Física 2-07-Temperatura e dilatação térmica

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 2 – Questões 7 
 Questão 1
 
Em vez de definir a temperatura t como uma 
função linear de uma certa propriedade física, 
podemos definir como a temperatura t’ como 
uma função logarítmica da forma: 
 ݐᇱ ൌ ܽ�݈݋݃ܺ ൅ ܾ 
 
Em que a e b são constantes e log X é o 
logarítmico neperiano da propriedade X. Seja X o 
comprimento da coluna líquida de um 
termômetro de mercúrio. Tomemos como pontos 
de referência Xi = 5 cm e t’i = 00, Xf = 25 cm e t’f = 
1000. Ache as distâncias em centímetros entre os 
pontos t’ = 00 e t’ = 100 e entre os pontos t’ = 900 e 
t’ = 1000. 
Resolução: 
Vamos utilizar os dados da questão para 
determinar os parâmetros a e b. Assim, teremos: 
 Ͳ ൌ ܽ�݈݋݃ͷ ൅ ܾ ׵ ݈݋݃ͷ ൌ െ ܾܽ 
(1.1) 
 
E ͳͲͲ ൌ ܽ�݈݋݃ʹͷ ൅ ܾ ͳͲͲ െ ܾ ൌ ʹܽ ൬െ ܾܽ൰ ׵ ܾ ൌ െͳͲͲ 
(1.2) 
 
Assim, utilizando os resultados de (1.1) e (1.2), a 
equação toma a seguinte forma: 
 
100
log 100
log5
t X¢ = × - 
(1.3) 
 
Para t’ = 100, teremos: 
 
1,1
10 10
100
10 log 100 5
log5
X X cm= × - Þ = 
10 0 0,9X X cm\ - @ 
(1.4) 
Para t’ = 900, teremos: 
 
1,9
90 90
100 90
100
90 log 100 5
log5
3,72
X X cm
X X cm
= × - Þ =
\ - @
 
(1.5) 
 
 Questão 2
 
É fato de observação diária que os objetos 
quentes e frios esfriam ou esquentam, 
respectivamente, até atingir a temperatura dos 
corpos vizinhos. Se não for grande a diferença de 
temperatura ȟT entre um objeto e sua 
vizinhança, a taxa de esfriamento ou de 
aquecimento é aproximadamente proporcional à 
diferença de temperatura entre o objeto e a 
vizinhança: 
 
( )
d T
k T
dt
D
= - D , 
 
sendo k uma constante. Aparece o sinal negativo 
porque ȟT diminui como o tempo se ȟT for 
positivo, e vice-versa. Esta relação é conhecida 
como Lei de Esfriamento de Newton. (a) De que 
fatores depende k? Quais são sua dimensões?(b) 
Sendo ȟT0 a diferença de temperatura em certo 
instante, demonstre que 
 
0
ktT T e-D = D 
 
após o intervalo de tempo t. 
Resolução: 
 
a) A constante k deve depender das 
características do objeto (superfície exposta, 
calor específico) e também deve depender do 
meio (calor específico do meio). Sua unidade é o 
recíproco da temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
b) 
( )
( )
0 0
0
 
T t
T
kt
d T
k T
dt
d T
k dt
T
T T e
D
D
-
D
= - D
D
= -
D
\D = D
ò ò
 
(2.1) 
 
 Questão 3
 
Um gás possui uma pressão p0 muito menor do 
que 1 atm; a temperatura do gás vale T0 = 280 K. 
O gás sofre um aquecimento isovolumétrico e sua 
pressão passa para 2p0. Calcule a temperatura do 
gás. 
Resolução: 
 
( )
( )
0
0
0
0
2
280 560
p
T p T
p
p
T p K
p
=
= =
 
(3.1) 
 
 Questão 4
 
A que temperatura os seguintes pares de 
escalas fornecem a mesma leitura? (a) Fahrenheit 
e Celsius; (b) Fahrenheit e Kelvin; (c) Celsius e 
Kelvin. 
Resolução: 
a) 
0
32
;
9 5
5 160 9
40
CF
F C
TT
T T T
T T
T
-
= = =
- =
\ = -
 
