Métodos Estatísticos 1 - AP2 - 2014_1 - Gabarito

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
 
1. (2,0 pontos) A tabela abaixo apresenta o resultado de uma pesquisa feita em uma 
Universidade em relação ao nível de satisfação com o desempenho da Economia do Brasil 
no último ano. 
 
Resposta \ Curso Ciências Econômicas Administração Ciências Contábeis Total 
Satisfeito 20 15 15 50 
Insatisfeito 70 80 55 205 
Não soube opinar 5 5 5 15 
Total 95 100 75 270 
 
Um aluno será sorteado aleatoriamente para comentar sobre sua resposta. Determine a 
probabilidade de ele: 
a) (0,5 pt) Não estar satisfeito com o desempenho da Economia do Brasil no último 
ano; 
b) (0,5 pt) Ser aluno do Curso de Administração satisfeito com o desempenho da 
Economia do Brasil no último ano; 
c) (0,5 pt) Não saber opinar sobre o assunto dado que é aluno do Curso de Ciências 
Contábeis; 
d) (0,5 pt) Ser aluno do Curso de Ciências Econômicas ou ter opinado. 
 
 
Solução: 
 
Considere os eventos: 
 
A: O aluno é do Curso de Administração; 
C: O aluno é do Curso de Ciências Contábeis; 
E: O aluno é do Curso de Ciências Econômicas. 
S: O aluno opinou estar Satisfeito; 
I : O aluno opinou estar Insatisfeito; 
N: O aluno não soube opinar. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
Se ele opinou, opinou positiva ou negativamente. Então o conjunto dos alunos que opinou é a união 
dos que estão satisfeitos com os que estão insatisfeitos. 
Logo o evento: 
O: O aluno opinou equivale a (S+I). 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) Um aluno do Curso de Administração está fazendo estágio em uma Indústria 
de peças em que as mesmas são produzidas por 3 máquinas, onde a primeira (A) é 
responsável por 30% dos peças produzidas, a segunda (B) é responsável por 25% e a terceira 
(C), por 45%. Sabe-se de experiências anteriores que 1,5% das peças produzidas pela 
máquina A são defeituosas, que 2% das peças produzidas pela máquina B são defeituosas e 
que 1% das peças produzidas pela máquina C são defeituosas. Uma das atribuições deste 
estagiário é a de avaliar o desempenho das máquinas, para isso, uma peça será sorteada 
aleatoriamente para averiguação: 
a. (1,0 pt) Qual a probabilidade de a peça sorteada ser defeituosa? 
b. (1,0 pt) Sabendo que a peça sorteada é defeituosa, qual seria a máquina mais 
provável de tê-la produzida? 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: A peça foi produzida pela máquina A; 
B: A peça foi produzida pela máquina B; 
C: A peça foi produzida pela máquina C. 
D: A peça é defeituosa. 
São dados do Enunciado do problema: 
 
 
 
 
 
a) Teorema da Probabilidade Total: 
 
 
 
 
b) Teorema de Bayes aplicado a cada Máquina: 
 
 
 
 
 
Como a probabilidade referente à máquina B é a maior, ela é a mais provável de ter fabricado a 
peça. 
 
 
3. (2,0 pontos) Considere o problema da questão anterior e que este aluno tenha recebido uma 
caixa com 10 peças defeituosas produzidas neste dia, sendo 2 peças produzidas pela 
máquina A, 5 produzidas pela máquina B e 3 produzidas pela máquina C. Para uma 
demonstração a um grupo de candidatos a operadores de máquinas desta empresa, o aluno 
irá retirar aleatoriamente, na sequência, 3 peças desta caixa. Determine a probabilidade de as 
duas primeiras peças terem sido produzidas pela máquina B e a terceira ter sido produzida 
pela máquina A quando: 
a. (1,0 pt) As retiradas são feitas sem reposição; 
b. (1,0 pt) As retiradas são feitas com reposição. 
 
Solução: 
 
a) 
Considerando as retiradas sem reposição, o espaço amostral sempre irá diminuir de uma unidade 
a cada retirada. 
Assim: 
__1ª._ __2ª _ __3ª _ 
B B A 
 
 
b) 
Com as retiradas feitas com reposição, os eventos são independentes e o espaço amostral sempre 
permanecerá o mesmo. 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Para se determinar um índice de crescimento de um país de acordo com o 
pregão na Bolsa de Valores do dia seguinte, uma variável aleatória X é estabelecida de 
modo que se a Bolsa fechar em alta, X=0 e o índice é positivo e se a Bolsa fechar em baixa 
ou permanecer inalterada, X=1 e o índice é negativo. Considere 
 
 
 
a função de distribuição de probabilidade de X. Determine: 
 
a. (0,7 pt) O valor de k para que f seja de fato uma função de distribuição probabilidade. 
b. (0,7 pt) A probabilidade de o índice de crescimento ser positivo amanhã. 
c. (0,6 pt) . 
 
Solução: 
 
a) 
Sabemos que a soma de todas as possíveis probabilidades na distribuição de probabilidades tem 
que ser igual á 1. 
 
Como os únicos valores que x assume são 0 e 1, então: 
 
 
Logo: 
 
 
b) 
Sabemos que o índice é positivo se e a probabilidade de X=0 será dada pela função de 
distribuição de probabilidade. 
 
 
 
c) 
Para o cálculo de vamos construir a tabela de distribuição de probabilidades de X. 
 
 0 1 
 ¾ ¼ 
 
Como vimos no item anterior, a probabilidade de X=0 é ¾, consequentemente, a probabilidade de 
X=1 será ¼. 
 
Assim: 
 
 
 
 
5. (2,0 pontos) Em uma indústria do setor automobilístico, 30% dos veículos produzidos são 
para exportação. Durante um período de uma semana (7 dias) durante o mês, um veículo é 
sorteado aleatoriamente por dia para inspeção. 
 
a. (0,7 pt) Determine a probabilidade de todos os veículos sorteados esta semana serem 
para exportação; 
b. (0,7 pt) Determine a probabilidade de pelo menos 2 veículos sorteados esta semana 
serem para exportação; 
c. (0,6 pt) Qual o número esperado de veículos para exportação sorteados estas semana? 
 
Solução: 
 
Os sorteios são independentes. Temos 7 sorteios e em cada sorteio a probabilidade de 
sucesso é 30%. Isto configura uma distribuição Binomial de Probabilidade com p=0,3 e 
n=7. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
c) 
 
 
Ou seja, espera-se que dos 7 veículos sorteados, 2 sejam para exportação.