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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 3 – Questões 5 Questão 1 Seja V o potencial de uma esfera condutora de raio R = 0,20 m. A esfera possui uma carga q = 500pC. (a) Use a relação ݍ ൌ ܥ ή ܸ para obter uma expressão da capacitância da esfera condutora. (b) Calcule V e C para esta esfera. Resolução: a) O potencial da esfera é dado por: ܸ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܴݍ (1.1) Assim, teremos: ݍ ൌ ܥ ή ͳͶߨ߳ ή ܴݍ � ܥ ൌ Ͷߨܴ߳ (1.2) b) Substituindo os valores em (1.1) e (1.2), temos: ܸ ൌ ʹʹǡͷ�ܸǢ ܥ ؆ ʹʹǡʹ�ܨ (1.3) Questão 2 Um capacitor ܥଵ está ligado em série com outro de capacitância ܥଶ, e por meio de uma chave, eles são ligados em série com uma bateria que fornece uma tensão V. (a) Explique por que, embora ܥଵ seja diferente de ܥଶ, a carga acumulada em cada capacitor (ligado em série) é a mesma em todos os capacitores (ligados em série). (b) Determine o valor da carga acumulada em cada capacitor em função de ܥଵ, de ܥଶ e de V. Resolução: a) Na ligação em série, uma das placas de ܥଵ fica ligada com a placa de ܥଶ. Conforme a figura abaixo. Da figura podemos concluir que se a placa vermelha de ܥଵ adquirir carga positiva, então pelo princípio da conservação da carga elétrica, necessariamente, a placa azul de ܥଶ terá uma carga de mesmo módulo da carga da placa vermelha de ܥଵ, porém de sinal contrário. Logo, os dois capacitores terão a mesma carga acumulada em suas placas. b) Da associação em série, temos para o capacitor equivalente: ͳܥ ൌ ͳܥଵ ͳܥଶ � ܥ ൌ ܥଵ ή ܥଶܥଵ ܥଶ (2.1) A carga acumulada no capacitor equivalente, vale: ݍ ൌ ܥ ή ܸ� ݍ ൌ ܥଵ ή ܥଶܥଵ ܥଶ ή ܸ (2.2) Como as cargas em ܥଵ e em ܥଶ são iguais e também iguais a carga acumulada no capacitor equivalente, teremos, de (2.2): ݍଵ ൌ ݍଶ ൌ ݍ (2.3) Questão 3 A figura 3.1 mostra um capacitor variável que usa o ar como dielétrico, do tipo empregado na sintonia dos aparelhos de rádio. As placas são ligadas alternadamente, um grupo de placas estando fixo e o outro podendo girar em torno de um eixo. Considere um conjunto de n placas de polaridade alternada, cada uma delas de área A e separadas pela distância d. Mostre que o valor máximo da capacitância é: ܥ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ߳ܣ݀ V ܥଵ ܥʹ www.profafguimaraes.net 2 A A d Figura 3.1 Resolução: Observando a figura acima podemos concluir que para cada grupo de três placas, temos dois capacitores idênticos ligados em paralelo. Então, para n placas, temos n–1 capacitores idênticos ligados em paralelo. A capacitância equivalente será então: ܥ ൌܥ (3.1) Em que C será a máxima capacitância, dada por: ܥ ൌ ߳݀ܣ (3.2) Assim, utilizando (3.1) e (3.2), teremos: ܥ ൌ ሺ݊ െ ͳሻ߳ܣ݀ (3.3) Obs.: A máxima capacitância se dá quando as áreas dos capacitores coincidirem. Ou seja, os capacitores estarão alinhados. Questão 4 Uma diferença de potencial de 300 V é aplicada ao sistema constituído pela ligação em série de dois capacitores de, respectivamente, ʹǡͲ�ߤܨ e ͺǡͲ�ߤܨ. (a) Qual a carga e a diferença de potencial de cada capacitor? (b) Os dois capacitores carregados tem suas placas de mesma polaridade ligadas entre si, na ausência de qualquer diferença de potencial externa. Quais os novos valores das cargas e diferenças de potencial em cada um deles? (c) Os dois capacitores carregados são agoras montados com as placas de polaridade opostas ligadas entre si. Calcule novamente