Buscar

Física III-- Exercícios resolvidos Capacitores e Dielétricos

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 16 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

www.profafguimaraes.net 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 5 
 Questão 1
Seja V o potencial de uma esfera condutora de 
raio R = 0,20 m. A esfera possui uma carga q = 
500pC. (a) Use a relação ݍ ൌ ܥ ή ܸ para obter uma 
expressão da capacitância da esfera condutora. (b) 
Calcule V e C para esta esfera. 
Resolução: 
a) O potencial da esfera é dado por: ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܴݍ 
(1.1) 
Assim, teremos: ݍ ൌ ܥ ή ͳͶߨ߳଴ ή ܴݍ � ׵ ܥ ൌ Ͷߨ߳଴ܴ 
(1.2) 
b) Substituindo os valores em (1.1) e (1.2), temos: ܸ ൌ ʹʹǡͷ�ܸǢ ܥ ؆ ʹʹǡʹ�݌ܨ 
(1.3) 
 Questão 2
Um capacitor ܥଵ está ligado em série com outro 
de capacitância ܥଶ, e por meio de uma chave, eles 
são ligados em série com uma bateria que fornece 
uma tensão V. (a) Explique por que, embora ܥଵ 
seja diferente de ܥଶ, a carga acumulada em cada 
capacitor (ligado em série) é a mesma em todos os 
capacitores (ligados em série). (b) Determine o 
valor da carga acumulada em cada capacitor em 
função de ܥଵ, de ܥଶ e de V. 
Resolução: 
a) Na ligação em série, uma das placas de ܥଵ fica 
ligada com a placa de ܥଶ. Conforme a figura 
abaixo. 
Da figura podemos concluir que se a placa 
vermelha de ܥଵ adquirir carga positiva, então pelo 
princípio da conservação da carga elétrica, 
necessariamente, a placa azul de ܥଶ terá uma 
carga de mesmo módulo da carga da placa 
vermelha de ܥଵ, porém de sinal contrário. Logo, os 
dois capacitores terão a mesma carga acumulada 
em suas placas. 
b) Da associação em série, temos para o capacitor 
equivalente: 
 ͳܥ௘௤ ൌ ͳܥଵ ൅ ͳܥଶ � ׵ ܥ௘௤ ൌ ܥଵ ή ܥଶܥଵ ൅ ܥଶ 
(2.1) 
 
A carga acumulada no capacitor equivalente, vale: 
 ݍ௘௤ ൌ ܥ௘௤ ή ܸ� ݍ௘௤ ൌ ܥଵ ή ܥଶܥଵ ൅ ܥଶ ή ܸ 
(2.2) 
 
Como as cargas em ܥଵ e em ܥଶ são iguais e 
também iguais a carga acumulada no capacitor 
equivalente, teremos, de (2.2): 
 ݍଵ ൌ ݍଶ ൌ ݍ௘௤ 
(2.3) 
 
 Questão 3
 
A figura 3.1 mostra um capacitor variável que 
usa o ar como dielétrico, do tipo empregado na 
sintonia dos aparelhos de rádio. As placas são 
ligadas alternadamente, um grupo de placas 
estando fixo e o outro podendo girar em torno de 
um eixo. Considere um conjunto de n placas de 
polaridade alternada, cada uma delas de área A e 
separadas pela distância d. Mostre que o valor 
máximo da capacitância é: 
 
 ܥ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ߳଴ܣ݀ 
 
 
V 
ܥଵ ܥʹ 
 
www.profafguimaraes.net 
2 
A 
A 
d 
Figura 3.1 
Resolução: 
Observando a figura acima podemos concluir que 
para cada grupo de três placas, temos dois 
capacitores idênticos ligados em paralelo. Então, 
para n placas, temos n–1 capacitores idênticos 
ligados em paralelo. A capacitância equivalente 
será então: ܥ௘௤ ൌ෍ܥ 
(3.1) 
Em que C será a máxima capacitância, dada por: ܥ ൌ ߳଴݀ܣ 
(3.2) 
Assim, utilizando (3.1) e (3.2), teremos: ܥ௘௤ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ߳଴ܣ݀ 
(3.3) 
Obs.: A máxima capacitância se dá quando as 
áreas dos capacitores coincidirem. Ou seja, os 
capacitores estarão alinhados. 
 Questão 4
Uma diferença de potencial de 300 V é aplicada 
ao sistema constituído pela ligação em série de 
dois capacitores de, respectivamente, ʹǡͲ�ߤܨ e ͺǡͲ�ߤܨ. (a) Qual a carga e a diferença de potencial 
de cada capacitor? (b) Os dois capacitores 
carregados tem suas placas de mesma polaridade 
ligadas entre si, na ausência de qualquer diferença 
de potencial externa. Quais os novos valores das 
cargas e diferenças de potencial em cada um 
deles? (c) Os dois capacitores carregados são 
agoras montados com as placas de polaridade 
opostas ligadas entre si. Calcule novamente as 
cargas e a diferença de potencial em cada um 
deles. 
Resolução: 
a) Para a ligação em série, temos para a 
capacitância equivalente: 
 ܥ௘௤ ൌ ܥଵ ή ܥଶܥଵ ൅ ܥଶ ฺ ܥ௘௤ ൌ ʹ ή ͺͳͲ ׵ ܥ௘௤ ൌ ͳǡ͸�ߤܨ 
(4.1) 
 
A carga acumulada nessa associação será: 
 ݍ௘௤ ൌ ܥ௘௤ ή ܸ ฺ ݍ௘௤ ൌ ͳǡ͸ ή ͵ͲͲ ׵ ݍ௘௤ ൌ ͶͺͲ�ߤܥ 
(4.2) 
 
Para uma associação em série, a carga acumulada 
em cada capacitor é dada por (4.2). Assim, 
teremos: 
 ݍଵ ൌ ݍଶ ൌ ͶͺͲ�ߤܥ 
(4.3) 
 
A diferença de potencial para cada capacitor será: 
 ଵܸ ൌ ݍଵܥଵ ൌ ͶͺͲʹ ൌ ʹͶͲ�ܸǢ� ଶܸ ൌ ݍଶܥଶ ൌ ͶͺͲͺ ൌ ͸Ͳ�ܸ 
(4.4) 
 
b) Nessa ligação, a carga total será: 
 ݍԢଵ ൅ ݍԢଶ ൌ ʹݍ௘௤ 
(4.5) 
 
