Exemplo: II – Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) III – Existência de elemento neutro (matriz nula): A + 0 = 0 + A = A IV – Existência de elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0 V – Se A = B e C = D, então A + C = B + D Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Multiplicação de uma matrizpor um escalar Dada a matriz A = [aij]mxn, da multiplicação do escalar k pela matriz A resulta uma outra matriz C = [cij]mxn, do mesmo tipo, cujos elementos são iguais ao produto do escalar, k, por cada elemento da matriz A: cij = kaij, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2 …, n. 8 Matrizes Subtracção de matrizes Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn a subtracção destas matrizes corresponde à adição de uma outra matriz que resulta da segunda por multiplicação desta pelo escalar -1, isto é, A - B = A + (-1)B. Exemplo: C - D = C + (-1)D Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn e k e t escalares reais: I – k(A + B) = kA + kB II – (k + t) A = kA + tA III – (kt) A = k (tA) = t (kA) IV – 1A = A V – A = B ⇒ kA = kB Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Multiplicação de matrizes Dadas duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxp , onde o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda, o produto destas matrizes é uma outra matriz, C = [cij]mxp tal que cij =∑ = n 1k kjik ba (i= 1, 2, …,m; j= 1, 2 …, p). Matrizes 9 Exemplo: Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn, C = [cij]mxn e D = [dij]mxn: I – Associatividade (A B) C = A (B C) II – Existência de elemento neutro A I = I A = A III – Distributividade da multiplicação à direita e à esquerda em relação à adição (A + B) C = A C + B C A (B + C) = A B + A C IV – A = B e C = D ⇒ A C = B D Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades anteriores. Nota: Normalmente a multiplicação de matrizes NÃO É COMUTATIVA, mas quando tal acontece as matrizes dizem-se permutáveis, isto é, Matrizes permutáveis: Matrizes A e B tais que AB = BA. Exercício: Encontre algumas matrizes permutáveis. Exercício: Demonstre que a multiplicação de matrizes não é comutativa. ++++++ ++++++= = 9*6*3*8*5*2*7*04*1* 9*6*3*8*5*2*7*4*1* 987 654 321 onmonmnm lkjlkjlkj onm lkj FC ++++++ ++++++= = 9*6*3*8*5*2*7*04*1* 9*6*3*8*5*2*7*4*1* 987 654 321 onmonmnm lkjlkjlkj onm lkj FC 10 Matrizes Combinação linear de linhas e colunas Dadas as matrizes coluna = 1m 21 11 1 a a a A M , = 2m 22 12 2 a a a A M ,..., = mn n2 n1 k a a a A M , e dada uma matriz C, diz-se que C é combinação linear de n21 A,,A,A K , se e só se ∑ = α=α++α+α=ℜ∈ααα∃ n 1i iinn2211n21 AAAAC:,,, KK Dependência e independência linear Colunas linearmente dependentes As matrizes coluna n21 A,,A,A K , dizem-se linearmente dependentes se e só se: ℜ∈ααα∃ n21 ,,, K \{0}: 0AAA nn2211 =α++α+α K Colunas linearmente independentes As matrizes coluna n21 A,,A,A K , dizem-se linearmente independentes se e só se: 00AAA n21nn2211 =α==α=α⇒=α++α+α KK Analogamente para as linhas. Exercício: Dê a definição de combinação linear, dependência e independência linear para as linhas. Nota: A dependência e independência linear das colunas (linhas) de uma matriz não se altera quando se efectuam operações elementares. Matrizes 11 Característica de uma matriz Definição A característica de uma matriz corresponde ao número máximo de colunas (linhas) linearmente independentes. Nota: O número máximo de linhas linearmente independentes é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes. Exemplo: Para a matriz calcule a) as linhas linearmente independentes; b) as colunas linearmente independentes; c) a característica da matriz A. a) L1, L2 e L3 são linearmente dependentes; L2 e L3 são linearmente independentes; L1 e L3 são linearmente dependentes; L1 e L2 são linearmente independentes; Concluindo, temos dois conjuntos de duas linhas linearmente independentes, {L2,L3} e {L1,L2}. b) C1, C2 e C3 são linearmente dependentes, porque L1, L2 e L3 o são; C1 e C2 são linearmente independentes; = 642 540 321 A ( ) ( ) ( ) ( ) =β δ−=α⇒=δ+β+α 0 2 0,0,06,4,25,4,03,2,1 ( ) ( ) ( ) =δ =β⇒=δ+β 0 0 0,0,06,4,25,4,0 δαδα 2)0,0,0()6,4,2()3,2,1( −=⇒=+ ( ) ( ) ( ) =β =α⇒=β+α 0 0 0,0,05,4,03,2,1 = =⇒=+ 0 0 )0,0,0()4,4,2()2,0,1( β αβα 12 Matrizes C2 e C3 são linearmente independentes; C1 e C3 são linearmente independentes; Concluindo temos três conjuntos de duas colunas linearmente independentes, {C2,C3}, {C1,C3} e {C1,C2}. c) A característica de uma matriz é igual ao número máximo de linhas/colunas linearmente independentes. Logo, das alíneas anteriores, podemos concluir que a característica da matriz é igual a 2. Operações elementares sobre matrizes Existem três operações elementares: I) Permuta de duas linhas (colunas); II) Multiplicação de uma linha (coluna) por um número diferente de zero; III) Adição aos elementos de uma linha (coluna) os elementos correspondentes de uma outra linha (coluna) paralela multiplicada por um número qualquer. Exemplo: Aplicando a operação elementar tipo I) à matriz C vem: Aplicando a operação elementar tipo II) à matriz C vem: Aplicando a operação elementar tipo III) à matriz C vem: = =⇒=+ 0 0 )0,0,0()6,5,3()4,4,2( δ βδβ = =⇒=+ 0 0 )0,0,0()6,5,3()2,0,1( δ αδα Matrizes 13 Matrizes equivalentes Duas matrizes dizem-se equivalentes, e escreve-se A ~ B, se uma delas puder ser obtida da outra realizando um número finito de operações elementares. Exemplo: As matrizes do exemplo anterior são matrizes equivalentes, isto é, Método da condensação Vamos apresentar o método da condensação. Veremos posteriormente como utilizar este método no cálculo da característica, da inversa e do determinante de uma matriz e na resolução de sistemas de equações lineares. A condensação de uma matriz A = [aij]mxn consiste nas seguintes fases: a) Tome-se 0a11 ≠ (se 0a11 = , troca-se a primeira linha com outra, de modo a que 11a seja não nulo, a esta operação chama-se pivotagem, se a primeira linha for toda nula, troca-se com a última linha e repete-se o raciocínio), designando-se este por elemento redutor ou pivot; b) Fixado o elemento 11a , procuram-se escalares iλ tais que 0aa 1i11i =+λ , m,...,2i = ; soma-se à linha i a primeira multiplicada por iλ , anulando-se, assim, todos os elementos abaixo de 11a , diz-se então que se condensou a primeira coluna; c) Na matriz obtida procede-se do mesmo modo, desta vez tomando como elemento redutor 22a , e assim sucessivamente, até um determinado elemento rra . A condensação termina, obtendo-se a matriz condensada A', quando já não existem: 14 Matrizes i) mais colunas, ou seja, nr = = 000 000 'a00 'a'a0 'a'a'a 'A rn n222 n11211 L MOMM L L MOMM L L ii) mais linhas, ou seja, mr = = + + + mn1m,mmm n21m,2m222 n11m,1m11211 'a'a'a00 'a'a'a'a0 'a'a'a'a'a 'A LL MOMMOMM LL LL iii) apenas linhas nulas, ou seja, mr < = + + + 00000 00000 'a'a'a00 'a'a'a'a0 'a'a'a'a'a 'A rn1r,rrr n21r,2r222 n11r,1r11211 