as cargas e a diferença de potencial em cada um deles. Resolução: a) Para a ligação em série, temos para a capacitância equivalente: ܥ ൌ ܥଵ ή ܥଶܥଵ ܥଶ ฺ ܥ ൌ ʹ ή ͺͳͲ ܥ ൌ ͳǡ�ߤܨ (4.1) A carga acumulada nessa associação será: ݍ ൌ ܥ ή ܸ ฺ ݍ ൌ ͳǡ ή ͵ͲͲ ݍ ൌ ͶͺͲ�ߤܥ (4.2) Para uma associação em série, a carga acumulada em cada capacitor é dada por (4.2). Assim, teremos: ݍଵ ൌ ݍଶ ൌ ͶͺͲ�ߤܥ (4.3) A diferença de potencial para cada capacitor será: ଵܸ ൌ ݍଵܥଵ ൌ ͶͺͲʹ ൌ ʹͶͲ�ܸǢ� ଶܸ ൌ ݍଶܥଶ ൌ ͶͺͲͺ ൌ Ͳ�ܸ (4.4) b) Nessa ligação, a carga total será: ݍԢଵ ݍԢଶ ൌ ʹݍ (4.5) De tal forma que ocorrerá uma redistribuição de cargas até o equilíbrio eletrostático, em que: ܸԢଵ ൌ ܸԢଶ ฺ ݍԢଵܥଵ ൌ ݍԢଶܥଶ (4.6) De (4.6) temos: www.profafguimaraes.net 3 ݍԢଶ ൌ ͶݍԢଵ (4.7) Utilizando os resultados de (4.2) e (4.7) em (4.5), teremos: ݍԢଵ ൌ ͳͻʹ�ߤܥ�݁�ݍԢଶ ൌ ͺ�ߤܥ (4.8) Utilizando os resultados de (4.8) em (4.6), temos: ܸԢଵ ൌ ܸԢଶ ൌ ͻ�ܸ (4.9) c) Utilizando o mesmo procedimento do item (b), temos: ݍԢԢଵ ݍԢԢଶ ൌ െͳͻʹ ͺ ൌ ͷ�ߤܥ (4.10) E ܸԢԢଵ ൌ ܸԢԢଶ (4.11) Assim, teremos: ݍᇱᇱଵ ൌ ͳͳͷǡʹ�ߤܥǡ ݍᇱᇱଶ ൌ ͶͲǡͺ�ߤܥ� �ܸԢԢଵ ൌ ܸԢԢଶ ൌ ͷǡ�ܸ (4.12) Questão 5 Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das placas de um capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja figura 5.1). Qual o valor da capacitância antes e depois da introdução da placa? Figura 5.1 Resolução: Antes: ܥ ൌ ߳݀ܣ (5.1) Depois: Nesse caso existem dois capacitores em série, cada um com uma capacitância dada por: ܥᇱ ൌ ߳ܣሺ݀ െ ܾሻʹ ܥᇱ ൌ ʹ߳ܣ݀ െ ܾ (5.2) Para a associação em série, teremos: ܥ ൌ ߳ܣ݀ െ ܾ (5.3) Questão 6 Quando giramos a chave S da figura 6.1 para a esquerda, as placas do capacitor de capacitância ܥଵ adquirem uma diferença de potencial ܸ. Inicialmente ܥଶ e ܥଷ estão descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais ݍଵ, ݍଶ e ݍଷ sobre os capacitores correspondentes? Figura 6.1 Resolução: Com a chave S ligada no ponto da esquerda, o capacitor ܥଵ adquire uma carga dada por: ݍଵ ൌ ܥଵ ή ܸ (6.1) Quando a chave S é ligada no ponto da direita, a carga do capacitor ܥଵ é redistribuída para todo o sistema de três capacitores. Assim, pelo princípio Cobre d b ܸ ܥͳ ܥʹ ܥ͵ ܵ www.profafguimaraes.net 4 da conservação da carga elétrica, temos: ݍԢଵ ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ܸ (6.2) Em que ݍԢଵ e ݍଶǡଷ são respectivamente a nova carga de ܥଵ e a carga da associação em série de ܥଶ e ܥଷ. Tal distribuição ocorrerá até que seja atingido o equilíbrio eletrostático, ou seja: ܸԢଵ ൌ ଶܸǡଷ (6.3) Ou seja: ݍԢଵܥଵ ൌ ݍଶǡଷܥଶǡଷ (6.4) Em que ܥଶǡଷ é a capacitância equivalente da associação em série dos capacitores 2 e 3, dada por: ܥଶǡଷ ൌ ܥଶ ή ܥଷܥଶ ܥଷ (6.5) Utilizando (6.4) em (6.2), teremos: ݍଶǡଷ ή ܥଵܥଶǡଷ ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ܸ�� ݍଶǡଷ ൌ ܥଶǡଷ ή ܥଵ ή ܸܥଵ ܥଶǡଷ (6.6) Agora, utilizando (6.5) no resultado de (6.6), teremos: ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ܥଶ ή ܥଷ ή ܸܥଵ ή ܥଶ ܥଵ ή ܥଷ ܥଶ ή ܥଷ (6.7) Como os capacitores 2 e 3 estão ligados em série, eles possuem a mesma carga que dada por (6.7), portanto: ݍଶ ൌ ݍଷ ൌ ݍଶǡଷ ൌ ܥଵ ή ܥଶ ή ܥଷ ή ܸܥଵ ή ܥଶ ܥଵ ή ܥଷ ܥଶ ή ܥଷ (6.8) Agora, utilizando (6.4) e (6.7), teremos: ݍଶǡଷ ൌ ሺܥଵ ή ܥଶ ܥଵ ή ܥଷሻ ή ܸܥଵ ή ܥଶ ܥଵ ή ܥଷ ܥଶ ή ܥଷ (6.9) Questão 7 Um capacitor de placas planas e paralelas está ligado a uma diferença de potencial V. Sem desconectar o capacitor da bateria, afasta-se uma das placas de modo que a nova distância entre elas seja igual ao triplo da distância