AP2 MetEst I Gabarito

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Um grupo de pessoas foi pesquisado em relação à preferência de marca de 
smartphone. Com o resultado da pesquisa na tabela abaixo, resolva os 
problemas de 1 a 5. 
 
Idade / Marca Apple (A) Samsung (S) Huawei (H) Outras (O) Total 
Até 14 anos (X) 16 8 8 48 80 
15 a 21 anos (Y) 10 12 8 30 60 
22 a 35 anos (W) 6 10 4 20 40 
36 anos ou mais (Z) 8 10 8 34 60 
Total 40 40 28 132 240 
 
Se uma pessoa deste grupo for sorteada aleatoriamente, qual a probabilidade de ela: 
 
1) (0,5 pt) Preferir smartphones da marca Samsung? 
2) (0,5 pt) Preferir smartphones da marca Huawei e ter de 22 a 35 anos? 
3) (0,5 pt) Ter de 15 a 21 anos ou preferir smartphones da marca Apple? 
4) (0,5 pt) Ter até 14 anos, dado que prefere uma das outras marcas de 
Smartphone? 
5) (0,5 pt) Preferir smartphones da marca Apple, dado que tem 36 anos ou mais? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
A: a pessoa prefere Apple; 
S: a pessoa prefere Samsung; 
H: a pessoa prefere Huawei; 
O: a pessoa prefere outras marcas; 
X: a pessoa tem até 14 anos; 
Y: a pessoa tem de 15 a 21 anos; 
W: a pessoa tem de 22 a 35 anos; 
Z: a pessoa tem 36 anos ou mais. 
 
1) 
ܲ(ܵ) =
40
240
= ૙, ૚૟૟ૠ. 
2) 
ܲ(ܪ ∩ ܹ) =
4
240
= ૙, ૙૚૟૟ૠ. 
3) 
ܲ(ܣ ∪ ܻ) = ܲ(ܣ) + ܲ(ܻ) − ܲ(ܣ ∩ ܻ) =
40
240
+
60
240
−
10
240
=
90
240
= ૙, ૜ૠ૞. 
4) 
ܲ(ܺ|ܱ) =
ܲ(ܺ ∩ ܱ)
ܲ(ܱ)
=
ସ଼
ଶସ଴
ଵଷଶ
ଶସ଴
=
48
132
= ૙, ૜૟૜૟. 
5) 
ܲ(ܣ|ܼ) =
ܲ(ܣ ∩ ܼ)
ܲ(ܼ)
=
଼
ଶସ଴
଺଴
ଶସ଴
=
8
60
= ૙, ૚૜૜૜. 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas de 6 a 8. 
Uma loja vende produtos oriundos de três fabricantes A, B e C. O fabricante A é 
responsável por 45% dos produtos vendidos nesta loja, sendo 2% produzidos com 
algum defeito. O fabricante B é responsável por 25% dos produtos vendidos na loja, 
sendo 3,5% defeituosos e os são produzidos pelo fabricante C, sendo 3% defeituoso. 
Um produto desta loja será sorteado aleatoriamente para averiguação. Determine a 
probabilidade de este produto: 
 
6) (0,5 pt) Ter sido produzido pelo fabricante C; 
7) (1,0 pt) Não ser defeituosa; 
8) (1,0 pt) Ter sido produzido pelo fabricante B, dado que é defeituoso. 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: o produto foi produzido pelo fabricante A; 
B: o produto foi produzido pelo fabricante B; 
C: o produto foi produzido pelo fabricante C; 
D: o produto é defeituoso; 
N: o produto não é defeituoso; 
 
Do enunciado, é possível ter as probabilidades: 
ܲ(ܣ) = 0,45, ܲ(ܤ) = 0,25, ܲ(ܦ|ܣ) = 0,02, ܲ(ܰ|ܣ) = 0,98 
ܲ(ܦ|ܤ) = 0,035, ܲ(ܰ|ܤ) = 0,965, ܲ(ܦ|ܥ) = 0,03, ܲ(ܰ|ܥ) = 0,97 
 
6) 
ܲ(ܥ) = 1 − ሾܲ(ܣ) + ܲ(ܤ)ሿ = 1 − ሾ0,45 + 0,25ሿ = 1 − 0,70 = ૙, ૜૙. 
 
7) Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
ܲ(ܰ) = ܲ(ܣ)ܲ(ܰ|ܣ) + ܲ(ܤ)ܲ(ܰ|ܤ) + ܲ(ܥ)ܲ(ܰ|ܥ) 
= (0,45 × 0,98) + (0,25 × 0,965) + (0,30 × 0,97) 
= 0,4410 + 0,24125 + 0,2910 = ૙, ૢૠ૜૛૞. 
 
8) Pelo Teorema de Bayes, 
ܲ(ܤ|ܦ) =
ܲ(ܤ)ܲ(ܦ|ܤ)
ܲ(ܦ)
=
0,25 × 0,035
1 − ܲ(ܰ)
=
0,00875
1 − 0,97325
=
0,00875
0,02675
= ૙, ૜૛ૠ૚૙. 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas 9 e 10. 
Uma urna contém 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. Três bolas serão retiradas, em 
sequência, desta urna. Seja X a variável aleatória que conta o número de bolas pretas 
obtidas. Obtenha a distribuição de probabilidades de X quando as retiradas são feitas: 
 
9) (1,0 pt) Com reposição; 
10) (1,0 pt) Sem reposição. 
 
Solução: 
Os valores que X pode assumir são: 
ܺ = 0: Quando as três bolas retiradas são brancas; 
ܺ = 1: Quando apenas 1 das 3 bolas é preta; 
ܺ = 2: Quando 2 das 3 bolas é preta; 
ܺ = 3: Quando as três bolas retiradas são pretas. 
 
9) 
ࡼ(ࢄ = ૙) = ܲ(ܤ)ܲ(ܤ|ܤ)ܲ(ܤ|ܤ ∩ ܤ) =
4
10
×
4
10
×
4
10
=
64
1000
= ૙, ૙૟૝. 
ࡼ(ࢄ = ૚) = (ܲܤܤ) + (ܤܲܤ) + (ܤܤܲ) 
= ൬
6
10
×
4
10
×
4
10
൰ + ൬
4
10
×
6
10
×
4
10
൰ + ൬
4
10
×
4
10
×
6
10
൰ 
=
96
1000
+
96
1000
+
96
1000
=
288
1000
= ૙, ૛ૡૡ. 
ࡼ(ࢄ = ૛) = (ܲܲܤ) + (ܲܤܲ) + (ܤܲܲ) 
= ൬
6
10
×
6
10
×
4
10
൰ + ൬
6
10
×
4
10
×
6
10
൰ + ൬
4
10
×
6
10
×
6
10
൰ 
=
144
1000
+
144
1000
+
144
1000
=
432
1000
= ૙, ૝૜૛. 
ࡼ(ࢄ = ૜) = ܲ(ܲ)ܲ(ܲ|ܲ)ܲ(ܲ|ܲ ∩ ܲ) =
6
10
×
6
10
×
6
10
=
216
1000
= ૙, ૛૚૟. 
 
Logo: 
ࢄ 0 1 2 3 
࢖(࢞) 0,064 0,288 0,432 0,216 
 
10) Sem reposição, o espaço amostral muda a cada retirada e o número de 
elementos também. 
ࡼ(ࢄ = ૙) = ܲ(ܤ)ܲ(ܤ|ܤ)ܲ(ܤ|ܤ ∩ ܤ) =
4
10
×
3
9
×
2
8
=
24
720
= ૙, ૙૜૜૜. 
ࡼ(ࢄ = ૚) = (ܲܤܤ) + (ܤܲܤ) + (ܤܤܲ) 
= ൬
6
10
×
4
9
×
3
8
൰ + ൬
4
10
×
6
9
×
3
8
൰ + ൬
4
10
×
3
9
×
6
8
൰ 
=
72
720
+
72
720
+
72
720
=
216
720
= ૙, ૜. 
ࡼ(ࢄ = ૛) = (ܲܲܤ) + (ܲܤܲ) + (ܤܲܲ) 
= ൬
6
10
×
5
9
×
4
8
൰ + ൬
6
10
×
4
9
×
5
8
൰ + ൬
4
10
×
6
9
×
5
8
൰ 
=
120
720
+
120
720
+
120
720
=
360
720
= ૙, ૞. 
ࡼ(ࢄ = ૜) = ܲ(ܲ)ܲ(ܲ|ܲ)ܲ(ܲ|ܲ ∩ ܲ) =
6
10
×
5
9
×
4
8
=
120
720
= ૙, ૚૟૟ૠ. 
 