LL MOMMOMM LL LL MOMMOMM LL LLNote-se que todas as matrizes A' contêm uma submatriz triangular superior de ordem máxima, r, de elementos diagonais não nulos. A passagem da matriz inicial, A, para a matriz condensada, A', foi realizada utilizando unicamente operações elementares, logo as matrizes A e A' são equivalentes. Matrizes 15 Exemplo: Vamos aplicar o método da condensação a várias matrizes Característica de uma matriz utilizando o método da condensação Como a independência linear não se altera quando se efectuam operações elementares, a característica de uma matriz pode ser obtida por condensação, e corresponde à ordem da submatriz triangular superior da matriz condensada, ou seja, car(A) = r. Exemplo: No exemplo dado para exemplificar as operações elementares vimos que as matrizes C, CI, CII, CIII, CIV, CV e CVI são matrizes equivalentes, isto é, foram obtidas umas das outras através de operações elementares, e pode escrever-se Logo, têm a mesma característica, car(C) = car(CI) = car(CII) = car(CIII) = car(CIV) = car(CV) = car(CVI) 16 Matrizes Exemplo: Dos exemplos da condensação de matrizes, temos: A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 3, logo a característica desta matriz é 3. A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 2, logo a característica desta matriz é 2. A matriz condensada contém uma submatriz triangular superior de ordem 3, logo a característica desta matriz é 3. Inversa de uma matriz Inversa esquerda e inversa direita de uma matriz Seja A = [aij]mxn. Chama-se inversa esquerda da matriz A, a qualquer matriz M do tipo nxm tal que M A = I, onde I é a matriz identidade de ordem n. Chama-se inversa direita da matriz A, a qualquer matriz N do tipo nxm tal que A N = I, onde I é a matriz identidade de ordem m. Definição de inversa de uma matriz Chama-se inversa da matriz A a uma matriz, que se representa por A-1, tal que A-1 A = A A-1 = I Nota: Uma condição necessária para uma matriz ter inversa, é que seja quadrada. No entanto, nem todas as matrizes quadradas têm inversa. Matrizes 17 Exercício: Dê um exemplo de uma matriz quadrada que não tenha inversa. Propriedades Dadas as matrizes, A = [aij]mxn, B = [bij]mxn e k escalar inteiro: I – (A B)-1 = B-1 A-1 II – Se A é quadrada e invertível então (A-1)-1 = A III – I-1 = I IV– A-1 (A B) = 0 ⇒ B = 0 V – Se A é quadrada e invertível então (Ak) -1 = (A-1) k VI - (AT)-1 = (A-1)T Exercício: Encontre algumas matrizes que satisfaçam as propriedades. Cálculo da inversa de uma matriz por condensação A inversa de uma matriz A pode ser calculada através da realização de um número finito de operações elementares sobre linhas (colunas), a este método chama-se método da condensação. Neste método o objectivo é, aplicando operações elementares às linhas: ou ou, aplicando operações elementares às colunas: ou IA ~operaçõeselementares sobre linhas I A-1 I A A-1 ~operações elementares sobre colunas I I A ~operaçõeselementares sobre linhas IA-1 I A A-1~operações elementares sobre colunas I 18 Matrizes Exercícios 1 - Considere as seguintes matrizes sobre ℜ: A = 1 2 3 2 1 4 B = 23 12 01 C = 3 1 3 4 1 5 2 1 3 − D = 3 2 2 4 − E = 2 4 5 0 1 4 3 2 1 − F = − 4 5 2 3 a) Para as matrizes A, B e C, identifique: i) a12, a22, a23 ii) b11, b21, b32 iii) c13, c31, c33 b) Para as matrizes A, B, C, D, E, F, se possível calcule: i) C+E ii) AB e BA iii) 2D - 3F iv) CB+D v) (3)(2A) e 6A vi) A(BD) e (AB)D vii) A(C+E) e AC+AE viii) 3A+2A e 5A ix) DF+2A x) (-4A)(3C) e (-12)(AC) xi) AT e (AT)T xii) (C+E)T e CT+ET xiii) (AB)T e BTAT xiv) (BC)T e CTBT = 43 21 A =− − − 2/12/3 121A L =L /-22 2 − − −− − −− 2 1 2 310 1201 ~ 1320 1201 ~ ~ 1320 0121 ~ 1043 0121 L =L + L1 1 2L =L -3L2 2 1 Exemplo: Matrizes 19 2 - Dadas as seguintes matrizes sobre ℜ: A = − 210 321 021 B = 1 2 1 0 1 2 0 1 3 − − − C = − − 521 132 201 Determine a matriz X tal que: a) A+XT=BT+C b) (A+B)T+X=B-CT c) X+AB=CTA d) X+B2-A=2I+C e) (A+X)T=BC+A2 3 - Dada a matriz A = − − 21 11 , verifique se 3A+A2=A(3I+A). 4 - Dadas a matriz A = − − bba baa e B = − − ddc dcc sobre ℜ, mostre que são permutáveis. 5 - Sejam i,j ∈ ℵ e A=[aij] uma matriz nxn. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) (A+I)2=A2+2A+I b) (A+B)2=A2+2AB+B2 c) se AB=BA, então (A+B)(A-B)=A2-B2 6 - Seja A = 1 2 4 3− , encontre f(A) onde f(X)=2X 3-4X+3. 7 - Encontre todas as matrizes B que permutam com a matriz A dada em 6. 8 - Determine uma matriz B de 2ª ordem, sem elementos nulos, tal que B2=0. 9 - Para A = − − − 1 2 0 2 5 3 0 3 0 , B = − − 120 022 431 e C = 1 0 1 2 3 1 0 1 2 1 0 2 − − − a) simplifique a expressão AB+5B+BTB-M=0 b) determine o valor de M da expressão anterior c) verifique se A e B são permutáveis d) verifique se A e C são permutáveis 20 Matrizes 10 - Para M = −− − − − 2331 0212 3121 1201 , calcule MMT e classifique a matriz produto. 11 - Para a matriz A= − 640 531 321 calcule a) as linhas linearmente independentes b) as colunas linearmente independentes c) a característica de A 12 - Calcule a característica das seguintes matrizes: A= 321 110 321 B= 2001 1011 1111 C= 001 010 100 D= 100 000 111 001 13 - Dadas as matrizes A, B e C determine as matrizes X que verifiquem as condições: A= − 10 11 B= 51 32 C= 80 01 a) AX=B2+C b) BX=AT+BC c) XC=(AB)2 d) XC=(A-B)2 14 - Dadas as matrizes A= b32a 1a05 a243 2b1a e B= −− −− −− −− 2110 7b110 1111 b221a2 a) Calcule AB b) Determine a e b, tal que A=B-1 15 - Para A= 801 352 321 B= 235 540 321 C= 963 642 321 D= 642 540 321 a) Verifique que (AB)-1=B-1A-1 b) Utilizando o método da condensação calcule car(A), car(B), car(C) e car(D) Matrizes 21 16 - Calcule a característica das seguintes matrizes: A= −−− −−− −−− 1a21a21a 2a1a2a 2a1a22 B= −−− −−− −−− 112121 212 12122 aaa aaaa aa 17 - Dadas as matrizes π π π 0 2 3cis 2 cis1 2 4 cis2 , ππ 2 cis20 1cis0cise π π π 0 2 cis 2 3cis3 5 4 cis2 a) Identifique cada uma das matrizes acima indicadas com as letras A, B e C tal que D=AB= i2L LL . b) Calcule a matriz D. c) Simplifique a expressão X = (BTATC)T+AB d) Determine o valor da matriz X. 18 - Dadas as matrizes A = π+ 2 cis2i2 , B = ( ) π − cis2 i104 e C = 43 21 a) Determine C-1, utilizando o método da condensação. b) Simplifique a expressão AB+ACB+X = 0. c) Determine o valor da matriz X. 19 - Dadas as matrizes A = 0 1 2 1 12a B = 1 0 2 1 1 1− a) Verifique se (AB) T= BT AT . b) Determine o valor da matriz X tal que X = (AB) TxA+ BT AT xA. 20 - Dadas as matrizes A= − + 1i3 ii21 , B= π π π 0cis 2 cis 2 3cis 2 3cis2 e C= 1 2 1 3 a) Simplifique a expressão AX+BX+X-C=0. b) Determine a matriz X que verifica a condição AX+BX+X-C=0. Soluções 1 - a) i) 2;1;4 ii) 1;2;2 iii) 3;2;3 b) i) − 435 924 855 ii) 916 814 ; 1787 1054 321 iii) 18 19 2 1 − − − 22 Matrizes iv) IMP v) 24612 18126 vi) 58 4 66 4 vii) 41434 38828 viii) 20510 15105 ix) IMP x) − − − − − − 204 48 264 216 36 276 xi) 1 2 2 1 3 4 ; A xii) − 498 325 545 xiii) 98 1614 xiv) IMP; IMP 2 - a) −− −− 032 362 251 b) − − − − 