De tal forma que ocorrerá uma redistribuição de 
cargas até o equilíbrio eletrostático, em que: 
 ܸԢଵ ൌ ܸԢଶ ฺ ݍԢଵܥଵ ൌ ݍԢଶܥଶ 
(4.6) 
 
De (4.6) temos: 
 
www.profafguimaraes.net 
3 
ݍԢଶ ൌ ͶݍԢଵ 
(4.7) 
Utilizando os resultados de (4.2) e (4.7) em (4.5), 
teremos: ݍԢଵ ൌ ͳͻʹ�ߤܥ�݁�ݍԢଶ ൌ ͹͸ͺ�ߤܥ 
(4.8) 
Utilizando os resultados de (4.8) em (4.6), temos: ܸԢଵ ൌ ܸԢଶ ൌ ͻ͸�ܸ 
(4.9) 
c) Utilizando o mesmo procedimento do item (b), 
temos: ݍԢԢଵ ൅ ݍԢԢଶ ൌ െͳͻʹ ൅ ͹͸ͺ ൌ ͷ͹͸�ߤܥ 
(4.10) 
E ܸԢԢଵ ൌ ܸԢԢଶ 
(4.11) 
Assim, teremos: ݍᇱᇱଵ ൌ ͳͳͷǡʹ�ߤܥǡ ݍᇱᇱଶ ൌ Ͷ͸Ͳǡͺ�ߤܥ� �ܸԢԢଵ ൌ ܸԢԢଶ ൌ ͷ͹ǡ͸�ܸ 
(4.12) 
 Questão 5
Uma chapa de cobre de espessura b é 
introduzida exatamente no meio das placas de um 
capacitor plano, que estão separadas pela 
distância d (veja figura 5.1). Qual o valor da 
capacitância antes e depois da introdução da 
placa? 
Figura 5.1 
Resolução: 
Antes: 
 ܥ ൌ ߳଴݀ܣ 
(5.1) 
 
Depois: 
Nesse caso existem dois capacitores em série, cada 
um com uma capacitância dada por: 
 ܥᇱ ൌ ߳଴ܣሺ݀ െ ܾሻʹ ׵ ܥᇱ ൌ ʹ߳଴ܣ݀ െ ܾ 
(5.2) 
 
Para a associação em série, teremos: 
 ܥ௘௤ ൌ ߳଴ܣ݀ െ ܾ 
(5.3) 
 
 Questão 6
 
Quando giramos a chave S da figura 6.1 para a 
esquerda, as placas do capacitor de capacitância ܥଵ adquirem uma diferença de potencial ଴ܸ. 
Inicialmente ܥଶ e ܥଷ estão descarregados. A chave 
S é agora girada para a direita. Quais os valores 
das cargas finais ݍଵ, ݍଶ e ݍଷ sobre os capacitores 
correspondentes? 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 
 
Resolução: 
Com a chave S ligada no ponto da esquerda, o 
capacitor ܥଵ adquire uma carga dada por: 
 ݍଵ ൌ ܥଵ ή ଴ܸ 
(6.1) 
 
Quando a chave S é ligada no ponto da direita, a 
carga do capacitor ܥଵ é redistribuída para todo o 
sistema de três capacitores. Assim, pelo princípio 
Cobre d b 
଴ܸ ܥͳ 
ܥʹ 
ܥ͵ 
ܵ 
 
www.profafguimaraes.net 
4 
da conservação da carga elétrica, temos: ݍԢଵ ൅ ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ଴ܸ 
(6.2) 
Em que ݍԢଵ e ݍଶǡଷ são respectivamente a nova 
carga de ܥଵ e a carga da associação em série de ܥଶ 
e ܥଷ. Tal distribuição ocorrerá até que seja 
atingido o equilíbrio eletrostático, ou seja: ܸԢଵ ൌ ଶܸǡଷ 
(6.3) 
Ou seja: ݍԢଵܥଵ ൌ ݍଶǡଷܥଶǡଷ 
(6.4) 
Em que ܥଶǡଷ é a capacitância equivalente da 
associação em série dos capacitores 2 e 3, dada 
por: ܥଶǡଷ ൌ ܥଶ ή ܥଷܥଶ ൅ ܥଷ 
(6.5) 
Utilizando (6.4) em (6.2), teremos: ݍଶǡଷ ή ܥଵܥଶǡଷ ൅ ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ଴ܸ�� ׵ ݍଶǡଷ ൌ ܥଶǡଷ ή ܥଵ ή ଴ܸܥଵ ൅ ܥଶǡଷ 
(6.6) 
Agora, utilizando (6.5) no resultado de (6.6), 
teremos: ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ܥଶ ή ܥଷ ή ଴ܸܥଵ ή ܥଶ ൅ ܥଵ ή ܥଷ ൅ ܥଶ ή ܥଷ 
(6.7) 
Como os capacitores 2 e 3 estão ligados em série, 
eles possuem a mesma carga que dada por (6.7), 
portanto: ݍଶ ൌ ݍଷ ൌ ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ܥଶ ή ܥଷ ή ଴ܸܥଵ ή ܥଶ ൅ ܥଵ ή ܥଷ ൅ ܥଶ ή ܥଷ 
(6.8) 
Agora, utilizando (6.4) e (6.7), teremos: 
 ݍଶǡଷ ൌ ሺܥଵ ή ܥଶ ൅ ܥଵ ή ܥଷሻ ή ଴ܸܥଵ ή ܥଶ ൅ ܥଵ ή ܥଷ ൅ ܥଶ ή ܥଷ 
(6.9) 
 
 Questão 7
 
Um capacitor de placas planas e paralelas está 
ligado a uma diferença de potencial V. Sem 
desconectar o capacitor da bateria, afasta-se uma 
das placas de modo que a nova distância entre 
elas seja igual ao triplo da distância origina. 
Determine: (a) a nova capacitância em função da 
capacitância inicial ܥ଴. (b) a carga acumulada em 
função de ܥ଴ e de V. 
Resolução: 
a) A capacitância de um capacitor de placas 
paralelas é dada por: 
 ܥ଴ ൌ ߳଴݀ܣ 
(7.1) 
 
Assim a carga elétrica será: 
 ݍ଴ ൌ ܥ଴ܸ ֜ ݍ଴ ൌ ߳଴݀ܣ ή ܸ 
(7.2) 
 
Aumentando a distância entre as placas teremos: 
 ܥᇱ ൌ ߳଴ܣ͵݀ �׵ ܥᇱ ൌ ܥ଴͵ 
(7.3)b) A carga acumulada agora é dada por: 
 ݍᇱ ൌ ܥᇱܸ ׵ ݍᇱ ൌ ܥ଴ܸ͵ 
(7.4) 
 