origina. Determine: (a) a nova capacitância em função da capacitância inicial ܥ. (b) a carga acumulada em função de ܥ e de V. Resolução: a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por: ܥ ൌ ߳݀ܣ (7.1) Assim a carga elétrica será: ݍ ൌ ܥܸ ֜ ݍ ൌ ߳݀ܣ ή ܸ (7.2) Aumentando a distância entre as placas teremos: ܥᇱ ൌ ߳ܣ͵݀ � ܥᇱ ൌ ܥ͵ (7.3)b) A carga acumulada agora é dada por: ݍᇱ ൌ ܥᇱܸ ݍᇱ ൌ ܥܸ͵ (7.4) Questão 8 Inicialmente, a chave S da figura 8.1 está desligada; colocam-se, então, cargas ݍଵ em ܥଵ, ݍଶ em ܥଶ e ݍଷ em ܥଷ. Determine as cargas finais ݍԢଵ, ݍԢଶ e ݍԢଷ quando o sistema atingir o equilíbrio eletrostático, supondo que não haja perda de carga no processo. www.profafguimaraes.net 5 Figura 8.1 Resolução: Seja q a carga total antes da ligação da chave S: ݍ ൌ ݍଵ ݍଶ ݍଷ (8.1) Ligando a chave S, haverá uma redistribuição de carga de tal forma que a carga total deve ser conservada. Assim, teremos: ݍԢଵ ݍԢଶ ݍԢଷ ൌ ݍ (8.2) Em que, ݍԢଵ, ݍԢଶ e ݍԢଷ são as novas cargas dos capacitores. E q é dado por (8.1). No equilíbrio, temos: ܸᇱଵ ൌ ܸᇱଶ ൌ ܸᇱଷ �ݍԢଵܥଵ ൌ ݍԢଶܥଶ ൌ ݍԢଷܥଷ (8.3) Utilizando (8.3) em (8.2), temos: ݍᇱଵ ݍᇱଵܥଶܥଵ ݍᇱଵܥଷܥଵ ൌ ݍ�� ݍԢଵ ൌ ݍܥଵܥଵ ܥଶ ܥଷ (8.4) Logo, de (8.3), teremos: ݍԢଶ ൌ ݍܥଶܥଵ ܥଶ ܥଷ ��݁��ݍԢଷ ൌ ݍܥଷܥଵ ܥଶ ܥଷ (8.5) Questão 9 Os capacitores ܥଵሺͳǡͲߤܨሻ e ܥଶሺ͵ǡͲߤܨሻ são ambos carregados a um potencial V (100 V), mas com polaridades opostas, de tal modo que os pontos a e c correspondam às respectivas placas positivas de ܥଵ e ܥଶ, e os pontos b e d correspondem às placas negativas (veja a figura 9.1). As chaves ܵଵ e ܵଶ são, então, ligadas. (a) Qual é a diferença de potencial entre os pontos e e f? Qual é a carga (b) em ܥଵ? (c) em ܥଶ? Figura 9.1 Resolução: a) Ligando as chaves, teremos, para a carga total: ݍ௧ ൌ ݍଵ ݍଶ (9.1) Em que ݍଵ ൌ ܥଵ ή ܸ ൌ ͳ ή ͳͲͲ ൌ ͳͲͲߤܥ (9.2) E ݍଶ ൌ ܥଶ ή ܸ ൌ ͵ ή ͳͲͲ ൌ ͵ͲͲߤܥ (9.3) Utilizando (9.1), e observando que as placas estão invertidas, teremos: ݍ௧ ൌ ͵ͲͲ െ ͳͲͲ ൌ ʹͲͲߤܥǤ (9.4) Teremos remanejamento de cargas entre os capacitores até que seja atingido o equilíbrio eletrostático. Assim: ܸᇱଵ ൌ ܸᇱଶ ֜ ݍᇱଵܥଵ ൌ ݍᇱଶܥଶ ݍԢଵ ൌ ݍԢଶ͵ (9.5) ܥଵ ܥʹ ܥ͵ ݍʹ ݍͳ ݍ͵ ܵ e f a b d c ++++ ++++ - - - - - - - - +++ܥଵ ++ - - ܥʹ ܵͳ ܵʹ www.profafguimaraes.net 6 Pelo princípio da conservação da carga elétrica, temos: ݍԢଵ ݍԢଶ ൌ ʹͲͲߤܥ (9.6) Utilizando (9.5) em (9.6), teremos: ݍԢଵ ൌ ͷͲߤܥ (9.7) ݍԢଶ ൌ ͷͲ͵ �ߤܥ (9.8) E de (9.5), teremos: ܸԢଵ ൌ ܸԢଶ ൌ ܸ ൌ ͷͲܸ (9.9) Questão 10 Um capacitor de placas planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas que formam entre si um ângulo ߠ, conforme mostra a figura 10.1. O lado do quadrado é igual a a. Determine a capacitância deste capacitor para valores de ߠ muito pequenos. Figura 10.1 Resolução: Vamos dividir em elementos infinitesimais, de tal forma que a capacitância equivalente será dada pela integração. ݄ ൌ ඥݔଶ ݕଶ (10.1) Em que ݕ ൌ ݔ ή ݐ݃ߠ (10.2) Substituindo (10.2) em (10.1), teremos: ݄ ൌ ݔඥͳ ݐ݃ଶߠ �� ݔ ൌ ݄ ή ݏ݁ܿିଵߠ (10.3) Tomando a derivada, temos: ݀ݔ ൌ ݄݀ ή ݏ݁ܿିଵߠ (10.4) O elemento infinitesimal de capacitância será: ݀ܥ ൌ ߳ܽ ή ݄݀ ή ݏ݁ܿିଵߠ݀ ݄ ή ݏ݁݊ߠ (10.5) Integrando, temos: ܥ ൌ ߳ܽݏ݁ܿߠන ݄݀݀ ݄ݏ݁݊ߠ �� ܥ ൌ ߳ܽ ή ܿݏߠݏ݁݊ߠ �݈݊ሺ݀ ݄ݏ݁݊ߠሻฬ�� ܥ ൌ ߳ܽ ή ܿݏߠݏ݁݊ߠ ή ݈݊ ቀͳ ܽ݀ ݏ݁݊ߠቁ (10.6) Obs.: A integração se justifica, pois teremos capacitores infinitesimais em paralelo. A expansão logarítmica em (10.6), para ߠ pequeno, é dada por: ݈݊ ቀͳ ܽ݀ ݏ݁݊ߠቁ ؆ ܽ݀ ݏ݁݊ߠ (10.7) Substituindo (10.7) em (10.6), teremos: ܥ ؆ ߳ܽଶܿݏߠ݀ (10.8) d a