2 1 0 4 1 0 1 7 7 c) − − 1763 134 372 d) 3 3 4 1 2 12 1 1 2 − − e) − − −− 112011 2103 654 3 - Verdadeira 5 - a) Verdadeira b) Falsa c) Verdadeira 6 - − − 119104 5215 7 - + wy2 ywy2 8 - Por exemplo: 1 1 1 1− − 9 - a) (A+5I+BT)B-M=0 b) M = − − 223010 19311 1215 c) Não Permutáveis d) Não Permutáveis 10 - − − −− 2311143 11922 142150 3206 Matriz Simétrica 11 - a) as 3 linhas b) as 3 colunas c) 3 12 - Car(A)=2 Car(B)=3 Car(C)=3 Car(D)=3 Matrizes 23 13 - a) 367 5715 b) − − 7 58 7 3 7 3 7 15 c) −− 8 236 2 31 d) 8 205 8 205 14 - a) ++−++−−−− +−−− +−−+−−− ++−−+−−−−− 19b2ab22b2a21ba32a2 2b10a711aba40 10b6a22b2aa524a6 3b7ab21ba21bab101a2 2 22 b) Por exemplo a=4 ∧ b=3 15 - a) Verdadeira b) Car(A)=3; Car(B)=3; Car(C)=1; Car(D)=2 16 - Se a ≠ -1 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 Car(A) = 3 Se a = -1 ∨ a = 1 ∨ a = 0 Car(A) = 2 Se a ≠ -1 ∧ a ≠ 1 ∧ a ≠ 0 Car(B) = 3 Se a = 0 Car(B) = 3 Se a = 1 Car(B) = 3 Se a = -1 Car(B) = 2 Resumo: Se a ≠ -1 Car(B) = 3 Se a = -1 Car(B) = 2 17 - a) B, A, C b) − i23 i20 c) X = (CT + I)(AB) d) IMP 18 - a) − − 2 1 2 3 12 b) X = - A(I + C)B c) −− − i248 i896 19 - a) Verdadeiro b) X = 2 (AB)TA = ++++ 2422 242 a214a2a26a22 a4a4a4 20 - a) X = (A + B + I)-1 C b) − 0 6 1 1 2 1 24 Matrizes Capítulo 2 Determinantes Objectivo O objectivo deste capítulo é introduzir o conceito de determinante de uma matriz, ver algumas regras práticas para o calcular, a redução da ordem de um determinante utilizando o teorema de Laplace e as suas propriedades. Além disso, veremos como calcular a inversa de uma matriz utilizando determinantes, bem como a definição e o cálculo dos valores próprios e vectores próprios de uma matriz. 26 Determinantes Introdução Permutação de n elementos Permutação Seja n} ..., 2, {1, S= o conjunto dos inteiros de 1 a n, dispostos em ordem crescente. Um rearranjo j1 j2 ... jn dos elementos de S é chamado uma permutação de S. Exemplo: 4231 é uma permutação de S = {1, 2, 3, 4}. Inversão Uma permutação j1 j2 ... jn de n} ..., 2, {1, S= tem uma inversão se um inteiro maior jr precede um inteiro menor js. Exemplo: 4231 é uma permutação de S = {1, 2, 3, 4} e temos 4 > 2 uma inversão 4 > 3 uma inversão 4 > 1 uma inversão 2 > 1 uma inversão 3 > 1 uma inversão Concluindo em 4231 temos cinco inversões. Permutação principal Permutação por ordem crescente, isto é, sem inversões. Exemplo: 1234 é a permutação principal de S = {1, 2, 3, 4}. Classes Uma permutação é de classe par se o número total de inversões for par. Uma permutação é de classe ímpar se o número total de inversões for ímpar. Nota: As permutações principais são consideradas de classe par. Exemplo: Em 4132 temos 4 > 1 uma inversão 4 > 3 uma inversão 4 > 2 uma inversão 3 > 2 uma inversão Temos quatro inversões, logo a permutação é de classe par. Determinantes 27 Exemplo: Na permutação do exemplo anterior temos cinco inversões, logo 4231 é de classe ímpar. Para construir uma permutação do conjunto n} ..., 2, {1, S= , podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na primeira posição, qualquer um dos restantes n-1 elementos na segunda posição, qualquer um dos restantes n-2 elementos na terceira posição, e assim sucessivamente, até que a n-ésima posição só pode ser preenchida pelo elemento que falta. Donde, podemos concluir que existem 123...2)-(n1)-(nn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ permutações em S, ou seja, n! permutações. Exemplo: Conjunto Número de permutações Permutações Inversões Classes S = {1} 1! = 1 1 - par S = {1, 2} 2! = 2*1 = 1 12 21 - 2>1 par ímpar S = {1, 2, 3} 3! = 3*2*1 = 6 123 231 312 132 213 321 - 2>1, 3>1 3>1, 2>1 3>2 2>1 3>2, 3>1, 2>1 par par par ímpar ímpar ímpar Na tabela acima podemos verificar que o número de permutações pares e ímpares para cada conjunto S é igual. Generalizando, para n > 1, n} ..., 2, {1, S= tem 2 n! permutações pares e 2 n! permutações ímpares. Teorema de Bezout: Se numa permutação trocarmos entre si dois elementos a permutação muda de classe. 28 Determinantes 2221 1211 aa aa Determinante Dada a matriz A = [aij]nxn, definimos o determinante da matriz A, e escrevemos |A|, det(A) ou simplesmente ∆, como |A| = n21 njj2j1 aaa K∑± (1) onde o somatório é realizado para todas as permutações, j1 j2 ... jn, do conjunto n} ..., 2, {1, S= . O sinal é escolhido positivo ou negativo consoante a permutação j1 j2 ... jn seja par ou ímpar, respectivamente. Em cada termo, ± n21 njj2j1 aaa K , do determinante da matriz A, os subíndices relativos às linhas estão na sua ordem natural, enquanto que os subíndices relativos às colunas estão na ordem j1 j2 ... jn. Como a permutação j1 j2 ...jn é simplesmente um rearranjo dos números de 1 a n, não contém repetições. Assim, cada termo do determinante da matriz A é o produto de n elementos de A com sinal apropriado,com exactamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Como estamos a somar todas as permutações do conjunto n} ..., 2, {1, S= , o determinante da matriz A tem n! termos na equação (1). Exemplo: A = [a11] n = 1 1! = 1 permutação Só tem a permutação principal, de classe par, logo |A| = a11. Exemplo: A = n = 2 2! = 2*1 = 2 permutações Pela equação (1) vem a11a22 (permutação de classe par) a12a21 (permutação de classe ímpar) Logo, |A| = ? a11a22 ? a12a21 ou seja, |A| = +a11a22 - a12a21 Nota: Só é possível calcular determinantes de matrizes quadradas. A ordem de um determinante é igual ao número de linhas (colunas). Determinantes 29 21122211 2221 1211 aaaa aa aa A −+== negativostermos aaa aaa aaa A positivostermos aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 333231 232221 131211 = = Para simplificar, "porque quando as coisas se complicam, vêm os Matemáticos e simplificam", surgiram algumas regras práticas. Regras práticas Para matrizes 2x2 Para matrizes 3X3, temos a regra de Sarrus: ou ainda, NOTA: Estas regras práticas para o cálculo de determinantes só podem ser aplicadas a matrizes de ordem inferior ou igual a três. Como se poderá calcular o determinante de uma matriz de ordem superior a três? Podemos utilizar a definição, mas tem a desvantagem de ser pouco eficiente. Por exemplo, para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 4, vamos ter 4! = 4*3*2*1 = 24 parcelas, correspondentes às respectivas permutações de um conjunto de quatro elementos. Novamente para simplificar o cálculo do determinante de uma matriz, surgiu o teorema de Laplace. 