 Questão 8
 
Inicialmente, a chave S da figura 8.1 está 
desligada; colocam-se, então, cargas ݍଵ em ܥଵ, ݍଶ 
em ܥଶ e ݍଷ em ܥଷ. Determine as cargas finais ݍԢଵ, ݍԢଶ e ݍԢଷ quando o sistema atingir o equilíbrio 
eletrostático, supondo que não haja perda de 
carga no processo. 
 
www.profafguimaraes.net 
5 
Figura 8.1 
Resolução: 
Seja q a carga total antes da ligação da chave S: ݍ ൌ ݍଵ ൅ ݍଶ ൅ ݍଷ 
(8.1) 
Ligando a chave S, haverá uma redistribuição de 
carga de tal forma que a carga total deve ser 
conservada. Assim, teremos: ݍԢଵ ൅ ݍԢଶ ൅ ݍԢଷ ൌ ݍ 
(8.2) 
Em que, ݍԢଵ, ݍԢଶ e ݍԢଷ são as novas cargas dos 
capacitores. E q é dado por (8.1). No equilíbrio, 
temos: ܸᇱଵ ൌ ܸᇱଶ ൌ ܸᇱଷ �ݍԢଵܥଵ ൌ ݍԢଶܥଶ ൌ ݍԢଷܥଷ 
(8.3) 
Utilizando (8.3) em (8.2), temos: ݍᇱଵ ൅ ݍᇱଵܥଶܥଵ ൅ ݍᇱଵܥଷܥଵ ൌ ݍ�� ׵ ݍԢଵ ൌ ݍܥଵܥଵ ൅ ܥଶ ൅ ܥଷ 
(8.4) 
Logo, de (8.3), teremos: ݍԢଶ ൌ ݍܥଶܥଵ ൅ ܥଶ ൅ ܥଷ ��݁��ݍԢଷ ൌ ݍܥଷܥଵ ൅ ܥଶ ൅ ܥଷ 
(8.5) 
 Questão 9
Os capacitores ܥଵሺͳǡͲߤܨሻ e ܥଶሺ͵ǡͲߤܨሻ são 
ambos carregados a um potencial V (100 V), mas 
com polaridades opostas, de tal modo que os 
pontos a e c correspondam às respectivas placas 
positivas de ܥଵ e ܥଶ, e os pontos b e d 
correspondem às placas negativas (veja a figura 
9.1). As chaves ܵଵ e ܵଶ são, então, ligadas. (a) Qual 
é a diferença de potencial entre os pontos e e f? 
Qual é a carga (b) em ܥଵ? (c) em ܥଶ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 
 
Resolução: 
a) Ligando as chaves, teremos, para a carga total: 
 ݍ௧ ൌ ݍଵ ൅ ݍଶ 
(9.1) 
 
Em que ݍଵ ൌ ܥଵ ή ܸ ൌ ͳ ή ͳͲͲ ൌ ͳͲͲߤܥ 
(9.2) 
 
E 
 ݍଶ ൌ ܥଶ ή ܸ ൌ ͵ ή ͳͲͲ ൌ ͵ͲͲߤܥ 
(9.3) 
 
Utilizando (9.1), e observando que as placas estão 
invertidas, teremos: 
 ݍ௧ ൌ ͵ͲͲ െ ͳͲͲ ൌ ʹͲͲߤܥǤ 
(9.4) 
 
Teremos remanejamento de cargas entre os 
capacitores até que seja atingido o equilíbrio 
eletrostático. Assim: 
 ܸᇱଵ ൌ ܸᇱଶ ֜ ݍᇱଵܥଵ ൌ ݍᇱଶܥଶ ׵ ݍԢଵ ൌ ݍԢଶ͵ 
(9.5) 
 
ܥଵ ܥʹ ܥ͵ ݍʹ 
ݍͳ ݍ͵ ܵ 
e 
f 
a 
b 
d 
c 
++++ 
++++ - - - - 
- - - - +++ܥଵ 
++
- - ܥʹ 
ܵͳ 
ܵʹ 
 
www.profafguimaraes.net 
6 
Pelo princípio da conservação da carga elétrica, 
temos: ݍԢଵ ൅ ݍԢଶ ൌ ʹͲͲߤܥ 
(9.6) 
Utilizando (9.5) em (9.6), teremos: ݍԢଵ ൌ ͷͲߤܥ 
(9.7) ݍԢଶ ൌ ͷͲ͵ �ߤܥ 
(9.8) 
E de (9.5), teremos: ܸԢଵ ൌ ܸԢଶ ൌ ௘ܸ௙ ൌ ͷͲܸ 
(9.9) 
 Questão 10
Um capacitor de placas planas, mas não 
paralelas, é constituído por duas placas quadradas 
que formam entre si um ângulo ߠ, conforme 
mostra a figura 10.1. O lado do quadrado é igual a 
a. Determine a capacitância deste capacitor para 
valores de ߠ muito pequenos. 
Figura 10.1 
Resolução: 
Vamos dividir em elementos infinitesimais, de tal 
forma que a capacitância equivalente será dada 
pela integração. 
݄ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ 
(10.1) 
 
Em que 
 ݕ ൌ ݔ ή ݐ݃ߠ 
(10.2) 
 
Substituindo (10.2) em (10.1), teremos: 
 ݄ ൌ ݔඥͳ ൅ ݐ݃ଶߠ �� ׵ ݔ ൌ ݄ ή ݏ݁ܿିଵߠ 
(10.3) 
 
Tomando a derivada, temos: 
 ݀ݔ ൌ ݄݀ ή ݏ݁ܿିଵߠ 
(10.4) 
 
O elemento infinitesimal de capacitância será: 
 ݀ܥ ൌ ߳଴ܽ ή ݄݀ ή ݏ݁ܿିଵߠ݀ ൅ ݄ ή ݏ݁݊ߠ 
(10.5) 
 
Integrando, temos: 
 ܥ ൌ ߳଴ܽݏ݁ܿߠන ݄݀݀ ൅ ݄ݏ݁݊ߠ௔଴ �� ܥ ൌ ߳଴ܽ ή ܿ݋ݏߠݏ݁݊ߠ �݈݊ሺ݀ ൅ ݄ݏ݁݊ߠሻฬ଴௔�� ׵ ܥ ൌ ߳଴ܽ ή ܿ݋ݏߠݏ݁݊ߠ ή ݈݊ ቀͳ ൅ ܽ݀ ݏ݁݊ߠቁ 
(10.6) 
 
Obs.: A integração se justifica, pois teremos 
capacitores infinitesimais em paralelo. 
 