a ߠ d h a ߠ x y dx www.profafguimaraes.net 7 Questão 11 Um capacitor esférico consiste de duas camadas esféricas condutoras concêntricas, de raios respectivamente iguais a a e b ሺܾ ܽሻ. Mostre que sua capacitância é igual a ܥ ൌ Ͷߨ߳ ܾܾܽ െ ܽ Resolução: A diferença de potencial entre as duas esferas é dada por: ܸ ൌ ݍͶߨ߳න ݀ݎݎଶ �� ܸ ൌ ݍͶߨ߳ െͳݎ ൨ ܸ ൌ ݍͶߨ߳ ή ܾ െ ܾܽܽ (11.1) Em que q é a carga do capacitor. Agora substituindo o resultado de (11.1) na definição de capacitância, teremos: ܥ ൌ ܸݍ �֜ ܥ ൌ ݍݍͶߨ߳ ή ቀܾ െ ܾܽܽ ቁ ܥ ൌ Ͷߨ߳ ή ൬ܾ െ ܾܽܽ ൰ (11.2) Questão 12 Mostre que as placas de um capacitor plano se atraem mutuamente com uma força igual a ܨ ൌ ݍଶʹ߳ܣ Obtenha esse resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação das placas de x para x + dx. Resolução: O campo elétrico entre as placas tem intensidade dada por: ܧ ൌ ʹ߳ߪ (12.1) Em que ߪ é a densidade superficial de carga, dada por: ߪ ൌ ݍܣ (12.2) O elemento infinitesimal da diferença de potencial é dado por: ܸ݀ ൌ െܧ݀ݔ (12.3) O trabalho será: ܹ ൌ නݍܸ݀ (12.4) Utilizando as expressões de (12.1) até (12.4), teremos: ܹ ൌ නെ ݍଶʹ߳ܣ݀ݔ (12.5) Como o trabalho também é dado por: ܹ ൌ නܨ ݀ݔ (12.6) Podemos concluir: ܨ ൌ െ ݍଶʹ߳ܣ (12.7) Obs.: O sinal negativo indica força de atração. Questão 13 Considere a questão 5. Seja ܥ a capacitância inicial, antes da introdução da chapa de cobre de espessura b. Determine, em termos de ܥ, o trabalho necessário para introduzir esta chapa de cobre, supondo que se mantenha constante: (a) a carga, (b) a diferença de potencial entre as placas. Resolução: Seja ܥ dada por (5.1), ou seja: www.profafguimaraes.net 8 ܥ ൌ ߳݀ܣ (13.1) E seja C, a capacitância após a introdução da chapa de cobre, dada por (5.3), ou seja: ܥ ൌ ߳ܣ݀ െ ܾ (13.2) a) Mantendo a carga constante, temos, para as energias potenciais acumuladas: ܷ ൌ ݍଶ݀ʹ߳ܣ �݁�ܷ ൌ ݍଶሺ݀ െ ܾሻʹ߳ܣ (13.3) Em que ܷ e U são respectivamente as energias potenciais antes e depois da introdução da chapa de cobre. O trabalho será então, dado por: ܹ ൌ െοܷ ൌ ܷ െ ܷ ൌ ݍଶܾʹ߳ܣ (13.4) b) Agora, mantendo a diferença de potencial constante, teremos: ܷ ൌ ߳ܣܸଶʹ݀ �݁�ܷ ൌ ߳ܣܸଶʹሺ݀ െ ܾሻ (13.5) Assim, teremos: ܹ ൌ െοܷ ൌ െ߳ܣܸଶܾʹሺ݀ଶ െ ܾ݀ሻ (13.6) Questão 14 Uma esfera metálica isolada de 10 cm de diâmetro tem um potencial de 8000 V. Qual a densidade de energia elétrica na superfície da esfera? Resolução: A expressão do potencial gerado na superfície da esfera é dada por: ܸ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܴݍ (14.1) E para o campo elétrico: ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܴݍଶ (14.2) Assim, nas proximidades da superfície, o campo elétrico será: ܧ ൌ ܸܴ ൌ ͺͲͲͲͷ ή ͳͲିଶ ൌ ͳͲͲͲͲ�ܸ ή ݉ିଵ (14.3) Assim, a densidade de energia nas proximidades da superfície será: ݑ ൌ ߳ܧଶʹ ؆ Ͳǡͳͳ�ܬ ή ݉ିଷ (14.4) Questão 15 (a) Determine a densidade de energia u entre as placas de um capacitor cilíndrico. (b) Determine a energia U armazenada neste capacitor, usando a relação ݑ ൌ ௗௗ�, onde dV é um elemento de volume. Resolução: Seja o capacitor representado na figura abaixo. Figura 15.1 Seja a placa interna carregada com carga negativa, de tal forma que a placa externa tenha a mesma carga, em módulo, porém positiva. a b l www.profafguimaraes.net 9 Assim, o campo elétrico estará orientado de fora para dentro. Aplicando a lei de Gauss, obtemos para o campo elétrico a seguinte expressão: ܧ ൌ ݍʹߨ߳ݎ݈ (15.1) Em que r é a distância do centro comum até um ponto entre