(4.1) 
 
b) 
0
32 273
;
9 5
5 160 9 2457
574
F K
F K
T T
T T T
T T
T
- -
= = =
- = -
\ =
 
(4.2) 
 
c) Não há valor. 
 Questão 5
 
No intervalo de 0 a 6600C usa-se, para 
interpolar temperaturas na Escala Internacional 
Prática, um termômetro de resistência de platina, 
de características especificadas. A temperatura t 
é calculada por uma equação que exprime a 
variação da resistência com a temperatura, 
 ܴ ൌ ܴ଴ሺͳ ൅ ܣݐ ൅ ܤݐଶሻ, 
 
em que R0, A e B são constantes determinadas no 
ponto de congelação, no ponto de ebulição e no 
ponto de fusão do enxofre. (a) Se R = 10000 ȳ, no 
ponto de congelação, R = 13946 ȳ�‘�†‡�‡„—Ž‹­ ‘�‡� ʹͶͺͳ͹�ȳ� ‘� †‘� ‡š‘ˆ”‡ǡ� †‡–‡”‹ƒ”� �Ͳǡ� �� ‡� �Ǥ�ሺ„ሻ� �‡’”‡•‡–‡� ‰”ƒˆ‹…ƒ‡–‡� �� ‡� ˆ—­ ‘� †‡� –ǡ�‡–”‡�Ͳ�‡�͸͸ͲͲ�Ǥ�
 Resolução: 
a) Para t = 0, temos: 
 ܴ ൌ ͳͲସ ൌ ܴ଴ 
(5.1) 
 
Agora, para t = 1000C, e para t = 444,60C, 
teremos: 
 ͳͲସܤ ൅ ͳͲଶܣ ൌ Ͳǡ͵ͻͶ͸ ͳͻ͹͸͸ͻǡͳ͸ܤ ൅ ͶͶͶǡ͸ܣ ൌ ͳǡͶͺͳ͹ 
 (5.2) 
 
Resolvendo o sistema teremos: 
 ܣ ؆ Ͷǡͳ ή ͳͲିଷԨିଵ ܤ ൌ െͳǡͷͶ ή ͳͲି଺�Ԩିଶ 
(5.3) 
b) 
 
 
0
10000
20000
30000
40000
0 200 400 600 800
R
e
si
st
ê
n
ci
a
 e
m
 ȳ 
temperatura em Ԩ 
R x t 
 
 
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 Questão 6
 
Mostre que, se Ƚ for considerado variável e 
dependente da temperatura, então: 
 ܮ ൌ ܮ଴ ቈͳ ൅ න ߙሺܶሻ்்݀ܶబ ቉ǡ 
 
Em que L0 é o comprimento à temperatura de 
referência T0. 
Resolução: 
Sabemos que a relação entre o coeficiente de 
dilação é dado por: 
 ݀ܮ݀ܶ ൌ ߙ ή ܮ଴ 
(6.1) 
 
Assim, integrando, teremos: 
 න ݀ܮ௅௅బ ൌ ܮ଴න ߙሺܶሻ்்݀ܶబ 
 ܮ െ ܮ଴ ൌ ܮ଴න ߙሺܶሻ்்݀ܶబ 
 ׵ ܮ ൌ ܮ଴ ቈͳ ൅ ܮ଴න ߙሺܶሻ்்݀ܶబ ቉ 
(6.2) 
 
 Questão 7
 
Quando a temperatura de uma moeda se eleva 
de 100Ԩ, seu diâmetro aumenta de 0,18%. 
Obtenha, com dois algarismos significativos, o 
acréscimo correspondente: (a) na área de uma 
das faces, (b) na espessura, (c) no volume e (d) na 
massa da moeda. (e) Qual é o seu coeficiente de 
dilatação linear? 
Resolução: 
a) Para a área temos: 
 ܣ ൌ ߨܦଶʹ 
(7.1) 
 
Logo, para variação da área teremos: 
 
ȟܣ ൌ ߨሾሺܦ଴ ൅ ͲǡͲͲͳͺܦ଴ሻଶ െ ܦ଴ଶሿʹ 
 οܣ ൌ ܣ଴ሺͳǡͲͲͳͺଶ െ ͳሻ 
 οܣ ൌ ͲǡͲͲ͵͸ܣ଴ ׵ οܣ ൌ Ͳǡ͵͸Ψܣ଴ 
(7.2) 
 
b) Com o resultado de (7.2), podemos encontrar 
o coeficiente de dilatação linear e assim, 
determinar a variação na espessura. Logo: 
 οܣ ൌ ܣ଴ʹߙοܶ 
 ͲǡͲͲ͵͸ܣ଴ ൌ ܣ଴ʹߙ ή ͳͲͲ 
 ߙ ൌ ͲǡͲͲͲͲͳͺԨିଵ 
 (7.3) 
 
Com o resultado de (7.3), teremos para a variação 
na espessura: 
 ο݁ ൌ ݁଴ߙοܶ 
 ο݁ ൌ ݁଴ͲǡͲͲͲͲͳͺ ή ͳͲͲ 
 ׵ ο݁ ൌ ͲǡͳͺΨ݁଴ 
(7.4) 
 
O resultado (7.4) já era esperado, pois o diâmetro 
também sofreu esse tipo de variação. 
 
c) Para o volume, teremos: 
 οܸ ൌ ଴ܸ͵ߙοܶ 
 ׵ οܸ ൌ ͲǡͷͶΨ ଴ܸ 
(7.5) 
 
d) Não é esperado variação na massa com a 
variação de temperatura. 
 
e) Vide resultado (7.3). 
 
