AP1 MetDet1 2017 1 Gabarito 1

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 26/03/2017
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Questa˜o 1 (2.0 pt) Este ano, o carnaval de Ladeiro´polis levou 100 mil folio˜es para suas sinuosas
e ı´ngremes ruas. Uma pesquisa realizada durante o desfile dos tradicionais blocos Queda Livre e
Ladeira Abaixo, apurou que:
• O Queda Livre atraiu o dobro de pu´blico que o Ladeira Abaixo
• Apenas um terc¸o dos folio˜es que participaram do Queda Livre tambe´m desfilaram no Ladeira
Abaixo.
• 30 mil folio˜es na˜o desfilaram em qualquer um destes dois blocos, preferindo se divertir em
blocos menores.
Construa o Diagrama de Venn relativo a este problema, escolhendo as varia´veis que achar conveni-
ente e, utilizando este diagrama, determine o nu´mero de folio˜es que desfilaram em ambos os blocos.
Importante!!! Tenha atenc¸a˜o no preenchimento do Diagrama. Lembre-se que uma resposta bem
justificada deve conter as equac¸o˜es que modelam o problema, montadas a partir do Diagrama de
Venn constru´ıdo, com as varia´veis escolhidas, e na˜o a simples verificac¸a˜o de valores intu´ıdos.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de U o conjunto de todos os folio˜es de Ladeiro´polis, de L o conjunto dos
folio˜es que desfilaram no Ladeira Abaixo e de Q o conjunto dos folio˜es do Queda Livre.
Considerando que um folia˜o pode desfilar em nenhum dos dois blocos, apenas um deles ou ambos,
temos enta˜o o seguinte diagrama de Venn:
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
Utilizando as informac¸o˜es dadas, podemos preencher o diagrama com a quantidade conhecida:
Vamos agora utilizar as demais informac¸o˜es. Fac¸amos x = n(Q∩L), isto e´, x folio˜es desfilaram em
ambos os blocos. A segunda informac¸a˜o nos diz que x representa um terc¸o dos folio˜es que desfilaram
no Queda Livre, logo, o total de folio˜es do queda livre foi de n(Q) = 3 ·n(Q∩L) = 3x. Com isso, o
nu´mero de folio˜es que desfilou apenas no Queda Livre foi de n(Q− (Q∩L)) = n(Q)−n(Q∩L) =
3x− x = 2x. Completando o diagrama com essa informac¸a˜o, temos:
Sabe-se ainda que o Queda Livre atraiu o dobro de folio˜es que o Ladeira Abaixo, logo n(Q) = 2·n(L),
e, portanto,
n(L) = 12 n(Q) =
1
2 · 3x =
3
2x.
Com isso, n(L− (Q ∩ L)) = 32x− x = x2 . Temos agora todas as informac¸o˜es do diagrama:
Para determinar o valor de x, note que
x
2 + x+ 2x+ 30.000 = 100.000,
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
logo
x
2 +
2x
2 +
4x
2 = 100.000− 30.000
e, enta˜o,
7x
2 = 70.000.
Com isso,
7x = 140.000
e, portanto,
x = 20.000,
que e´ o nu´mero de folio˜es que desfilou nos dois bolcos.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 2 e 3 a seguir.)
A Secretaria de Patrimoˆnio de Ladeiro´polis e´ responsa´vel por administrar a frota de automo´veis de
servic¸o da cidade. Em func¸a˜o das ı´ngremes ladeiras da cidade, calcula que um ve´ıculo perde 20% de
seu valor patrimonial a cada ano completo de uso, relativo ao valor que tinha no ano anterior.
Ao final de cada ano completo de uso, a Secretaria recalcula o valor patrimonial de um automo´vel.
Se for constatado que ele e´ inferior a 61% do valor original, o ve´ıculo deve ser leiloado.
Questa˜o 2 (1.0 pt) Um automo´vel adquirido por R$100.000,00 pela Secretaria sera´ colocado a
leila˜o apo´s quantos anos completos? Que valor tera´ enta˜o?
Soluc¸a˜o: Primeiramente, note que o ve´ıculo sera´ leiloado quando seu valor for inferior a
61% · 100.000 = 61100 · 100.000 = 61 · 1.000 = 61.000.
A cada ano, o valor v do ve´ıculo reduz em 20% = 20100 =
1
5 , logo, seu novo valor sera´
v − 20% v = v − 15 v =
(
1− 15
)
v = 45v.
Com isso, para um ve´ıculo adquirido por R$100.000,00, temos o seguinte,
• Valor apo´s um ano: v1 = 45 · 100.000 = 4 · 20.000 = 80.000.
• Valor apo´s dois anos: v2 = 45 · v1 = 45 · 80.000 = 4 · 16.000 = 64.000.
• Valor apo´s treˆs anos: v3 = 45 · v2 = 45 · 64.000 = 4 · 12.800 = 51.200 < 61.000.
Logo, o ve´ıculo sera´ leiloado por R$ 51.900,00, apo´s o treˆs anos completos de uso.
Questa˜o 3 (1.0 pt) Chamando de V o valor patrimonial do carro (o valor pelo qual foi adquirido),
determine a expressa˜o do novo valor de patrimoˆnio apo´s decorridos n anos completos.
Soluc¸a˜o: Vimos, na questa˜o anterior, que o valor do ve´ıculo apo´s o fim de um ano completo e´ 45 do
valor do ano anterior. Assim, sendo V o valor inicial,
• Valor apo´s um ano: V1 = 45 · V .