A expansão logarítmica em (10.6), para ߠ 
pequeno, é dada por: 
 ݈݊ ቀͳ ൅ ܽ݀ ݏ݁݊ߠቁ ؆ ܽ݀ ݏ݁݊ߠ 
(10.7) 
 
Substituindo (10.7) em (10.6), teremos: 
 ܥ ؆ ߳଴ܽଶܿ݋ݏߠ݀ 
(10.8) 
d 
a 
 
a 
ߠ 
d 
h 
 
a 
ߠ 
x 
y 
dx 
 
www.profafguimaraes.net 
7 
 Questão 11
Um capacitor esférico consiste de duas 
camadas esféricas condutoras concêntricas, de 
raios respectivamente iguais a a e b ሺܾ ൐ ܽሻ. 
Mostre que sua capacitância é igual a ܥ ൌ Ͷߨ߳଴ ܾܾܽ െ ܽ 
 
Resolução: 
A diferença de potencial entre as duas esferas é 
dada por: 
௔ܸ௕ ൌ ݍͶߨ߳଴න ݀ݎݎଶ௕௔ �� ௔ܸ௕ ൌ ݍͶߨ߳଴ ൤െͳݎ ൨௔௕ ׵ ௔ܸ௕ ൌ ݍͶߨ߳଴ ή ܾ െ ܾܽܽ 
(11.1) 
Em que q é a carga do capacitor. Agora 
substituindo o resultado de (11.1) na definição de 
capacitância, teremos: ܥ ൌ ܸݍ௔௕ �֜ ܥ ൌ ݍݍͶߨ߳଴ ή ቀܾ െ ܾܽܽ ቁ ׵ ܥ ൌ Ͷߨ߳଴ ή ൬ܾ െ ܾܽܽ ൰ 
(11.2) 
 Questão 12
Mostre que as placas de um capacitor plano se 
atraem mutuamente com uma força igual a ܨ ൌ ݍଶʹ߳଴ܣ 
 
Obtenha esse resultado calculando o trabalho 
necessário para aumentar a separação das placas 
de x para x + dx. 
Resolução: 
O campo elétrico entre as placas tem intensidade 
dada por: ܧ ൌ ʹ߳ߪ଴ 
(12.1) 
Em que ߪ é a densidade superficial de carga, dada 
por: 
 ߪ ൌ ݍܣ 
(12.2) 
 
O elemento infinitesimal da diferença de potencial 
é dado por: 
 ܸ݀ ൌ െܧ݀ݔ 
(12.3) 
 
O trabalho será: 
 ܹ ൌ නݍܸ݀ 
(12.4) 
 
Utilizando as expressões de (12.1) até (12.4), 
teremos: 
 ܹ ൌ නെ ݍଶʹ߳଴ܣ݀ݔ 
(12.5) 
 
Como o trabalho também é dado por: 
 ܹ ൌ නܨ ݀ݔ 
(12.6) 
 
Podemos concluir: 
 ܨ ൌ െ ݍଶʹ߳଴ܣ 
(12.7) 
Obs.: O sinal negativo indica força de atração. 
 Questão 13
 
Considere a questão 5. Seja ܥ଴ a capacitância 
inicial, antes da introdução da chapa de cobre de 
espessura b. Determine, em termos de ܥ଴, o 
trabalho necessário para introduzir esta chapa de 
cobre, supondo que se mantenha constante: (a) a 
carga, (b) a diferença de potencial entre as placas. 
Resolução: 
 
 Seja ܥ଴ dada por (5.1), ou seja: 
 
www.profafguimaraes.net 
8 
ܥ଴ ൌ ߳଴݀ܣ 
(13.1) 
E seja C, a capacitância após a introdução da chapa 
de cobre, dada por (5.3), ou seja: ܥ ൌ ߳଴ܣ݀ െ ܾ 
(13.2) 
a) Mantendo a carga constante, temos, para as 
energias potenciais acumuladas: ܷ଴ ൌ ݍଶ݀ʹ߳଴ܣ �݁�ܷ ൌ ݍଶሺ݀ െ ܾሻʹ߳଴ܣ 
(13.3) 
Em que ܷ଴ e U são respectivamente as energias 
potenciais antes e depois da introdução da chapa 
de cobre. O trabalho será então, dado por: ܹ ൌ െοܷ ൌ ܷ଴ െ ܷ ൌ ݍଶܾʹ߳଴ܣ 
(13.4) 
b) Agora, mantendo a diferença de potencial 
constante, teremos: ܷ଴ ൌ ߳଴ܣܸଶʹ݀ �݁�ܷ ൌ ߳଴ܣܸଶʹሺ݀ െ ܾሻ 
(13.5) 
Assim, teremos: ܹ ൌ െοܷ ൌ െ߳଴ܣܸଶܾʹሺ݀ଶ െ ܾ݀ሻ 
(13.6) 
 Questão 14
Uma esfera metálica isolada de 10 cm de 
diâmetro tem um potencial de 8000 V. Qual a 
densidade de energia elétrica na superfície da 
esfera? 
Resolução: 
A expressão do potencial gerado na superfície da 
esfera é dada por: 
 ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܴݍ 
(14.1) 
 
E para o campo elétrico: 
 ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܴݍଶ 
(14.2) 
 
Assim, nas proximidades da superfície, o campo 
elétrico será: 
 ܧ ൌ ܸܴ ൌ ͺͲͲͲͷ ή ͳͲିଶ ൌ ͳ͸ͲͲͲͲ�ܸ ή ݉ିଵ 
(14.3) 
 
Assim, a densidade de energia nas proximidades 
da superfície será: 
 ݑ ൌ ߳଴ܧଶʹ ؆ Ͳǡͳͳ�ܬ ή ݉ିଷ 
(14.4) 
 
 Questão 15
 
(a) Determine a densidade de energia u entre as 
placas de um capacitor cilíndrico. (b) Determine a 
energia U armazenada neste capacitor, usando a 
relação ݑ ൌ ௗ௎ௗ௏�, onde dV é um elemento de 
volume. 
Resolução: 
Seja o capacitor representado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15.1 
 
Seja a placa interna carregada com carga negativa, 
de tal forma que a placa externa tenha a mesma 
carga, em módulo, porém positiva. 
 