 Questão 8
 
Seja r a massa específica de um material 
homogêneo. Como o volume varia com a 
temperatura, concluímos que a massa específica 
também varia com a temperatura. (a) Obtenha 
 
 
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uma expressão para o coeficiente b em função da 
taxa de variação ݀ߩ ݀ܶǤΤ (b) Determine ȟɏ para 
pequenas variações de temperaturas. 
Resolução: 
a) Tomemos a expressão para a massa específica: 
 ߩ ൌ ܸ݉ 
(8.1) 
 
Agora, tomando a taxa de variação com a 
temperatura, teremos: 
 ݀ߩ݀ܶ ൌ െ ܸ݉ଶ ή ܸ݀݀ܶ 
(8.2) 
 
Mas, como a taxa de variação do volume com a 
temperatura é dada por: 
 ܸ݀݀ܶ ൌ ܸ ή ߚ 
(8.3) 
 
Substituindo em (8.2), teremos: 
 ߚ ൌ െͳߩ ή ݀ߩ݀ܶ 
(8.4) 
 
b) Podemos agora tomar o resultado (8.4). Logo: 
 න ݀ߩఘఘబ ൌ െߚߩ଴න ்்݀ܶబ 
 ׵ οߩ ൌ െߚߩ଴οܶ 
(8.5) 
 
 Questão 9
 
(a) Provar que, se os comprimentos de duas 
barras de sólidos diferentes forem inversamente 
proporcionais aos respectivos coeficientes de 
dilatação linear, em certa temperatura inicial, a 
diferença de comprimento entre elas será 
constante em todas as temperaturas. (b) Quais 
seriam os comprimentos de uma barra de aço e 
outra de latão, a 0Ԩ, para que a diferença entre 
eles se mantivesse igual a 0,30 m a todas as 
temperaturas? 
Resolução: 
a) Sejam L1 e L2 os comprimentos das duas 
barras. 
 ܮଵ െ ܮଶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ 
(9.1) 
Mas as expressões para a variação dos 
comprimentos em função da temperatura são 
dadas por: 
 ܮଵ ൌ ܮ଴ଵ ൅ ܮ଴ଵߙଵοܶ 
e ܮଶ ൌ ܮ଴ଶ ൅ ܮ଴ଶߙଶοܶ 
(9.2) 
 
Agora, substituindo as expressões de (9.2) em 
(9.1), teremos: 
 ܮ଴ଵ െ ܮ଴ଶ ൅ ሺܮ଴ଵߙଵ െ ܮ଴ଶߙଶሻοܶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ 
 
Mas 
 ܮ଴ଵ െ ܮ଴ଶ ൌ ܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ 
 
Logo, para qualquer variação de temperatura, 
temos: ܮ଴ଵߙଵ െ ܮ଴ଶߙଶ ൌ Ͳ 
 ׵ ܮ଴ଵߙଶ ൌ ܮ଴ଶߙଵ 
(9.3) 
 
b) Os coeficientes de dilataçãodo aço e do latão 
são respectivamente: ߙଵ ൌ ͳͳ ή ͳͲି଺Ԩିଵ e ߙଶ ൌ ͳͻ ή ͳͲି଺ԨିଵǤ Assim sendo, teremos: 
 ܮ଴ଵ െ ܮ଴ଶ ൌ Ͳǡ͵Ͳ 
(9.4) 
 
Utilizando a relação (9.3), teremos: 
 ͳͳܮ଴ଵ ൌ ͳͻܮ଴ଶ 
(9.5) 
 
Agora substituindo (9.5) em (9.4), teremos: 
 ܮ଴ଵ ؆ Ͳǡ͹ͳ݉�݁�ܮ଴ଶ ؆ ͲǡͶͳ݉Ǥ 
(9.6) 
 
 
 
