RESOLUÇÃO DOS EXERCICIOS GEOMETRIA ANALITICA PAULO WINTERLE

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RESOLUÇÃO DA LISTA DE GA – LISTA 6. 
Resposta das questões: 
Questão 1 
Achar a distância de P1 a P2 nos casos: 
P1(−2, 0, 1) e P2(1, −3, 2) 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 
 A distância entre dois pontos é calculada por . 
Passo 2 de 4 
Inicialmente determinaremos a distância entre os pontos e : 
 
Passo 3 de 4 
Com as coordenadas podemos calcular o módulo do segmento, da seguinte maneira: 
 
Passo 4 de 4 
Podemos concluir que a distância entre os pontos e é: 
 
Questão 3 
Achar a distância do ponto P à reta r nos casos: 
P(2, 3, −1) r : x = 3 + t y = −2t z = 1 – 2t 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 
Inicialmente organizaremos os dados da seguinte maneira: 
 
Passo 2 de 3 
Para determinar a distância entre um ponto e a reta r, calcularemos: 
 
Ou, de acordo com a equação para calcular o módulo de um vetor: 
 
Inicialmente determinamos as coordenadas do ponto A e do vetor , comparando as 
equações paramétricas da reta r com a equação vetorial da reta , ou seja: 
 
Passo 3 de 3 
Com os dados obtidos da equação, vamos calcular a distância : 
 
E o produto vetorial entre : 
 
Agora substituiremos os valores das coordenadas na equação para determinar a 
distância, ou seja: 
 
 
Questão 5 
Achar a distância do ponto P à reta r nos casos: 
P(3, 2, 1) r : y = 2x z = x + 3 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 5 
 
Inicialmente organizaremos os dados da seguinte maneira: 
 
Para determinar a distância entre um ponto e a reta r, calcularemos: 
Passo 2 de 5 
 
Passo 3 de 5 
Ou, de acordo com a equação para calcular o módulo de um vetor: 
Passo 4 de 5 
 
Passo 5 de 5 
Vamos determinar as coordenadas do ponto A e do vetor , comparando a equação 
paramétrica da reta r com a equação vetorial da reta , ou seja: 
 
Com os dados obtidos da equação, calcularemos a distância : 
 
E o produto vetorial entre : 
 
Agora substituiremos os valores das coordenadas na equação para determinar a 
distância: 
 
Concluímos que a distância do ponto P à reta r é: 
 
Questão 7 
Achar a distância do ponto P à reta r nos casos: 
P(3, −1, 1) r : (x, y, z) = (2, 3, −1) + t(1, −4, 2) 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 6 
 
De acordo com os dados apresentados no problema, temos que: 
 
Para determinar a distância entre um ponto e a reta r, calcularemos: 
Passo 2 de 6 
 
Passo 3 de 6 
Ou, de acordo com a equação para calcular o módulo de um vetor: 
Passo 4 de 6 
 
Passo 5 de 6 
Inicialmente determinamos as coordenadas do ponto A e do vetor , comparando a 
equação paramétrica da reta r com a equação vetorial da reta , ou seja: 
 
Com os dados obtidos da equação, calcularemos a distância : 
 
Calculamos também o produto vetorial entre : 
 
Agora substituiremos os valores das coordenadas na equação para determinar a 
distância: 
 
Passo 6 de 6 
Concluímos que a distância do ponto P à reta r é 
Questao 9 
Achar a distância do ponto P à reta r nos casos: 
P(1, 2, 3) r : eixo Oz 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 7 
 
De acordo com os dados apresentados no problema, temos que: 
 
Para determinar a distância entre um ponto e a reta r, calcularemos: 
Passo 2 de 7 
 
Passo 3 de 7 
Ou, de acordo com a equação para calcular o módulo de um vetor: 
Passo 4 de 7 
 
Passo 5 de 7 
 Inicialmente determinamos as coordenadas do ponto A e do vetor , comparando a 
equação paramétrica da reta rcom a equação vetorial da reta , ou seja: 
 para o eixo Oz 
Passo 6 de 7 
Com os dados obtidos da equação, calcularemos a distância : 
 
Calculamos o produto vetorial entre : 
 
Agora substituiremos os valores das coordenadas na equação para determinar a 
distância: 
 