a b 
l 
 
www.profafguimaraes.net 
9 
Assim, o campo elétrico estará orientado de fora 
para dentro. Aplicando a lei de Gauss, obtemos 
para o campo elétrico a seguinte expressão: ܧ ൌ ݍʹߨ߳଴ݎ݈ 
(15.1) 
Em que r é a distância do centro comum até um 
ponto entre as placas e q é a carga armazenada. A 
densidade de energia é dada por: ݑ ൌ ߳଴ܧଶʹ 
(15.2) 
Utilizando a expressão de (15.1) em (15.2), 
teremos: ݑ ൌ ݍଶͺߨ߳଴ݎଶ݈ଶ 
(15.3) 
A energia armazenada será: 
ܷ ൌ න ݑܸ݀௕௔ 
(15.4) 
Em que ܸ݀ ൌ ʹߨݎ݈݀ݎ. Assim, utilizando a 
expressão (15.3), teremos para (15.4):ܷ ൌ න ݍଶͶߨ߳଴ݎ݈ ݀ݎ௕௔ �� ׵ ܷ ൌ ݍଶͶߨ߳଴݈ ݈݊ ൬ܾܽ൰ 
(15.5) 
 Questão 16
Seja um capacitor cilíndrico de raios a e b, como 
ilustrado na figura 15.1. Mostre que metade da 
energia potencial elétrica está acumulada no 
interior de um cilindro de raio igual a ݎ ൌ ξܾܽ. 
Resolução: 
Da expressão (15.5), temos: ܷᇱ ൌ ݍଶͶߨ߳଴݈ ݈݊ ቀܽݎቁ 
(16.1) 
Em que ܷᇱ ൌ ௎ଶ, U é a energia total. Assim, 
teremos: 
 ݈݊ ቀܽݎቁ ൌ ͳʹ ݈݊ ൬ܾܽ൰�� ׵ ݎ ൌ ሺܾܽሻଵଶ 
(16.2) 
 
 Questão 17
 
Uma bolha de sabão esférica de raio R0 se 
encontra em equilíbrio no ar. Imagine que você 
introduza uma carga q na superfície da bolha. Por 
causa da repulsão coulombiana, o raio da bolha 
deverá crescer até atingir um valor R no 
equilíbrio. Determine: (a) o trabalho realizado 
durante a expansão da bolha contra a pressão 
atmosférica p, (b) a variação da energia elétrica do 
sistema, (c) a expressão da carga q em termos de 
R0, R, de p e de ߳଴. 
Resolução: 
a) O trabalho realizado contra a pressão 
atmosférica será: 
 ܹ݀ ൌ ݌�ܸ݀� ׵ �ܹ ൌ ݌ ή Ͷ͵ߨ ሺܴଷ െ ܴ଴ଷሻ 
(17.1) 
 
b) A capacitância de uma esfera, utilizado a Terra 
como referência, é dada por: 
 ܥ ൌ Ͷߨ߳଴ݎ 
(17.2) 
 
Em que r é o raio da esfera. Assim, utilizando 
(17.2) teremos para as capacitâncias inicial e final: 
 ܥ଴ ൌ Ͷߨ߳଴ܴ଴Ǣ �ܥ ൌ Ͷߨ߳଴ܴ 
(17.3) 
 
A energia armazenada em um capacitor é dada 
por: 
 ܷ ൌ ܳଶʹܥ 
(17.4) 
 
 
www.profafguimaraes.net 
10 
Assim, utilizando (17.4), teremos para as energias 
inicial e final: ܷ଴ ൌ ݍଶͺߨ߳଴ܴ଴ Ǣ ܷ ൌ ݍଶͺߨ߳଴ܴ 
(17.5) 
Logo, a variação de energia será: οܷ ൌ ܷ െ ܷ଴�� ׵ οܷ ൌ ݍଶͺߨ߳଴ ൬ܴ଴ െ ܴܴ଴ܴ ൰ 
(17.6) 
c) Sendo o trabalho mecânico igual a diferença de 
potencial, teremos: ܹ ൌ െοܷ 
(17.7) 
Então, utilizando (17.1) e (17.6) em (17.7), 
teremos: ݌ ή Ͷ͵ߨ ሺܴଷ െ ܴ଴ଷሻ ൌ ݍଶͺߨ߳଴ ൬ܴ଴ െ ܴܴ଴ܴ ൰�� ׵ ݍ ൌ ቈ͵ʹߨଶ߳଴ܴܴ଴ሺܴଷ െ ܴ଴ଷሻ͵ሺܴ െ ܴ଴ሻ ቉ଵଶ 
(17.8) 
 Questão 18
Considere uma esfera dielétrica com uma carga 
total Q distribuída uniformemente ao longo do seu 
volume. Seja R o raio desta esfera. Determine a 
energia potencial elétrica desta esfera através: (a) 
do cálculo da energia total desde r = 0 até o 
infinito, (b) através da integração da expressão ܷ݀ ൌ ܸ݀ݍ desde q = 0 até q = Q. 
Resolução: 
a) Para a densidade volumétrica de carga temos: ߩ ൌ ͵ܳͶߨܴଷ 
(18.1) 
Utilizando a lei de Gauss para o campo elétrico, 
juntamente com (18.1), teremos: 
රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴�� ܧͶߨݎଶ ൌ ߩܸ߳଴ �� ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ͳݎଶ ή ͵ܳͶߨܴଷ ή Ͷߨݎଷ͵ ��׵ ܧ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ܳݎܴଷ 
(18.2) 
 
Sabemos que a densidade de energia é dada por: 
 ݑ ൌ ߳଴ʹ ή ܧଶ 
(18.3) 
 
Logo, utilizando o resultado de (18.2) em (18.3), 
teremos: 
 ݑ ൌ ܳଶݎଶ͵ʹߨଶ߳଴ܴ଺ 
(18.4) 
 
Agora, podemos efetuar a integração da seguinte 
expressão: 
 ܷ݀ ൌ ݑܸ݀Ǣ ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ 
(18.5) 
 
Utilizando a equação (18.4) em (18.5) e efetuando 
a integração, teremos: 
 ܷ ൌ ܳଶͺߨ߳଴ܴ଺න ݎସ݀ݎோ଴ ൅ ܳଶͺߨ߳଴න ݀ ሖܴሖܴ ଶ௕ோ �� ܷ ൌ ܳଶͶͲߨ߳଴ܴ ൅ ܳଶͺߨ߳଴ ൬ͳܴ െ ͳܾ൰ 
(18.6) 
 