 
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 Questão 10
 
Consideremos um termômetro de mercúrio-
em-vidro. Suponhamos que a seção transversal 
do capilar seja constante, A0, e que V0 seja o 
volume do tubo do termômetro a 0,00Ԩ. Se o 
mercúrio for exatamente suficiente para encher o 
tubo a 0,00Ԩ, provar que o comprimento da 
coluna de mercúrio no capilar, à temperatura t, 
será: 
 ݈ ൌ ଴ܸܣ଴ ሺߚ െ ͵ߙሻݐǡ 
 
ou seja, é proporcional à temperatura; b é o 
coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio 
e Ƚ o de dilatação linear do vidro. 
Resolução: 
Seja a dilatação volumétrica do mercúrio: 
 ο ுܸ௚ ൌ ଴ܸߚοܶ 
(10.1) 
 
Em que ο ுܸ௚ ൌ ܣ଴ο݈ு௚. Assim, (10.1) fica: 
 ݈ு௚ ൌ ݈଴ு௚ ൅ ଴ܸܣ଴ ߚு௚οܶ 
(10.2) 
 
Para a dilatação volumétrica do capilar teremos: 
 ο ஼ܸ ൌ ଴ܸ͵ߙοܶ 
(10.3) 
 
Em que ο ஼ܸ ൌ ܣ଴ο݈஼. Logo, (10.3) fica: 
 ݈஼ ൌ ݈଴஼ ൅ ଴ܸܣ଴ ͵ߙοܶ 
(10.4) 
 
Para a altura da coluna de mercúrio, teremos de 
(10.2) e (10.4): 
 ݈ ൌ ݈ு௚ െ ݈஼ ൌ ݈଴ு௚ െ ݈଴஼ ൅ ଴ܸܣ଴ ൫ߚு௚ െ ͵ߙ൯οݐ 
(10.5) 
 
Levando em consideração que para t = 0,00Ԩ o 
mercúrio era suficiente para encher o tubo, ou 
seja, ݈଴ு௚ ൌ ݈଴஼ , teremos para (10.5) 
 ݈ ൌ ݈ு௚ െ ݈஼ ൌ ଴ܸܣ଴ ൫ߚு௚ െ ͵ߙ൯ݐǤ 
(10.6) 
 
 Questão 11
 
(a) Provar que a variação, com a temperatura, no 
momento de inércia I de um corpo sólido é οܫ ൌ ʹߙܫοܶǤ (b) Provar que a variação do 
período, t, de um pêndulo físico com a 
temperatura é οݐ ൌ ଵଶߙݐοܶǤ 
Resolução: 
a) Para a taxa de variação do momento de 
inércia, com a temperatura, temos: 
 ݀ܫ݀ܶ ൌ ʹܫ଴ݎ ή ݀ݎ݀ܶ 
(11.1) 
 
Mas, ߙ ൌ ଵ௥ ή ௗ௥ௗ் . Assim para (11.1) teremos: 
 ݀ܫ݀ܶ ൌ ʹߙܫ଴ 
(11.2) 
 
Integrando (11.2) teremos: 
 οܫ ൌ ʹߙܫ଴οܶ 
(11.3) 
 
b) Para o período de um pêndulo físico temos: 
 ݐ ൌ ʹߨ ൬ ݈݃ ൰ଵଶ 
(11.4) 
 
Agora, tomando a taxa de variação com a 
temperatura, teremos: 
 ݀ݐ݀ܶ ൌ ʹʹߨ ή ͳሺ݈݃ሻଵ ଶൗ ή ݈݀݀ܶ 
(11.5) 
 
 
 
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Mas, ߙ ൌ ଵ௟ ή ௗ௟ௗ் . Logo, teremos para (11.5): 
 ݀ݐ݀ܶ ൌ ʹߨ ή ൬ ݈݃ ൰ଵଶ ή ʹߙ 
(11.6) 
 
Integrando, teremos: 
 οݐ ൌ ͳʹ ή ݐ଴ߙοܶ 
(11.7) 
 
 Questão 12
 
Um cubo de alumínio, com aresta igual a 20 cm 
flutua em mercúrio. De quanto o bloco imergirá 
quando a temperatura aumentar de 270 K para 
370 K? (O coeficiente de dilatação volumétrica do 
mercúrio é ͳǡͺ ή ͳͲିସԨିଵ). 
Resolução: 
Para o cubo de alumínio flutuar na água temos: 
 ݉஺௟ ή ݃ ൌ ߩு௚ ή ݃ ή ௅ܸ஽ 
(12.1) 
 
Assim, o volume do cubo submerso (que é igual 
ao volume de líquido deslocado) é dado por: 
 ௌܸ௨௕ ൌ ௅ܸ஽ ൌ ݉஺௟ߩு௚ 
(12.2) 
 