232221 131211 211233113223312213231231133221332211 333231 232221 131211 aaa aaa aaaaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa A −−−+++== 30 Determinantes − − −− 5113 1121 2201 4321 Antes de vermos o teorema de Laplace vamos aprender dois novos conceitos. Menor complementar de um elemento, aij, de uma matriz A, é o determinante da matriz que se obtém da matriz A, suprimindo-lhe a linha i e a coluna j, ou seja, a linha e a coluna que cruzam nesse elemento. Complemento algébrico de um elemento, aij, de uma matriz A, é o produto do menor complementar desse elemento por (-1)i+j, onde i e j são as ordens da linha e da coluna, respectivamente, que se cruzam nesse elemento, e representa-se por Aij. Exemplo: Seja A = . O menor complementar do elemento a44 é e o respectivo complemento algébrico é A44 = (-1)4+4 . Teorema de Laplace O determinante de uma matriz A é igual à soma dos produtos que se obtêm multiplicando cada um dos elementos de uma das suas linhas (ou colunas) pelo respectivo complemento algébrico. Exemplo: Vamos desenvolver o determinante da matriz A, do exemplo anterior, segundo a 4ª linha: det(A) = a41A41 + a42A42 + a43A43 + a44A44 = (-3)(-28) + (-21) + (-10) + 5(-4) = 33 121 201 321 − 121 201 321 − 121 201 321 )1(5 121 201 421 (-1))1( 111 221 431 (-1)1 112 220 432 (-1)3 44 434241 −⋅⋅+ + − −−⋅⋅−+ − −−⋅⋅+ − −⋅⋅= + +++ - Determinantes 31 Propriedades • O valor do determinante de uma matriz não se altera quando se trocam, ordenadamente, as suas colunas com as suas linhas, isto é, |A| = |AT| Demonstração: Sejam A = [aij] e AT = [bij] onde bij = aji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n). Então, por (1), temos |AT| = nj2j1jnjj2j1 n21n21 aaabbb KK ∑∑ ±=± (2) Reordenando os factores do termo nj2j1j n21 aaa K , de forma a que os índices de linha estejam ordenados, vem n21n21n21 nkk2k1nj2j1jnjj2j1 aaaaaabbb KKK == Supondo que as permutações, k1 k2 ... kn, que determina o sinal associado a n21 nkk2k1 aaa K , e j1 j2 ... jn, que determina o sinal associado a n21 njj2j1 bbb K , são ambas pares ou ambas ímpares. Exemplo: O número de inversões na permutação 45123 é seis e em 34512, também é seis. E como os termos e o sinal correspondentes em (1) e (2) coincidem, conclui-se que |A| = |AT|. Nota: Desta propriedade conclui-se que podemos aplicar as propriedades tanto às linhas como às colunas. Exemplo: |A| = |AT| = 10)240(480 121 201 421 −=+−−−−= − −− 10)240(840 124 202 111 −=+−−−−= −− − 534231251425145342315241352413 aaaaaaaaaabbbbb == 32 Determinantes • Se os elementos de uma linha (coluna) da matriz A forem todos nulos, então |A| = 0. Demonstração: Suponhamos que a r-ésima linha da matriz A é formada por zeros. Cada termo da definição de determinante da matriz A, em (1), contém um factor da r-ésima linha, então cada termo do determinante da matriz A será nulo, logo |A| = 0, isto é, |A|= ∑∑ =±=⋅⋅± +− +− 00aa0aaa n1r1r21 njj1rj1rj2j1 KK Exemplo: • Se uma matriz B resulta da matriz A pela troca da posição relativa de duas linhas (colunas) de A, então |B| = - |A|. Demonstração: (linhas) Suponhamos que a matriz B provém da matriz A devido à troca da posição relativa das linhas r e s da matriz A, com r < s. Temos então que bij = aij, i ≠ r; i ≠ s, brj = asj, bsj = arj Logo, por (1), A aaaaa aaaaa bbbbbB nrs21 nsr21 nsr21 njsjrjj2j1 njrjsjj2j1 njsjrjj2j1 −= =±−= =±= =±= ∑ ∑ ∑ KKK KKK KKK 0)000(000 121 000 421 =++−++= − Determinantes 33 A permutação j1 j2...js ...jr ... jn resulta da permutação j1 j2...jr ...js ... jn devido à troca da posição de dois números. Logo, pelo teorema de Bezout, há uma mudança na classe da permutação, isto é, o número de inversões na primeira difere do número de inversões da segunda por uma "quantidade" ímpar. Isto significa que o sinal de cada termo em |B| é simétrico do sinal do termo correspondente em |A|. Assim, |B| = -|A|. (colunas) Aplicando a primeira propriedade à matriz A e à matriz B estamos perante o caso de troca de duas linhas, já demonstrado. Exemplo: Trocando a primeira linha com a segunda, obtemos o determinante • Se uma matriz B é obtida de uma matriz A, multiplicando uma linha (coluna) da matriz A por um número real k, então |B| = k*|A|. Demonstração: Suponhamos que a r-ésima linha da matriz A=[aij] é multiplicada por k para se obter a matriz B = [bij]. Então, bij=aij se i ≠ r e brj = k*arj. De (1), obtemos |A|k aaaak aakaa bbbbB ns21 ns21 nr21 njrjj2j1 njrjj2j1 njrjj2j1 ⋅= =±⋅= =⋅±= =±= ∑ ∑ ∑ KK KK KK 10 121 201 421 −= − −− 10)084(042 121 421 201 =+−−−+−= − −− 34 Determinantes Nota: Podemos simplificar o cálculo de |A|, encontrando o máximo divisor comum de cada linha e coluna de A. Exemplo: Multiplicando a 1ª linha por 2, obtemos o determinante • Se duas linhas (colunas) da matriz A forem iguais, então |A|= 0. Demonstração Suponhamos que as linhas r e s da matriz A são iguais. Se trocarmos as posições relativas das linhas r e s da matriz A obtemos uma nova matriz, B. Por um lado, |B| = -|A| (por uma propriedade anterior). Por outro lado, como B = A então |B| = |A|. Logo |A| = -|A| ⇒ 2*|A|= 0 ⇒ |A| = 0 Exemplo: • Um determinante de uma matriz com duas linhas (colunas) paralelas proporcionais é nulo. Demonstração: nnnini2n1n n2i2i22221 n1i1i11211 aakaaa aakaaa aakaaa |A| LLL MOMOMOMM LLL LLL = 10 121 201 421 −= − −− 20)480(8160 121 201 842 −=+−−−−= − −− 0)882(882 121 421 421 =++−−++−= − Determinantes 35 Por uma propriedadeanterior Este determinante tem duas colunas iguais, logo, por uma propriedade anterior, concluímos que |A| = 0. Exemplo: • Se cada elemento de uma linha (coluna) do determinante de uma matriz é igual à soma de duas parcelas, ele poder-se-á decompor na soma de dois determinantes, que se obtêm daquele substituindo os elementos dessa linha (coluna) sucessivamente pelas primeiras e pelas segundas parcelas dessa somas, mantendo inalteradas as restantes linhas (colunas). Demonstração: Pela definição (1) |A|= ni21 njijj2j1 aaaa KK∑± Se )m(ij )2( ij )1( ijij iiii bbba +++= K (m parcelas), então |A|= niii21 nj )m( ij )2( ij )1( ijj2j1 a)bbb(aa KKK +++±∑ Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição obtemos ou seja, |A|=|A1|+|A2|+ ... + |Am| 0)62424(24246 121 1263 421 =−+−++−= − ni21 ni21 ni21 nj )m( ijj2j1 nj )2( ijj2j1 nj )1( ijj2j1 abaa abaa abaa|A| KK K KK KK ∑ ∑ ∑ ±+ + +±+ +±= ni21 ni21 ni21 nj )m( ijj2j1 nj )2( ijj2j1 nj )1( ijj2j1 abaa abaa abaa|A| KK K KK KK ∑ ∑ ±+ + +±+ +±= nnnini2n1n n2i2i22221 n1i1i11211 aaaaa aaaaa aaaaa k|A| LLL MOMOMOMM LLL LLL = nnnini2n1n n2i2i22221 n1i1i11211 aaaaa aaaaa aaaaa k|A| LLL MOMOMOMM LLL LLL = 36 Determinantes 0 aaa aaa aaa aaa aaa aaaaa nn2n1n sn2s1s sn2s1s n22221 n11211 njsjsj2j1j nsr21 ==±∑ L MOMM L MOMM L MOMM L L KKK 0 aaa aaa aaa aaa aaa aaaaa nn2n1n sn2s1s sn2s1s n22221 n11211 njsjsj2j1j nsr21 ==±∑ L MOMM L MOMM L MOMM L L KKK Exemplo: • Se uma matriz B for obtida de uma matriz A adicionando a cada elemento da r-ésima linha (coluna) da matriz A, o elemento correspondente da s-ésima linha (coluna) da matriz A, r ≠ s, multiplicado por k, então |B| = |A|. Demonstração: Temos bij = aij para i ≠ r e brj = arj + k*asj e r ≠ j, por exemplo, para r < s, por (1) vem nsrr21 nr21 njsjsjrjj2j1 njrjj2j1 aa)aka(aa bbbbB KKK KK ⋅+±= =±= ∑ ∑ Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição nsr21 nsr21nsr21 njsjsjj2j1 njsjsjj2j1njsjrjj2j1 aaaaak|A| aaakaaaaaaaB KKK KKKKKK ∑ ∑∑ ±⋅+= ⋅±+±= mas, Logo, |B| = |A|+ 0 = |A|. Exemplo: 10010 121 201 121 121 201 421 121 201 )1(42211 −=+−= − −− − + − −= − −− −+++ 10 121 201 421 −= − −− Determinantes 37 Somando à 2ª linha a 1ª multiplicada por 1, obtemos o determinante • O determinante de uma matriz triangular superior ou triangular inferior é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Demonstração: Recordando a definição de determinante de uma matriz |A|= ni21 njijj2j1 aaaa KK∑± onde o somatório é realizado para todas as permutações, j1 j2 … jn, do conjunto n} ..., 2, {1, S= e o sinal é escolhido positivo ou negativo consoante a permutação j1j2 ... jn seja par ou ímpar, respectivamente. Com efeito, se para um dos lados da diagonal principal todos os elementos da matriz são nulos, então todos os termos diferentes do termo principal têm pelo menos um factor nulo, logo, |A|= nn2211 aaa K Exemplo: Inversa de uma matriz utilizando determinantes Para o cálculo da inversa de uma matriz utilizando determinantes necessitamos de aprender mais uma definição, a de matriz adjunta, que vamos representar por Adj(A). 