Lista 1 Calculo 2A Sequencias e Series 2017 2

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Universidade Federal de Goia´s
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo 2A - Sequeˆncias e Se´ries - 28/08/2017
1. Determine se a sequeˆncias (an)
∞
n=1 converge ou diverge. Se convergir calcule o seu limite.
(a) an =
3+5n2
n+n2 (b) an =
√
n
1+
√
n
(c) an =
(−1)n−1n
1+n2 (d) an =
(−1)nn3
n3+2n2+1
(e) an =
n
√
5 (f) an =
3n+2
5n (g) an =
n2√
n3+4n
(h) an = n
2e−n
(i) an =
(
1 + 2n
)n
(j) an =
(lnn)2
n (k) an = ln
(
2n2 + 1
)− ln(n2 + 1)
2. Determine se a sequeˆncia definida a seguir e´ convergente ou divergente: a1 = 1 e an+1 = 4− an, para n ≥ 1.
3. Uma sequeˆncia e´ dada por a1 =
√
2 e an+1 =
√
2 + an para n ≥ 1. Verifique que a sequeˆncia e´ crescente e
limitada superiormente por 3. Esta sequeˆncia converge? Se convergir, qual e´ o seu limite?
4. Seja an =
2n
3n+1 definida para todo nu´mero natural n . A sequeˆncia (an) e´ convergente? A se´rie
∑∞
i=1 an e´
convergente?
5. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente calcule o seu limite.
(a) 13 +
1
6 +
1
9 +
1
12 +
1
15 + ... (b)
1
3 +
2
9 +
1
27 +
2
81 +
1
243 +
2
729 ... (c)
∑∞
n=1
en
n2 (d)
∑∞
n=1
n
√
2
(e)
∑∞
n=1 5
(
2
3
)n−1
(f)
∑∞
n=1
(−3)n−1
4n (g)
∑∞
n=1
1+2n
3n (h)
∑∞
n=1
1
1+(2/3)n
(i)
∑∞
n=2
2
n2−1 (j)
∑∞
n=1
3
n(n+3)
6. O nu´mero racional representado pela d´ızima perio´dica 1,99999 ... e´ menor do que 2 ou e´ igual a 2?
7. Sabendo que a sequeˆncia das somas parciais da se´rie
∑∞
n=1 an e´ dada por Sk =
k−1
k+1 , determine:
(a) o termo geral an (b)
∑∞
n=1 an.
8. Use o teste da integral para determinar se a se´rie dada e´ convergente ou divergente.
(a)
∑∞
n=1
1
4
√
n
(b)
∑∞
n=1 ne
−n (c)
∑∞
n=1
1
(2n+1)3 (d)
∑∞
n=1
1
n ln(n)
9. Determine a soma parcial S3 da se´rie
∑∞
n=1
1
n4 . Estime o erro cometido ao usar S3 como uma aproximac¸a˜o para
o limite da se´rie.
10. Determine um valor aproximado para o limite da se´rie
∑∞
n=1
1
n5 com precisa˜o de duas casas decimais.
11. Determine se a se´rie converge ou diverge, utilizando um dos testes de comparac¸a˜o.
(a)
∑∞
n=1
n
2n3+1 (b)
∑∞
n=1
n−1
n2
√
n
(c)
∑∞
n=1
n+1
n
√
n
(d)
∑∞
n=1
1
3√3n4+1
(e)
∑∞
n=1
√
n+2
2n2+n+1 (f)
∑∞
n=1
n+2
(n+1)3 (g)
∑∞
n=1
√
n4+1
n3+n2 (h)
∑∞
n=2
1
n
√
n2−1
(i)
∑∞
n=1
lnn
n3 (j)
∑∞
n=1
1
lnn
12. Prove que para toda se´rie
∑∞
n=1 an convergente e de termos positivos as se´ries a seguir tambe´ sa˜o convergentes:
∞∑
n=1
a2n
∞∑
n=1
ln (1 + an)
13. Verifique se as se´ries alternadas a seguir sa˜o convergentes
(a)
∑∞
n=1
(−1)(n−1)
2n+1 (b)
∑∞
n=1
(−1)(n−1)
ln (n+4) (c)
∑∞
n=1
(−1)n(3n−1)
2n+1 (d)
∑∞
n=1(−1)nsen
(
pi
n
)
14. Considere a sequeˆncia definida por an =
[(−1)(n−1)+1]
2n +
[(−1)(n)+1]
2n2 para todo n natural. A se´rie alternada∑∞
n=1(−1)(n−1)an e´ convergente ou divergente?
15. Verifique se as se´ries sa˜o absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
(a)
∑∞
n=1
4n
4n (b)
∑∞
n=1
3−cosn
n2/3−2 (c)
∑∞
n=1
(−1)n
lnn (d)
∑∞
n=1
2(n
2)
n!
16. Os termos de uma se´rie sa˜o definidos recursivamente por a1 = 1 e an+1 =
4n+1
5n+3an. A se´rie
∑∞
n=1 an converge
ou diverge?
1
17. Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie de potencia.
(a)
∑∞
n=1(−1)nnxn (b)
∑∞
n=0
(−1)n
n+1 x
n (c)
∑∞
n=0
xn
n! (d)
∑∞
n=1
(−1)nn2x2
2n
(e)
∑∞
n=0
(x−2)n
n2+1 (f)
∑∞
n=1
3n(x+4)n√
n
(g)
∑∞
n=0
(2x−1)n
5n
√
n
(h)
∑∞
n=1
xn
n!
18. Suponha que a se´rie de poteˆncia
∑∞
n=0 anx
n convirja quando x = −4 e divirja quando x = 6. O que pode ser
dito sobre convergeˆncia ou divergeˆncia da se´ries a seguir?
∞∑
n=0
an
∞∑
n=0
an8
n
∞∑
n=0
an(−3)n
∞∑
n=0
(−1)nan9n
19. Uma func¸a˜o f e´ definida por f(x) = 1 + 2x + x2 + 2x3 + x4 + 2x5 + ...., isto e´, seus coeficientes sa˜o c2n = 1 e
c2n+1 = 2 para todo n ≥ 0. Determine o intervalo de convergeˆncia desta se´rie e uma fo´rmula expl´ıcita para a
func¸a˜o f(x).
20. Suponha que o raio de convergeˆncia da se´rie
∑∞
n=0 cnx
n seja R. Qual e´ o raio de convergeˆncia da se´rie
∑∞
n=0 cnx
2n
21. Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o e determine o intervalo de convergeˆncia.
(a) f(x) = 11+x (b) f(x) =
3
1−x4 (c) f(x) =
x
2x2+1 (d) f(x) =
1+x
1−x (e) f(x) = ln (1 + x)
22. Calcule a integral indefinida como uma se´rie de poteˆncias. Qual e´ o raio de convergeˆncia?∫
t
1− t8 dt
∫
x2 ln (1 + x)dx
∫
arctg(x)
x
dx
23. Use uma se´rie de poteˆncias para calcular um valor aproximado para a integral definida com precisa˜o de duas
casas decimais. ∫ 0,4
1
ln (1 + x4)dx
2