Com a variação de temperatura (100 K = 100Ԩሻǡ�ƒ�†‡•‹†ƒ†‡�†‘�‡”…‘�†‹‹—‹”žǤ��–‹Ž‹œƒ†‘�ƒ�”‡Žƒ­ ‘� (8.5)ǡ� ’‘†‡”‡‘•� ‡…‘–”ƒ”� ƒ� ‘˜ƒ�†‡•‹†ƒ†‡�†‘�‡”…‘Ǥ��••‹ǡ�–‡”‡‘•ǣ�� οߩு௚ ൌ െߩ଴ு௚ߚு௚οܶ��οߩு௚ ൌ െͳ͵ǡ͸ ή ͳͲଷ ή ͳǡͺ ή ͳͲିସ ή ͳͲଶ��οߩு௚ ൌ െʹǡͶͷ ή ͳͲଷ݇݃ ή ݉ିଷ��׵ ߩԢு௚ ൌ ͳͳǡͳͷ ή ͳͲଷ݇݃ ή ݉ିଷ�ሺͳʹǤ͵ሻ���••‹ǡ� †ƒ� ”‡Žƒ­ ‘� (12.2)ǡ� ‘� ‘˜‘� ˜‘Ž—‡� †‡�ŽÀ“—‹†‘�†‡•Ž‘…ƒ†‘�•‡”žǣ�
ܸᇱௌ௨௕ ൌ ܸᇱ௅஽ ൌ ݉஺௟ߩᇱு௚�ሺͳʹǤͶሻ�
 
A diferença de volumes será então: 
 ο ௌܸ௨௕ ൌ ݉஺௟ ቆ ͳߩᇱு௚ െ ͳߩு௚ቇ 
 ο ௌܸ௨௕ ൌ ͲǡͲͳʹ͹ͳͲଷ ή ݉஺௟ 
(12.5) 
 
Agora, das relações (12.2) e (12.5), teremos: 
 ο ௌܸ௨௕ௌܸ௨௕ ൌ ͳ͵ǡ͸ ή ͲǡͲͳʹ͹ ؆ ͳ͹Ψ 
(12.6) 
 
Podemos imaginar que o volume do cubo sofra 
variação. Assim, pode-se escrever: 
 ο ஺ܸ௟ ൌ ͺ ή ͳͲଷ ή ͵ ή ʹ͵ ή ͳͲି଺ ή ͳͲଶ ׵ ஺ܸ௟ ൌ ͺͲͷͷǡʹ�ܿ݉ଷ 
(12.7) 
 
Para um cubo maciço, podemos determinar a 
massa utilizando a massa específica do alumínio. 
Então: 
 ݉஺௟ ൌ ʹǡ͹ ή ͺ ή ͳͲଷ ൌ ʹͳ͸ͲͲ݃ ൌ ʹͳǡ͸�݇݃ 
(12.8) 
 
Utilizando a relação (12.2), temos para o volume 
submerso inicial: 
 ௌܸ௨௕ ൌ ʹͳ͸ͲͲͳ͵ǡ͸ ൌ ͳͷͺͺǡʹ�ܿ݉ଷ 
(12.9) 
 
Assim, a parte emersa vale: 
 ͺͲͲͲ െ ͳͷͺͺǡʹ ൌ ͸Ͷͳͳǡͺ�ܿ݉ଷ 
(12.10) 
 
Agora, para a temperatura de 370 K, utilizando a 
expressão ሺͳʹǤͶሻ, teremos: 
 
 
 
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7 
ܸᇱ௅஽ ൌ ʹͳ͸ͲͲͳͳǡͳͷ ൌ ͳͻ͵͹ǡʹ�ܿ݉ଷ 
(12.11) 
 
Isso resulta para a parte emersa: 
 ͺͲͷͷǡʹ െ ͳͻ͵͹ǡʹ ൌ ͸ͳͳͺ�ܿ݉ଷ 
(12.12) 
 
Agora comparando com o resultado de (12.10), 
teremos: 
 ͸Ͷͳͳǡͺ െ ͸ͳͳͺ͸Ͷͳͳǡͺ ൌ ͶǡͷΨǤ 
(12.13) 
 
 Questão 13
 
O volume de um sistema é dado em função da 
temperatura pela fórmula: 
 ܸ ൌ ଴ܸ݁ଷήଵ଴షయ் 
 
Determine o coeficiente de dilatação volumétrica 
deste sistema. 
Resolução: 
De acordo com a definição para o coeficiente de 
dilatação volumétrica, teremos: 
 ߚ ൌ ͳܸ ή ܸ݀݀ܶ 
 ߚ ൌ ͳܸ ή ଴ܸ݁ଷήଵ଴షయ் ή ͵ ή ͳͲିଷ 
 ׵ ߚ ൌ ͵ ή ͳͲିଷ�ܭିଵ 
(13.1)