Agora, tomando o limite da expressão (18.6) 
quando b tende ao infinito, teremos: 
 ܷ ൌ ܳଶͶͲߨ߳଴ܴ ൅ ܳଶͺߨ߳଴ Ž‹௕՜ஶ ൬ͳܴ െ ͳܾ൰�� ׵ ܷ ൌ ͵ܳଶʹͲߨ߳଴ܴ 
(18.7) 
 
b) Para tomar o outro caminho sugerido pela 
questão, vamos utilizar o resultado (2.3) da 
questão 2 do tópico Física 3 – 04 dado por: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
11 
ܸ ൌ െ ݍݎଶͺߨ߳଴ܴଷ ൅ ͵ݍͺߨ߳଴ܴ 
(18.8) 
Para uma distribuição esférica uniforme de carga 
segundo um raio R = r, temos para (18.8): ܸ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎ 
(18.9) 
Logo, ܷ݀ ൌ ͳͶߨ߳଴ ή ݍݎ ݀ݍ 
(18.10) 
Desta forma teremos que efetuar: 
ܷ ൌ ͳͶߨ߳଴න ݍݎ ݀ݍொ଴ 
(18.11) 
Porém, à medida que é acrescentado carga a 
esfera aumenta seu volume, porém a densidade 
volumétrica de carga deve se manter constante. 
Logo, é mais conveniente escrever: ݍ ൌ ߩ ή Ͷߨݎଷ͵ ��݁��݀ݍ ൌ ߩ ή Ͷߨݎଶ݀ݎ 
(18.12) 
Agora, subsituindo (18.12) em (18.12) e 
integrando, teremos: 
ܷ ൌ ߩଶ߳଴ ή Ͷ͵ߨ න ݎସ݀ݎோ଴ ׵ ܷ ൌ ߩଶ߳଴ ή Ͷߨܴହͳͷ 
(18.13) 
Utilizando (18.1), teremos o mesmo resultado de 
(18.7). 
 Questão 19
Uma placa dielétrica de espessura b é 
introduzida entre as placas de um capacitor plano, 
as quais estão separadas pela distância d. Mostre 
que a capacitância é dada por: 
ܥ ൌ ߢ߳଴ܣߢ݀ െ ܾሺߢ െ ͳሻ 
Resolução: 
Considere a representação da figura 19.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19.1 
 
Inicialmente, antes da introdução do dielétrico, a 
capacitância era dada por: 
 ܥ଴ ൌ ߳଴݀ܣ 
(19.1) 
 
Logo, a carga acumulada no capacitor pode ser 
escrita por: 
 ݍ ൌ ܥ଴ ή ଴ܸ 
(19.2) 
 
Em que ଴ܸ é a tensão antes da introdução do 
dielétrico. Agora, considerando que o dielétrico foi 
colocado entre as placas, temos que encontrar um 
novo valor de tensão, uma vez que a carga 
permanece constante. Podemos encontrar a 
tensão utilizando a seguinte expressão: 
 ܸ ൌ െනܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ଶଵ ൌ െනܧ ή ݈݀ ή …‘• ߨଶଵ 
(19.3) 
 
Em que a integração de caminho deve ser 
efetuado da placa 1 para a placa 2. Assim, teremos 
para (19.3): 
 නܧ݀ݎ ൌ ܧ଴ሺ݀ െ ܾሻ ൅ ܧܾଶଵ 
(19.4) 
 
 
1 
2 
+ 
- 
b d 
 
www.profafguimaraes.net 
12 
Em que ܧ଴ é o módulo do campo elétrico entre as 
placas antes da introdução do dielétrico. Já E é o 
módulo do campo elétrico no interior do 
dielétrico. A relação dos módulos dos campos 
elétricos é dada por: ܧ ൌ ܧ଴ߢ 
(19.5) 
Em que ߢ é a constante dielétrica do referido 
dielétrico. Assim, utilizando (19.3), (19.4) e (19.5), 
teremos para a nova tensão: ܸ ൌ ܧ଴ ൤ሺ݀ െ ܾሻ ൅ ܾߢ൨ 
(19.6) 
Lembrando que a relação entre a tensão inicial e o 
módulo do campo inicial é dada por: ܧ଴ ൌ ଴ܸ݀ 
(19.7) 
Da definição de capacitância, teremos: ܥ ൌ ܸݍ ൌ ܧ଴ ή ݀ ή ܥ଴ܧ଴ ቂሺ݀ െ ܾሻ ൅ ܾߢቃ 
(19.8) 
Com a expressão (19.1), teremos: ܥ ൌ ߢ߳଴ܣߢ݀ െ ܾሺߢ െ ͳሻ 
(19.9) 
 Questão 20
Circuitos que envolvem capacitores nem 
sempre podem ser agrupados em séries e em 
ligações em paralelo. Como exemplo, a figura 
20.1a, mostra três capacitores ܥ௫ǡ ܥ௬�݁�ܥ௭ 
formando uma ligação delta, assim, chamada em 
viturde de sua forma triangular. Essa ligação 
possui três terminais (a, b e c) e, portanto não 
pode ser convertida em uma capacitância 
equivalente simples. Podemos mostrar que, 
desprezando qualquer efeito sobre circuitos 
externos, uma ligação delta é equivalente a um 
circuito chamado de ligação Y. Por exemplo, a 
ligação delta indicada na figura 20.1a pode ser 
substituída pela ligação Y indicada na figura 20.1b. 
(O nome “ligação Y” também se refere à forma 
geométrica da ligação.). Mostre que as equações 
de transformação que fornecem ܥଵǡ ܥଶ�݁�ܥଷ em 
função de ܥ௫ǡ ܥ௬�݁�ܥ௭ são dadas por: 
 ܥଵ ൌ ൫ܥ௫ܥ௬ ൅ ܥ௬ܥ௭ ൅ ܥ௭ܥ௫൯ ܥ௫ǡΤ �ܥଶ ൌ ൫ܥ௫ܥ௬ ൅ ܥ௬ܥ௭ ൅ ܥ௭ܥ௫൯ ܥ௬ǡൗ ܥଷ ൌ ൫ܥ௫ܥ௬ ൅ ܥ௬ܥ௭ ൅ ܥ௭ܥ௫൯ ܥ௭ǤΤ 
 
