07-Reflexão e refração - ondas esféricas e superfícies esféricas

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 07 
 Questão 1
Suponha que você desejasse fotografar um 
objeto visto num espelho plano. Se o objeto se 
encontra a 4,0 m à sua direita e 1,5 m mais 
próximo do plano do espelho do que você, para 
que distância você deve focalizar a lente da sua 
câmera? Suponha que você esteja a 3,5 m de 
distância do espelho. 
Resolução: 
Considere a figura 1.1 abaixo. 
 
Figura 1.1 
Pode-se observar na figura que a imagem do 
objeto, que se encontra em D está a 2 m de 
distância do espelho, estando então a 4 m de 
distância do objeto. O ângulo em D também vale ߠ, 
logo, poderemos encontrar a tangente desse 
ângulo. Assim: ݐ݃�ߠ ൌ Ͷͷǡͷ 
(1.1) 
Mas o ângulo em A também vale ߠ. Assim, 
poderemos utilizar o resultado (1.1) para 
encontrar o valor de x. Logo: ͵ݔǡͷ ൌ Ͷͷǡͷ � ׵ ݔ ؆ ʹǡͷͶ�݉ 
(1.2) 
 Questão 2
 
Um panda se encontra em pé sobre uma banco 
de altura h. Para que o panda possa ver todo seu 
corpo refletido juntamente com o banco, é 
necessário que o espelho possua altura 1,20 m. 
Considere que os olhos do panda estão a 10 cm do 
topo de sua cabeça. Calcule a altura do banco. 
 
Figura 2.1 
 
Resolução: 
Observa-se da figura 2.1 que os triângulos ACD e 
ABG são semelhantes. Logo: 
 ݀ʹ݀ ൌ ͳǡʹͲͳǡͺͲ ൅ ݄� ׵ ݄ ൌ Ͳǡ͸Ͳ�݉ 
(2.1) 
 
 
Também, pode-se observar que os triângulos ADF 
e GDE são semelhantes. Logo: 
 ܩܧʹǡ͵ ൌ ݀ʹ݀ � ׵ ܩܧ ൌ ͳǡͳͷ�݉ 
(2.2) 
 
Assim, o espelho de 1,20 m de altura deve estar, 
de acordo com o resultado (2.2), a 1,15 m do solo 
e o banco, de acordo com o resultado (2.1) teve ter 
uma altura igual a 0,6 m ou 60 cm. 
 
 
 
 
ߠ ߠ ݕ ݕ 
ͳǡͷ�݉ ͵ǡͷ�݉ 
Ͷ�݉ ݔ 
ܣ ܤ 
ܥ ܦ ܧ ܨ ܩ 
ͳǡʹͲ�݉ ͳǡͺͲ�݉ 
݄ ݀ ݀ 
࡭ ࡮ ࡯ 
ࡰ ࡱ ࡲ 
ࡳ 
 
ߠ ߠ 
 
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 Questão 3
A aberração esférica faz a imagem de um 
espelho esférico ficar borrada. Ela ocorre porque 
os raios paralelos que atingem o espelho em 
pontos afastados do eixo ótico são focalizados em 
pontos diferentes do foco produzido pelos raios 
paralelos paraxiais. Esse problema pode ser 
minimizado usando-se apenas a seção central do 
espelho esférico. A) Mostre que, para um espelho 
esférico côncavo, o foco se aproxima do vértice à 
medida que os raios paralelos se afastam do eixo 
ótico. Qual é o valor de ߠ que produz uma variação 
de 2% na localização do foco, em comparação com 
o foco formado quando ߠ é aproximadamente 
igual a zero? 
Resolução: 
A) Considere a figura 3.1. 
 
Figura 3.1 
Observa-se da figura 3.1 que o triângulo ABF é 
isóscele. Aplicando a lei dos senos, teremos: ܴ െ ݔݏ݁݊ߠ ൌ ܴݏ݁݊ሺߨ െ ʹߠሻ 
(3.1) 
Mas, ݏ݁݊ሺߨ െ ʹߠሻ ൌ ݏ݁݊ʹߠ ൌ ʹݏ݁݊ߠܿ݋ݏߠ 
(3.2) 
Substituindo (3.2) em (3.1), teremos: ݔ ൌ ܴʹ ൤ʹܿ݋ݏߠ െ ͳܿ݋ݏߠ ൨ 
(3.3) 
A expressão (3.3) mostra que quando ߠ ՜ గଷ, ݔ ՜ Ͳ. Ou seja, o foco (F) tende para o vértice do 
espelho. 
 