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
• Valor apo´s dois anos: V2 = 45 · V1 = 45 · 45 · V =
(
4
5
)2
V .
• Valor apo´s treˆs anos: V3 = 45 · V2 = 45 ·
(
4
5
)2
V =
(
4
5
)3
V .
• Valor apo´s quatro anos: V4 = 45 · V3 = 45 ·
(
4
5
)3
V =
(
4
5
)4
V .
Prosseguindo assim, vemos que o valor apo´s n anos sera´ dado por
Vn =
(4
5
)n
V.
Questa˜o 4 (2.0 pt) Para imprimir folhetos de propaganda, uma gra´fica tem um custo C, composto
por um valor fixo de R$ 500,00, mais R$ 500,00 por milheiro de folhetos. A receita que a gra´fica
obte´m imprimindo folhetos para seus cliente e´ de R$ 1.000,00 por milheiro. O lucro L com um
trabalho de impressa˜o dos folhetos e´ dado pela diferenc¸a entre a receita R e o custo C, isto e´,
R − C. Como pol´ıtica comercial, a gra´fica na˜o aceita trabalhos que rendam lucro inferior a R$
1.000,00. Determine a quantidade m´ınima de folhetos que esta gra´fica aceita imprimir.
Soluc¸a˜o: Com as informac¸o˜es dadas, sendo n o nu´mero de milheiros de folheto,
C = 500 + 500n
R = 1000n
logo
L = R− C = 1000n− (500 + 500n) = 1000n− 500− 500n = 500n− 500.
Como queremos L > 1000, temos
500n− 500 > 1000⇔ 500n > 1500⇔ n > 3.
Assim, devem ser impressos, no m´ınimo, 3 milheiros de folhetos, isto e´, 3000 folhetos.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 e 6 a seguir.)
Considere os nu´meros A e B abaixo:
A = 7√
2−
√
(−3)2
, B = −
√
18√
3
.
Questa˜o 5 (1.0 pt) Racionalize os nu´meros A e B.
Soluc¸a˜o: Temos
A = 7√
2−
√
(−3)2
= 7√
2−√9 =
7√
2− 3 =
7√
2− 3 ·
√
2 + 3√
2 + 3
= 7(
√
2 + 3)
(
√
2)2 − 32 =
= 7(
√
2 + 3)
2− 9 =
7(
√
2 + 3)
−7 = −(
√
2 + 3) = −√2− 3.
e
B = −
√
18√
3
= −
√
3 · 6√
3
= −
√
3 · √6√
3
= −√6.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 5
Questa˜o 6 (1.0 pt) Calcule o valor de
A
− 1√
3
+B −
√
33.
Soluc¸a˜o: Temos
A
− 1√
3
+B −
√
33 = A ·
(
−
√
3
1
)
+B −
√
32 · 3 = −√3 · A+B − 3√3 =
= −√3 ·
(
−√2− 3
)
+
√
6− 3√3 = √3√2 +√3 · 3−√6− 3√3 =
=
√
6 + 3
√
3−√6− 3√3 = 0.
(Este texto e´ comum a`s questo˜es 7, 8 e 9 a seguir.)
Considere os conjuntos A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}.
Questa˜o 7 (0.5 pt) Diga se e´ verdeira ou falsa a proposic¸a˜o p abaixo, justificando.
p : ∀b ∈ B, ∃a ∈ A | b = 2a.
Soluc¸a˜o: A proposic¸a˜o e´ falsa, pois, tomando b = 1 ∈ B, na˜o existe a ∈ A para o qual 1 = 2a.
Para 1 = 2a, precisar´ıamos ter a = 12 , que na˜o e´ elemento de A. O mesmo ocorre com b = 6, pois
a = 3 /∈ A.
Questa˜o 8 (1.0 pt) Diga se e´ verdeira ou falsa a proposic¸a˜o q abaixo, justificando.
q : ∀a ∈ A, ∃b ∈ B | b = 2a.
Soluc¸a˜o: Verdadeira! Vamos verificar que ∃b ∈ B | b = 2a e´ verdadeira para todo valor de a ∈ A.
• Sendo a = 1, existe b = 2 ∈ B tal que b = 2 = 2 · 1 = 2a.
• Sendo a = 2, existe b = 4 ∈ B tal que b = 4 = 2 · 2 = 2a.
• Sendo a = 4, existe b = 8 ∈ B tal que b = 8 = 2 · 4 = 2a.
• Sendo a = 5, existe b = 10 ∈ B tal queb = 10 = 2 · 5 = 2a.
Questa˜o 9 (0.5 pt) Quais sa˜o os elementos do conjunto R abaixo ?
R = {(a, b) ∈ A×B | a+ b = 12}
Soluc¸a˜o: Vamos procurar os pares (a, b), com a ∈ A e B ∈ B tais que a+ b = 12.
Para a = 1 ∈ A, na˜o existe b ∈ B tal que 1 + b = 12.
Para a = 2 ∈ A, tomando b = 10 ∈ B, temos a + b = 2 + 10 = 12. Com isso, (2, 10) ∈ R. Note
que na˜o existe outro valor de b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 2 + b = 12.
Para a = 4 ∈ A, tomando b = 8 ∈ B, temos a + b = 4 + 8 = 12. Com isso, (4, 8) ∈ R. Note que
na˜o existe outro valor de b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 4 + b = 12.
Para a = 5 ∈ A, na˜o existe b ∈ B que satisfac¸a a igualdade 5 + b = 12. Para tanto, precisar´ıamos
ter b = 7, mas 7 /∈ B.
Assim
R = {(2, 10), (4, 8)}.
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