Passo 7 de 7 
Concluímos que a distância do ponto P à reta r é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questao 11 
Achar a distancia do ponto ao plano π. 
P(2, −1, 2) π : 2x – 2y − z + 3 = 0 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 
 
Para determinar a distância entre um ponto e um plano , utilizaremos a equação: 
 
Ou, de acordo com a equação para calcular o módulo de um vetor: 
 
Passo 2 de 2 
Selecionaremos os dados: 
 e 
A partir desses dados, calcularemos a distância de acordo com a equação: 
 
 
 
 
 
 
Questão 13 
Achar a distância do ponto P ao plano π nos casos: 
P(1, 3, −6) π : 4x − y + z + 5 = 0 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 
 
Para determinar a distância entre um ponto e um plano , utilizaremos a equação: 
 
Ou, de acordo com a equação para calcular o módulo de um vetor: 
 
Passo 2 de 3 
Selecionaremos os dados: 
 e 
A partir desses dados, calcularemos a distância de acordo com a equação: 
 
Passo 3 de 3 
Concluímos que . 
 
 
Questão 15 
Achar a distância do ponto P ao plano π nos casos: 
P(1, 1, 1) 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 
 
Para encontrar a equação geral do plano é necessário determinar a reta normal a ele. 
Os vetores diretores sobre o plano , de acordo com os dados do problema, são: 
 
Passo 2 de 3 
Para calcular o vetor normal ao plano , calcularemos o produto vetorial entre os 
vetores diretores : 
 
Sabemos que a equação geral do plano é dada por . 
Sendo , teremos: 
 
Para determinarmos o valor de d, substituímos os valores do ponto na 
equação geral do plano , ou seja: 
 
 
A equação geral do plano completa é: 
 
A partir dos dados do problema, calcularemos a distância de acordo com a equação: 
 
 
Passo 3 de 3 
Concluímos que . 
Questão 17 
Achar a distância da reta r ao plano π nos casos: 
r : x = 4 + 3t y = −1 + t z = t e π: x – y – 2z + 4 = 0 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 
 
De acordo com os dados da reta r, as coordenadas do ponto A são e os 
valores das coordenadas são 
Passo 2 de 3 
Vamos calcular a distância, de acordo com a equação a seguir, quando : 
 
Passo 3 de 3 
Concluímos que a distância da reta r ao plano é de . 
Questão 19 
Achar a distância da reta r ao plano π nos casos: 
 e π : y = 0 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 
De acordo com os dados da reta r, as coordenadas do ponto A são e os 
valores das coordenadas são . 
Passo 2 de 3 
Vamos calcular a distância, de acordo com a equação a seguir, quando . 
 
Passo 3 de 3 
Concluímos que a distância da reta r ao plano é de 
Questão 21 
Achar a distância entre r1 e r2 nos casos: 
r1 : x = y = z r2 : y = x + 1 z = 2x − 1 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 
O cálculo da distância entre duas retas é dado por: 
 
De acordo com os dados do enunciado, temos que: 
 
Passo 2 de 3 
Inicialmente, vamos calcular : 
 
Agora calcularemos o produto misto : 
 
Por último calcularemos o produto vetorial : 
 
Com os valores obtidos, vamos calcular a distância entre as duas retas: 
 
Passo 3 de 3 
Concluímos que a distância entre e é de . 
Questão 23 
Achar a distância entre r1 e r2 nos casos: 
r1 : x = t + 1 y = t + 2 z = −2t − 2 
r2 : y = 3x + 1 z = −4x 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 
O cálculo da distância entre duas retas é dado por: 
 
De acordo com os dados do enunciado, temos que: 
 
Passo 2 de 2 
Inicialmente, vamos calcular : 
 
Agora calcularemos o produto misto : 
 
Com os valores obtidos calcularemos a distância entre as duas retas, ou seja: 
 
Questão 25 
Achar a distância entre r1 e r2 nos casos: 
r1 : x = 3 y = 4 r2 : eixos dos z 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 
De acordo com os dados do enunciado,temos que: 
 
Inicialmente, calcularemos : 
 
Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial : 
 
Passo 2 de 2 
Com os valores obtidos, calcularemos a distância entre as duas retas: