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Ferramentas Matemáticas da Mecânica Quântica
Quantum Mechanics � Concepts and Applications, cap. 3
Nouredini Zetilli
15 de novembro de 2011
1 Introdução
Lidamos aqui com o maquinário matemático necessário ao estudo da mecânica quântica.
Embora este capítulo seja de escopo matemático, nenhuma tentativa de ser matematicamente
completo e rigoroso é feita. Nos limitamos àquelas questões práticas que são relevantes ao
formalismo da mecânica quântica.
A equação de Schrödinger é uma das pedras angulares da teoria da mecânica quântica;
ela tem a estrutura de uma equação linear. O formalismo da mecânica quântica lida com
operadores que são lineares e funções de onda que pertencem a um espaço abstrato de Hilbert.
As propriedades matemáticas e a estrutura dos espaços de Hilbert são essenciais para uma
devida compreensão do formalismo da mecânica quântica. Por isso, revisaremos brevemente
as propriedades dos espaços de Hilbert e desses operadores lineares. Depois consideraremos a
notação bra-ket de Dirac.
A mecânica quântica foi formulada de dois modos diferentes por Schrödinger e Heisenberg.
A mecânica ondulatória de Schrödinger e a mecânica matricial de Heisenberg são as represen-
tações do formalismo geral da mecânica quântica em sistemas de bases contínuas e discretas,
respectivamente. Por isso, também examinaremos a matemática envolvida na representação
de kets, bras, bra-kets e operadores em bases discretas e contínuas.
2 O Espaço de Hilbert e as Funções de Onda
2.1 O Espaço Vetorial Linear
Um espaço vetorial linear consiste de dois conjuntos de elementos e duas regras algébricas:
• um conjunto de vetores ψ, φ, χ, . . . , e um conjunto de escalares a, b, c;
• uma regra para a adição vetorial e uma regra para a multiplicação escalar.
(a) Regra da Adição: a regra da adição tem as propriedades e a estrutura de um grupo
abeliano:
• Se ψ e φ são vetores (elementos) de um espaço, sua soma, ψ + φ, é também um vetor
do mesmo espaço.
• Comutatividade: ψ + φ = φ+ ψ.
• Associatividade: (ψ + φ) + χ = ψ + (φ+ χ).
1
• Elemento neutro (ou vetor nulo): para cada vetor ψ, deve existir um vetor O, do mesmo
espaço, tal que: O + ψ = ψ +O = ψ.
• Elemento simétrico (ou vetor inverso): para cada vetor ψ, deve existir um vetor simétrico
(−ψ), do mesmo espaço, tal que: ψ + (−ψ) = (−ψ) + ψ = O.
(b) Regra da Multiplicação: a multiplicação de vetores por escalares
1
tem as seguintes
propriedades:
• O produto de um escalar por um vetor dá um outro vetor. Em geral, se ψ e φ são dois
vetores do espaço, qualquer combinação linear aψ + bφ é também um vetor do espaço,
sendo a e b escalares.
• Distributividade com relação à adição:
a (ψ + φ) = aψ + aφ , (a+ b)ψ = aψ + bψ . (1)
• Associatividade com relação à multiplicação de escalares:
a (bψ) = (ab)ψ . (2)
• Para cada elemento ψ deve existir um escalar unitário I e um escalar nulo �o�, tais que:
Iψ = ψI = ψ e oψ = ψo = o . (3)
2.2 O Espaço de Hilbert
Um espaço de Hilbert H consiste de um conjunto de vetores ψ, φ, χ, . . . , e um conjunto
de escalares a, b, c, os quais satisfazem às seguintes quatro propriedades:
(a) H é um espaço linear.
As propriedades de um espaço linear foram consideradas na seção anterior.
(b) H tem um produto escalar de�nido que é estritamente positivo.
O produto escalar de um elemento ψ por outro elemento φ é, em geral, um número
complexo, denotado por (ψ, φ), onde (ψ, φ) = número complexo. Nota: cuidado com a
ordem! Como o produto escalar é um número complexo, a quantidade (ψ, φ) geralmente
não é igual a (φ, ψ): (ψ, φ) = ψ∗φ, enquanto que (φ, ψ) = φ∗ψ. O produto escalar
satisfaz às seguintes propriedades:
� O produto escalar de ψ e φ é igual ao complexo conjugado do produto escalar de
φ e ψ:
(ψ, φ) = (φ, ψ)∗ . (4)
� O produto escalar de ψ e φ é linear com relação ao segundo fator se φ = aφ2+ bφ2:
(ψ, aφ2 + bφ2) = a (ψ, φ1) + b (ψ, φ2) , (5)
e anti-linear com relação ao primeiro fator se ψ = aψ2 + bψ2:
(aψ1 + bψ2, φ) = a
∗ (ψ1, φ) + b∗ (ψ2, φ) . (6)
1
Escalares podem ser números reais ou complexos
2
� O produto escalar de um vetor ψ por ele mesmo é um número real positivo:
(ψ,ψ) = ‖ψ‖2 ≥ 0 , (7)
onde a igualdade vale apenas para ψ = O.
(c) H é separável.
Existe uma sequência de Cauchy ψn ∈ H (n = 1, 2, . . .) tal que para cada ψ de H e ε > 0,
existe pelo menos um ψn da sequência para o qual
‖ψ − ψn‖ < ε . (8)
(d) H é completo.
Toda sequência de Cauchy ψn ∈ H converge para um elemento de H. Isto é, para
qualquer ψn, a relação
lim
n,m→∞ ‖ψn − ψm‖ = 0 (9)
de�ne um único elemento ψ de H tal que
lim
n→∞ ‖ψ − ψn‖ = 0 . (10)
Nota: Deve-se perceber que em um produto escalar (ψ, φ), o segundo fator, φ, pertence ao
espaço de Hilbert H, enquanto o primeiro fator, ψ, pertence a seu espaço dual de Hilbert Hd.
A distinção entre H e Hd é devida ao fato de que, como mencionado acima, o produto escalar
não é comutativo: (ψ, φ) 6= (φ, ψ); a ordem importa! Da álgebra linear, sabemos que todo
espaço vetorial pode ser associado com um espaço vetorial dual.
2.3 Dimensão e Base de um Espaço Vetorial
Um conjunto de N vetores não-nulos φ1, φ2, . . . , φN é dito ser linearmente independente
(LI) se, e somente se, a solução da equação
N∑
i=1
aiφi = 0 (11)
é a1 = a2 = . . . = aN = 0. Mas se existir um conjunto de escalares, nem todos nulos, tal que
um dos vetores (digamos, φn) possa ser expresso como uma combinação linear dos outros,
φn =
n−1∑
i=1
aiφi +
N∑
i=n+1
aiφi , (12)
então o conjunto {φi} é dito ser linearmente dependente (LD).
Dimensão: A dimensão de um espaço vetorial é dada pelo número máximo de vetores LI
que o espaço pode ter. Por exemplo, se o número máximo de vetores LI que um espaço tem
é N (isto é, φ1, φ2, . . . , φN ), esse espaço é dito ser N -dimensional. Nesse espaço vetorial
N -dimensional, qualquer vetor ψ pode ser expresso como uma combinação linear:
ψ =
N∑
i=1
aiφi . (13)
3
Base: A base de um espaço vetorial consiste de um conjunto contendo o máximo número
possível de vetores LI pertencentes àquele espaço. O conjunto de vetores φ1, φ2, . . . , φN , de-
notado abreviadamente por {φi}, é chamado de base do espaço vetorial, enquanto os vetores
φ1, φ2, . . . , φN são chamados de vetores da base. Embora o conjunto desses vetores LI seja
arbitrário, é conveniente escolhê-lhos como sendo ortonormais, isto é, com produto escalar
satisfazendo à relação (φj , φj) = δij , onde δij = 1 se i = j, e δij = 0 se i 6= j. A base é dita
ser ortonormal se consistir de um conjunto de vetores ortonormais. Além disso, a base é dita
ser completa se gera o espaço inteiro, isto é, se não há necessidade de se introduzir qualquer
vetor de base adicional. Os coe�cientes ai na expansão (13) são chamados de componentes do
vetor ψ com relação à base. Cada componente é dada pelo produto escalar de ψ pelo vetor
de base correspondente
2
, aj = (φj , ψ).
Exemplos de espaços vetoriais lineares: Vamos dar dois exemplos de espaços lineares
que são espaços de Hilbert: um tendo um conjunto �nito (discreto) de vetores de base, o outro
tendo uma base in�nita (contínua).
• Espaço vetorial Euclideano tridimensional: a base deste espaço consiste de três
vetores LI, geralmente denotados por i, j e k. Qualquer vetor do espaço Euclideano pode
ser escrito em termos dos vetores da base como A = a1i+a2j+a3k, onde a1, a2 e a3 são
os componentes de A nessa base, e cada componente pode ser determinada tomando-se
o produto escalar de A pelo vetor de base correspondente: a1 = i · A, a2 = j · A e
a3 = k · A. Note-se que o produto escalar no espaço Euclideano é real e, portanto,
simétrico. A norma nesse espaço é o comprimento usual de vetores: ‖A‖ = A. Note-se
também que sempre que a1i + a2j + a3k = 0, temos a1 = a2 = a3 = 0, e nenhum dos
vetores unitários i, j, k pode ser expresso como combinação lineardos outros dois.
• Espaço vetorial das funções complexas inteiras ψ(x): a dimensão desse espaço é
in�nita, pois ele tem um número in�nito de vetores de base LI.
2.4 Funções Quadrado-Integráveis: Funções de Onda
No caso de espaços de funções, um �vetor� é dado por uma função complexa e o produto
escalar é dado por integrais. Ou seja, o produto escalar de duas funções ψ(x) e φ(x) é dado
por
(ψ, φ) =
∫
ψ∗(x)φ(x) dx . (14)
Se essa integral diverge, o produto escalar não existe. Resulta que se quisermos que o espaço
de funções tenha um produto escalar, devemos selecionar apenas aquelas funções para as quais
(ψ, φ) seja �nito. Em particular, uma função ψ(x) é dita ser quadrado-integrável se o produto
escalar de ψ consigo mesma,
(ψ,ψ) =
∫
|ψ(x)|2 dx , (15)
for �nito.
2
(φj , ψ) =
(
φj ,
N∑
i=1
aiφi
)
=
n∑
i=1
ai (φj , φi) =
n∑
i=1
aiδij = aj .
4
É fácil veri�car que o espaço das funções quadrado-integráveis possui as propriedades de um
espaço de Hilbert. Por exemplo, qualquer combinação linear de funções quadrado-integráveis
é também uma função quadrado-integrável e (14) satisfaz a todas as propriedades do produto
escalar de um espaço de Hilbert.
Note que a dimensão do espaço de Hilbert das funções quadrado-integráveis é in�nito, já
que cada função de onda pode ser expandida em termos de um número in�nito de funções LI.
A dimensão de um espaço é dada pelo número máximo de vetores de base LI necessários para
gerar aquele espaço.
Um bom exemplo de função quadrado-integrável é a função de onda da mecânica quân-
tica, denotada por ψ(r, t). De acordo com a interpretação probabilística de ψ(r, t), dada por
Max Born, a quantidade |ψ(r, t)|2 d3r representa a probabilidade de encontrar, no tempo t, a
partícula em um volume d3r, centrado no ponto r. A probabilidade de encontrar a partícula
em algum lugar do espaço deve ser igual a 1:∫
|ψ(r, t)|2 d3r =
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
|ψ(r, t)|2 dx dy dz = 1 . (16)
Portanto, as funções de onda da mecânica quântica são quadrado-integráveis. Funções de
onda que satisfazem a (16)
3 Notação de Dirac
O estado físico de um sistema é representado na mecânica quântica por elementos de um
espaço de Hilbert; esses elementos são chamados de vetores de estado. Podemos representar
os vetores de estado em diferentes bases por meio de expansões de funções. Isto é análogo a
especi�car um vetor ordinário (Euclideano) por suas componentes em vários sistemas de coor-
denadas. Por exemplo, podemos representar equivalentemente um vetor por suas componentes
num sistema de coordenadas cartesianas, num sistema de coordenadas esféricas, ou num sis-
tema de coordenadas cilíndricas. O signi�cado de um vetor, obviamente, é independente do
sistema de coordenadas escolhido para representar suas componentes. Similarmente, o estado
de um sistema microscópico tem um signi�cado independente da base na qual é expandido.
Dirac introduziu uma notação para vetores de estado extremamente valiosa na mecânica
quântica; ela permite manipular o formalismo da mecânica quântica com facilidade e clareza.
Ele introduziu os conceitos de bras, kets e bra-kets, que serão explicados abaixo.
Kets: elementos de um espaço vetorial
Dirac denotou o vetor de estado ψ pelo símbolo |ψ〉, que denominou de um vetor ket, ou, sim-
plesmente, um ket. Os kets pertencem ao espaço (vetorial) de Hilbert H, ou, abreviadamente,
ao espaço ket.
Bras: elementos de um espaço dual
Como mencionado anteriormente, sabemos da álgebra linear que um espaço dual pode ser
associado a cada espaço vetorial. Dirac denotou os elementos de um espaço dual pelo símbolo
〈 |, que ele denominou de vetor bra, ou simplesmente bra. Por exemplo, o elemento 〈ψ| re-
presenta um bra. Para cada ket |ψ〉 existe um único bra 〈ψ| e vice-versa. Enquanto os kets
pertencem ao espaço de Hilbert H, os correspondentes bras pertencem a seu espaço dual de
5
Hilbert Hd.
Bra-ket: notação de Dirac para o produto escalar
Dirac denotou o produto escalar (ou interno) pelo símbolo 〈|〉, que é chamado de bra-ket. Por
exemplo, o produto escalar (φ, ψ) é denotado pelo bra-ket 〈φ|ψ〉:
(φ, ψ)→ 〈φ|ψ〉 . (17)
Nota: Quando um ket (bra) é multiplicado por um número complexo, também obtemos um
ket (bra).
Na mecânica quântica lidamos com funções de onda ψ(r, t), mas no formalismo mais geral
da mecânica quântica lidamos com kets abstratos |ψ〉. Funções de onda, assim como kets, são
elementos de um espaço de Hilbert. Deve-se notar que, assim como uma função de onda, um
ket representa completamente o sistema, e portanto conhecer |ψ〉 signi�ca conhecer todas as
suas amplitudes em todas as possíveis representações. Como foi dito, kets são independentes de
qualquer representação particular. Não há razão para particularizar uma base de representação
tal como se faz no espaço de posição. Obviamente, se quisermos saber a probabilidade de
encontrar a partícula em alguma posição no espaço, precisamos desenvolver o formalismo
dentro da representação de coordenadas. O vetor de estado dessa partícula no tempo t será
dado pela função de onda espacial 〈r, t|ψ〉 = ψ(r, t). Na representação de coordenadas, o
produto escalar 〈φ|ψ〉 é dado por
〈φ|ψ〉 =
∫
φ∗(r, t)ψ(r, t) d3r . (18)
Similarmente, se estivermos considerando o momento tridimensional de uma partícula, o ket
|ψ〉 terá que ser expresso no espaço de momento. Nesse caso, o estado da partícula será des-
crito por uma função de onda ψ(p, t), onde p é o momento da partícula.
Propriedades de kets, bras e bra-kets
• Todo ket tem um bra correspondente
A cada ket |ψ〉 corresponde um único bra 〈ψ| e vice-versa:
|ψ〉 ←→ 〈ψ| . (19)
Existe uma correspondência um-a-um entre bras e kets:
a|ψ〉+ b|φ〉 ←→ a∗〈ψ|+ b∗〈φ| , (20)
onde a e b são números complexos. A notação a seguir é bastante comum:
|aψ〉 = a|ψ〉 , 〈aψ| = a∗〈ψ| . (21)
• Propriedades do produto escalar
Como na mecânica quântica o produto escalar é um número complexo, a ordem importa
muito. Devemos distinguir com cuidado um produto escalar de seu complexo conjugado;
〈ψ|φ〉 não é a mesma coisa que 〈φ|ψ〉:
〈φ|ψ〉∗ = 〈ψ|φ〉 . (22)
6
Esta propriedade se torna clara se a aplicarmos em (14):
〈φ|ψ〉∗ =
(∫
φ∗(r, t)ψ(r, t) d3r
)∗
=
∫
ψ∗(r, t)φ(r, t) d3r = 〈ψ|φ〉 . (23)
Se |ψ〉 e |φ〉 fossem reais, teríamos 〈ψ|φ〉 = 〈φ|ψ〉. Vamos listar agora algumas proprie-
dades adicionais do produto escalar:
〈φ|a1ψ1 + a2ψ2〉 = a1〈φ|ψ1〉+ a2〈φ|ψ2〉 , (24)
〈a1φ1 + a2φ2|ψ〉 = a∗1〈φ1|ψ〉+ a∗2〈φ2|ψ〉 , (25)
〈a1φ1 + a2φ2|b1ψ1 + b2ψ2〉 = a∗1b1〈φ1|ψ1〉+ a∗1b2〈φ1|ψ2〉
+ a∗2b1〈φ2|ψ1〉+ a∗2b2〈φ2|ψ2〉 . (26)
• A norma é real e positiva
Para qualquer vetor de estado |ψ〉 do espaço de Hilbert H, a norma é real e positiva;
〈ψ|ψ〉 é igual a zero apenas quando |ψ〉 = O, onde O é o vetor nulo. Se o estado |ψ〉 é
normalizado, então 〈ψ|ψ〉 = 1.
• Desigualdade de Schwarz
Para quaisquer dois estados |ψ〉 e |φ〉 do espaço de Hilbert, pode-se mostrar que
|〈ψ|φ〉|2 ≤ 〈ψ|ψ〉〈φ|φ〉 . (27)
Se |ψ〉 e |φ〉 forem linearmente dependentes (isto é, proporcionais: |ψ〉 = α|φ〉, onde α
é um escalar), essa relação se torna uma igualdade. A desigualdade de Schwarz (27) é
análoga à seguinte relação do espaço real Euclideano:
|A ·B|2 ≤ |A|2 |B|2 . (28)
• Desigualdade triangular
√
〈ψ + φ|ψ + φ〉 ≤
√
〈ψ|ψ〉+
√
〈φ|φ〉 . (29)
Se |ψ〉 e |φ〉 forem linearmente dependentes (isto é, proporcionais: |ψ〉 = α|φ〉, onde α
é um escalar), a desigualdade triangular se torna uma igualdade. Sua contrapartida é a
seguinte desigualdade no espaço real Euclideano: |A+A| ≤ |B|+ |B|.
• Estados ortogonais
Dois kets |ψ〉 e |φ〉 são ditos ortogonais se seu produto escalar é nulo:
〈ψ|φ〉 = 0 . (30)
• Estados ortonormais
Dois kets |ψ〉 e |φ〉 são ditos ortonormais se forem ortogonais e cada um tiver norma
unitária:
〈ψ|φ〉 = 0 , 〈ψ|ψ〉 = 1 , 〈φ|φ〉 = 1 . (31)
7
• Quantidades proibidas
Se |ψ〉e |φ〉 pertencem ao mesmo espaço vetorial (de Hilbert), produtos do tipo |ψ〉|φ〉
e 〈ψ|〈φ| são proibidos. Eles não fazem sentido, pois |ψ〉|φ〉 e 〈ψ|〈φ| não são bras nem
kets. Contudo se |ψ〉 e |φ〉 pertencem a espaços vetoriais diferentes (por exemplo, |ψ〉
pertence a um espaço de spin e |φ〉 pertence a um espaço de momento angular orbital),
então seu produto |ψ〉|φ〉, escrito como |ψ〉⊗ |φ〉, representa um produto tensorial de |ψ〉
e |φ〉. Apenas nesses casos típicos esses produtos tem signi�cado.
Signi�cado físico do produto escalar
O produto escalar pode ser interpretado de dois modos. Primeiro, por analogia com o produto
escalar de vetores comuns no espaço Euclideano, ondeA·B representa a projeção deB sobreA,
o produto 〈φ|ψ〉 também representa a projeção de |ψ〉 sobre |φ〉. Segundo, no caso de estados
normalizados e de acordo com a interpretação probabilística de Max Born, a quantidade 〈φ|ψ〉
representa a amplitude da probabilidade que o estado |ψ〉 do sistema terá, após uma medição
ser feita no sistema, seja outro estado |φ〉.
4 Operadores
4.1 De�nições Gerais
De�nição de um operador: Um operador
3 Aˆ é uma regra matemática que, aplicada a um
ket |ψ〉, o transforma em outro ket |ψ′〉 do mesmo espaço, e quando age sobre um bra 〈φ|, o
transforma em outro bra 〈φ′|
Aˆ|ψ〉 = |ψ′〉 , 〈φ|Aˆ = 〈φ′| . (32)
Uma de�nição semelhante aplica-se a funções de onda:
Aˆψ(r) = ψ′(r) , φ(r)Aˆ = φ′(r) . (33)
Exemplos de operadores
• Operador unidade: deixa qualquer ket inalterado, Iˆ|ψ〉 = |ψ〉.
• Operador gradiente: ∇ψ(r) = ∂ψ(r)
∂x
i+
∂ψ(r)
∂y
j+
∂ψ(r)
∂z
k.
• Operador momento linear: Pψ(r) = −i~∇ψ(r).
• Operador Laplaciano: ∇2ψ(r) = ∂
2ψ(r)
∂x2
+
∂2ψ(r)
∂y2
+
∂2ψ(r)
∂z2
.
• Operador de paridade: Pˆψ(r) = ψ(−r).
Produtos de operadores
O produto de dois operadores é, em geral, não comutativo:
AˆBˆ 6= BˆAˆ . (34)
3
O símbolo ˆ é usado para distingui um operador Aˆ de um número complexo ou de uma matriz A.
8
Entretanto, o produto de operadores é associativo:
AˆBˆCˆ = Aˆ
(
BˆCˆ
)
=
(
AˆBˆ
)
Cˆ . (35)
Podemos também escrever AˆnAˆm = Aˆn+m. Quando o produto AˆBˆ opera sobre um ket |ψ〉 (a
ordem é importante!), o operador Bˆ atua primeiro sobre o ket |ψ〉 e então o operador Aˆ atua
sobre o novo ket (Bˆ|ψ〉):
AˆBˆ|ψ〉 = Aˆ
(
Bˆ|ψ〉
)
. (36)
Da mesma forma, quando AˆBˆCˆDˆ opera sobre um ket |ψ〉, o operador Dˆ atua primeiro, depois
Cˆ, em seguida Bˆ e, por �m, atua o operador Aˆ.
Quando um operador Aˆ é �imprensado� entre um bra 〈φ| e um ket |ψ〉, resulta em geral
um número complexo. A quantidade 〈ψ|Aˆ|φ〉 pode também ser um número puramente real
ou puramente imaginário.
Nota: ao avaliar 〈ψ|Aˆ|φ〉, não importa se o operador Aˆ age primeiro no ket ou primeiro no
bra; isto é: (〈φ|Aˆ)|ψ〉 = 〈φ|(Aˆ|ψ〉).
Operadores lineares
Um operador Aˆ é dito linear se obedecer à lei distributiva e se comutar com constantes (como
qualquer operador). Ou seja, um operador Aˆ é linear se, para quaisquer vetores |ψ1〉 e |ψ2〉, e
para quaisquer números complexos a1 e a2, tivermos:
Aˆ (a1|ψ1〉+ a2|ψ2〉) = a1Aˆ|ψ1〉+ a2Aˆ|ψ2〉 , (37)
e
(〈ψ1|a1 + 〈ψ2|a2) Aˆ = a1〈ψ1|Aˆ+ a2〈ψ2|Aˆ . (38)
Observações:
• O valor esperado 〈Aˆ〉 de um operador Aˆ com relação a um estado |ψ〉 é de�nido por
〈Aˆ〉 = 〈ψ|Aˆ|ψ〉〈ψ|ψ〉 . (39)
• A quantidade |φ〉〈ψ| (ou seja, o produto de um ket com um bra) é um operador linear
na notação de Dirac. Quando |φ〉〈ψ| é aplicado a um ket |ψ′〉, obtemos outro ket:
|φ〉〈ψ|ψ′〉 = 〈ψ|ψ′〉|φ〉 , (40)
já que 〈ψ|ψ′〉 é um número complexo.
• Produtos do tipo |ψ〉Aˆ e Aˆ〈ψ| são proibidos. Eles não são operadores, kets ou bras, e
não tem nenhum signi�cado matemático ou físico.
9
4.2 Adjunto Hermitiano
O adjunto Hermitiano ou conjugado
4
, α†, de um número complexo α é o complexo conju-
gado desse número: α† = α∗. O adjunto Hermitiano, ou simplesmente o adjunto, Aˆ†, de um
operador Aˆ é de�nido por essa relação:
〈ψ|Aˆ†|φ〉 = 〈φ|Aˆ|ψ〉∗ . (41)
Propriedades da regra do conjugado Hermitiano
Para obter o adjunto Hermitiano de qualquer expressão, deve-se reverter ciclicamente a ordem
dos fatores e fazer três substituições:
• Substituir constantes por seus complexos conjugados: α† = α∗.
• Substituir kets (bras) pelos correspondentes bras (kets): (|ψ〉)† = 〈ψ| e (〈ψ|)† = |ψ〉.
• Substituir operadores por seus adjuntos.
Seguindo essas regras, podemos escrever:(
Aˆ†
)†
= Aˆ , (42)(
aAˆ
)†
= a∗Aˆ† , (43)(
Aˆn
)†
=
(
Aˆ†
)n
, (44)(
Aˆ+ Bˆ + Cˆ + Dˆ
)†
= Aˆ† + Bˆ† + Cˆ† + Dˆ† , (45)(
AˆBˆCˆDˆ
)†
= Dˆ†Cˆ†Bˆ†Aˆ† , (46)(
AˆBˆCˆDˆ|ψ〉
)†
= 〈ψ|Dˆ†Cˆ†Bˆ†Aˆ† . (47)
O adjunto Hermitiano do operador |ψ〉〈φ| é dado por
(|ψ〉〈φ|)† = |φ〉〈ψ| . (48)
Operadores atuam dentro de kets e bras, respectivamente, da seguinte maneira:
|αAˆψ〉 = αAˆ|ψ〉 , 〈αAˆψ| = α∗〈ψ|Aˆ† . (49)
Note-se também que 〈αAˆ†ψ| = α∗〈ψ|(Aˆ†)† = α∗〈ψ|Aˆ. Portanto, podemos também escrever:
〈ψ|Aˆ|φ〉 = 〈Aˆ†ψ|φ〉 = 〈ψ|Aˆφ〉 . (50)
Operadores Hermitianos e anti-Hermitianos
Um operador Aˆ é dito ser Hermitiano se for igual ao seu adjunto Aˆ†:
Aˆ = Aˆ† ou 〈ψ|Aˆ|φ〉 = 〈φ|Aˆ|ψ〉∗ (51)
4
Os termos �adjunto� e �conjugado são usados indiscriminadamente.
10
Por outro lado, um operador Bˆ é dito ser anti-Hermitiano se
Bˆ = −Bˆ† ou 〈ψ|Bˆ|φ〉 = −〈φ|Bˆ|ψ〉∗ (52)
Nota: O adjunto Hermitiano de um operador não é, em geral, igual ao seu complexo conju-
gado: Aˆ† 6= Aˆ∗.
De (51) podemos inferir que o valor esperado de um operador Hermitiano é um número
real, pois satisfaz à seguinte propriedade:
〈ψ|Aˆ|ψ〉 = 〈ψ|Aˆ†|ψ〉∗ = 〈ψ|Aˆ|ψ〉∗ . (53)
E de (52), o valor esperado de um operador anti-Hermitiano é
〈ψ|Bˆ|ψ〉 = −〈ψ|Bˆ†|ψ〉∗ = −〈ψ|Bˆ|ψ〉∗ , (54)
o que signi�ca que seu valor esperado é um número puramente imaginário.
4.3 Operadores de Projeção
Um operador Pˆ é dito ser um operador de projeção se for Hermitiano e igual ao seu próprio
quadrado:
Pˆ † = Pˆ , Pˆ 2 = Pˆ . (55)
O operador unidade Iˆ é um exemplo simples de operador de projeção, já que Iˆ† = Iˆ e Iˆ2 = Iˆ.
Propriedades dos operadores de projeção
• O produto de dois operadores de projeção que comutam, Pˆ1 e Pˆ2, é também um operador
de projeção, já que (
Pˆ1Pˆ2
)†
= Pˆ †2 Pˆ
†
1 = Pˆ2Pˆ1 = Pˆ1Pˆ2 (56)
e (
Pˆ1Pˆ2
)2
= Pˆ1Pˆ2Pˆ1Pˆ2 = Pˆ1Pˆ1Pˆ2Pˆ2 = Pˆ
2
1 Pˆ
2
2 = Pˆ1Pˆ2 . (57)
• A soma de dois operadores de projeção geralmente não é um operador de projeção.
• Dois operadores de projeção são ortogonais se seu produto é zero.
• Para que uma soma de operadores de projeção Pˆ1 + Pˆ2 + Pˆ3 + . . . seja um operador de
projeção, é necessário e su�ciente que esses operadores sejam mutuamente ortogonais
(ou seja, os termos com produtos cruzados devem se anular).
Vamos mostrar que |ψ〉〈ψ| é um operador de projeção apenas quando |ψ〉 for normalizado.
É imediato veri�car que |ψ〉〈ψ| é Hermitiano:
(|ψ〉〈ψ|)† = |ψ〉〈ψ| .
Veri�quemos agora seu quadrado:
(|ψ〉〈ψ|)2 = (|ψ〉〈ψ|) (|ψ〉〈ψ|) = |ψ〉〈ψ|ψ〉〈ψ| .
Se |ψ〉for normalizado, então 〈ψ|ψ〉 = 1 e concluímos que (|ψ〉〈ψ|)2 = |ψ〉〈ψ|, ou seja, se o
estado |ψ〉 é normalizado, o produto |ψ〉〈ψ| é um operador de projeção.
11
4.4 Álgebra de Comutadores
O comutador de dois operadores Aˆ e Bˆ, denotado por [Aˆ, Bˆ], é de�nido como
[Aˆ, Bˆ] = AˆBˆ − BˆAˆ (58)
e o anticomutador é de�nido como
{Aˆ, Bˆ} = AˆBˆ + BˆAˆ (59)
Dois operadores comutam se seu comutador for igual a zero, o que leva a AˆBˆ = BˆAˆ. Qualquer
operador comuta com ele mesmo:
[Aˆ, Aˆ] = 0 . (60)
Note que se dois operadores forem Hermitianos,(
AˆBˆ
)†
= Bˆ†Aˆ† = BˆAˆ ,
e se seu produto for Hermitiano, (
AˆBˆ
)†
= AˆBˆ ,
ou seja, e esses operadores comutam.
Como um exemplo, podemos mencionar os comutadores envolvendo a componente x do
operador posição, Xˆ, e a componente x do operador momento, Pˆx = −i~ ∂x, bem como as
componentes y e z:
[Xˆ, Pˆx] = i~ Iˆ , [Yˆ , Pˆy] = i~ Iˆ e [Zˆ, Pˆz] = i~ Iˆ , (61)
onde Iˆ é o operadorunidade.
Propriedades dos operadores
Usando a relação (58), podemos estabelecer as seguintes propriedades:
• Anti-simetria:
[Aˆ, Bˆ] = −[Bˆ, Aˆ] . (62)
• Linearidade:
[Aˆ, Bˆ + Cˆ + Dˆ + . . .] = [Aˆ, Bˆ] + [Aˆ, Cˆ] + [Aˆ, Dˆ] + . . . . (63)
• Conjugado Hermitiano de um comutador:
[Aˆ, Bˆ]† = [Bˆ†, Aˆ†] . (64)
• Distributividade:
[Aˆ, BˆCˆ] = [Aˆ, Bˆ]Cˆ + Bˆ[Aˆ, Cˆ] , (65)
[AˆBˆ, Cˆ] = Aˆ[Bˆ, Cˆ] + [Aˆ, Cˆ]Bˆ . (66)
12
• Identidade de Jacobi:
[Aˆ, [Bˆ, Cˆ]] + [Bˆ, [Cˆ, Aˆ]] + [Cˆ, [Aˆ, Bˆ]] = 0 . (67)
• Por repetidas aplicações de (65), pode-se mostrar que
[Aˆ, Bˆn] =
n−1∑
j=0
Bˆj [Aˆ, Bˆ]Bˆn−j−1 , (68)
[Aˆn, Bˆ] =
n−1∑
j=0
Aˆn−j−1[Aˆ, Bˆ]Aˆj . (69)
• Operadores comutam com qualquer escalar:
[Aˆ, b ] = 0 . (70)
Uma importante propriedade dos operadores Hermitianos é que seu comutador é anti-Hermitiano,
o que pode ser facilmente provado:
[Aˆ, Bˆ]† =
(
AˆBˆ − BˆAˆ
)†
= Bˆ†Aˆ† − Aˆ†Bˆ† = BˆAˆ− AˆBˆ = −[Aˆ, Bˆ] . (71)
4.5 Relações de Incerteza entre Dois Operadores
Uma aplicação interessante da álgebra de comutadores é na derivação de uma relação geral
que dá o produto das incertezas de dois operadores Aˆ e Bˆ. Em particular, queremos dar uma
derivação formal das relações de incerteza de Heisenberg.
Sejam 〈Aˆ〉 e 〈Bˆ〉 os valores esperados de dois operadores Hermitianos Aˆ e Bˆ com relação
a um estado normalizado |ψ〉: 〈Aˆ〉 = 〈ψ|Aˆ|ψ〉 e 〈Bˆ〉 = 〈ψ|Bˆ|ψ〉. Introduzindo os operadores
∆Aˆ = Aˆ− 〈Aˆ〉 e ∆Bˆ = Bˆ − 〈Bˆ〉 , (72)
temos
5 (
∆Aˆ
)2
= Aˆ2 − 2Aˆ〈Aˆ〉+ 〈Aˆ〉2 e
(
∆Bˆ
)2
= Bˆ2 − 2Bˆ〈Bˆ〉+ 〈Bˆ〉2 . (73)
Então,
〈(∆Aˆ)2〉 = 〈ψ|(∆Aˆ)2|ψ〉
= 〈ψ|Aˆ2|ψ〉 − 2〈ψ|Aˆ〈Aˆ〉|ψ〉+ 〈ψ|〈Aˆ〉2|ψ〉
= 〈Aˆ2〉 − 2〈Aˆ〉〈Aˆ〉+ 〈Aˆ〉2
= 〈Aˆ2〉 − 〈Aˆ〉2 , (74)
e, semelhantemente,
〈(∆Bˆ)2〉 = 〈Bˆ2〉 − 〈Bˆ〉2 . (75)
5
O quadrado da primeira das equações (72) conterá a soma −Aˆ〈Aˆ〉 − 〈Aˆ〉Aˆ. Como 〈Aˆ〉 é um número real,
[Aˆ, 〈Aˆ〉] = 0, pela propriedade (70), e temos que Aˆ〈Aˆ〉 = 〈Aˆ〉Aˆ. O mesmo pode ser dito com relação a (∆Bˆ)2.
13
As incertezas ∆A e ∆B são de�nidas por
∆A =
√
〈(∆Aˆ)2〉 =
√
〈Aˆ2〉 − 〈Aˆ〉2 e ∆B =
√
〈(∆Bˆ)2〉 =
√
〈Bˆ2〉 − 〈Bˆ〉2 (76)
Agora, vamos escrever a ação dos operadores (72) sobre um estado |ψ〉 qualquer:
|χ〉 = ∆Aˆ|ψ〉 =
(
Aˆ− 〈Aˆ〉
)
|ψ〉 , |φ〉 = ∆Bˆ|ψ〉 =
(
Bˆ − 〈Bˆ〉
)
|ψ〉 . (77)
A desigualdade de Schwarz para os estados |χ〉 e |φ〉 é
〈χ|χ〉〈φ|φ〉 ≥ |〈χ|φ〉|2 . (78)
Como Aˆ e Bˆ são Hermitianos, ∆Aˆ e ∆Bˆ também devem ser; de fato,
∆Aˆ† =
(
Aˆ− 〈Aˆ〉
)†
= Aˆ† − 〈Aˆ〉 = Aˆ− 〈Aˆ〉 = ∆Aˆ ,
e, da mesma forma, ∆Bˆ† = Bˆ − 〈Bˆ〉 = ∆Bˆ. Agora,
〈χ| = 〈ψ|∆Aˆ† = 〈ψ|∆Aˆ e 〈φ| = 〈ψ|∆Bˆ† = 〈ψ|∆Bˆ ,
de modo que
〈χ|χ〉 = 〈ψ|(∆Aˆ)2|ψ〉 , 〈φ|φ〉 = 〈ψ|(∆Bˆ)2|ψ〉 e 〈χ|φ〉 = 〈ψ|∆Aˆ∆Bˆ|ψ〉 . (79)
As equações (79) fornecem os valores esperados de (∆Aˆ)2, (∆Bˆ)2 e ∆Aˆ∆Bˆ. Assim, a desi-
gualdade de Schwarz (78) se torna
〈(∆Aˆ)2〉〈(∆Bˆ)2〉 ≥
∣∣∣〈∆Aˆ∆Bˆ〉∣∣∣2 . (80)
Para determinar o membro direito de (80), notemos primeiramente que
[∆Aˆ,∆Bˆ] = ∆Aˆ∆Bˆ −∆Bˆ∆Aˆ e {∆Aˆ,∆Bˆ} = ∆Aˆ∆Bˆ +∆Bˆ∆Aˆ
nos dão
∆Aˆ∆Bˆ =
1
2
[∆Aˆ,∆Bˆ] +
1
2
{∆Aˆ,∆Bˆ} . (81)
Agora,
[∆Aˆ,∆Bˆ] = [Aˆ− 〈Aˆ〉, Bˆ − 〈Bˆ〉]
=
(
Aˆ− 〈Aˆ〉
)(
Bˆ − 〈Bˆ〉
)
−
(
Bˆ − 〈Bˆ〉
)(
Aˆ− 〈Aˆ〉
)
= AˆBˆ − Aˆ〈Bˆ〉 − 〈Aˆ〉Bˆ + 〈Aˆ〉〈Bˆ〉 − BˆAˆ+ Bˆ〈Aˆ〉+ 〈Bˆ〉Aˆ− 〈Bˆ〉〈Aˆ〉
= AˆBˆ − BˆAˆ
= [Aˆ, Bˆ] ,
14
de modo que podemos escrever (81) como
∆Aˆ∆Bˆ =
1
2
[Aˆ, Bˆ] +
1
2
{∆Aˆ,∆Bˆ} . (82)
O anti-comutador {∆Aˆ,∆Bˆ} pode ser expresso como {Aˆ, Bˆ} + 2〈Aˆ〉〈Bˆ〉. O anti-comutador
{Aˆ, Bˆ} é Hermitiano, já que
{Aˆ, Bˆ}† =
(
AˆBˆ + BˆAˆ
)†
= Bˆ†Aˆ† + Aˆ†Bˆ† = BˆAˆ+ AˆBˆ .
Como [Aˆ, Bˆ] é anti-Hermitiano, seu valor esperado é um número imaginário, enquanto que o
valor esperado de {Aˆ, Bˆ} é real. Portanto, o valor esperado 〈∆Aˆ∆Bˆ〉 de (82) se torna a soma
de uma parte real 〈{∆Aˆ,∆Bˆ}〉/2 e de uma parte imaginária 〈[Aˆ, Bˆ]〉/2. Portanto,∣∣∣〈∆Aˆ∆Bˆ〉∣∣∣2 = 1
4
∣∣∣〈[Aˆ, Bˆ]〉∣∣∣2 + 1
4
∣∣∣〈{∆Aˆ,∆Bˆ}〉∣∣∣2 . (83)
Como o último termo do membro direito é um número real positivo, podemos inferir a seguinte
relação: ∣∣∣〈∆Aˆ∆Bˆ〉∣∣∣2 ≥ 1
4
∣∣∣〈[Aˆ, Bˆ]〉∣∣∣2 . (84)
Comparando as expressões (80) e (84), concluímos que
〈(∆Aˆ)2〉〈(∆Bˆ)2〉 ≥ 1
4
∣∣∣〈[Aˆ, Bˆ]〉∣∣∣2 . (85)
Tirando a raiz quadrada de (85) e usando as de�nições de incerteza (76), chegamos a
∆A∆B ≥ 1
2
∣∣∣〈[Aˆ, Bˆ]〉∣∣∣ (86)
Essa relação de incerteza desempenha um papel importante no formalismo da mecânica quân-
tica. Sua aplicação aos operadores posição e momento leva às relações de incerteza de Hei-
senberg, que representam um das pedras angulares da mecânica quântica.
Para derivar as relações de incerteza de Heisenberg, aplicamos (86) aos operadores de�nidos
em (61). Utilizando a primeira relação em (61), temos
∆x∆px ≥ 1
2
∣∣∣〈[Xˆ, Pˆx]〉∣∣∣ = 1
2
∣∣∣〈ψ|[Xˆ, Pˆx]|ψ〉∣∣∣ = 1
2
∣∣∣〈ψ|i~ Iˆ|ψ〉∣∣∣ = 1
2
∣∣∣i~〈ψ|Iˆ|ψ〉∣∣∣ = 1
2
|i~| ,
ou
∆x∆px ≥ ~
2
.
Expressões para as outras componentes são imediatas, e podemos escrever
∆x∆px ≥ ~
2
, ∆y∆py ≥ ~
2
, ∆z∆pz ≥ ~
2
(87)
Essas são as relações de incerteza de Heisenberg.
15
4.6 Funções de Operadores
Seja F (Aˆ) uma função de um operador Aˆ. Se Aˆ é um operador linear, podemos expandir
F (Aˆ) em uma série de Taylor de potências de Aˆ:
F (Aˆ) =
∞∑
n=0
anAˆ
n
, (88)
onde an é um coe�ciente da expansão. Como uma ilustração de uma função de um operador,
consideremos eaAˆ, onde a é um escalar complexo ou real. Podemos expandi-la assim:
eaAˆ =
∞∑
n=0
an
n!
Aˆ = Iˆ + aAˆ+
a2
2
Aˆ2 +
a3
3
Aˆ3 + . . . . (89)
Comutadores envolvendo funções de operadores
Se Aˆ comuta com outro operador Bˆ, então Bˆ comuta com qualquer função de operador que
dependa de Aˆ:
[Aˆ, Bˆ] = 0 =⇒ [Bˆ, F (Aˆ)] = 0 . (90)
Em particular, F (Aˆ) comuta com Aˆ e com qualquer outra função G(Aˆ):
[Aˆ, F (Aˆ)] , [Aˆn, F (Aˆ)] , [F (Aˆ), G(Aˆ)] . (91)
Adjuntos Hermitianos de funções de operadores
O adjunto de F (Aˆ) é dado por
[F (Aˆ)]† = F ∗(Aˆ†) . (92)
Note que se Aˆ for Hermitiano, F (Aˆ) não será necessariamente Hermitiana, exceto se F for
uma função real (e, óbvio, se Aˆ for Hermitiano). Um exemplo é:
(eAˆ)† = eAˆ
†
= eAˆ , (eiAˆ)† = e−iAˆ
†
= e−iAˆ , (eiαAˆ)† = e−iα
∗Aˆ† = e−iα
∗Aˆ
,
onde α é um número complexo. Assim, se Aˆ for Hermitiano, uma função de operador que
admita expansão em série de Taylor, como em (89), será Hermitiana apenas se os coe�cientes
an da expansão forem números reais. Mas em geral F (Aˆ) não é Hermitiana mesmo se Aˆ for
Hermitiano, já que
F ∗(Aˆ†) =
∞∑
n=0
a∗n
(
Aˆ†
)n
. (93)
4.7 Operadores Inverso e Unitário
Inverso de um operador: Admitindo que exista
6
, o inverso Aˆ−1 de um operador linear Aˆ
é de�nido pela relação
Aˆ−1Aˆ = AˆAˆ−1 = Iˆ , (94)
onde Iˆ é o operador unidade (aquele que deixa inalterado qualquer estado |ψ〉).
6
Nem todo operador possui inverso, assim como no caso das matrizes. A inversa de uma matriz existe
apenas quando seu determinante for zero.
16
Quociente de dois operadores: Dividir um operador Aˆ por outro operador Bˆ (desde que
seu inverso Bˆ−1 exista) é equivalente a multiplicar Aˆ por Bˆ−1:
Aˆ
Bˆ
= AˆBˆ−1 . (95)
O lado em que o quociente é tomado é importante:
Aˆ
Bˆ
= Aˆ
Iˆ
Bˆ
= AˆBˆ−1 e
Aˆ
Bˆ
=
Iˆ
Bˆ
Aˆ = Bˆ−1Aˆ . (96)
Em geral, temos AˆBˆ−1 6= Bˆ−1Aˆ. Podemos mencionar aqui as seguintes propriedades envol-
vendo a inversão de operadores:(
AˆBˆCˆDˆ
)−1
= Dˆ−1Cˆ−1Bˆ−1Aˆ−1 e
(
Aˆn
)−1
=
(
Aˆ−1
)n
. (97)
Operadores unitários: Um operador linear Uˆ é dito ser unitário se seu inverso Uˆ−1 for
igual ao seu adjunto Uˆ †:
Uˆ † = Uˆ−1 ou Uˆ Uˆ † = Uˆ Uˆ−1 = Iˆ . (98)
O produto de dois operadores unitários Uˆ e Vˆ é também unitário, pois(
Uˆ Vˆ
)(
Uˆ Vˆ
)†
=
(
Uˆ Vˆ
)(
Vˆ †Uˆ †
)
= Uˆ
(
Vˆ Vˆ †
)
Uˆ † = Uˆ Uˆ † = Iˆ, (99)
ou (Uˆ Vˆ )† = (Uˆ Vˆ )−1. Esse resultado pode ser generalizado para qualquer número de opera-
dores, e o produto de vários operadores unitários será também unitário, pois(
AˆBˆCˆDˆ . . .
)(
AˆBˆCˆDˆ . . .
)†
= AˆBˆCˆDˆ (. . .) Dˆ†Cˆ†Bˆ†Aˆ†
= AˆBˆCˆ
(
DˆDˆ†
)
Cˆ†Bˆ†Aˆ†
= AˆBˆ
(
CˆCˆ†
)
Bˆ†Aˆ†
= Aˆ
(
BˆBˆ†
)
Aˆ† = AˆAˆ† = Iˆ ,
ou (
AˆBˆCˆDˆ . . .
)†
=
(
AˆBˆCˆDˆ . . .
)−1
. (100)
4.8 Autovalores e Autovetores de um Operador
Um vetor de estado |ψ〉 é dito ser um autovetor7 de um operador Aˆ se a aplicação de Aˆ a
|ψ〉 dá
Aˆ|ψ〉 = a|ψ〉 , (101)
onde a é um número complexo, chamado de autovalor de Aˆ. Essa equação é conhecida como
a equação de autovalor (ou o problema de autovalor) do operador Aˆ. Sua solução fornece
os autovalores e os autovetores de Aˆ. Mais adiante, na Seção 5.3, veremos como resolver o
problema de autovalor numa base discreta.
7
Também chamado de autoket ou autoestado
17
Um exemplo simples é o problema de autovalor para o operador unidade Iˆ:
Iˆ|ψ〉 = |ψ〉 . (102)
Isso signi�ca que todos os vetores são autovetores de Iˆ, com autovalor 1. Note que
Aˆ|ψ〉 = a|ψ〉 =⇒ Aˆn|ψ〉 = an|ψ〉 =⇒ F (Aˆ)|ψ〉 = F (a)|ψ〉 . (103)
Por exemplo, temos
Aˆ|ψ〉 = a|ψ〉 =⇒ eiAˆ|ψ〉 = eia|ψ〉 .
Dado o operador linear Aˆ, se existir Aˆ−1, então os autovalores de Aˆ−1 são os inversos dos
autovalores do operador Aˆ. Para ver isso, notemos que Aˆ−1Aˆ = Iˆ, de modo que
Aˆ−1Aˆ|ψ〉 = Iˆ|ψ〉 = |ψ〉 . (104)
Por outro lado,
Aˆ−1Aˆ|ψ〉 = Aˆ−1
(
Aˆ|ψ〉
)
= Aˆ−1 (a|ψ〉) = aAˆ−1|ψ〉 . (105)
Combinando (104) e (105), temos
aAˆ−1|ψ〉 = |ψ〉 ,
e portanto,
Aˆ−1|ψ〉 = 1
a
|ψ〉 . (106)
Isso signi�ca que |ψ〉 também é autovetor de Aˆ−1, com autovalor 1/a. Logo, se Aˆ−1 existe,
então
Aˆ|ψ〉 = a|ψ〉 =⇒ Aˆ−1|ψ〉 = 1
a
|ψ〉 (107)
Alguns teoremas úteis relacionados ao problema de autovalor
Teorema 1. Todos os autovalores de um operador Hermitiano são reais, e os autovetores
correspondentes a diferentes autovalores são ortogonais.
Se Aˆ† = Aˆ , Aˆ|φn〉 = an|φn〉 =⇒ an ∈ R e 〈φm|φn〉 = δmn . (108)
Prova: Note que
Aˆ|φn〉 = an|φn〉 =⇒ 〈φm|Aˆ|φn〉 = an〈φm|φn〉 (109)
e
〈φm|Aˆ† = a∗m〈φm| =⇒ 〈φm|Aˆ†|φn〉 = a∗m〈φm|φn〉 . (110)
Subtraindo (100) de (99) e usando o fato de que Aˆ é Hermitiano, temos:
〈φm|Aˆ|φn〉 − 〈φm|Aˆ†|φn〉 = an〈φm|φn〉 − a∗m〈φm|φn〉 ,
〈φm|Aˆ− Aˆ†|φn〉 = (an − a∗m) 〈φm|φn〉 ,
ou
(an − a∗m) 〈φm|φn〉 = 0 .
Temos que considerar dois casos separadamente:
18
• Casom = n: como 〈φn|φn〉 > 0, devemos ter an = a∗n. Resulta que os autovalores devem
ser reais.
• Caso m 6= n: como em geral an 6= a∗m, devemos ter 〈φn|φn〉 = 0. Resulta que |φm〉 e
|φn〉 devem ser ortogonais.
Teorema 2. Os autoestados de um operador Hermitiano de�nem um conjunto completo de
estados mutuamente ortonormais � uma autobase. O operador é diagonal nessa autobase, com
seus elementos diagonais iguais aos autovalores. Essa base é única se o operador não tiver
autovalores degenerados; caso contrário, há um número in�nito de autobases.
Teorema 3. Se dois operadores Aˆ e Bˆ comutam, e se Aˆ não tem autovalor degenerado, então
cada autovetor de Aˆ é também um autovetor de Bˆ. Além disso, pode-se construir uma base
comum ortonormal formada pelos autovetores de Aˆ e de Bˆ.
Teorema 4. Os autovalores de um operador anti-Hermitiano são puramente imaginários ou
nulos.
Teorema 5. Os autovalores de um operador unitário são números complexos de módulo igual
a um. Os autovetores de um operador unitário que não tenham autovalores degenerados são
mutuamente ortogonais.
Prova: Sejam |φn〉 e |φm〉 autovetores do operador unitário Uˆ com autovalores am e an,
respectivamente. Podemos escrever(
〈φm|Uˆ †
)(
Uˆ |φn〉
)
= a∗man〈φm|φn〉 ,
ou, dado que Uˆ †Uˆ = Iˆ,(
〈φm|Uˆ †
)(
Uˆ |φn〉
)
= 〈φm|Uˆ †Uˆ |φn〉 = 〈φm|Iˆ|φn〉 = 〈φm|φn〉 ,
de forma que
(a∗man − 1) 〈φm|φn〉 = 0 . (111)
Temos que analisar dois casos:
• Caso n = m: como 〈φn|φn〉 > 0, então a∗nan = |an|2 = 1. Resulta que |an| = 1.
• Caso m 6= n: a única possibilidade para esse caso é que 〈φn|φn〉 = 0, e resulta que |φn〉
e |φn〉 são ortogonais.
4.9 Transformações In�nitesimal e Unitária Finita
Queremos investigar aqui como quantidades tais como kets, bras, operadores e escalares se
transformam sob transformações unitárias. Uma transformação unitária consiste na aplicação
de um operador unitário Uˆ a uma dessas quantidades.
19
4.9.1 Transformações Unitárias
Kets e bras se transformam do seguinte modo:
|ψ′〉 = Uˆ |ψ〉 , 〈ψ′| = 〈ψ|Uˆ † . (112)
Vamos descobrir agora como operadores se transformam sob transformações unitárias. Como
a transformada de Aˆ|ψ〉 = |φ〉 é Aˆ′|ψ′〉 = |φ′〉, vamos usar (102) para escrever
Aˆ′Uˆ |ψ〉 = Uˆ |φ〉 = Uˆ Aˆ|ψ〉 , (113)
o que leva a Aˆ′Uˆ = Uˆ Aˆ. Lembrando que Uˆ Uˆ † = Uˆ †Uˆ = Iˆ, vamos multiplicar ambos os lados
de Aˆ′Uˆ = Uˆ Aˆ por Uˆ †. Temos:
Uˆ †Aˆ′Uˆ = Uˆ †Uˆ Aˆ = IˆAˆ = Aˆ ,
e
Uˆ AˆUˆ † = Aˆ′Uˆ Uˆ † = Aˆ′Iˆ = Aˆ′ .
Resumindo, podemos escrever
|ψ′〉 = Uˆ |ψ〉 , 〈ψ′| = 〈ψ|Uˆ † , Aˆ′ = Uˆ AˆUˆ † (114)
e
|ψ〉 = Uˆ †|ψ′〉 , 〈ψ| = 〈ψ′|Uˆ , Aˆ = Uˆ †Aˆ′Uˆ (115)
Propriedades das transformações unitárias
• Se um operador Aˆ é Hermitiano, seu transformado Aˆ′ também é Hermitiano, pois
Aˆ′† =
(
Uˆ AˆUˆ †
)†
=
(
Uˆ †
)†
Aˆ†Uˆ † = Uˆ Aˆ†Uˆ † = Uˆ AˆUˆ † = Aˆ′ . (116)
• Os autovalores de Aˆ e de seu transformado Aˆ′ são os mesmos, ou seja,
Aˆ|ψn〉 = an|ψn〉 =⇒ Aˆ′|ψ′n〉 = an|ψ′n〉 . (117)
A demonstração é simples:
Aˆ′|ψ′n〉 =
(
Uˆ AˆUˆ †
)(
Uˆ |ψn〉
)
= Uˆ Aˆ
(
Uˆ †Uˆ
)
|ψn〉 = Uˆ Aˆ|ψn〉 = an
(
Uˆ |ψn〉
)
= |ψ′n〉 .
• Comutadores que são iguais a números (complexos) permanecem inalterados sob trans-
formações unitárias, ou seja, dado a ∈ C
[Aˆ, Bˆ] = a =⇒ [Aˆ′, Bˆ′] = a = [Aˆ, Bˆ] . (118)
Usando (115), temos:
[Aˆ′, Bˆ′] = [Uˆ AˆUˆ †, Uˆ BˆUˆ †] =
(
Uˆ AˆUˆ †
)(
Uˆ BˆUˆ †
)
−
(
Uˆ BˆUˆ †
)(
Uˆ AˆUˆ †
)
= Uˆ
(
AˆBˆ
)
Uˆ † − Uˆ
(
BˆAˆ
)
Uˆ † = Uˆ [Aˆ, Bˆ]Uˆ † = Uˆa Uˆ † = a UˆUˆ † = a = [Aˆ, Bˆ] .
20
• Valem as seguintes relações gerais:
Aˆ = βBˆ + γCˆ =⇒ Aˆ′ = βBˆ′ + γCˆ ′ , (119)
Aˆ = αBˆCˆDˆ =⇒ Aˆ′ = αBˆ′Cˆ ′Dˆ′ , (120)
onde Aˆ′, Bˆ′, Cˆ ′ e Dˆ′ são as transformadas de Aˆ′, Bˆ, Cˆ e Dˆ.
• Como o resultado (118) é válido para qualquer número complexo, podemos a�rmar
que números complexos tais como 〈ψ|Aˆ|χ〉 permanecem inalterados sob transformações
unitárias, pois
〈ψ′|Aˆ′|χ′〉 = (〈ψ|Aˆ†)(Uˆ AˆUˆ †)(Uˆ |χ〉) = 〈ψ|(Uˆ †Uˆ)Aˆ(Uˆ †Uˆ)|χ〉 = 〈ψ|Aˆ|χ〉 . (121)
Tomando Aˆ = Iˆ, vemos que produtos escalares do tipo
〈ψ′|χ′〉 = 〈ψ|χ〉 (122)
são invariantes sob transformações unitárias. Especi�camente, a norma de um vetor de
estado é conservada:
〈ψ′|ψ′〉 = 〈ψ|ψ〉 . (123)
• Pode-se também veri�car que (Uˆ AˆUˆ †)n = Uˆ AˆnUˆ †, pois
(Uˆ AˆUˆ †)n = (Uˆ AˆUˆ †)(Uˆ AˆUˆ †) . . . (Uˆ AˆUˆ †)
= Uˆ Aˆ(Uˆ †Uˆ)Aˆ(Uˆ †Uˆ) . . . (Uˆ †Uˆ)AˆUˆ † = Uˆ(AˆAˆ . . . Aˆ)Uˆ † = Uˆ AˆnUˆ † . (124)
• O resultado (124) pode ser generalizado para obter a transformação de qualquer função
de operador f(Aˆ):
Uˆf(Aˆ)Uˆ † = f(Uˆ AˆUˆ †) = f(Aˆ′) . (125)
Mais geralmente, podemos escrever
Uˆf(Aˆ, Bˆ, Cˆ, . . .)Uˆ † = f(Uˆ AˆUˆ †, Uˆ BˆUˆ †, Uˆ CˆUˆ †, . . .) = f(Aˆ′, Bˆ′, Cˆ ′, . . .) . (126)
Uma transformação unitária não altera a física de um sistema; ela meramente transforma
uma descrição do sistema em outra descrição �sicamente equivalente. No que se segue, quere-
mos considerar dois tipos de transformações unitárias: as transformações in�nitesimais e as
transformações �nitas.
4.9.2 Transformações Unitárias In�nitesimais
Considere um operador Uˆ que dependa de um parâmetro real ε in�nitesimalmente pequeno
e que desvie-se apenas ligeiramente do operador unidade Iˆ:
Uˆε(Gˆ) = Iˆ + iεGˆ , (127)
onde Gˆ é chamado de gerador da transformação in�nitesimal. Claramente, Uˆε será uma trans-
formação unitária apenas quando o parâmetro ε for real (ε∗ = ε) e quando Gˆfor Hermitiano
(Gˆ† = Gˆ), pois
UˆεUˆ
†
ε = (Iˆ + iεGˆ)(Iˆ − iεGˆ†) ' Iˆ + iε(Gˆ− Gˆ†) = Iˆ , (128)
21
onde desprezamos o termos quadrático em ε.
A transformação de um vetor de estado |ψ〉 é dada por
|ψ′〉 = (Iˆ + iεGˆ)|ψ〉 = |ψ〉+ δ|ψ〉 , (129)
onde
δ|ψ〉 = iεGˆ|ψ〉 . (130)
A transformação de um operador Aˆ é dada por
Aˆ′ = (Iˆ + iεGˆ)Aˆ(Iˆ − iεGˆ) = (Iˆ + iεGˆ)(Aˆ− iεAˆGˆ) ' Aˆ− iεAˆGˆ+ iεAˆGˆ ,
ou
Aˆ′ = (Iˆ + iεGˆ)Aˆ(Iˆ − iεGˆ) ' Aˆ+ iε[Gˆ, Aˆ] (131)
Se Gˆ comuta com Aˆ, a transformação unitária deixará Aˆ inalterado:
[Gˆ, Aˆ] = 0 =⇒ Aˆ′ = Aˆ′ = (Iˆ + iεGˆ)Aˆ(Iˆ − iεGˆ) = Aˆ . (132)
4.9.3 Transformações Unitárias Finitas
Pode-se construir uma transformação unitária �nita a partir de (127) executando uma
sucessão de transformações in�nitesimais de passos iguais a ε; a aplicação de uma série de
transformações unitárias sucessivas é equivalente à aplicação de uma única transformação
unitária. Sendo ε = α/N , onde N é um inteiro e α é um parâmetro �nito, podemos aplicar a
mesma transformação unitária N vezes. No limite em que n→ +∞, obtemos
Uˆα(Gˆ) = lim
n→∞
N∏
k=1
(
1 + i
α
N
Gˆ
)
= lim
n→+∞
(
1 + i
α
N
Gˆ
)N
= eiαGˆ , (133)
onde Gˆ é agora o gerador da transformação �nita e α é seu parâmetro. A transformação Uˆ
será unitária apenas quando o parâmetro α for real e Gˆ for Hermitiano, pois
(eiαGˆ)† = e−iαGˆ
†
= e−iαGˆ = (eiαGˆ)−1 . (134)
É possível mostrar que a transformação Aˆ′ de um operador Aˆ pode ser escrita como
eiαGˆe−iαGˆ = Aˆ+ iα[Gˆ, Aˆ] +
(iα)2
2!
[Gˆ, [Gˆ, Aˆ]] +
(iα)3
3!
[Gˆ, [Gˆ, [Gˆ, Aˆ]]] + . . . (135)
Se Gˆ comuta com Aˆ, a transformação unitária deixará Aˆ inalterado:
[Gˆ, Aˆ] = 0 =⇒ Aˆ′ = eiαGˆe−iαGˆ = Aˆ . (136)
Algumas das aplicações das transformações unitárias in�nitesimais são o estudo de translações
espaciais e temporais, rotações espaciais e leis de conservação.
5 Representação em Bases Discretas
Por analogia dos espaços vetoriais Euclideanos em termos de vetores de base, precisamos
expressar um ket |ψ〉 do espaço de Hilbert em termos de um conjunto completo de kets de base
mutuamente ortogonais. Vetores de estados são então representados por suas componentes
nessa base.
22
5.1 Representação Matricial de Kets, Bras e Operadores
Considere uma base ortonormal discreta e completa composta por um conjunto in�nito de
kets |φ1〉, |φ2〉, |φ3〉, . . . , e denote esse conjunto por {|φn〉}. Note que a base {|φn〉} é discreta
e ainda assim contém um número in�nito de vetores unitários. No limite n→∞, o índice de
ordenação n dos vetores unitários |φn〉 é discreto ou contável ; isto é, a seqüência |φ1〉, |φ2〉,
|φ3〉, . . . é contável in�nitamente. Como ilustração, considere as funções especiais, tais como
os polinômios de Hermite, Legendre ou Laguerre, Hn(x), Pn(x) e Ln(x), que são identi�cados
por um índice discreto n e por uma variável contínua x; embora n varie discretamente, ele
pode ser in�nito.
Nesta seção a notação {|φn〉} será usada para abreviar um conjunto in�nitamente contável
de vetores do espaço de Hilbert H. A condição de ortonormalidade dos kets da base é expressa
por
〈φn|φm〉 = δnm , (137)
onde δnm é o delta de Kronecker, de�nido por
δnm =
{
1 , n = m
0 , n 6= m . (138)
A relação de completeza, ou fechamento, para essa base é dada por
∞∑
n=1
|φn〉〈φn| = Iˆ , (139)
onde Iˆ é o operador unidade; quando o operador unidade atua sobre qualquer ket, ele o deixa
inalterado.
5.1.1 Representação Matricial de Kets e Bras
Vamos agora examinar como representar o vetor |ψ〉 dentro do contexto da base {|φn〉}.
A propriedade de completeza desta base nos permite expandir qualquer vetor de estado |ψ〉
em termos dos kets |φn〉 da base:
|ψ〉 = Iˆ|ψ〉 =
( ∞∑
n=1
|φn〉〈φn|
)
|ψ〉 =
∞∑
n=1
(〈φn|ψ〉) |φn〉 =
∞∑
n=1
an|φn〉 , (140)
onde o coe�ciente an (= 〈φn|ψ〉) representa a projeção de |ψ〉 na direção de |φn〉; an é o
componente de |ψ〉 ao longo do vetor |φn〉. Lembre-se que os coe�ciente an são números
complexos. Assim, na base {|φn〉}, o ket |ψ〉 é representado pelo conjunto de suas componentes
a1, a2, a3, . . . ao longo dos vetores |φ1〉, |φ2〉, |φ3〉, . . . , respectivamente. Logo, |ψ〉 pode ser
representado por um vetor coluna que tem um número in�nitamente contável de componentes:
|ψ〉 →

〈φ1|ψ〉
〈φ2|ψ〉
.
.
.
〈φn|ψ〉
.
.
.

=

a1
a2
.
.
.
an
.
.
.

. (141)
23
O bra 〈ψ| pode ser representado por um vetor linha:
〈ψ| → (〈ψ|φ1〉 〈ψ|φ2〉 . . . 〈ψ|φn〉 . . .)
=
(〈φ1|ψ〉∗ 〈φ2|ψ〉∗ . . . 〈φn|ψ〉∗ . . .)
=
(
a∗1 a∗2 . . . a∗n . . .
)
. (142)
Usando essa representação, podemos ver que o bra-ket 〈ψ|φ〉 é um número complexo igual ao
produto da matriz linha correspondente ao bra 〈ψ| pela matriz coluna correspondente ao ket
|φ〉:
〈ψ|φ〉 = (a∗1 a∗2 . . . a∗n . . .)

a1
a2
.
.
.
an
.
.
.

=
∞∑
n=1
a∗nbn , (143)
onde bn = 〈φn|φ〉. Nessa representação, as matrizes que representam |ψ〉 e 〈ψ| são adjuntas
Hermitianas uma da outra.
Nota: Um ket |ψ〉 é normalizado se
〈ψ|ψ〉 =
∑
n
|an|2 = 1 .
Se |ψ〉 não estiver normalizado e quisermos normaliza-lo, precisamos simplesmente multiplica-
lo por uma constante α tal que 〈αψ|αψ〉 = |α|2 〈ψ|ψ〉 = 1, e assim
α =
1√〈ψ|ψ〉 .
5.1.2 Representação Matricial de Operadores
Para cada operador linear Aˆ, podemos escrever
Aˆ = IˆAˆIˆ =
( ∞∑
n=1
|φn〉〈φn|
)
Aˆ
( ∞∑
m=1
|φm〉〈φm|
)
=
∑
nm
Anm|φn〉〈φm| , (144)
onde Anm é o elemento de matriz nm do operador Aˆ:
Anm = 〈φn|Aˆ|φm〉 . (145)
Vemos que o operador Aˆ é representado, na base {|φn〉}, por uma matriz quadrada A, que
tem números in�nitamente contáveis de linhas e colunas:
A =

A11 A12 A13 . . .
A21 A22 A23 . . .
A31 A32 A33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (146)
24
Por exemplo, o operador unidade Iˆ é representado por uma matriz identidade; quando uma
matriz identidade é multiplicada por outra matriz, esta última permanece inalterada:
I =

1 0 0 . . .
0 1 0 . . .
0 0 1 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (147)
Em resumo, kets são representados por vetores coluna, bras são representados por vetores linha
e operadores são representados por matrizes quadradas.
5.1.3 Representação Matricial de Alguns Outros Operadores
(a) Operação adjunta Hermitiana
Vamos mostrar agora a representação matricial da operação de adjunta Hermitiana de um
operador. Primeiro, lembre-se que a transposta de uma matriz A, denotada por AT , é obtida
trocando-se linhas por colunas:
(
AT
)
nm
= Amn ou

A11 A12 A13 . . .
A21 A22 A23 . . .
A31 A32 A33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

T
=

A11 A21 A31 . . .
A12 A22 A32 . . .
A13 A23 A33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (148)
Similarmente, a transposta de uma matriz coluna é uma matriz linha e vice-versa:
a1
a2
.
.
.
an
.
.
.

T
=
(
a1 a2 . . . an . . .
)
e
(
a1 a2 . . . an . . .
)T
=

a1
a2
.
.
.
an
.
.
.

. (149)
Uma matriz quadrada A é simétrica se ela for igual à sua transposta: AT = A. Uma
matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada cuja transposta é igual ao negativo da matriz:
AT = −A.
O complexo conjugado de uma matriz é obtido simplesmente tomando-se o complexo conju-
gado de todos os seus elementos: (A∗)nm = (Anm)
∗
.
A matriz que representa o operador Aˆ† é obtida tomando-se o complexo conjugado da
matriz transposta de A:
A† =
(
AT
)∗
ou
(
Aˆ†
)
nm
= 〈φn|Aˆ†|φm〉 = 〈φm|Aˆ|φn〉∗ = A∗nm . (150)
Ou seja, 
A11 A12 A13 . . .
A21 A22 A23 . . .
A31 A32 A33. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

†
=

A∗11 A∗21 A∗31 . . .
A∗12 A∗22 A∗32 . . .
A∗13 A∗23 A∗33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (151)
25
Se um operador Aˆ é Hermitiano, sua matriz satisfaz a essa condição:(
AT
)∗
= A ou A∗mn = Anm . (152)
Os elementos diagonais de uma matriz Hermitiana devem, portanto, ser números reais. Note
que uma matriz Hermitiana deve ser quadrada.
(b) Operadores Inverso e Unitário
Uma matriz possui inversa apenas se for quadrada e se seu determinante for não-nulo. Uma
matriz que possui inversa é chamada de não-singular e uma matriz que possui inversa é uma
matriz singular. Os elementos A−1nm da matriz inversa A−1, que representa um operador Aˆ−1,
são dados pela relação
A−1nm =
cofator de Amn
determinante de A
ou A−1nm =
BT
determinante de A
, (153)
onde B é a matriz dos cofatores. O cofator do elemento Amn é igual a (−1)m+n vezes o
determinante da submatriz obtida de A pela supressão da m-ésima linha e da n-ésima coluna.
Note que quando o determinante da matriz representando um operador tem determinante
nulo, o operador não possui um inverso.
O inverso do produto de matrizes é obtido do seguinte modo:
(ABC . . . PQ)−1 = Q−1P−1 . . . C−1B−1A−1 . (154)
A inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz:
(
A−1
)−1
= A.
Um operador unitário Uˆ é representado por uma matriz unitária. Uma matriz U é unitária
se sua inversa é igual à sua adjunta:
U−1 = U † ou U †U = I , (155)
onde I é a matriz identidade.
(c) Representação matricial de |ψ〉〈ψ|
Agora é fácil ver que o produto |ψ〉〈ψ| é de fato um operador, pois sua representação na base
{|φn〉} é uma matriz quadrada:
|ψ〉〈ψ| =

a1
a2
a3
.
.
.
(a∗1 a∗2 a∗3 . . .) =

a1a
∗
1 a1a
∗
2 a1a
∗
3 . . .
a2a
∗
1 a2a
∗
2 a2a
∗
3 . . .
a3a
∗
1 a3a
∗
2 a3a
∗
3 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (156)
(d) Traço de um operador
O traço Tr(Aˆ) de um operador Aˆ é dado, em uma base ortonormal {|φn〉}, pela expressão
Tr(Aˆ) =
∑
n
〈φn|Aˆ|φn〉 =
∑
n
Ann . (157)
26
Veremos mais tarde que o traço de um operador não depende da base. O traço de uma matriz
é igual à soma dos elementos de sua diagonal principal, ou seja,
Tr