10 121 201 421 −= − −− 10)5(21 500 220 421 121 201 421 133 122 LLL LLL −=−⋅⋅= − = − −− −= += 10)048(402 121 220 421 −=++−++−= − 38 Determinantes Matriz Adjunta Matriz adjunta de uma matriz quadrada, A, é a matriz que se obtém da matriz A da seguinte forma: a) Calculam-se os complementos algébricos de todos os elementos de A; b) Constrói-se, a partir de A, a matriz Adj(A), substituindo cada elemento de A pelo seu complemento algébrico. Inversa da matriz A )(Adj || 1))Adj(( || 1 TT1 A A A A A ==− Exemplo: A11 = (-1)1+1|4|=4 A12 = (-1)1+2|3|=-3 A21 = (-1)2+1|2|=-2 A22 = (-1)2+2|1|=1 Valores próprios e vectores próprios Definição: Dada uma matriz quadrada A, diz-se que um número real λ é um valor próprio de A se existir uma matriz coluna, não nula, X, com elementos pertencentes a ℜ , tal que XAX λ= Qualquer matriz coluna, não nula, X, que verifique a relação anterior, é chamada um vector próprio de A associado a λ . Seja =A [ ija ] uma matriz quadrada de ordem n, então = 43 21 A 26443 21 −=−==A − −= 12 34 )(Adj A − −= − −⋅−= − −⋅−= − 2/12/3 12 13 24 2 1 12 34 2 1 T 1A Determinantes 39 = ⇔= nnnnnn n n x x x x x x aaa aaa aaa XAX MM L MOMM L L 2 1 2 1 21 22221 11211 λλ Aplicando multiplicação de matrizes, temos =−+++ =++−+ =+++− ⇔ =+++ =+++ =+++ 0)(... ................................................ 0...)( 0...)( ... ................................................ ... ... 2211 2222121 1212111 2211 22222121 11212111 nnnnn nn nn nnnnnn nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa xxaxaxa xxaxaxa xxaxaxa λ λ λ λ λ λ Que é equivalente, na forma matricial, a = λ− λ− λ− 0 0 0 x x x aaa aaa aaa n 2 1 nn2n1n n22221 n11211 MM L MOMM L L ou seja, 0)( =− XIA λ , sendo 0 a matriz coluna nula de tipo 1×n . Definição: Seja A uma matriz quadrada de tipo nn× . O determinante λ− λ− λ− =λ−=λ nn2n1n n22221 n11211 aaa aaa aaa IA)(f L MOMM L L é designado por polinómio característico de A. A equação 0IA)(f =λ−=λ é designada por equação característica de A. Teorema: Os valores próprios da matriz A são as raízes reais do polinómio característico de A. Depois de obter todos os valores próprios de A, resolvendo a equação 0IA =λ− , substituindo na igualdade 0X)IA( =λ− , λ por cada um dos valores próprios e 40 Determinantes resolvendo o sistema daí resultante, obtém-se o conjunto dos vectores próprios de A associados a cada valor próprio. Exemplo: Seja, A = para encontrar os valores próprios de A, resolvemos a equação |A - λI|=0 Temos então como valores próprios para a matriz A, λ1 = 2 e λ2 = 6. Vamos então calcular os vectores próprios associados a cada um deles. Para λ1 = 2, substituímos λ na igualdade (A-λI)X=0, obtendo Então, o conjunto dos vectores próprios associados a λ1, que vamos designar por , é Para λ2 = 6, substituímos λ na igualdade (A-λI)X=0, obtendo Então, o conjunto dos vectores próprios associados a λ2, que vamos designar por , é 6201280 31 35 2 =∨=⇔=+−⇔=− − λλλλλ λ = −=⇔ =+ =+⇔ = ⇔ = − − 000 033 0 0 11 33 0 0 31 35 21 21 21 2 1 2 1 1 1 xx xx xx x x x x λ λ ≠ −= 0: 2 2 2 1 xx x Vλ = =⇔ =− =+−⇔ = − −⇔ = − − 00 3 03 03 0 0 31 31 0 0 31 35 21 21 21 2 1 2 1 2 2 xx xx xx x x x x λ λ ≠ = 0:3 2 2 2 2 xx x Vλ 1λV 2λV 31 35 Determinantes 41 Exercícios 1. Encontre o número de inversões para cada uma das seguintes permutações de S = {1,2,3,4,5}. a) 52134 b) 45213 c) 42135 d) 13542 e) 35241 f) 12345 2. Determine se cada uma das seguintes permutações de S = {1,2,3,4} é par ou ímpar. a) 4213 b) 1243 c) 1234 d) 3214 e) 1423 f) 2431 3. Verifique para o conjunto S = {1, 2, 3} o teorema de Bezout. 4. Dadas as seguintes matrizes sobre R: A = − 54 23 B = + − aba aab C = − − 152 324 321 a) Calcule os determinantes das matrizes A e C utilizando a definição. b) Calcule os determinantes das matrizes A, B e C utilizando as regras práticas. 5. Determine os valores de k, para os quais: k24 kk = 0. 6. Calcule os determinantes: a) 1 8 7 4 b) 752 413 201 c) 512 122 401 − 42 Determinantes 7. Aplicando propriedades e os resultados do exercício anterior, calcule os determinantes: a) 514 120 221 − b) 215 221 104 − c) 32567 000 30201 d) 323 626 222 −−− −−− e) 7152 433 201 f) 7152 866 201 g) 632 010 311 − 8. Calcule o valor do determinante 50012 03010 10022 02210 42001 − a) Aplicando o Teorema de Laplace à 1ª linha; b) Aplicando o Teorema de Laplace à 3ª linha; c) Aplicando propriedades. 9. Sejam i,j ∈ N e A=[aij] e B=[bij] uma matriz nxn. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) |A| ≥ 0 b) |A|= 0 se e só se A = 0 c) |-A|= -|A| d) |AB|=|BA| Determinantes 43 10. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, prove que: a) 2100 408305202101 10953 4321 =0 b) dccbbaad cbbaaddc baaddccb addccbba ++++ ++++ ++++ ++++ =0 c) gidfac ihfecb hgedba −−− −−− −−− =0 d) 4a dc3b6a10cb3a6ba3a dc2b3a4cb2a3ba2a dcbacbabaa dcba = ++++++ ++++++ ++++++ 11. Utilizando apenas as propriedades dos determinantes, calcule: a) dcba ccba bbba aaaa b) baabab1 accaca1 cbbcbc1 22 22 22 + + + c) xxx2 xyyx xyzx + + d) b2ba21b3a aba2a 01ba −−−+ + −+ e) ba2b3a5ba3 aa2b2ab aba3a2 −−− −−− − f) ββ+β+ +α+α+α 212 13212 312 , para 0≠α e 0≠β (sol: -9) 12. Calcule: a) n...111 ............... 1...311 1...121 1...111 b) 1n2n...nnn 1n3n2...1n1n1n .................. 33...533 22...232 11...111 − −−−−− 44 Determinantes c) 0...111 ............... 1...011 1...101 1...111 −−− −− − d) n2...222 21n...222 .................. 22...322 22...222 22...221 − e) nn...n3n2n ............... n3...1263 n2...662 n...321 2 + h) n1...111 ............... 1...b111 1...1a11 1...111 + + + i) kn...nnn ............... 4...k444 3...3k33 1...111 − − − j) 1...11x ............... 0...11x 0...01x a...aax1 n11312+ k) x12...222 2x1...222 .................. 