B) Para a variação de x, teremos: 
 οݔ ൌ ݔ െ ݔ଴ 
(3.4) 
 
Em que ݔ଴ ൌ ோଶ e οݔ ൌ െʹΨݔ଴. Utilizando (3.4), 
teremos: 
 ݔ ൌ Ͳǡͻͺݔ଴� ݔ଴ ൤ʹܿ݋ݏߠ െ ͳܿ݋ݏߠ ൨ ൌ Ͳǡͻͺݔ଴�� ׵ ܿ݋ݏߠ ؆ Ͳǡͻͺ 
(3.5) 
 
Logo, ߠ ؆ ͳͳǡͶι ou ߠ ؆ Ͳǡʹ�ݎܽ݀. 
 
 Questão 4
 
Uma moeda está pousada no fundo de uma 
piscina com 2,5 m de profundidade. Qual é a 
profundidade aparente vista de cima da água? O 
índice de refração da água é 1,33. 
Resolução: 
 
Figura 4.1 
 
Vamos utilizar a seguinte relação: 
 ݊ଵ݋ ൅ ݊ଶ݅ ൌ ݊ଶ െ ݊ଵݎ 
(4.1) 
 
Em que ݊ଵ e ݊ଶ são os índices de refração dos 
meios 1 (origem) e 2 (destino). E r é o raio da 
superfície refrigente esférica. No nosso caso, ݎ ՜ λ. Logo, teremos, utilizando (4.1): 
 
ߠ ߠ ܴ െ ݔ ݔ ܴ ܴ ߠ ܣ 
ܤ 
ݔ ܨ 
 
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݅ ൌ െ݋ ή ݊ଶ݊ଵ 
(4.2) 
Substituindo os dados numéricos em (4.2), 
teremos: ݅ ൌ െʹǡͷ ή ͳͳǡ͵͵ ൌ െͳǡͺͺ�݉ 
(4.3) 
A imagem é virtual e se encontra a 1,88 m abaixo 
da superfície da água. 
 Questão 5
Uma pequena lâmpada está acesa a uma 
profundidade h abaixo da superfície de uma 
piscina. Determine a expressão da profundidade 
aparente h’ em função do ângulo ߠଵ formado entre 
o raio emergente (que chega ao olho do 
observador) e a normal à superfície da piscina. 
Resolução: 
 
Figura 5.1 
Observa-se da figura 5.1, que: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠଶ 
(5.1) 
Observa-se também: ߠଵ ൅ ߙ ൌ ʹߨ 
(5.2) 
De (5.2), teremos: ܿ݋ݐ݃ߠଵ ൌ ݐ݃ߙ ൌ ݄Ԣݔ 
(5.3) 
De (5.3), pode-se escrever: 
 ݐ݃ߠଵ ൌ ݄ݔԢ 
(5.4) 
 
Para ߠଶ, temos: 
 ݐ݃ߠଶ ൌ ݄ݔ 
(5.5) 
 
Juntando (5.1), (5.4) e (5.5) teremos: 
 ܿ݋ݏߠଵ݄Ԣ ൌ ݊ ή ܿ݋ݏߠଶ݄ 
(5.6) 
 
Utilizando a relação fundamental da 
trigonometria para ߠଶ, teremos: 
 ݏ݁݊ଶߠଶ ൅ ܿ݋ݏଶߠଶ ൌ ͳ 
(5.7) 
 
Utilizando novamente (5.1) e (5.6) em (5.7), 
teremos: 
 ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ൅ ൬݄݄Ԣ൰ଶ ܿ݋ݏଶߠଵ݊ଶ ൌ ͳ 
(5.8) 
 
Utilizando a relação fundamental da 
trigonometria para ߠଵ, teremos: 
 ݏ݁݊ଶߠଵ ൅ ܿ݋ݏଶߠଵ ൌ ͳ 
(5.9) 
 
Agora, utilizando (5.8) e (5.9), teremos: 
 ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ൅ ൬ ݄݄ᇱ൰ଶ ሺͳ െ ݏ݁݊ଶߠଵሻ݊ଶ ൌ ͳ�� ׵ ݄ᇱ ൌ ݄ඨ ͳ െ ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ െ ݏ݁݊ଶߠଵ 
(5.10) 
 
Obs.: Poderíamos ter encontrado a expressão (5.4) 
sem o uso do ângulo ߙ. 
 
 
h 
h’ 
ߠଵ 
ߠଶ ߙ 
x 
 
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 Questão 6
Um feixe paralelo incide normalmente sobre 
uma esfera sólida de vidro. Determine a posiçao 
da imagem em função do índice de refração n do 
raio r da esfera. 
Resolução: 
 