A11 A12 A13 . . .
A21 A22 A23 . . .
A31 A32 A33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 = A11 +A22 +A33 + . . . . (158)
Dado um operador Aˆ, valem as seguintes propriedades:
Tr(Aˆ†) = (Tr(Aˆ))∗ (159)
e
Tr(αAˆ+ βBˆ + γCˆ + . . .) = αTr(Aˆ) + β Tr(Bˆ) + γ Tr(Cˆ) + . . . . (160)
Uma propriedade fácil de demonstrar é que Tr(AˆBˆ) = Tr(BˆAˆ). De fato,
Tr(AˆBˆ) =
∑
n
〈φn|AˆBˆ|φn〉
=
∑
n
〈φn|Aˆ
(∑
m
|φm〉〈φm|
)
Bˆ|φn〉
=
∑
nm
〈φn|Aˆ|φm〉〈φm|Bˆ|φn〉
=
∑
nm
AnmBmn
=
∑
nm
BmnAnm
=
∑
nm
〈φm|Bˆ|φn〉〈φn|Aˆ|φm〉
=
∑
m
〈φm|Bˆ
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
Aˆ|φm〉 =
∑
m
〈φm|BˆAˆ|φm〉 = Tr(BˆAˆ) . (161)
Em vista do resultado (161), pode-se mostrar que o traço de um comutador é nulo:
Tr([Aˆ, Bˆ]) = Tr(AˆBˆ)− Tr(BˆAˆ) = 0 . (162)
Além disso, o traço de um produto de operadores é invariante sob permutações cíclicas desses
operadores:
Tr(AˆBˆCˆDˆEˆ) = Tr(EˆAˆBˆCˆDˆ) = Tr(DˆEˆAˆBˆCˆ) = Tr(CˆDˆEˆAˆBˆ) = . . . . (163)
5.1.4 Representação Matricial de Várias Outras Quantidades
(a) Representação matricial de |φ〉 = Aˆ|ψ〉
A relação |φ〉 = Aˆ|ψ〉 pode ser posta na forma algébrica Iˆ|φ〉 = IˆAˆIˆ|ψ〉, ou(∑
n
|φn〉〈φn|
)
|φ〉 =
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
Aˆ
(∑
m
|φm〉〈φm|
)
|ψ〉 ,
27
que por sua vez pode ser escrita como∑
n
(〈φn|φ〉) |φn〉 =
∑
nm
(
〈φn|Aˆ|φm〉
)
(〈φm|ψ〉) |φn〉 ,
ou ∑
n
bn|φn〉 =
∑
nm
Anmam|φn〉 , (164)
onde bn = 〈φn|φ〉, Anm = 〈φn|Aˆ|φm〉 e am = 〈φm|ψ〉. Portanto, é fácil ver que (164) fornece
bn =
∑
nm
Anmam (165)
e temos que a representação matricial de |φ〉 = Aˆ|ψ〉 é dada por
b1
b2
b3
.
.
.
 =

A11 A12 A13 . . .
A21 A22 A23 . . .
A31 A32 A33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


a1
a2
a3
.
.
.
 . (166)
(b) Representação matricial de 〈φ|Aˆ|ψ〉
Nesse caso, temos
〈φ|Aˆ|ψ〉 = 〈φ|IˆAˆIˆ|ψ〉 = 〈φ|
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
Aˆ
(∑
m
|φm〉〈φm|
)
|ψ〉
=
∑
nm
(〈φ|φn〉)
(
〈φn|Aˆ|φm〉
)
(〈φm|ψ〉)
=
∑
nm
(〈φn|φ〉∗)
(
〈φn|Aˆ|φm〉
)
(〈φm|ψ〉) =
∑
nm
b∗nAnmam . (167)
Temos aqui um número complexo, e sua representação matricial é a seguinte:
〈φ|Aˆ|ψ〉 → (b∗1 b∗2 b∗3 . . .)

A11 A12 A13 . . .
A21 A22 A23 . . .
A31 A32 A33 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


a1
a2
a3
.
.
.
 . (168)
Nota: Agora �ca bem fácil ver porque produtos do tipo |ψ〉|φ〉, 〈ψ|〈φ|, Aˆ〈ψ| ou |ψ〉Aˆ são
proibidos. Eles não fazem sentido, pois não podem ter representações matriciais. Por exemplo,
|ψ〉|φ〉 seria representado pelo produto de duas matrizes coluna:
|ψ〉|φ〉 →

〈φ1|ψ〉
〈φ2|ψ〉
〈φ3|ψ〉
.
.
.


〈φ1|φ〉
〈φ2|φ〉
〈φ3|φ〉
.
.
.
 (169)
28
Esse produto é impossível de ser executado, pois o produto de duas matrizes é possível apenas
quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda; em (169),
a primeira matriz tem uma única coluna e a segunda matriz tem um número in�nito de linhas.
5.1.5 Propriedades de uma Matriz A
• Real se A = A∗ ou Amn = A∗mn
• Imaginária se A = −A∗ ou Amn = −A∗mn
• Simétrica se A = AT ou Amn = Anm
• Anti-simétrica se A = −AT ou Amn = −Anm com Amm = 0
• Hermitiana se A = A† ou Amn = A∗nm
• Anti-Hermitiana se A = −A† ou Amn = −A∗nm
• Ortogonal se AT = A−1 ou AAT = I ou (AAT )
mn
= δmn
• Unitária se A† = A−1 ou AA† = I ou (AA†)
mn
= δmn
5.2 Mudança de Base e Transformações Unitárias
Em um espaço Euclidiano, um vetor A pode ser representado por suas componentes em
diferentes sistemas de coordenadas ou em diferentes bases. A transformação de uma base
para outra é chamada de mudança de base. As componentes de A em uma dada base podem
ser expressas em termos das componentes de A em outra base por meio de uma matriz de
transformação.
Similarmente, vetores de estado e operadores da mecânica quântica podem também ser
representados em bases diferentes. Nesta seção vamos estudar como transformar de uma base
para outra. Isto é, conhecendo os componentes de bras, kets e operadores em uma base {|φn〉},
como se determina os componentes correspondentes em uma base {|φ′n〉} diferente? Admitindo
que {|φn〉} e {|φ′n〉} sejam duas bases diferentes, podemos expandir cada ket |φn〉 da antiga
base em termos da nova base {|φ′n〉} como
|φn〉 =
(∑
m
|φ′m〉〈φ′m|
)
|φn〉 =
∑
m
Umn|φ′m〉 , (170)
onde
Umn = 〈φ′m|φn〉 . (171)
A matriz U , que dá a transformação da antiga base {|φn〉} para a nova base {|φ′n〉}, é dada
por
Umn =

〈φ′1|φ1〉 〈φ′1|φ2〉 〈φ′1|φ3〉 . . .
〈φ′2|φ1〉 〈φ′2|φ2〉 〈φ′2|φ3〉 . . .
〈φ′3|φ1〉 〈φ′3|φ2〉 〈φ′3|φ3〉 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (172)
29
A matriz U conecta duas bases completas e ortonormais {|φn〉} e {|φ′n〉} e é uma matriz
unitária. Para mostrar isso, devemos provar que Uˆ Uˆ † = Iˆ, o que se reduz a mostrar que
〈φm|Uˆ Uˆ †|φn〉 = δmn. Procedemos da seguinte forma:
〈φm|Uˆ Uˆ †|φn〉 = 〈φm|Uˆ
(∑
l
|φl〉〈φl|
)
Uˆ †|φn〉
=
∑
l
〈φm|Uˆ |φl〉〈φl|Uˆ †|φn〉
=
∑
l
〈φm|Uˆ |φl〉〈φn|Uˆ |φl〉∗ =
∑
l
UmlU
∗
nl . (173)
Agora, de acordo com (171), Uml = 〈φ′m|φl〉 e U∗mn = 〈φl|φ′n〉. Assim, podemos reescrever
(173) como ∑
l
UmlU
∗
nl =
∑
l
〈φ′m|φl〉〈φl|φ′n〉 = 〈φ′m|φ′n〉 = δmn . (174)
Combinando (173) e (174), inferimos que 〈φm|Uˆ Uˆ †|φn〉 = δmn, ou Uˆ Uˆ † = Iˆ, comoqueríamos
demonstrar.
5.2.1 Transformações de Kets, Bras e Operadores
As componentes 〈φ′n|ψ〉 de um vetor de estado |ψ〉 em uma nova base {|φ′n〉} podem ser
expressas em termos das componentes 〈φn|ψ〉 de |ψ〉 em uma antiga base {|φn〉} da seguinte
forma:
〈φ′n|ψ〉 = 〈φ′m|Iˆ|ψ〉 = 〈φ′m|
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
|ψ〉 =
∑
n
Umn〈φn|ψ〉 . (175)
Essa relação, juntamente com sua complexa conjugada, podem ser generalizadas por
|ψnovo〉 = Uˆ |ψvelho〉 , 〈ψnovo| = 〈ψvelho|Uˆ † . (176)
Vamos examinar agora como os operadores se transformam quando passamos de uma base
para outra. Os elementos matriciais A′mn = 〈φ′m|Aˆ|φ′n〉 de um operador Aˆ na nova base podem
ser expressos em termos dos antigos elementos matriciais, Ajl = 〈φj |Aˆ|φl〉, do seguinte modo:
A′mn = 〈φ′m|IˆAˆIˆ|φ′n〉 = 〈φ′m|
∑
j
|φj〉〈φj |
 Aˆ(∑
l
|φl〉〈φl|
)
|φ′n〉
=
∑
j
∑
l
〈φ′m|φj〉〈φj |Aˆ|φl〉〈φl|φ′n〉 =
∑
j,l
UmjAjlU
∗
nl , (177)
isto é,
Aˆnovo = Uˆ AˆvelhoUˆ
†
. (178)
A relação inversa é obtida facilmente usando as propriedades de operadores unitários:
Uˆ †Aˆnovo = Uˆ †Uˆ AˆvelhoUˆ † = IˆAˆvelhoUˆ † = AˆvelhoUˆ †
30
e
Uˆ †AˆnovoUˆ = AˆvelhoUˆ †Uˆ = AˆvelhoIˆ ,
ou
Aˆvelho = Uˆ
†AˆnovoUˆ . (179)
Podemos resumir os resultados sobre mudança de base através das seguintes relações:
|ψnovo〉 = Uˆ |ψvelho〉 , 〈ψnovo| = 〈ψvelho|Uˆ † , Aˆnovo = Uˆ AˆvelhoUˆ † (180)
ou
|ψvelho〉 = Uˆ †|ψnovo〉 , 〈ψvelho| = 〈ψnovo|Uˆ , Aˆvelho = Uˆ †AˆnovoUˆ (181)
Essas relações são similares às que foram derivadas no estudo das transformações unitárias;
veja (114) e (115).
Vamos agora mostrar que o operador
Uˆ =
∑
n
|φ′n〉〈φn| (182)
satisfaz às propriedades discutidas acima. Primeiro, note que Uˆ é um operador unitário, pois
Uˆ Uˆ † =
∑
nl
|φ′n〉〈φn|φl〉〈φ′l| =
∑
nl
|φ′n〉〈φ′l|δnl =
∑
n
|φ′n〉〈φ′n| = Iˆ . (183)
Em segundo lugar, a ação de Uˆ sobre um ket da antiga base dá o ket correspondente da nova
base:
Uˆ |φm〉 =
∑
n
|φ′n〉〈φn|φm〉 =
∑
n
|φ′n〉δnm = |φ′m〉 . (184)
E também podemos veri�car que a ação de Uˆ † sobre um ket da nova base dá o ket correspon-
dente da antiga base:
Uˆ †|φ′m〉 =
∑
l
|φl〉〈φ′l|φ′m〉 =
∑
l
|φl〉δlm = |φm〉 . (185)
Como o traço se transforma sob transformações unitárias? Usando a propriedade cíclica
do traço, Tr(AˆBˆCˆ) = Tr(CˆAˆBˆ) = Tr(BˆCˆAˆ), podemos assegurar que
Tr(Aˆ′) = Tr(Uˆ AˆUˆ †) = Tr(Uˆ †Uˆ Aˆ) = Tr(IˆAˆ) = Tr(Aˆ) . (186)
Lembrando da de�nição do traço, equação (157), temos que
Tr(|φn〉〈φm|) =
∑
l
〈φl|φn〉〈φm|φl〉 =
∑
l
〈φm|φl〉〈φl|φn〉
= 〈φm|
(∑
l
|φl〉〈φl|
)
|φn〉 = 〈φm|φn〉 = δmn , (187)
e podemos inferir que
Tr(|φ′m〉〈φn|) = 〈φn|φ′m〉 . (188)
31
Vamos mostrar que o traço de um operador não depende da base em que ele é expresso.
Sejam: Aˆ um operador e {|φn〉}, {|φ′n〉} duas bases. O traço de Aˆ na base {|φn〉} é
Tr(Aˆ) =
∑
n
〈φn|Aˆ|φn〉 , (189)
e na base {|φ′n〉} é dado por
Tr(Aˆ) =
∑
n
〈φ′n|Aˆ|φ′n〉 . (190)
Começando de (189) e usando o fato da base {|φ′n〉} ser completa, temos
Tr(Aˆ) =
∑
n
〈φn|Aˆ|φn〉 =
∑
n
〈φn|
(∑
m
|φ′m〉〈φ′m|
)
Aˆ|φn〉
=
∑
n
∑
m
〈φn|φ′m〉〈φ′m|Aˆ|φn〉
=
∑
m
∑
n
〈φ′m|Aˆ|φn〉〈φn|φ′m〉
=
∑
m
〈φ′m|Aˆ
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
|φ′m〉 =
∑
m
〈φ′m|Aˆ|φ′m〉 ,
ou seja,
Tr(Aˆ) =
∑
n
〈φn|Aˆ|φn〉 =
∑
n
〈φ′n|Aˆ|φ′n〉 . (191)
5.3 Representação Matricial do Problema de Autovalor
Aqui vamos apresentar a representação matricial do problema de autovalor (101) e vamos
resolvê-lo. Isto é, vamos encontrar os autovalores a e os autovetores |ψ〉 de um operador Aˆ,
tal que
Aˆ|ψ〉 = a|ψ〉 , (192)
onde a é um número complexo. Inserindo o operador unidade entre Aˆ e |ψ〉 e multiplicando
por 〈φm|, temos
〈φm|AˆIˆ|ψ〉 = 〈φm|Aˆ
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
|ψ〉
=
∑
n
〈φm|Aˆ|φn〉〈φn|ψ〉 =
∑
n
Amn〈φn|ψ〉 . (193)
Por outro lado,
〈φm|Iˆa|ψ〉 = a〈φm|Iˆ|ψ〉 = a〈φm|
(∑
n
|φn〉〈φn|
)
|ψ〉
= a
∑
n
〈φm|φn〉〈φn|ψ〉 =
∑
n
aδmn〈φn|ψ〉 . (194)
32
Então, ∑
n
Amn〈φn|ψ〉 =
∑
n
aδmn〈φn|ψ〉 ,
que pode ser escrito como ∑
n
[Amn − aδmn] 〈φn|ψ〉 = 0 , (195)
com Amn = 〈φm|Aˆ|φn〉.
Essa equação representa um sistema in�nito de equações homogêneas para os coe�cientes
〈φn|ψ〉, já que a base {|φn〉} contém um número in�nito de kets. Esse sistema de equações
pode ter soluções não triviais apenas se seu determinante for nulo:
det (Amn − aδmn) = 0 . (196)
O problema que surge aqui é que esse determinante corresponde a uma matriz com in�nitas
linhas e in�nitas colunas. Para resolver (196) precisamos truncar a base {|φn〉} e admitir que
ela contém apenas N termos, onde N deve ser grande o su�ciente para garantir convergência.
Nesse caso podemos reduzir (196) ao seguinte determinante de grau N :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
A11 − a A12 A13 . . . A1N
A21 A22 − a A23 . . . A2N
A31 A32 A33 − a . . . A3N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
AN1 AN2 AN3 . . . ANN − a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 . (197)
Essa equação é conhecida como equação secular ou característica. Suas soluções fornecem os
N autovalores a1, a2, . . . , aN , já que é uma equação de N -ésimo grau em a. O conjunto desses
N autovalores é chamado de espectro de Aˆ. Conhecendo-se o conjunto de autovalores a1, a2,
. . . , aN , pode-se facilmente determinar o correspondente conjunto de autovetores |φ1〉, |φ2〉,
. . . , |φN 〉. Para cada autovalor am de Aˆ, pode-se obter a partir de (197) as N componentes
〈φ1|ψ〉, 〈φ2|ψ〉, . . . , 〈φN |ψ〉 do autovetor |φm〉 correspondente.
Se vários autovetores diferentes têm o mesmo autovalor, esse autovalor é dito ser dege-
nerado. A ordem de degenerescência é determinada pelo número de autovetores linearmente
independentes que têm o mesmo autovalor. Por exemplo, se um autovalor tem cinco autove-
tores diferentes, diz-se que ele tem degenerescência quíntupla.
Quando o conjunto de autovetores {|φn〉} de Aˆ for completo e ortonormal, esse conjunto
pode ser usado como base. Nessa base, a matriz que representa o operador Aˆ é diagonal:
A =

a1 0 0 . . .
0 a2 0 . . .
0 0 a3 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 , (198)
onde os elementos da diagonal principal são os autovalores an de Aˆ, já que
〈φm|Aˆ|φn〉 = an〈φm|φn〉 = anδmn . (199)
33
O traço e o determinante são dados, respectivamente, pela soma e pelo produto dos autova-
lores:
Tr(A) =
∑
n
an = a1 + a2 + . . . , (200)
det(A) =
∏
n
an = a1a2 . . . . (201)
Algumas propriedades úteis dos determinantes são:
det(ABC . . .) = det(A) · det(B) · det(C) · . . . (202)
det(A∗) = (detA)∗ (203)
det(A†) = (detA)∗ (204)
det(AT ) = detA (205)
det(A) = eTr(lnA) (206)
Para �nalizar esta seção, apresentamos (sem demonstração) alguns teoremas úteis referentes
ao problema de autovalor.
Teorema 6. Os autovalores de uma matriz simétrica são reais, e seus autovetores correspon-
dentes formam uma base ortonormal.
Teorema 7. Os autovalores de uma matriz anti-simétrica são nulos ou imaginários puros.
Teorema 8. Os autovalores de uma matriz Hermitiana são reais, e seus autovetores corres-
pondentes formam uma base ortonormal.
Teorema 9. Os autovalores de uma matriz anti-Hermitiana são nulos ou imaginários puros.
Teorema 10. Os autovalores de uma matriz unitária tem valor absoluto igual a um.
Teorema 11. Se os autovalores de uma matriz quadrada não são degenerados, os autovetores
correspondentes formam uma base.
6 Representação em Bases Contínuas
Nesta seção vamos considerar a representação de vetores de estado, bras e operadores em
bases contínuas. Depois de apresentar o formalismo geral, consideraremos duas aplicações
importantes: as representações nos espaços de posição e momento.
Na seção anterior, vimos que as representações de kets, bras e operadores em uma base
discreta são dadas por matrizes discretas. Mostraremos aqui queessas quantidades são repre-
sentadas numa base contínua pormatrizes contínuas, isto é, matrizes in�nitas não enumeráveis.
34
6.1 Tratamento Geral
A condição de ortonormalidade para kets da base contínua |χk〉 é expressa não pelo usual
delta de Kronecker como em (137), mas pela função contínua delta de Dirac:
〈χk|χk′〉 = δ(k′ − k) , (207)
onde k e k′ são parâmetros contínuos e δ(k′ − k) é a função delta de Dirac, de�nida por
δ(x) =
1
2pi
∫ +∞
−∞
eikxdx . (208)
A condição de completeza dessa base contínua não é dada por uma soma discreta como em
(139), mas por uma integral sobre a variável contínua,∫ +∞
−∞
dk |χk〉〈χk| = Iˆ , (209)
onde Iˆ é o operador unidade.
Todo vetor de estado pode ser expandido em termos do conjunto completo de kets da base
|χk〉:
|ψ〉 = Iˆ|ψ〉 =
(∫ +∞
−∞
dk |χk〉〈χk|
)
|ψ〉 =
∫ +∞
−∞
dk b(k) |χk〉 , (210)
onde b(k), que é igual a 〈χk|ψ〉, representa a projeção de |ψ〉 sobre |χk〉.
A norma dos kets de base discreta é �nita (〈φn|φn〉 = 1), mas a norma dos kets da base
contínua é in�nita; uma combinação de (207) e (208) leva a
〈χk|χk〉 = δ(0) = 1
2pi
∫ +∞
−∞
dx→∞ . (211)
Isto implica que os kets |χk〉 não são quadrado-integráveis e portanto não são elementos do
espaço de Hilbert (Lembre-se que o espaço gerado por funções quadrado-integráveis é um
espaço de Hilbert). Apesar da divergência da norma de |χk〉, o conjunto de kets |χk〉 constitui
uma base válida de vetores que gera o espaço de Hilbert, já que para qualquer vetor de estado
|ψ〉 o produto escalar 〈χk|ψ〉 é �nito.
6.1.1 A Função Delta de Dirac
Antes de lidar com a representação de kets, bras e operadores, vamos fazer um breve desvio
para listar algumas das propriedades mais importantes da função delta de Dirac:
δ(x) = 0 , para x 6= 0 , (212)∫ b
a
f(x) δ(x− x0) dx =
{
f(x0) se a < x0 < b
0 caso contrário
, (213)
∫ +∞
−∞
f(x)
dnδ(x− a)
dxn
dx = (−1)n d
nf(x)
dxn
∣∣∣∣
x=a
, (214)
δ(r− r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) = 1
r2 sin θ
δ(r − r′)δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′) . (215)
35
6.1.2 Representação de Kets, Bras e Operadores
A representação de kets, bras e operadores pode ser facilmente inferida do estudo feito
previamente para o caso de uma base discreta. Por exemplo, o ket |ψ〉 é representado por uma
matriz coluna que tem um número contínuo e in�nito de componentes (linhas) b(k):
|ψ〉 −→

.
.
.
〈χk|ψ〉
.
.
.
 . (216)
O bra 〈ψ| é representado por uma matriz linha que tem um número contínuo e in�nito de
componentes (colunas):
〈ψ| −→ ( . . . 〈ψ|χk〉 . . . ) . (217)
Operadores são representados por matrizes quadradas contínuas cujas linhas e colunas
possuem um número contínuo e in�nito de componentes:
Aˆ −→