as placas e q é a carga armazenada. A densidade de energia é dada por: ݑ ൌ ߳ܧଶʹ (15.2) Utilizando a expressão de (15.1) em (15.2), teremos: ݑ ൌ ݍଶͺߨ߳ݎଶ݈ଶ (15.3) A energia armazenada será: ܷ ൌ න ݑܸ݀ (15.4) Em que ܸ݀ ൌ ʹߨݎ݈݀ݎ. Assim, utilizando a expressão (15.3), teremos para (15.4):ܷ ൌ න ݍଶͶߨ߳ݎ݈ ݀ݎ �� ܷ ൌ ݍଶͶߨ݈߳ ݈݊ ൬ܾܽ൰ (15.5) Questão 16 Seja um capacitor cilíndrico de raios a e b, como ilustrado na figura 15.1. Mostre que metade da energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro de raio igual a ݎ ൌ ξܾܽ. Resolução: Da expressão (15.5), temos: ܷᇱ ൌ ݍଶͶߨ݈߳ ݈݊ ቀܽݎቁ (16.1) Em que ܷᇱ ൌ ଶ, U é a energia total. Assim, teremos: ݈݊ ቀܽݎቁ ൌ ͳʹ ݈݊ ൬ܾܽ൰�� ݎ ൌ ሺܾܽሻଵଶ (16.2) Questão 17 Uma bolha de sabão esférica de raio R0 se encontra em equilíbrio no ar. Imagine que você introduza uma carga q na superfície da bolha. Por causa da repulsão coulombiana, o raio da bolha deverá crescer até atingir um valor R no equilíbrio. Determine: (a) o trabalho realizado durante a expansão da bolha contra a pressão atmosférica p, (b) a variação da energia elétrica do sistema, (c) a expressão da carga q em termos de R0, R, de p e de ߳. Resolução: a) O trabalho realizado contra a pressão atmosférica será: ܹ݀ ൌ �ܸ݀� �ܹ ൌ ή Ͷ͵ߨ ሺܴଷ െ ܴଷሻ (17.1) b) A capacitância de uma esfera, utilizado a Terra como referência, é dada por: ܥ ൌ Ͷߨ߳ݎ (17.2) Em que r é o raio da esfera. Assim, utilizando (17.2) teremos para as capacitâncias inicial e final: ܥ ൌ Ͷߨܴ߳Ǣ �ܥ ൌ Ͷߨܴ߳ (17.3) A energia armazenada em um capacitor é dada por: ܷ ൌ ܳଶʹܥ (17.4) www.profafguimaraes.net 10 Assim, utilizando (17.4), teremos para as energias inicial e final: ܷ ൌ ݍଶͺߨܴ߳ Ǣ ܷ ൌ ݍଶͺߨܴ߳ (17.5) Logo, a variação de energia será: οܷ ൌ ܷ െ ܷ�� οܷ ൌ ݍଶͺߨ߳ ൬ܴ െ ܴܴܴ ൰ (17.6) c) Sendo o trabalho mecânico igual a diferença de potencial, teremos: ܹ ൌ െοܷ (17.7) Então, utilizando (17.1) e (17.6) em (17.7), teremos: ή Ͷ͵ߨ ሺܴଷ െ ܴଷሻ ൌ ݍଶͺߨ߳ ൬ܴ െ ܴܴܴ ൰�� ݍ ൌ ቈ͵ʹߨଶܴܴ߳ሺܴଷ െ ܴଷሻ͵ሺܴ െ ܴሻ ଵଶ (17.8) Questão 18 Considere uma esfera dielétrica com uma carga total Q distribuída uniformemente ao longo do seu volume. Seja R o raio desta esfera. Determine a energia potencial elétrica desta esfera através: (a) do cálculo da energia total desde r = 0 até o infinito, (b) através da integração da expressão ܷ݀ ൌ ܸ݀ݍ desde q = 0 até q = Q. Resolução: a) Para a densidade volumétrica de carga temos: ߩ ൌ ͵ܳͶߨܴଷ (18.1) Utilizando a lei de Gauss para o campo elétrico, juntamente com (18.1), teremos: රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ�� ܧͶߨݎଶ ൌ ߩܸ߳ �� ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ͳݎଶ ή ͵ܳͶߨܴଷ ή Ͷߨݎଷ͵ �� ܧ ൌ ͳͶߨ߳ ή ܳݎܴଷ (18.2) Sabemos que a densidade de energia é dada por: ݑ ൌ ߳ʹ ή ܧଶ (18.3) Logo, utilizando o resultado de (18.2) em (18.3), teremos: ݑ ൌ ܳଶݎଶ͵ʹߨଶܴ߳ (18.4) Agora, podemos efetuar a integração da seguinte expressão: ܷ݀ ൌ ݑܸ݀Ǣ ܸ݀ ൌ Ͷߨݎଶ݀ݎ (18.5) Utilizando a equação (18.4) em (18.5) e efetuando a integração, teremos: ܷ ൌ ܳଶͺߨܴ߳න ݎସ݀ݎோ ܳଶͺߨ߳න ݀ ሖܴሖܴ ଶோ �� ܷ ൌ ܳଶͶͲߨܴ߳ ܳଶͺߨ߳ ൬ͳܴ െ ͳܾ൰ (18.6) Agora, tomando o limite da expressão (18.6) quando b tende ao infinito, teremos: ܷ ൌ ܳଶͶͲߨܴ߳ ܳଶͺߨ߳ ՜ஶ ൬ͳܴ െ ͳܾ൰�� ܷ ൌ ͵ܳଶʹͲߨܴ߳ (18.7) b) Para tomar o outro caminho sugerido pela questão, vamos utilizar o resultado (2.3) da questão 2 do tópico Física 3 – 04 dado por: www.profafguimaraes.net 11 ܸ ൌ െ ݍݎଶͺߨܴ߳ଷ ͵ݍͺߨܴ߳ (18.8) Para uma distribuição esférica uniforme de carga segundo um raio R = r, temos para (18.8): ܸ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݎ (18.9) Logo, ܷ݀ ൌ ͳͶߨ߳ ή ݍݎ ݀ݍ (18.10) Desta forma teremos que efetuar: ܷ ൌ ͳͶߨ߳න ݍݎ ݀ݍொ (18.11) Porém, à medida que é acrescentado carga a esfera aumenta seu volume, porém a densidade volumétrica de carga deve se manter constante. Logo, é mais conveniente escrever: ݍ ൌ ߩ ή Ͷߨݎଷ͵ ��݁��݀ݍ ൌ ߩ ή Ͷߨݎଶ݀ݎ (18.12) Agora, subsituindo (18.12) em (18.12) e integrando, teremos: ܷ ൌ ߩଶ߳ ή Ͷ͵ߨ න ݎସ݀ݎோ ܷ ൌ ߩଶ߳ ή Ͷߨܴହͳͷ (18.13) Utilizando (18.1), teremos o mesmo resultado de (18.7). Questão 19 Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as placas de um capacitor plano, as quais estão separadas pela distância d. Mostre que a capacitância é dada por: ܥ ൌ ߢ߳ܣߢ݀ െ ܾሺߢ െ ͳሻ Resolução: Considere a representação da figura 19.1. Figura 19.1 Inicialmente, antes da introdução do dielétrico, a capacitância era dada por: ܥ ൌ ߳݀ܣ (19.1) Logo, a carga acumulada no capacitor pode ser escrita por: ݍ ൌ ܥ ή ܸ (19.2) Em que ܸ é a tensão antes da introdução do dielétrico. Agora, considerando que o dielétrico foi colocado entre as placas, temos que encontrar um novo valor de tensão, uma vez que a carga permanece constante. Podemos encontrar a tensão utilizando a seguinte expressão: ܸ ൌ െනܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ଶଵ ൌ െනܧ ή ݈݀ ή ߨଶଵ (19.3) Em que a integração de caminho deve ser efetuado da placa 1 para a placa 2. Assim, teremos para (19.3): නܧ݀ݎ ൌ ܧሺ݀ െ ܾሻ ܧܾଶଵ (19.4) 1 2 + - b d www.profafguimaraes.net 12 Em que ܧ é o módulo do campo elétrico entre as placas antes da introdução do dielétrico. Já E é o módulo do campo elétrico no interior do dielétrico. A relação dos módulos dos campos elétricos é dada por: ܧ ൌ ܧߢ (19.5) Em que ߢ é a constante dielétrica do referido dielétrico. Assim, utilizando (19.3), (19.4) e (19.5), teremos para a nova tensão: ܸ ൌ ܧ ሺ݀ െ ܾሻ ܾߢ൨ (19.6) Lembrando que a relação entre a tensão inicial e o módulo do campo inicial é dada por: ܧ ൌ ܸ݀ (19.7) Da definição de capacitância, teremos: ܥ ൌ ܸݍ ൌ ܧ ή ݀ ή ܥܧ ቂሺ݀ െ ܾሻ ܾߢቃ (19.8) Com a expressão (19.1), teremos: ܥ ൌ ߢ߳ܣߢ݀ െ ܾሺߢ െ ͳሻ (19.9) Questão 20 Circuitos que envolvem capacitores nem sempre podem ser agrupados em séries e em ligações em paralelo. Como exemplo, a figura 20.1a, mostra três capacitores ܥ௫ǡ ܥ௬�݁�ܥ௭ formando uma ligação delta, assim, chamada em viturde de sua forma triangular. Essa ligação possui três terminais (a, b e c) e, portanto não pode ser convertida em uma capacitância equivalente simples. Podemos mostrar que, desprezando qualquer efeito sobre circuitos externos, uma ligação delta é equivalente a um circuito chamado de ligação Y. Por exemplo, a ligação delta indicada na figura 20.1a pode ser substituída pela ligação Y indicada na figura 20.1b. (O nome “ligação Y” também se refere à forma geométrica da ligação.). Mostre que as equações de transformação que fornecem ܥଵǡ ܥଶ�݁�ܥଷ em função de ܥ௫ǡ ܥ௬�݁�ܥ௭ são dadas por: ܥଵ ൌ ൫ܥ௫ܥ௬ ܥ௬ܥ௭ ܥ௭ܥ௫൯ ܥ௫ǡΤ �ܥଶ ൌ ൫ܥ௫ܥ௬ ܥ௬ܥ௭ ܥ௭ܥ௫൯ ܥ௬ǡൗ ܥଷ ൌ ൫ܥ௫ܥ௬ ܥ௬ܥ௭ ܥ௭ܥ௫൯ ܥ௭ǤΤ (Dica: As diferenças de potencial ܸ e ܸ devem ser as mesmas nos dois tipos de ligações. As cargas ݍଵ e ݍଶ que fluem nos sentidos indicados na figura 20.1a devem ser as mesmas que as cargas ݍଵ e ݍଶ indicadas na figura 20.1b. Obtenha uma relação para ܸ em função de ݍଵ e de ݍଶ e as capacitâncias envolvidas em cada circuito e obtenha uma relação para ܸ em função das cargas para cada circuito. Os