Figura 6.1 
Podemos observar, da figura 6.1, que: ݊ଵݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ଶݏ݁݊ߠଶ 
(6.1) 
Em que ݊ଵ ൌ ͳǢ�݊ଶ ൌ ݊. Considerando ângulos 
pequenos, teremos para (6.1): ߠଵ ؆ ݊ߠଶ 
(6.2) 
Considerando os ângulos ߠଵe ߠଶ em radianos. 
Ainda, observando a figura 6.1, temos: ߙ ൅ ʹߠଶ ൌ ߨ 
(6.3) 
E ߠଵ ൅ ߙ ൅ ߚ ൌ ߨ 
(6.4) 
Para ߠଵ, temos: ߠଵ ൌ ܤݎ 
(6.5) 
Utilizando (6.5) em (6.2), teremos: 
ߠଶ ؆ ܤ݊ ή ݎ 
(6.6) 
 
Utilizando (6.3), (6.4) e (6.6), teremos: 
 ߚ ൌ ሺʹ െ ݊ሻܤ݊ ή ݎ 
(6.7) 
 
Mas, 
 ߚ ൌ ܾݎ 
(6.8) 
 
Logo, 
 ܾ ൌ ሺʹ െ ݊ሻܤ݊ 
(6.9) 
 
Da figura 6.1, temos ainda: 
 ߚ ൅ ߛ ൌ ߠଵ 
(6.10) 
 
Considerando que os ângulos envolvidos sejam 
muito pequenos, poderemos escrever: ߚ ൌ ௕௥ �‡��ߛ ؆ ௕௫, assim, de (6.10), teremos: 
 ܾݎ ൅ ܾݔ ؆ ܤݎ 
(6.11) 
 
Seja ݎ ب ݔ, logo, de (6.11), teremos: 
 ܾݔ ؆ ܤݎ 
(6.12) 
 
Utilizando (6.9) e (6.12), teremos: 
 ܤݔݎ ൌ ሺʹ െ ݊ሻܤ݊ � ׵ ݔ ൌ ሺʹ െ ݊ሻݎ݊ 
(6.13) 
 
 
 
 
 
 
ߠଵ ߠଶ ߠଵ ߠଶ ߠଵ ߙ ߚ ߛ ݎ ݎ ݎ ݎ 
ܤ ܾ ݔ 
ߠߠଶ ߠଶߠଵ ߙ ߚߚݎݎ ݎݎ ܾ
 
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 Questão 7
Um objeto luminoso está a uma distancia D de 
um anteparo. (a) Mostrar que uma lente 
convergente de distâcia focal f pode aformar uma 
imagem real do objeto no anteparo quando 
colocada em duas posições separadas de ݀ ൌ ඥܦሺܦ െ Ͷ݂ሻ. 
 
(b) Mostrar a relação entre as dimensões das duas 
imagens para essas duas posições da lente é igual 
a ቀ஽ିௗ஽ାௗቁଶ. 
 
Resolução: 
Sendo a imagem real, e mantendo o anteparo fixo, 
bem como o objeto, poderemos escrever: ݅ ൅ ݋ ൌ ܦ 
(7.1) 
 
Em que i e o são respectivamente as distâncias da 
imagem e do objeto até a lente. Seja a equação de 
Gauss aplicada às lentes: ͳ݅ ൅ ͳ݋ ൌ ͳ݂ 
(7.2) 
Utilizando (7.1), teremos: ͳܦ െ ݅ ൅ ͳ݅ ൌ ͳ݂ 
(7.3) 
Desenvolvendo (7.3), teremos: ݅ଶ െ ݅ܦ ൅ ܦ݂ ൌ Ͳ 
(7.4) 
As soluções de (7.4) são: 
݅ ൌ ܦ േ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ 
(7.5) 
Sendo assim, a distância entre as duas posições 
será dada por: 
 ݀ ൌ ܦ ൅ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ െ ൭ܦ െ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ ൱� ׵ ݀ ൌ ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ 
(7.6) 
 
b) Seja o aumento linear dado por: 
 ݄Ԣଵ ൌ െ݅ଵ݋ଵ ή ݄ 
(7.7) 
 
Em que ݄ǯଵ e ݄ são as alturas da imagem e do 
objeto respectivamente. Para a primeira posição, 
de (7.5), teremos: 
 ݅ଵ ൌ ܦ ൅ඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ 
(7.8) 
 
E utilizando (7.1): 
 ݋ଵ ൌ ܦ െඥܦଶ െ Ͷܦ݂ʹ 
(7.9) 
 