22...x122 22...2x12 22...22x1 − − − − − i) xn...321 ............... n...x321 n...3x21 n...32x1 + + + + 13. Determine as raízes das equações: a) x4321 4x321 43x21 432x1 + + + + = 0 b) 02x 2x0 x02 = 0 c) 4x2 2xx 1x1 3 2 = 0 d) dddxd ccxcc bxbbb xaaaa − − − − = 0 e) xxxx fxxx edxx cbax = 0 Determinantes 45 f) bbaaxx 1b1a1x 111 222 +++ +++ = 0 g) x61119x142x3 6x4x685x3 10x76x132x −++ −−−− −−−−− = 0 h) xabc axcb bcxa cbax − − − − = 0 14. Mostre que a) cbad badc adcb dcba = 0 se a+b+c+d = 0 b) 2222 2222 2222 bacc bcab aacb + + + = 2 22 22 22 a0c 0ab bc0 −− c) 1111 xyzxywxzwyzw wkzkykxk zwz2zyzx 2222 ++++ +++ = 32 32 32 32 www1 zzz1 yyy1 xxx1 15. Das matrizes que se seguem , inverta as que forem invertíveis: A= 10 11 B= 2 6 3 9 C= − − 100 011 202 D= − − 212 011 111 16. Determine a e b de forma a que as matrizes A e B sejam invertíveis: A= 210 aa1 111 B= −− − − b121 b311 1b21 0111 46 Determinantes 17. Sendo A= − − − 1212 1120 1111 1202 a) Calcule A-1 utilizando o método da adjunta; b) Represente uma matriz de 5ª ordem cujo determinante seja igual ao det(A). 18. Sejam A=[aij]nxn e B=[bij]nxn matrizes regulares: a) Sabendo que det(AB) = det(A)*det(B) mostre que det(A)*det(A-1) = 1 b) Mostre que det(A+B) ≠ det(A) + det(B) c) Mostre que (A*B)-1 = B-1 * A-1 19. Sabendo que 1 1 1 2 3 3 1 2 1 2 + + + + + = − − i i i i i i i e utilizando somente as propriedades, resolva a equação x xi i x xi i x xi i i + + + + + = + 2 1 3 2 3 2 2 , apresentando o resultado na forma mais simples. 20. Sabendo que 2 321 222 =zyx zyx e utilizando somente propriedades, calcule zzyyxx zyx xxx +++ +++ 222 321 32 . Determinantes 47 21. Determine o valor do determinante da matriz A, utilizando somente propriedades −−+π +−− −−−+ = 044 4 23 33 121 33 111 cis iii iii A 22. Determine os valores e vectores próprios das matrizes a) 20 11 b) 6 3 2 1− c) 14 9 6 11 d) − − − 2 1 2 5 3 3 3 1 3 e) 5 6 8 12 13 16 4 4 5 − − − − − (Obs: Em d) e e) os valores próprios são inteiros.) Soluções 1. a) 5 b) 7 c) 4 d) 4 e) 7 f) 0 2. a) + b) - c) + d) - e) + f) + 4. a) 23; 79 b) 23; b2-2a2; 79 5. k=0 ∨ k=2 6. a) -52 b) 13 c) 3 7. a) 3 b) -3 c) 0 d) 0 e) 39 f) 78 g) 0 8. -66 9. a) Falsa b) Falsa c) Falsa d) Verdadeira 11. a) a(b-a)(c-b)(d-c) b) 0 c) x(y-x)(z-y) d) (a+b)(2a+b)(a+2b) e) b(a+b)(a-b) f) -9 12. a) (n-1)! b) (n-1)! c) 1 d) -2(n-2)! e) n! f) (n+x)xn-1 48 Determinantes g) (x-1)(x-2) ... (x+1-n) h) abc ... n i) (-k)n-2 j) 1+x(1-a12) h) (2n-1-x)(-1-x)n-1 13. a) (10+x)x3 -10; 0 (raíz tripla) b) -(x+2)(x2-2x+4) -2; 1 ± 3i c) -x(2-x)(x2-2) 0; 2; ± 2 d) -x3(a+b+c+d-x) a+b+c+d; 0 (raíz tripla) e) x(x-a)(x-d)(x-f) 0; d; f; a f) (a-x)(b-x)(a-b) a; b sse b≠a g) (5x-5)(x-1)(10x+96) 5 48− ; 1(raíz dupla) h) (-x+a+b+c)(-x+a-b-c)(-x-a+b-c)(x+a+b-c) a+b+c; a-b-c; -a+b-c; -a-b+c 15. − 10 11 ; IMP; − − 100 11 2 1 10 2 1 ; − −− 011 3 10 3 2 3 11 3 2 16. a ≠ 1 b ≠ 10 28111±− 17. a) − −− − −− 2021 81103 3041 91113 b) A0 01 19. -6/5+2/5i 20. 2x 21. -2+2i 22. a) λ=1 [x 0]T; λ=2 [x x]T b) λ=4 [x -2x/3]T; λ=3 [x -x]T c) λ=20 [x 2x/3]T; λ=5 [x -x]T d) λ=1 [x x x]T; λ=2 [x 2x x]T e) λ=1 [x 2x -x]T; λ=-1 [x x 0]T; λ=-3 [-2z-4z z]T Capítulo 3 Sistemas de Equações Lineares Objectivo Neste capítulo vamos introduzir um novo processo de resolver sistemas de equações lineares, utilizando os conhecimentos adquiridos sobre matrizes e a sua característica. Veremos como discutir um sistema de equações lineares, em função de um, ou mais, parâmetros. Finalmente, iremos ver dois casos particulares de sistemas, sistemas de Cramer, resolvidos utilizando determinantes, e sistemas homogéneos, resolvidos utilizando a matriz inversa. 50 Sistemas de Equações Lineares Introdução Vamos considerar um sistema de equações lineares, ou seja, =+++ =+++ =+++ =+++ mnmnmm ininii nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ... ................................................ ... ................................................ ... ... 2211 2211 22222121 11212111 onde ija , ,...,mi 1= , ,...,nj 1= e ib , ,...,mi 1= são escalares conhecidos pertencentes a ℜ e jx , ,...,nj 1= são escalares a determinar, também pertencentes a ℜ . Teremos então um sistema de m equações lineares a n incógnitas, jx , ,...,nj 1= , com coeficientes ija , ,...,mi 1= , ,...,nj 1= e com termos independentes ib , ,...,mi 1= . Definindo as matrizes: = mnmm inii n n aaa aaa aaa aaa A L MOMM L MOMM L L 21 21 22221 11211 = n i x x x x x M M 2 1 = m i b b b b b M M 2 1 onde A é designada como matriz do sistema ou matriz dos coeficientes, x como matriz das incógnitas e b como matriz dos termos independentes, este sistema pode ser representado sob forma matricial como bAx = . Vamos, além disso, definir uma nova matriz A , que designaremos por matriz completa do sistema, como Sistemas de Equações Lineares 51 = mmnmm iinii n n baaa baaa baaa baaa A L MMOMM L MMOMM L L 21 21 222221 111211 Chamamos solução do sistema a qualquer ponto nnccc ℜ∈),...,,( 21 tal que, fazendo ),...,,(),...,,( 2121 nn cccxxx = as m equações do sistema se verificam. Se o sistema não tiver soluções diz-se impossível, e no caso de ter, pelo menos, uma solução diz-se possível. Se existir apenas uma solução o sistema diz-se determinado e se existir mais do que uma solução indeterminado. Resolução de sistemas Resolver um sistema é determinar todas as suas soluções ou concluir que estas não existem. Dois sistemas dizem-se equivalentes se e só se têm as mesmas soluções. A equivalência entre sistemas permite resolver um sistema, resolvendo outro, equivalente ao sistema dado. Os métodos de resolução de sistemas consistem precisamente em passar do sistema inicial para outros, em passagens sucessivas, todos equivalentes entre si, de modo que o último seja um sistema muito simples, do qual seja imediato determinar as suas soluções, que serão, também, as do problema inicial. Vamos ver um método de resolução de sistemas de equações lineares: o método da condensação, baseado na condensação da matriz completa do sistema. 52 Sistemas de Equações Lineares Método da condensação Seja o sistema definido anteriormente, bAx = , de m equações a n incógnitas. Consideremos a matriz completa do sistema A , de tipo )1( +× nm , e vamos proceder à sua condensação utilizando operações elementares sobre linhas e colunas até obtermos uma matriz que contenha uma submatriz triangular inferior, de ordem r, de elementos diagonais não nulos. + + + + m r rrnrrrr nrr nrr b b baaa baaaa baaaaa '00000 '00000 ''''00 '''''0 '''''' 1 1, 221,2222 111,111211 LL MMOMMOMM LL LL MMOMMOMM LL LL Note-se que, durante a condensação da matriz A , nunca podemos realizar nenhuma operação elementar sobre a coluna dos termos independentes, nem todas as operações elementares sobre linhas e colunas. Vejamos a que corresponde cada operação elementar na equivalência de sistemas: Operações elementares sobre linhas: I) corresponde à troca de ordem de duas equações; II) corresponde à multiplicação de ambos os membros de uma equação por um escalar qualquer; III) corresponde à soma de uma equação com o produto de outra equação por um escalar qualquer. Sistemas de Equações Lineares 53 Operações elementares sobre colunas: I) corresponde à troca dos coeficientes de duas incógnitas, ou seja, à troca da ordem das incógnitas; II) corresponde à multiplicação dos coeficientes de uma incógnita por um escalar qualquer; III) corresponde à soma dos coeficientes de uma incógnita com o produto dos coeficientes de outra incógnita por um escalar qualquer. Então, poderemos realizar todas as operações elementares sobre linhas, pois para todas elas se obtém uma matriz que representa um sistema equivalente ao anterior, mas apenas operações elementares de tipo I sobre colunas, o que corresponde à troca de ordem das incógnitas, devendo por isso ser anotada e tida em conta no final da resolução do problema. Obtivemos assim uma nova matriz que representa um sistema equivalente ao primeiro, como vimos a partir da correspondência entre operações elementares sobre linhas e colunas de uma matriz e as operações elementares possíveis de realizar sobre um sistema de modo a obter um sistema equivalente. É evidente, a partir da observação da nova matriz, que o novo sistema só será possível se as últimas r equações forem satisfeitas, ou seja, se e só se 0' =ib , mri ,...,1+= , o que nos leva ao seguinte teorema: Teorema: É condição necessária e suficiente para que uma sistema de equações lineares seja possível que a matriz dos coeficientes e a matriz completa tenham a mesma característica, isto é, )(car)(car AA = 54 Sistemas de Equações Lineares =+ −=++− =− 23 132 1 31 321 21 xx xxx xx Temos então, como consequência imediata do teorema, que se )(car)(car AA ≠ o sistema é impossível. Exemplo: Consideremos o sistema Temos, então, car(A) = 2 ≠ car(A ) = 3, logo o sistema é impossível (SI). No caso de o sistema ser possível, obtemos o sistema equivalente ao primeiro: =+++ =+++++ =++++++ ++ ++ ++ rnrnrrrrrr nnrrrr nnrrrr bxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxaxa ''...'' .................................................................... ''...''...' ''...''...'' 11, 2211,22222 1111,11212111 Este novo sistema contém apenas r equações, a que chamaremos equações principais, designando as restantes por equações não principais ou redundantes. As incógnitas correspondentes à matriz triangular superior são designadas por incógnitas principais e as restantes por incógnitas não principais. Teremos, assim, r incógnitas principais e n-r incógnitas não principais. Note-se que, se r=n, não existem incógnitas não principais e, portanto, o sistema será reduzido a: = =++ =+++ nnnn nn nn bxa bxaxa bxaxaxa '' ............................. ''...' ''...'' 22222 11212111 − − −− − = −= −= += 1000 0310 1011 ~ 1310 0310 1011 ~ 2301 1321 1011 233 133 122 LLL LLL LLL A Sistemas de EquaçõesLineares 55 = = = ⇔ = =×+ −=− ⇔ −=− =+ −=− 2 0 1 2 422 12 84 42 1 3 2 1 3 2 1 3 32 31 x x x x x x x xx xx (1,0,2)S = sendo, portanto, um sistema possível e determinado, bastando apenas para encontrar a sua solução realizar a substituição sucessiva dos valores das incógnitas nx , 1−nx ,..., 2x , 1x . Exemplo: Consideremos o sistema Temos, então, car(A) = car(A ) = r = 3, n = 3, n – r = 0, logo o sistema é possível e determinado (SPD). Além disso, contém uma equação não principal, que é, por coincidência, a última. Passemos ao sistema condensado equivalente, e a partir deste à solução do sistema: Se r<n, para resolver o sistema bastará passar para o segundo membro as incógnitas não principais, obtendo-se: −−−= −−−=++ −−−=+++ ++ ++ ++ nrnrrrrrrr nnrrrr nnrrrr xaxabxa xaxabxaxa xaxabxaxaxa '...''' ..................................................................... '...'''...' '...'''...'' 11, 211,222222 111,111212111 =+ =++− =+ −=− 232 12 22 1 21 321 21 31 xx xxx xx xx −− −− −− −− −− −− − −− = −= −= −= −= += −= 0000 8400 4210 1101 ~ ~ 8400 8400 4210 1101 ~ 4230 0020 4210 1101 ~ 2032 1121 2012 1101 344 2344 2233 1244 133 1222 LLL LLL LLL LLL LLL LLL A 56 Sistemas de Equações Lineares =−+− =+−+ −=−+− =−+− =+−+ 22624 51067 1443 132 232 4321 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Neste caso, o sistema terá várias soluções, dizendo-se, portanto, indeterminado. O número de incógnitas não determinadas é igual ao de incógnitas não principais, n-r, designando-se este número por grau de indeterminação do sistema, e o sistema diz-se possível e n-r vezes indeterminado. As soluções do sistema inicial são encontradas do mesmo modo que no caso anterior, ou seja, por substituição sucessiva dos valores das incógnitas rx , 1−rx ,..., 2x , 1x . Exemplo: Consideremos o sistema Temos então car(A) = car(A ) = r = 2, n = 4, n – r = 2, logo o sistema é possível e duplamente indeterminado (SP2D). Além disso, contém três equações não principais, por coincidência as três últimas e duas incógnitas não principais, x3 e x4. Obtemos o sistema condensado equivalente: −−− − −−− − −−− −−− − −− − −−− −− − = = += −= = = == 00000 00000 00000 37550 23121 ~ ~ 61410100 37550 37550 37550 23121 ~ 22624 510671 14431 11312 23121 255 244 233 155 144 133 122 2L-LL LLL LLL 4L-LL L-LL L-LL 2L-LL A ( ) −+= −−=⇔ −+= −+=−++⇔ ⇔ +−−=− −+=+⇔ −=−+− =+−+ 432 431 432 43431 432 4321 432 4321 x5/7x5/3x x5/1x5/4x x5/7x5/3x x3x2x5/7x5/32x x7x53x5 x3x2x2x 3x7x5x5 2x3xx2x −+−−= 434343 x,x,x5 7x 5 3,x 5 1x 5 4S Sistemas de Equações Lineares 57 101 101 2 ±=⇔=− =⇔=− aa aa 11 −≠∧≠ aa 3 3)car()car( = == n AA 1=a − − − − ↔ 0000 5050 2111 ~ 0000 5500 2111 32 CC 3 2)car()car( = == n AA Discussão de sistemas Por vezes surgem casos em que não necessitamos de resolver um sistema de equações lineares, mas apenas de o classificar. Normalmente, nesse tipo de sistemas os coeficientes das incógnitas dependem de um ou mais parâmetros e o que se pretende é simplesmente determinar se o sistema é impossível, possível e determinado ou possível e indeterminado, e, neste último caso, qual o grau de indeterminação, em função dos ditos parâmetros, sem nunca chegar a resolver realmente o sistema. Assim, a matriz obtida por condensação a partir da matriz completa, não necessita de representar um sistema equivalente ao inicial, podendo, portanto, realizar-se todas as operações elementares sobre colunas, excluindo, unicamente, a última, sobre a qual continua a não se poder realizar qualquer operação. Exemplo: Consideremos o sistema Observando os elementos da diagonal principal, verificamos que estes se anulam quando Logo, teremos sistema possível e determinado (SPD) sistema possível e simplesmente indeterminado(SP1D) −=+++ +=−−− −=−+ axaaxx axxxa aaxxx 3)3( 124)2( 13 321 321 321 +−− −+−−−− −− +−+− −+−−−− −− −+ +−−− −− = += −= +−+= aaa aaaaa aa aaa aaaaa aa aaa aa aa A LLL LL L LaL L 33100 1934210 1311 ~ ~ 16310 1934210 1311 331 12412 1311 22 22 233 22 133 1)2(22 2 ~ 58 Sistemas de Equações Lineares sistema impossível (SI) Exemplo: Consideremos o sistema Observando os elementos da diagonal principal, verificamos que estes se anulam quando Logo, teremos Vamos ver, para a=2, quando se anula o último elemento da coluna dos