coeficientes das cargas correspondentes nas equações correspondentes devem ser iguais para os dois circuitos.). (a) (b) Figura 20.1 a b c c ܸ ܸܾܿ ܥ௫ ܥݕ ܥݖ ܥݍଵ ݍʹ a c c b ܥଵ ܥʹ ܥ͵ ݍͳ ݍʹ ܸ ܸܾܿ www.profafguimaraes.net 13 Resolução: Observando o circuito da figura 20.1a, podemos escrever: ܸଵ ൌ ݍ௭ܥ௭ Ǣ � ܸଵ ൌ ݍଵ െ ݍ௭ܥ௬ ��݁�� ܸଵ ൌ ݍଶ ݍ௭ܥ௫ (20.1) Observando o circuito da figura 20.1b, escrevemos também: ܸଶ ൌ ݍଵܥଵ ݍଵ ݍଶܥଷ Ǣ � ܸଶ ൌ ݍଶܥଶ ݍଵ ݍଶܥଷ ��݁�� ܸଶ ൌ ܸଶ െ ܸଶ ൌ ݍଵܥଵ െ ݍଶܥଶ (20.2) Assim, mantendo as diferenças de potenciais, temos: ܸଵ ൌ ܸଶ (20.3) Utilizando as relações (20.1), (20.2) em (20.3), teremos: ݍଵ െ ݍ௭ܥ௬ ൌ ݍଵܥଵ ݍଵ ݍଶܥଷ ݍଵ ቆ ͳܥ௬ െ ܥ௭ܥଵ ή ܥ௬ቇ ݍଶ ή ܥ௭ܥଶ ή ܥ௬ ൌ ݍଵ ൬ ͳܥଵ ͳܥଷ൰ ݍଶܥଷ (20.4) Para a igualdade em (20.4) ser válida, devemos impor: ͳܥ௬ െ ܥ௭ܥଵ ή ܥ௬ ൌ ͳܥଵ ͳܥଷ ֜ ܥଵ െ ܥ௭ܥ௬ ൌ ܥଷ ܥଵܥଷ (20.5) E ܥଷ ൌ ܥଶܥ௬ܥ௭ (20.6) Procedendo de forma semelhante, temos: ܸଵ ൌ ܸଶ (20.7) Utilizando as relações (20.1), (20.2) em (20.7), teremos: ܥଷ ൌ ܥଵ ή ܥ௫ܥ௭ (20.8) Agora, utilizando (20.5) e (20.8), teremos: ܥଵ െ ܥ௭ܥ௬ ൌ ܥଵ ܥଵ ή ܥ௫ܥ௭ܥଵ ή ܥ௫ܥ௭ � ܥଵ ൌ ܥ௫ܥ௬ ܥ௫ܥ௭ ܥ௬ܥ௭ܥ௫ (20.9) Agora, substituindo o resultado de (20.9) em (20.8), e posteriormente, utilizando (20.6), encontramos as relações para ܥଷ e ܥଶ. Talvez, o circuito da figura 20.1b tenha inspirado o “Doc Brown” a construir a sua máquina de viagem no tempo. Questão 21 O capacitor com placas paralelas imerso no ar indicado na figura 21.1 possui duas placas condutoras de área A. A placa inferior repousa sobre um suporte fixo e a placa superior está suspensa por quatro molas com constante k, colocadas nos quatro vértices da placa, como mostra a figura. Quando descarregadas, as placas são separadas por uma distância ݖ. Uma bateria é ligada produzindo uma diferença de potencial V entre as placas. Isso faz a distância entre as placas diminuir para z. Despreze os efeitos nas bordas das placas. A) Mostre que a força eletrostática entre as placas carregadas possui módulo ߳ܣܸଶ ʹݖଶΤ . B) Obtenha uma expressão que relacione a distância z com a diferença de potencial V. A equação resultante será uma equação cúbica em z. C) Dados os valores ܣ ൌ Ͳǡ͵ͲͲ�݉ଶǡ ݖ ൌ ͳǡʹͲ�݉݉ǡ ݇ ൌ ʹͷǡͲ�ܰ ή ݉ିଵ��݁�� ܸ ൌ ͳʹͲ�ܸ, calcule os dois valores de z para os quais a placa do topo permanece em equilíbrio. (Dica: Você poderá resolver a equação cúbica substituindo um valor de z que satisfaça a equação e a seguir ajustando por tentativa o valor de z que satisfaça a equação com três algarismos www.profafguimaraes.net 14 significativos. Se você fizer um gráfico, poderá localizar os valores iniciais de z para obter o resultado mais preciso usando o método das tentativas. Uma das raízes da equação cúbica possui um valor negativo que não faz sentido físico). Figura 21.1 Resolução: A) Inicialmente, com as placas descarregadas, a energia armazenada no capacitor é nula. No entanto, com a tensão V aplicada, teremos para a capacitância: ܥ ൌ ߳ܣݖ (21.1) A energia armazenada no capacitor será: ܷ ൌ ܥܸଶʹ (21.2) Utilizando (21.1), teremos: ܷ ൌ ߳ܣܸଶʹݖ (21.3) Logo, a variação da energia potencial armazenada será: οܷ ൌ ߳ܣܸଶʹݖ (21.4) Porém, a energia potencial pode ser encontrada por: οܷ ൌ െන ܨ௭௭బ ݀ݖ (21.5) O que implica em: ܨ ൌ െ ݀݀ݖ ቆ߳ܣܸଶʹݖ ቇ �� ܨ ൌ ߳ܣܸଶʹݖଶ (21.6) B) Da expressão da força elástica podemos escrever: Ͷ݇ሺݖ െ ݖሻ ൌ ߳ܣܸଶʹݖଶ �� �െݖଷ ݖݖଶ ൌ ߳ܣܸଶͺ݇ (21.7) C) Utilizando os dados fornecidos pela questão, teremos: ݂ሺݖሻ ൌ െݖଷ ͳǡʹ ή ͳͲିଷݖଶ െ ͳǡͻͳ ή ͳͲିଵ (21.8) Com o auxílio