Substituindo(7.8) e (7.9) em (7.7), teremos: 
 ݄Ԣଵ ൌ െ൬ܦ ൅ ݀ܦ െ ݀൰݄ 
(7.10) 
 
De forma análoga, teremos, assumindo a segunda 
posição: 
 ݄Ԣଶ ൌ െ൬ܦ െ ݀ܦ ൅ ݀൰ ݄ 
(7.11) 
 
Agora, dos resultados de (7.10) e (7.11), teremos: 
 ݄Ԣଶ݄Ԣଵ ൌ ൬ܦ െ ݀ܦ ൅ ݀൰ଶ 
(7.12) 
 
 
 
 
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 Questão 8
A fórmula (7.2) é chamada de forma Gaussiana 
da equação das lentes delgadas. Outra forma desta 
equação, a forma Newtoniana, é obtida 
considerando a distância x do objeto ao primeiro 
ponto focal e a distância x’ do segundo ponto focal 
à imagem. Mostrar que ݔݔᇱ ൌ ݂ଶ 
 
Resolução: 
Seja a distância ݔ ൌ ݋ െ ݂ e a distância ݔᇱ ൌ ݅ െ ݂. 
Utilizando a equação (7.2), teremos: ͳݔ ൅ ݂ ൅ ͳݔᇱ ൅ ݂ ൌ ͳ݂ 
(8.1) 
Desenvolvendo (8.1), teremos: ݔᇱ ൅ ݔ ൅ ʹ݂ሺݔ ൅ ݂ሻሺݔᇱ ൅ ݂ሻ ൌ ͳ݂ ሺݔᇱ ൅ ݔ ൅ ʹ݂ሻ݂ ൌ ሺݔ ൅ ݂ሻሺݔᇱ ൅ ݂ሻ ׵ ݔݔᇱ ൌ ݂ଶ 
(8.2) 
 Questão 9
Mostrar que a distância entre um objeto e a sua 
imagem real, formada por uma lente delgada 
convergente, é sempre maior que quatro vezes a 
distância focal da lente. 
Resolução: 
Seja a distância entre o objeto e a imagem dada 
por: ݈ ൌ ݅ ൅ ݋ 
(9.1) 
Utilizando (7.2), teremos: ݈ ൌ ݋ଶ݋ െ ݂ 
(9.2) 
Tomando a derivada de (9.2) com relação a o 
(posição do objeto), teremos: 
݈݀݀݋ ൌ ݋ଶ െ ʹ݋݂ሺ݋ െ ݂ሻଶ 
(9.3) 
 
Para obter o ponto de màximo, mínimo ou 
estacionário, vamos igualar a zero a derivada 
(9.3). Assim, teremos: 
 ݋ ൌ ʹ݂ 
(9.4) 
 
Substituindo em (9.2), teremos: 
 ݈ ൌ Ͷ݂ 
(9.5) 
 
Efetuando o teste da segunda derivada, temos: 
 ݀ଶ݈݀݋ଶ ൌ ʹሺ݋ െ ݂ሻଶ െ ʹሺ݋ଶ െ ʹ݋݂ሻሺ݋ െ ݂ሻଷ 
(9.6) 
 
Utilizando o resultado (9.4) em (9.6), teremos: 
 ݀ଶ݈݀݋ଶቤ௢ୀଶ௙ ൌ ʹ݂ ൐ Ͳ 
(9.7) 
 
Em (9.7), a distância focal é positiva (lente 
convergente). Como o resultado (9.7) é positivo, o 
valor em (9.4) representa um ponto de mínimo. 
 
 Questão 10
 
Uma lente delgada convergente possui 
distância focal ଵ݂ e está situada a uma distância t 
de uma outra lente convergente, cuja distância 
focal é igual a ଶ݂. Deduza uma expressão 
apropriada para a determinação da distância focal 
f de uma lente convergente equivalente em função 
de ଵ݂, de ଶ݂ e de t. Considere o caso em que t, seja 
simultaneamente, menor do que ଵ݂ e menor do 
que ଶ݂. 
Resolução: 
A figura 10.1 abaixo ilustra a situação onde duas 
lentes delgadas convergentes formam um sistema 
ótico, como se fosse uma única lente com distância 
focal f. 
 