(Dica: As diferenças de potencial ௔ܸ௕ e ௕ܸ௖ devem 
ser as mesmas nos dois tipos de ligações. As 
cargas ݍଵ e ݍଶ que fluem nos sentidos indicados na 
figura 20.1a devem ser as mesmas que as cargas ݍଵ e ݍଶ indicadas na figura 20.1b. Obtenha uma 
relação para ௔ܸ௖ em função de ݍଵ e de ݍଶ e as 
capacitâncias envolvidas em cada circuito e 
obtenha uma relação para ௕ܸ௖ em função das 
cargas para cada circuito. Os coeficientes das 
cargas correspondentes nas equações 
correspondentes devem ser iguais para os dois 
circuitos.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
Figura 20.1 
 
a b 
c c 
௔ܸ௕ ܸܾܿ ܥ௫ ܥݕ 
ܥݖ 
ܥݍଵ ݍʹ 
a 
c c 
b ܥଵ ܥʹ 
ܥ͵ 
ݍͳ ݍʹ 
௔ܸ௖ ܸܾܿ 
 
www.profafguimaraes.net 
13 
Resolução: 
Observando o circuito da figura 20.1a, podemos 
escrever: 
௔ܸ௕ଵ ൌ ݍ௭ܥ௭ Ǣ � ௔ܸ௖ଵ ൌ ݍଵ െ ݍ௭ܥ௬ ��݁�� ௕ܸ௖ଵ ൌ ݍଶ ൅ ݍ௭ܥ௫ 
(20.1) 
Observando o circuito da figura 20.1b, escrevemos 
também: 
௔ܸ௖ଶ ൌ ݍଵܥଵ ൅ ݍଵ ൅ ݍଶܥଷ Ǣ � ௕ܸ௖ଶ ൌ ݍଶܥଶ൅ ݍଵ ൅ ݍଶܥଷ ��݁�� ௔ܸ௕ଶ ൌ ௔ܸ௖ଶ െ ௕ܸ௖ଶ ൌ ݍଵܥଵ െ ݍଶܥଶ 
(20.2) 
Assim, mantendo as diferenças de potenciais, 
temos: 
௔ܸ௖ଵ ൌ ௔ܸ௖ଶ 
(20.3) 
Utilizando as relações (20.1), (20.2) em (20.3), 
teremos: ݍଵ െ ݍ௭ܥ௬ ൌ ݍଵܥଵ ൅ ݍଵ ൅ ݍଶܥଷ ݍଵ ቆ ͳܥ௬ െ ܥ௭ܥଵ ή ܥ௬ቇ ൅ ݍଶ ή ܥ௭ܥଶ ή ܥ௬ ൌ ݍଵ ൬ ͳܥଵ ൅ ͳܥଷ൰ ൅ ݍଶܥଷ 
(20.4) 
Para a igualdade em (20.4) ser válida, devemos 
impor: ͳܥ௬ െ ܥ௭ܥଵ ή ܥ௬ ൌ ͳܥଵ ൅ ͳܥଷ ֜ ܥଵ െ ܥ௭ܥ௬ ൌ ܥଷ ൅ ܥଵܥଷ 
(20.5) 
E ܥଷ ൌ ܥଶܥ௬ܥ௭ 
(20.6) 
Procedendo de forma semelhante, temos: 
௕ܸ௖ଵ ൌ ௕ܸ௖ଶ 
(20.7) 
Utilizando as relações (20.1), (20.2) em (20.7), 
teremos: 
 ܥଷ ൌ ܥଵ ή ܥ௫ܥ௭ 
(20.8) 
 
Agora, utilizando (20.5) e (20.8), teremos: 
 ܥଵ െ ܥ௭ܥ௬ ൌ ܥଵ ൅ ܥଵ ή ܥ௫ܥ௭ܥଵ ή ܥ௫ܥ௭ � ׵ ܥଵ ൌ ܥ௫ܥ௬ ൅ ܥ௫ܥ௭ ൅ ܥ௬ܥ௭ܥ௫ 
(20.9) 
 
Agora, substituindo o resultado de (20.9) em 
(20.8), e posteriormente, utilizando (20.6), 
encontramos as relações para ܥଷ e ܥଶ. Talvez, o 
circuito da figura 20.1b tenha inspirado o “Doc 
Brown” a construir a sua máquina de viagem no 
tempo. 
 
 Questão 21
 
O capacitor com placas paralelas imerso no ar 
indicado na figura 21.1 possui duas placas 
condutoras de área A. A placa inferior repousa 
sobre um suporte fixo e a placa superior está 
suspensa por quatro molas com constante k, 
colocadas nos quatro vértices da placa, como 
mostra a figura. Quando descarregadas, as placas 
são separadas por uma distância ݖ଴. Uma bateria é 
ligada produzindo uma diferença de potencial V 
entre as placas. Isso faz a distância entre as placas 
diminuir para z. Despreze os efeitos nas bordas 
das placas. A) Mostre que a força eletrostática 
entre as placas carregadas possui módulo ߳଴ܣܸଶ ʹݖଶΤ . B) Obtenha uma expressão que 
relacione a distância z com a diferença de 
potencial V. A equação resultante será uma 
equação cúbica em z. C) Dados os valores ܣ ൌ Ͳǡ͵ͲͲ�݉ଶǡ ݖ଴ ൌ ͳǡʹͲ�݉݉ǡ ݇ ൌ ʹͷǡͲ�ܰ ή ݉ିଵ��݁�� 
 ܸ ൌ ͳʹͲ�ܸ, calcule os dois valores de z para os 
quais a placa do topo permanece em equilíbrio. 
(Dica: Você poderá resolver a equação cúbica 
substituindo um valor de z que satisfaça a equação 
e a seguir ajustando por tentativa o valor de z que 
satisfaça a equação com três algarismos 
 
www.profafguimaraes.net 
14 
significativos. Se você fizer um gráfico, poderá 
localizar os valores iniciais de z para obter o 
resultado mais preciso usando o método das 
tentativas. Uma das raízes da equação cúbica 
possui um valor negativo que não faz sentido 
físico). 
 