de uma planilha, encontrei um valor aproximado para ݂ሺݖሻ ൌ Ͳ, dado por: ݖ ؆ ͳǡͲͳͶ͵ͺ ή ͳͲିଷ݉ (21.9) Questão 22 Duas placas condutoras quadradas, cada qual com lado igual a L, são separadas por uma distância D. Uma placa dielétrica com constante dielétrica K e com dimensões L x L x D é inseria até uma distância x no espaço entre as placas, como indica a figura 22.1. A) Calcule a capacitância C do sistema. B) Suponha que o capacitor seja conectado a uma bateria que mantém uma diferença de potencial constante V entre as placas. Se a placa dielétrica for inserida até uma distância adicional dx no espaço entre as placas, mostre que a variação de energia acumulada é dada por: ܷ݀ ൌ ሺܭ െ ͳሻܸ߳ଶܮʹܦ ݀ݔ C) Suponha que, antes de a placa se mover uma distância dx, as placas sejam desconectadas da bateria, de modo que as cargas das placas permanecem constantes. Determine o módulo da carga em cada placa e a seguir mostre que, quando a placa penetra mais uma distância dx no interior A A k k k k + - z ++ -- V www.profafguimaraes.net 15 do espaço entre as placas, a energia acumulada varia de uma quantidade igual em módulo mas de sinal contrário ao valor dU encontrado no item (B). D) Se F for o módulo da força exercida sobre o dielétrico pelas cargas das placas então dU deve ser igual ao trabalho realizado contra essa força para deslocar o dielétrico até uma distância dx. Portanto, dU = - F dx. Mostre que a aplicação desse resultado na parte (B) sugere que a força elétrica empurra o dielétrico para fora do capacitor, enquanto o resultado da parte (C) sugere que a força empurra o dielétrico para dentro do capacitor. E) A figura 22.1 mostra que a força empurra efetivamente o dielétrico para dentro do capacitor. Explique a razão pela qual o resultado da parte (B) fornece uma resposta incorreta para o sentido dessa força. (Esse método não exige o conhecimento do campo nas bordas do capacitor.) Figura 22.1 Resolução: A) Vamos imaginar que o dispositivo da figura 22.1 seja uma associação de dois capacitores em paralelo. Sendo que um deles possui um dielétrico entre suas placas. Assim, teremos para os capacitores sem dielétrico e com o dielétrico respectivamente: ܥଵ ൌ ߳ܮሺܮ െ ݔሻܦ (22.1) ܥଶ ൌ ܭ߳ܮݔܦ (22.2) Efetuando a associação em paralelo, teremos: ܥ ൌ ߳ܮܦ ൫ܮ ݔሺܭ െ ͳሻ൯ (22.3) B) Utilizando o resultado (22.3), teremos para a energia: ܷ ൌ ߳ܮʹܦ ሾܮ ݔሺܭ െ ͳሻሿܸଶ (22.4) Agora tomando a taxa de variação, considerando V constante, teremos: ܷ݀݀ݔ ൌ ߳ܮܸଶʹܦ ሺܭ െ ͳሻ (22.5) Que resulta na expressão solicitada. C) A carga acumulada é dada por: ܳ ൌ ܥܸ (22.6) A energia acumulada, por sua vez, é dada por: ܷ ൌ ܳଶʹܥ (22.7) Assim, tomando a taxa de variação, teremos: ܷ݀݀ݔ ൌ ݀݀ܥ ቆ ܳଶʹܥቇ ή ݀ܥ݀ݔ �� ܷ݀݀ݔ ൌ െ ܳଶʹܥଶ ή ݀ܥ݀ݔ (22.8) Em que a carga permanece constante. Agora, utilizando (22.3) na expressão (22.8), teremos: ܷ݀݀ݔ ൌ െቄ߳ܮܦ ሾܮ ݔሺܭ െ ͳሻሿ ή ܸቅଶʹ ቄ߳ܮܦ ሾܮ ݔሺܭ െ ͳሻሿቅଶ ή ݀ܥ݀ݔ �� ܷ݀݀ݔ ൌ െ߳ܮܸଶʹܦ ሺܭ െ ͳሻ (22.9) x L L D Placa dielétrica, constante K. www.profafguimaraes.net 16 Em que ௗௗ௫ ൌ ఢబሺିଵሻ . D) A força, utilizando o resultado (22.5) será: ܨ ൌ െ߳ܮܸଶሺܭ െ ͳሻʹܦ (22.10) Agora, utilizando o resultado (22.9): ܨ ൌ ߳ܮܸଶሺܭ െ ͳሻʹܦ (22.11) E) Na expressão (22.5), temos a taxa de variação de energia que deve ser acumulada nas placas do capacitor. O que ocorre, nesse caso, com carga variável. No entanto o dielétrico é puxado para a região entre as placas.
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