termos independentes 1−=a − −− − 6000 13120 4111 3)car( 2)car( = = A A 002 2024 =⇔= =⇔=− bb aa 32062 =∨−=⇔=−− bbbb 2=a ~ 1020 602120 124 ~ 1200 621200 124 32 − + −−− − + −−− ↔ bb b b bb b b CC −− − −−− − − −−− −= = −= 6000 70120 124 ~ 660120 70120 124 ~ 2233 363 322 bb b b bb b b bLLL LL LLL 2)car( =A 2=a ~ 1020 602120 124 ~ 1200 621200 124 32 − + −−− − + −−− ↔ bb b b bb b b CC −− − −−− − − −−− −= = −= 6000 70120 124 ~ 660120 70120 124 ~ 2233 363 322 bb b b bb b b bLLL LL LLL 2)car( =A )32(2 =∨−=∧= bba 3 2)car()car( = == n AA SP1I 322 ≠∧−≠∧= bba 3)car( 2)car( = = A A SI 2( −=∧ b =++ =++ −=+−− bbxxx axxax bxxx 321 321 321 24 3 124 − +− −−− −−− −−− = += +== 1200 312240 124 ~ 24 41244 124 ~ 24 31 124 133 122242 bb aaba b bb aa b bb aa b A LLL aLLLLL ∧ 0≠b 3 3)car()car( = == n AA SPD2≠a ∧ Sistemas de Equações Lineares 59 Sistemas de Cramer Vamos agora ver um caso particular dos sistemas possíveis e determinados, que pode ocorrer quando o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou seja, quando nm = . Definição: Um sistema de equações lineares diz-se um sistema de Cramer se forem satifeitas as condições seguintes: a) O número de incógnitas é igual ao número de equações; b) O determinanteda matriz do sistema é não nulo. Consideremos então o sistema: =+++ =+++ =+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ... ................................................ ... ... 2211 22222121 11212111 ou, na forma matricial, bAx = , com = nnnn n n aaa aaa aaa A L MOMM L L 21 22221 11211 , = nx x x x M 2 1 e = nb b b b M 2 1 . 60 Sistemas de Equações Lineares O número de equações e de incógnitas é o mesmo, e, portanto, se 0≠A então estamos perante um sistema de Cramer, cuja solução pode ser obtida utilizando as chamadas fórmulas de Cramer: O valor de cada incógnita, ix , ni ,...,1= , pode ser obtido a partir do quociente ∆ ∆= iix , ni ,...,1= onde o denominador é o determinante da matriz dos coeficientes, A=∆ , e o numerador, i∆ , é o determinante da matriz que se obtém da matriz dos coeficientes, A, substituindo a coluna de ordem i, isto é, a coluna dos coeficientes da incógnita ix , pela coluna dos termos independentes, b. Exemplo: Seja o sistema de equações lineares então A = e |A| = -4. Calculemos os determinantes ∆i, i = 1,2,3. Vejamos outro método de resolução de um sistema de Cramer, bAx = , utilizando a inversa da matriz do sistema, 1−A , que existe sempre, pois 0≠A . Multiplicando à esquerda ambos os membros de bAx = por 1−A , tem-se bAAxA 11 −− = , e, como IAA =−1 , teremos bAIx 1−= , ou seja, bAx 1−= . =++ =+− −=−+ 43 322 1 321 321 321 xxx xxx xxx − − 113 212 111 1 114 213 111 1 =− −− =∆ 8 143 232 111 2 −= −− =∆ 11 413 312 111 3 −=−=∆ 4 1 4 1 1 −=−=x 24 8 2 =− −=x 4 11 4 11 3 =− −=x Sistemas de Equações Lineares 61 Exemplo: Utilizando o exemplo anterior, temos A = Logo A-1 = , e portanto, x = A-1b = . Sistemas homogéneos Definição: Um sistema de m equações lineares a n incógnitas diz-se um sistema homogéneo se todos os termos independentes das equações do sistema forem nulos, ou seja, se tivermos =+++ =+++ =+++ 0... ................................................ 0... 0... 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa ou, na forma matricial, 0=Ax , com 0 a matriz coluna nula com m elementos. Este sistema é sempre possível, pois admite, pelo menos a solução nula, 0=jx , ,...,nj 1= . Vejamos em que condições ele admite soluções não nulas. Teorema: Um sistema homogéneo, 0=Ax , admite soluções não nulas se e só se nrAcar <=)( . Neste caso, o sistema será indeterminado, com grau de indeterminação n-r. Do teorema anterior, conclui-se que o sistema tem soluções não nulas se e só se |A|= 0, ou seja, se a matriz do sistema, A, for singular. No caso de |A|≠ 0, ou seja, se a matriz A for regular, o sistema admite apenas a solução nula, sendo, portanto, possível e determinado. − − 113 212 111 −− −− − 432145 111 412143 /// /// − 4/11 2 4/1 62 Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares 63 Exemplo: SPD Exemplo: SP1I =+− =+− =−+ 023 032 02 321 321 321 xxx xxx xxx 3 3)car()car( = == n AA − − − − − − − − − −= −= −= 0200 0550 0121 ~ 0350 0550 0121 ~ 0231 0312 0121 233 133 1222 LLL LLL LLL = = = ⇔ = =− =+ ⇔ =− =+− =−+ 0 0 0 0 05 02 02 055 02 z y x z y yx z zy zyx )0,0,0(S = =+− =+− =−+ 043 032 02 321 321 321 xxx xxx xxx − − − − − − − − −= −= −= 000 550 121 ~ 550 550 121 ~ 431 312 121 233 133 1222 LLL LLL LLL 3 2)car()car( = == n AA = −= ⇔= =−+⇔ =+− =−+ zy zx zy zzx zy zyx 02 055 02 ),,(S zzz−= 64 Sistemas de Equações Lineares Exercícios: 1. Dados os seguintes sistemas: a) =++− −=−+− =++− 552 12 12 wzyx wzyx wzyx b) =+ =− =−+ =+ =+ 3 22 1 4 52 zy zx zyx zx yx c) =+−+ =+−+ =++− 4447 242 12 tzyx tzyx tzyx d) =+−− =+ =+−− =+++ 32224 523 12 4 tzyx tx tzyx tzyx e) =+− = =−− 12 12 1 zx x zyx f) =−++ =+− −=+− 12 0 1 wzyx zyx wzy g) =+−− =+−− =++ =++ 273 135 02 1 wzy wzyx wzy wyx h) =+− =+−+ =+−+ −=++ 0 123 23422 3336 zx tzyx tzyx tyx i) Resolva, quando possível, os sistemas, utilizando o método da condensação e classifique-os; ii) Verifique se algum dos sistemas é de Cramer e, caso afirmativo, resolva-o, utilizando as fórmulas de Cramer. 2. Que valores deverá tomar o parâmetro a para o sistema seguinte seja de Cramer? =++− −=+− =+−+ 243 132 1)1( zyx zyx zaayx Sistemas de Equações Lineares 65 3. Faça a discussão dos sistemas: a) =−++ =+++ =−++ =−++ atzyx atzyx tzyx tzyx 222 132 123 132 b) =−+−+− =−+−+− =−+−+− 1)12()12()1( )2()1()2( 1)2()12(2 zayaxa azayaxa zayax c) =+−+ −=−−+ −=+−+ =−+ ptzyx ptmzyx tzyx zyx 222 1233 1423 2 d) =++++ =++++ =++++ azayxa zayxa zyaxa )2(3)12( 2)1(2)1( 12)1()1( e) −=−− =++ =+ bazayx zayx zx 3 522 422 f) =++ =−−+− =++ =+−+ ptzmy ptzmmy tzmy tzyx 933 26)3(2 03 322 4. Determine uma relação entre os parâmetros a, b, c e d, de modo que o sistema =++ =+ =++ dczyx bzy azyx 2 04 1 seja: a) Possível e determinado; b) Possível e indeterminado; c) Impossível. 5. Dado o sistema =−− =+− 6zyx 4zyx a) “O sistema é indeterminado”. Justifique a afirmação. b) Acrescente uma 3ª equação de modo que o sistema seja i) Possível e determinado; ii) Impossível; iii) Possível e indeterminado. 66 Sistemas de Equações Lineares Soluções: 1. ii) a) (2y-z,y,z,1) SP2I b) (2,1,2) SPD c) +− 7 1,, 5 32, 35 722 zzz SP1I d) SI e) (1/2,-5/4,3/4) SPD f) (1-w,0,1+w,w) SP1I g) SI h) (-2,11,-2,-8) SPD ii) e),h) 2. a≠3 3. a) a≠1 SI a=1 SPD b) m≠3 SPD m=3 ∧ p=5 SP1I m=3 ∧ p≠5 SI c) a≠1 ∧ a≠-2 SPD a=1 ∨ a=-2 SI d) a≠0 ∧ a≠1 ∧ a≠3 SPD a=0 ∨ a=1 SP1I a=3 SI e) a≠0 ∧ a≠-1 SPD a=0 SI a=-1 ∧ b=2 SP1I a=-1 ∧ b≠2 SI f) p≠0 SI m≠1 ∧ p=0 SP1I m=1 ∧ p=0 SP2I 4. a) b-4c+4a≠0 b) b=4c-4a ∧ d=1 c) b=4c-4a ∧ d≠1 Capítulo 4 Geometria Analítica Objectivo Neste capítulo vamos começar por fazer uma breve revisão sobre geometria analítica no espaço, e tentar dar uma perspectiva diferente desta. Irão ser dados novos conceitos, nomeadamente, o produto
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