Figura 21.1 
Resolução: 
A) Inicialmente, com as placas descarregadas, a 
energia armazenada no capacitor é nula. No 
entanto, com a tensão V aplicada, teremos para a 
capacitância: ܥ ൌ ߳଴ܣݖ 
(21.1) 
A energia armazenada no capacitor será: ܷ ൌ ܥܸଶʹ 
(21.2) 
Utilizando (21.1), teremos: ܷ ൌ ߳଴ܣܸଶʹݖ 
(21.3) 
Logo, a variação da energia potencial armazenada 
será: οܷ ൌ ߳଴ܣܸଶʹݖ 
(21.4) 
Porém, a energia potencial pode ser encontrada 
por: οܷ ൌ െන ܨ௭௭బ ݀ݖ 
(21.5) 
O que implica em: 
 ܨ ൌ െ ݀݀ݖ ቆ߳଴ܣܸଶʹݖ ቇ �� ׵ ܨ ൌ ߳଴ܣܸଶʹݖଶ 
(21.6) 
 
B) Da expressão da força elástica podemos 
escrever: 
 Ͷ݇ሺݖ଴ െ ݖሻ ൌ ߳଴ܣܸଶʹݖଶ �� ׵ �െݖଷ ൅ ݖ଴ݖଶ ൌ ߳଴ܣܸଶͺ݇ 
(21.7) 
 
C) Utilizando os dados fornecidos pela questão, 
teremos: 
 ݂ሺݖሻ ൌ െݖଷ ൅ ͳǡʹ ή ͳͲିଷݖଶ െ ͳǡͻͳ ή ͳͲିଵ଴ 
(21.8) 
 
Com o auxílio de uma planilha, encontrei um valor 
aproximado para ݂ሺݖሻ ൌ Ͳ, dado por: 
 ݖ ؆ ͳǡͲͳͶ͵ͺ ή ͳͲିଷ݉ 
(21.9) 
 
 Questão 22
 
Duas placas condutoras quadradas, cada qual 
com lado igual a L, são separadas por uma 
distância D. Uma placa dielétrica com constante 
dielétrica K e com dimensões L x L x D é inseria até 
uma distância x no espaço entre as placas, como 
indica a figura 22.1. A) Calcule a capacitância C do 
sistema. B) Suponha que o capacitor seja 
conectado a uma bateria que mantém uma 
diferença de potencial constante V entre as placas. 
Se a placa dielétrica for inserida até uma distância 
adicional dx no espaço entre as placas, mostre que 
a variação de energia acumulada é dada por: 
 ܷ݀ ൌ ൅ሺܭ െ ͳሻ߳଴ܸଶܮʹܦ ݀ݔ 
 
C) Suponha que, antes de a placa se mover uma 
distância dx, as placas sejam desconectadas da 
bateria, de modo que as cargas das placas 
permanecem constantes. Determine o módulo da 
carga em cada placa e a seguir mostre que, quando 
a placa penetra mais uma distância dx no interior 
 A 
A 
k 
k k 
k + - z 
++
--
V 
 
www.profafguimaraes.net 
15 
do espaço entre as placas, a energia acumulada 
varia de uma quantidade igual em módulo mas de 
sinal contrário ao valor dU encontrado no item 
(B). D) Se F for o módulo da força exercida sobre o 
dielétrico pelas cargas das placas então dU deve 
ser igual ao trabalho realizado contra essa força 
para deslocar o dielétrico até uma distância dx. 
Portanto, dU = - F dx. Mostre que a aplicação desse 
resultado na parte (B) sugere que a força elétrica 
empurra o dielétrico para fora do capacitor, 
enquanto o resultado da parte (C) sugere que a 
força empurra o dielétrico para dentro do 
capacitor. E) A figura 22.1 mostra que a força 
empurra efetivamente o dielétrico para dentro do 
capacitor. Explique a razão pela qual o resultado 
da parte (B) fornece uma resposta incorreta para 
o sentido dessa força. (Esse método não exige o 
conhecimento do campo nas bordas do capacitor.) 
Figura 22.1 
Resolução: 
A) Vamos imaginar que o dispositivo da figura 
22.1 seja uma associação de dois capacitores em 
paralelo. Sendo que um deles possui um dielétrico 
entre suas placas. Assim, teremos para os 
capacitores sem dielétrico e com o dielétrico 
respectivamente: ܥଵ ൌ ߳଴ܮሺܮ െ ݔሻܦ 
(22.1) ܥଶ ൌ ܭ߳଴ܮݔܦ 
(22.2) 
Efetuando a associação em paralelo, teremos: 
ܥ௘௤ ൌ ߳଴ܮܦ ൫ܮ ൅ ݔሺܭ െ ͳሻ൯ 
(22.3) 
 
B) Utilizando o resultado (22.3), teremos para a 
energia: 
 ܷ ൌ ߳଴ܮʹܦ ሾܮ ൅ ݔሺܭ െ ͳሻሿܸଶ 
(22.4) 
 
Agora tomando a taxa de variação, considerando V 
constante, teremos: 
 ܷ݀݀ݔ ൌ ߳଴ܮܸଶʹܦ ሺܭ െ ͳሻ 
(22.5) 
 
Que resulta na expressão solicitada. 
 
C) A carga acumulada é dada por: 
 ܳ ൌ ܥ௘௤ܸ 
(22.6) 
 
A energia acumulada, por sua vez, é dada por: 
 ܷ ൌ ܳଶʹܥ௘௤ 
(22.7) 
 
Assim, tomando a taxa de variação, teremos: 
 ܷ݀݀ݔ ൌ ݀݀ܥ௘௤ ቆ ܳଶʹܥ௘௤ቇ ή ݀ܥ௘௤݀ݔ �� ܷ݀݀ݔ ൌ െ ܳଶʹܥ௘௤ଶ ή ݀ܥ௘௤݀ݔ 
(22.8) 
 
Em que a carga permanece constante. Agora, 
utilizando (22.3) na expressão (22.8), teremos: 
 ܷ݀݀ݔ ൌ െቄ߳଴ܮܦ ሾܮ ൅ ݔሺܭ െ ͳሻሿ ή ܸቅଶʹ ቄ߳଴ܮܦ ሾܮ ൅ ݔሺܭ െ ͳሻሿቅଶ ή ݀ܥ௘௤݀ݔ �� ׵ ܷ݀݀ݔ ൌ െ߳଴ܮܸଶʹܦ ሺܭ െ ͳሻ 
(22.9) 
x 
 
L 
L 
 
D 
Placa dielétrica, constante K. 
 
www.profafguimaraes.net 
16 
Em que 
ௗ஼೐೜ௗ௫ ൌ ఢబ௅ሺ௄ିଵሻ஽ . 
D) A força, utilizando o resultado (22.5) será: ܨ ൌ െ߳଴ܮܸଶሺܭ െ ͳሻʹܦ 
(22.10) 
Agora, utilizando o resultado (22.9): ܨ ൌ ߳଴ܮܸଶሺܭ െ ͳሻʹܦ 
(22.11) 
E) Na expressão (22.5), temos a taxa de variação 
de energia que deve ser acumulada nas placas do 
capacitor. O que ocorre, nesse caso, com carga 
variável. No entanto o dielétrico é puxado para a 
região entre as placas.

Outros materiais