.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . A(k, k′) . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 . (218)
A título de aplicação, consideraremos as representações nas bases de posição e momento.
6.2 Representação de Posição
Na representação de posição, a base consiste de um conjunto in�nito de vetores {|r〉} que
são autokets do operador posição Rˆ:
Rˆ|r〉 = r|r〉 , (219)
onde r (sem chapéu), o vetor posição, é o auto valor do operador Rˆ. As condições de orto-
normalidade e completeza são dadas respectivamente por
〈r|r′〉 = δ(r− r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′) (220)
e ∫
d3r |r〉〈r| = Iˆ , (221)
já que a função delta tridimensional é dada por
δ(r− r′) = 1
(2pi)3
∫
d3k eik·(r−r
′)
. (222)
Assim, todo vetor de estado pode ser expandido como
|ψ〉 =
∫
d3r |r〉〈r|ψ〉 =
∫
d3r ψ(r) |r〉 , (223)
onde ψ(r) denota a componente de |ψ〉 na base {|r〉}:
〈r|ψ〉 = ψ(r) . (224)
36
Isto é conhecido como a função de onda para o vetor de estado |ψ〉. De acordo com a in-
terpretação probabilística de Born, a quantidade |〈r|ψ〉|2 d3r representa a probabilidade de
encontrar o sistema no elemento de volume d3r.
O produto escalar entre dois vetores de estado, |ψ〉 e |φ〉, pode ser expressa desta forma:
〈φ|ψ〉 = 〈φ|Iˆ|ψ〉 = 〈φ|
(∫
d3r |r〉〈r|
)
|ψ〉
=
∫
d3r 〈φ|r〉〈r|ψ〉
=
∫
d3r 〈r|φ〉∗〈r|ψ〉 =
∫
d3r φ∗(r)ψ(r) . (225)
Como Rˆ|r〉 = r|r〉, temos que Rˆ2 = RˆRˆ aplicado a |r〉 é
Rˆ2|r〉 = Rˆ
(
Rˆ|r〉
)
= Rˆ (r|r〉) = rRˆ|r〉 = r2|r〉 ,
que pode ser generalizado para
Rˆn|r〉 = rn|r〉 .
Com isso, temos
〈r′|Rˆn|r〉 = 〈r′|rn|r〉 = rn〈r′|r〉 = rnδ(r′ − r) . (226)
Note que o operador Rˆ é Hermitiano, pois
〈φ|Rˆ|ψ〉 = 〈φ|RˆIˆ|ψ〉 = 〈φ|Rˆ
(∫
d3r |r〉〈r|
)
|ψ〉
=
∫
d3r 〈φ|Rˆ|r〉〈r|ψ〉
=
∫
d3r r〈φ|r〉〈r|ψ〉
=
[∫
d3r r〈ψ|r〉〈r|φ〉
]∗
=
[∫
d3r 〈ψ|Rˆ|r〉〈r|φ〉
]∗
=
[
〈ψ|Rˆ
(∫
d3r |r〉〈r|
)
|φ〉
]∗
= 〈ψ|Rˆ|φ〉∗ . (227)
6.3 Representação do Momento
A base {|p〉} da representação do momento é obtida dos autokets do operador momento
Pˆ:
Pˆ|p〉 = p|p〉 , (228)
onde p é o vetor momento. A álgebra relevante a esta representação pode ser facilmente
inferida da representação de posição. As condições de ortonormalidade e completeza da base
|p〉 do espaço de momento são dadas por
〈p|p′〉 = δ(p− p′) (229)
37
e ∫
d3p |p〉〈p| = Iˆ . (230)
Expandindo |ψ〉 nesta base, obtemos
|ψ〉 = Iˆ|ψ〉 =
∫
d3p |p〉〈p|ψ〉 =
∫
d3pΨ(p) |p〉 , (231)
onde o coe�ciente Ψ(p) da expansão representa a função de onda no espaço de momento. A
quantidade |Ψ(p)|2 d3p é a probabilidade de encontrar o momento do sistema no elemento de
volume d3p localizado entre p e p+ dp.
Por analogia com (225) o produto escalar entre dois estados no espaço de momento é dado
por
〈φ|ψ〉 = 〈φ|
(∫
d3p |p〉〈p|
)
|ψ〉 =
∫
d3pΦ∗(p)Ψ(p) . (232)
Como Pˆ|p〉 = p|p〉, temos
〈p′|Pˆn|p〉 = pnδ(p′ − p) . (233)
6.4 Conexão entre as Representações de Posição e do Momento
Vamos agora estabelecer a conexão entre as representações de posição e momento. Para
passar da base {|r〉} para a base {|p〉}, temos que encontrar a função de transformação 〈r|p〉.
Para encontrar a expressão para a função de transformação 〈r|p〉 , vamos estabelecer uma
conexão entre as representações de posição e momento do vetor de estado |ψ〉:
〈r|ψ〉 = 〈r|
(∫
d3p |p〉〈p|
)
|ψ〉 =
∫
d3p 〈r|p〉〈p|ψ〉 =
∫
d3p 〈r|p〉Ψ(p) . (234)
Portanto,
ψ(r) =
∫
d3p 〈r|p〉Ψ(p) . (235)
Da mesma forma, pode-se escrever
Ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈p|
(∫
d3r |r〉〈r|
)
|ψ〉 =
∫
d3r 〈p|r〉〈r|ψ〉 ,
ou
Ψ(p) =
∫
d3r 〈p|r〉ψ(r) . (236)
Estas duas últimas relações implicam que ψ(r) e Ψ(p) podem ser vistas como a transfor-
mada de Fourier uma da outra. Na mecânica quântica, a transformada de Fourier de uma
função f(r) é dada por8
f(r) =
1
(2pi~)3/2
∫
d3p eip·r/~ g(p) . (237)
Portanto, a função 〈r|p〉 é dada por
〈r|p〉 = e
ip·r/~
(2pi~)3/2
(238)
8
Note a presença da constante de Planck.
38
Essa função transforma da representação de momento para a representação de posição. A
função correspondente à transformação inversa, 〈p|r〉, é dada por
〈p|r〉 = 〈r|p〉∗ = e
−ip·r/~
(2pi~)3/2
(239)
A quantidade |〈r|p〉|2 representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula na
região em torno de r onde seu momento é p.
Nota: Se a função de onda da posição
ψ(r) =
1
(2pi~)3/2
∫
d3p eip·r/~Ψ(p) (240)
estiver normalizada
9
, sua transformada de Fourier
Ψ(p) =
1
(2pi~)3/2
∫
d3r e−ip·r/~ ψ(r) (241)
também deve estar normalizada, pois∫
d3pΨ∗(p)Ψ(p) =
∫
d3pΨ∗(p)
[
1
(2pi~)3/2
∫
d3r e−ip·r/~ ψ(r)
]
=
∫
d3r ψ(r)
[
1
(2pi~)3/2
∫
d3pΨ∗(p) e−ip·r/~
]
=
∫
d3r ψ(r)ψ∗(r) = 1 . (242)
Esse resultado é conhecido como o teorema de Parseval.
6.4.1 Operador Momento na Representação de Posição
Para determinar a forma do operador momento Pˆ na representação de posição, vamos
calcular 〈r|Pˆ|ψ〉:
〈r|Pˆ|ψ〉 = 〈r|PˆIˆ|ψ〉 = 〈r|Pˆ
(∫
|p〉〈p| d3p
)
|ψ〉
=
∫
〈r|Pˆ|p〉〈p|ψ〉 d3p
=
∫
p 〈r|p〉〈p|ψ〉 d3p
=
1
(2pi~)3/2
∫
p eip·r/~Ψ(p) d3p . (243)
9
Isto é, se ∫d3r ψ(r)ψ∗(r) = 1 .
39
Agora, como p eip·r/~ = −i~∇eip·r/~, e usando (238), podemos reescrever (243) como
〈r|Pˆ|ψ〉 = −i~∇
[
1
(2pi~)3/2
∫
eip·r/~Ψ(p) d3p
]
= −i~∇
[∫
〈r|p〉〈p|ψ〉 d3p
]
= −i~∇〈r|ψ〉 . (244)
Assim, Pˆ é dado na representação de posição por
Pˆ = −i~∇ . (245)
Suas componentes cartesianas são
Pˆx = −i~ ∂
∂x
, Pˆy = −i~ ∂
∂y
, Pˆz = −i~ ∂
∂z
(246)
Note que a forma do operador momento (245) pode ser obtida simplesmente aplicando o
operador gradiente ∇ a uma função de onda plana ψ(r, t) = Aei(p·r−Et)/~:
− i~∇ψ(r, t) = pψ(r, t) = Pˆψ(r, t) . (247)
Como Pˆ = −i~∇, podemos escrever o operador Hamiltoniano Hˆ = Pˆ2/2m+ Vˆ na repre-
sentação de posição do seguinte modo:
Hˆ = − ~
2
2m
∇2 + Vˆ (r) = − ~
2
2m
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
)
+ Vˆ (r) (248)
onde ∇2 é o operador Laplaciano. Em coordenadas cartesianas é dado por ∇2 = ∂2x+∂2y +∂2z .
6.4.2 Operador Posição na Representação de Momento
A forma do operador posição Rˆ na representação do momento pode ser facilmente inferida
da representação de Pˆ no espaço de posição. No espaço de momento o operador posição pode
ser escrito como
Rˆj = i~
∂
∂pj
(j = x, y, z) , (249)
ou
Xˆ = i~
∂
∂px
, Yˆ = i~
∂
∂py
, Zˆ = i~
∂
∂pz
(250)
6.4.3 Relações de Comutação Importantes
Vamos calcular o comutador [Rˆj , Pˆk]. As ações separadas de XˆPˆx e PˆxXˆ sobre a função
de onda ψ(r) são dadas por
XˆPˆxψ(r) = Xˆ
(
Pˆxψ(r)
)
= Xˆ
(
−i~∂ψ(r)
∂x
)
= −i~x ∂ψ(r)
∂x
(251)
40
e
PˆxXˆψ(r) = Pˆx
(
Xˆψ(r)
)
= Pˆx (xψ(r)) = −i~ ∂
∂x
(xψ(r)) = −i~ψ(r)− i~x ∂ψ(r)
∂x
. (252)
Portanto, temos
[Xˆ, Pˆx]ψ(r) = XˆPˆxψ(r)− PˆxXˆψ(r) = −i~x ∂ψ(r)
∂x
+ i~ψ(r) + i~x
∂ψ(r)
∂x
= i~ψ(r) ,
ou
[Xˆ, Pˆx] = i~ . (253)
Relações similares podem ser prontamente derivadas para as componentes y e z, de forma que
temos:
[Xˆ, Pˆx] = i~ , [Yˆ , Pˆy] = i~ , [Zˆ, Pˆz] = i~ (254)
Note-se que
[Xˆ, Pˆy]ψ(r) = XˆPˆyψ(r)− PˆyXˆψ(r)
= Xˆ
(
−i~∂ψ(r)
∂y
)
− Pˆx (xψ(r)) = −i~x∂ψ(r)
∂y
+ i~x
∂ψ(r)
∂y
= 0 ,
de modo que [Xˆ, Pˆy] = 0. Veri�ca-se que
[Xˆ, Pˆy] = [Xˆ, Pˆz] = [Yˆ , Pˆx] = [Yˆ , Pˆz] = [Zˆ, Pˆx] = [Zˆ, Pˆy] = 0 , (255)
pois os graus de liberdade x, y e z são independentes. Note-se ainda que
[Xˆ, Yˆ ]ψ(r) = Xˆ(Yˆ ψ(r))− Yˆ (Xˆψ(r)) = Xˆ (xψ(r))− Yˆ (yψ(r)) = xyψ(r)− yxψ(r) = 0 ,
e veri�ca-se que
[Xˆ, Yˆ ] = [Xˆ, Zˆ] = [Yˆ , Zˆ] = [Zˆ, Xˆ] = 0 . (256)
Além disso,
[Pˆx, Pˆy]ψ(r) = Pˆx(Pˆyψ(r))− Pˆy(Pˆxψ(r))
= −i~ ∂
∂x
(
−i~∂ψ(r)
∂y
)
−
[
−i~ ∂
∂y
(
−i~∂ψ(r)
∂x
)]
= −~2 ∂
2ψ(r)
∂x∂y
+ ~2
∂2ψ(r)
∂y∂x
= 0 .
Veri�ca-se também que
[Pˆx, Pˆy] = [Pˆx, Pˆz] = [Pˆy, Pˆz] = [Pˆz, Pˆx] = 0 . (257)
As relações em (254), (255), (256) e (257) podem ser agrupadas do seguinte modo:
[Rˆj , Rˆk] = i~δjk , [Rˆj , Rˆk] = 0 , [Pˆj , Pˆk] = 0 (258)
Essas relações são chamadas de relações canônicas de comutação.
41
Agora, usando a relação (66), temos
[Xˆ2, Pˆx] = [XˆXˆ, Pˆx] = Xˆ[Xˆ, Pˆx] + [Xˆ, Pˆx]Xˆ = i~Xˆ + i~Xˆ = 2i~Xˆ ,
que leva a
[Xˆ3, Pˆx] = [Xˆ
2Xˆ, Pˆx] = Xˆ
2[Xˆ, Pˆx] + [Xˆ
2, Pˆx]Xˆ = i~Xˆ2 + 2i~Xˆ2 = 3i~Xˆ2 ,
o que, por sua vez, leva a
[Xˆ4, Pˆx] = [Xˆ
3Xˆ, Pˆx] = Xˆ
3[Xˆ, Pˆx] + [Xˆ
3, Pˆx]Xˆ = i~Xˆ3 + 3i~Xˆ3 = 4i~Xˆ3 .
Continuando dessa forma, pode-se obter qualquer potência de Xˆ. Podemos generalizar os
resultados acima por
[Xˆn, Pˆx] = i~nXˆn−1 . (259)
Resultado semelhante vale para potências de Pˆx:
[Xˆ, Pˆnx ] = i~nPˆn−1x . (260)
Seguindo o mesmo procedimento que levou a (253), pode-se obter uma relação de comutação
geral de Pˆx com uma função f(Xˆ) arbitrária:
[f(Xˆ), Pˆx] = i~
df(Xˆ)
dXˆ
=⇒ [Pˆ, f(Rˆ)] = −i~∇F (Rˆ) (261)
onde F é uma função do operador Rˆ.
Vamos calcular agora o comutador [Xˆ, Pˆ ] na representação do momento. O operador Xˆ é
dado, na representação do momento pela relação (250). Temos, então,
[Xˆ, Pˆ ]ψ(p) = XˆPˆψ(p)− Pˆ Xˆψ(p)
= i~
∂
∂p
(pψ(p))− i~p∂ψ(p)
∂p
= i~ψ(p) + i~p
∂ψ(p)
∂p
− i~p∂ψ(p)
∂p
= i~ψ(p) ,
de forma que, na representação do momento,
[Xˆ, Pˆ ] =
[
i~
∂
∂p
, Pˆ
]
= i~ . (262)
Já vimos que na representação de posição,
[Xˆ, Pˆ ] =
[
Xˆ,−i~ ∂
∂x
]
= i~ . (263)
A forma explícita dos operadores depende da representação adotada, mas as relações de co-
mutação para operadores são independentes da representação.
42
6.5 Operador de Paridade
A re�exão espacial em torno da origem do sistema de coordenadas é denominada uma
operação de inversão ou de paridade. Essa transformação é discreta. O operador de paridade
Pˆ é de�nido por sua ação nos kets |r〉 do espaço de posição:
Pˆ|r〉 = | − r〉 , 〈r|Pˆ† = 〈−r| , (264)
tal que
Pˆψ(r) = ψ(−r) . (265)
O operador de paridade é Hermitiano, Pˆ† = Pˆ, pois∫
d3r φ∗(r)
[
Pˆψ(r)
]
=
∫
d3r φ∗(r)ψ(−r)
=
∫
d3r φ∗(−r)ψ(r) =
∫
d3r
[
Pˆφ(r)
]∗
ψ(r) . (266)
Da de�nição (265), temos
Pˆ2ψ(r) = Pˆψ(−r) = ψ(r) , (267)
e assim, Pˆ2 é igual ao operador unidade:
Pˆ2 = Iˆ ou Pˆ = Pˆ−1 . (268)
Logo, o operador de paridade é unitário, já que seu adjunto Hermitiano é igual a seu inverso:
Pˆ† = Pˆ−1 . (269)
Como Pˆ2 = Iˆ, os autovalores de Pˆ são +1 e −1, com os autoestados correspondentes
Pˆψ+(r) = ψ+(−r) = ψ+(r) , Pˆψ−(r) = ψ−(−r) = −ψ−(r) . (270)
O autoestado |ψ+〉 é denominado par e o autoestado |ψ−〉 é ímpar. Logo, as autofunções do
operador de paridade têm paridade de�nida: são pares ou ímpares.
Como |ψ+〉 e |ψ−〉 são autoestados do mesmo operador Hermitiano Pˆ, mas com autovalores
diferentes, esses autoestados devem ser ortogonais:
〈ψ+|ψ−〉 =
∫
d3r ψ∗+(−r)ψ−(−r) ≡ −
∫
d3r ψ∗+(r)ψ−(r) = −〈ψ+|ψ−〉 , (271)
e 〈ψ+|ψ−〉 é zero. Os estados |ψ+〉 e |ψ−〉 formam um conjunto completo, já que qualquer
função pode ser escrita como ψ(r) = ψ+(r) + ψ−(r), o que conduz a
ψ+(r) =
1
2
[ψ(r) + ψ(−r)] , ψ−(r) = 1
2
[ψ(r)− ψ(−r)] . (272)
Como Pˆ2 = Iˆ, temos
Pˆn =
{
Pˆ quando n é ímpar,
Iˆ quando n é par.
(273)
43
6.5.1 Operadores Pares e Ímpares
Um operador Aˆ é dito ser par se obedece à condição
PˆAˆPˆ = Aˆ (274)
e um operador Bˆ é ímpar se obedece a
PˆBˆPˆ = −Bˆ . (275)
Veri�ca-se que:
AˆPˆ =
(
PˆAˆPˆ
)
Pˆ = PˆAˆPˆ2 = PˆAˆ (276)
e
BˆPˆ = −
(
PˆBˆPˆ
)
Pˆ = −PˆBˆPˆ2 = −PˆBˆ . (277)
O fato de que operadores pares comutam com o operador de paridade, de acordo com (276),
tem várias conseqüências úteis. Vamos examinar dois casos importantes que dependem de um
operador par ter autovalores não degenerados ou degenerados:
• Se um operador par é Hermitiano e nenhum de seus autovalores é degenerado, então
este operador tem os mesmos autovetores que o operador de paridade. E como os
autovetores do operador de paridade são pares ou ímpares, os autovetores de um operador
Hermitiano, par e não degenerado devem também ser pares ou ímpares; diz-se que eles
têm paridade de�nida. Essa propriedade é útil em aplicações onde se resolve a equação
de Schrödinger para Hamiltonianos pares.
• Se o operador par tem um espectro degenerado, seus autovetores não têm necessaria-
mente uma paridade de�nida.
E quanto à paridade dos operadores posição e momento, Rˆ e Pˆ? Pode-se facilmente mostrar
que ambos são ímpares. No caso de Rˆ, por exemplo, temos
PˆRˆ|r〉 = rPˆ|r〉 = r| − r〉 e RˆPˆ|r〉 = R| − r〉 = −r| − r〉 ,
de modo que
PˆRˆ = −RˆPˆ . (278)
Pode-se mostrar também que
PˆPˆ = −PˆPˆ . (279)
De (278) e (278), tem-se
PˆRˆPˆ† = −Rˆ , PˆPˆPˆ† = −Pˆ , (280)
visto que Pˆ†Pˆ = 1. Se o operador Aˆ é par e o operador Bˆ é ímpar, pode-se veri�car que
PˆAˆnPˆ = Aˆn e PˆBˆnPˆ = (−1)n Bˆn . (281)
Essas relações podem ser demonstradas facilmente. A primeira relação, por exemplo, vem de
PˆAˆnPˆ = (PˆAˆPˆ)(PˆAˆPˆ) . . . (PˆAˆPˆ)
= (PˆPˆAˆ)(PˆPˆAˆ)