Logo: 
ࢄ 0 1 2 3 
࢖(࢞) 0,0333 0,3 0,5 0,1667 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas 11 e 12. 
O número de Smart TVs vendidos diariamente por um vendedor em uma loja de 
eletrodomésticos é uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
ܺ 0 1 2 3 4 5 
݌(ݔ) 0,3 0,4 0,2 0,07 0,02 0,01 
 
11) (0,5 pt) Qual a probabilidade de em um dia ser vendidas pelo menos duas Smart 
TVs? 
12) (1,0 pt) Quantas Smart TVs esperam-se ser vendidas por dia? 
 
Solução: 
11) 
ࡼ(ࢄ ≥ ૛) = ܲ(ܺ = 2) + ܲ(ܺ = 3) + ܲ(ܺ = 4) + ܲ(ܺ = 5)
= 0,2 + 0,07 + 0,02 + 0,01 = ૙, ૜. 
12) 
ࡱ(ࢄ) = (0 × 0,3) + (1 × 0,4) + (2 × 0,2) + (3 × 0,07) + (4 × 0,02) + (5 × 0,01) 
= 0 + 0,4 + 0,4 + 0,21 + 0,08 + 0,05 = ૚, ૚૝. 
 
Espera-se que seja vendida 1 Smart TV por dia. 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas de 13 a 15. 
Em uma comunidade, 30% das pessoas já foram picadas pelo Mosquito do Aedes 
Aegypti. Em um grupo de 6 pessoas selecionadas aleatoriamente desta comunidade, qual 
a probabilidade de que: 
 
13) (0,5 pt) Nenhuma tenha sido picada pelo mosquito Aedes Aegypti? 
14) (0,5 pt) Pelo menos duas pessoas tenham sido picadas pelo mosquito Aedes 
Aegypti? 
15) (0,5 pt) No máximo 5 pessoas tenham sido picadas pelo mosquito Aedes 
Aegypti? 
 
Solução: 
Seja X a quantidade de pessoas que já foram picadas pelo Aedes Aegypti: 
 
ܺ ∼ ܤ݅݊݋݈݉݅ܽ(6; 0,3) 
13) 
ࡼ(ࢄ = ૙) = ቀ60ቁ
(0,3)଴(0,7)଺ = 1 × 1 × 0,117649 = ૙, ૚૚ૠ૟૝ૢ. 
14) 
ࡼ(ࢄ ≥ ૛) = 1 − ܲ(ܺ < 2) = 1 − ሾܲ(ܺ = 0) + ܲ(ܺ = 1)ሿ 
= 1 − ቂቀ60ቁ
(0,3)଴(0,7)଺ + ቀ61ቁ
(0,3)ଵ(0,7)ହቃ 
= 1 − ሾ(1 × 1 × 0,117649) + (6 × 0,3 × 0,16807)ሿ 
= 1 − ሾ0,117649 + 0,302526ሿ = 1 − 0,420175 = ૙, ૞ૠૢૡ૛૞. 
15) 
ࡼ(ࢄ ≤ ૞) = 1 − ܲ(ܺ > 5) = 1 − ܲ(ܺ = 6) = 1 − ቀ66ቁ
(0,3)଺(0,7)଴ 
= 1 − (1 × 0,000729 × 1) = 1 − 0,000729 = ૙, ૢૢૢ૛ૠ૚.