 
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Figura 10.1 
Utilizando (7.2), teremos: ͳ݅ଵ ൅ ͳ݋ଵ ൌ ͳ݂ଵ 
(10.1) 
Em que ݅ଵ, ݋ଵ e ଵ݂ são respectivamente a distância 
da imagem, a distância do objeto até a primeira 
lente e a distância focal da primeira lente. Ainda, 
utilizando (7.2), teremos: ͳݐ െ ݅ଵ ൅ ͳ݅ଶ ൌ ͳ݂ଶ 
(10.2) 
Em que ݋ଶ ൌ ݐ െ ݅ଵ é a distância da imagem 
formada pela primeira lente até a segunda lente. A 
imagem da primeira lente serve de objeto para a 
segunda lente. E ݅ଶ e ଶ݂ são respectivamente a 
distância da imagem formada pela segunda lente 
até a segunda lente e a distância focal da mesma. 
Vamos somar (10.1) e (10.2): ͳ݋ଵ ൅ ͳ݅ଵ ൅ ͳݐ െ ݅ଵ ൅ ͳ݅ଶ ൌ ͳ݂ଵ ൅ ͳ݂ଶ 
(10.3) 
Se ݋ଵ ՜ λ ֜ ݅ଵ ൌ ଵ݂Ǣ�݅ଶ ൌ ܨ. Em que F é a 
distância focal da lente equivalente. Assim, (10.3) 
assume a seguinte forma: ͳ݂ଵ ൅ ͳݐ െ ଵ݂ ൅ ͳܨ ൌ ͳ݂ଵ ൅ ͳ݂ଶ� �ͳܨ ൌ ͳ݂ଶ െ ൬ ͳݐ െ ଵ݂൰ 
(10.4) 
Se ݅ଶ ՜ λ ֜ ݋ଵ ൌ ܨǢ �ݐ െ ݅ଵ ൌ ଶ݂. Assim, (10.3) 
assume a forma: 
 ͳܨ ൌ ͳ݂ଵ െ ൬ ͳݐ െ ଶ݂൰ 
(10.5) 
 
Agora, somando (10.4) e (10.5), teremos: 
 ͳܨ ൌ ͳʹ ൤ ͳ݂ଵ ൅ ͳ݂ଶ െ ൬ ͳݐ െ ଵ݂ ൅ ͳݐ െ ଶ݂൰൨� ͳܨ ൌ ͳʹ ൤ ͳ݂ଵ ൅ ͳ݂ଶ െ ʹݐሺݐ െ ଵ݂ሻሺݐ െ ଶ݂ሻ ൅ ଵ݂ ൅ ଶ݂ሺݐ െ ଵ݂ሻሺݐ െ ଶ݂ሻ൨ 
(10.6) 
 
Levando em consideração ݐ ൏ ଵ݂ e ݐ ൏ ଶ݂, em 
(10.6), teremos: 
 ͳܨ ؆ ͳ݂ଵ ൅ ͳ݂ଶ െ ݐଵ݂ ଶ݂ 
(10.7) 
 
Se, ݐ ؆ Ͳ, então, de (10.7), teremos: 
 ͳܨ ؆ ͳ݂ଵ ൅ ͳ݂ଶ 
(10.8) 
 
 Questão 11
 
Em conexão com a figura 11.1-2. (a) Mostrar 
que se o objeto O é deslocado de um ponto focal ܨଵ 
em direção ao olho, a imagem aproxima-se, vinda 
do infinito, e o ângulo ߠ (e, portanto, a amplificão 
angular ݉ఏ) aumenta. (b) Continuando esse 
processo, em que posição da imagem terá ݉ఏ o 
seu valor utilizáve máximo? (c) Mostrar que o 
valor utilizável máximo de ݉ఏ é igual a 1 + (25 
cm)/f. (d) Mostrar que, nessa situação, a 
amplificação angular é igual à amplificação linear, 
dada pela expressão (7.7). 
 
 
t 
ଵ݂ ଵ݂ ଶ݂ ଶ݂ 
O ݄�௣ܲ ʹͷ�ܿ݉ ͳ 
ߠ଴ 
 
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Figura 11.1 
Resolução: 
a) Utilizando a equação de Gauss (7.2), teremos: ͳ݋ ൅ ͳ݅ ൌ ͳ݂�� ݅ ൌ ݋ ή ݂݋ െ ݂ 
(11.1) 
Esse resultado conduz a: ݀݅݀݋ ൌ െ ݂ଶሺ݋ െ ݂ሻଶ ׵ ο݅ ؆ െ ݂ଶ ή ο݋ሺ݋ െ ݂ሻଶ 
(11.2) 
O resultado (11.1) mostra que, para uma imagem 
se formar no infinito, o objeto deve se encontrar 
no foco da lente. E a imagem será virtual. Ao 
aproximar o objeto da lente, observando o 
resultado de (11.2), temos ο݅ ൐ Ͳ, pois ο݋ ൏ Ͳ. 
Como a imagem se encontra no infinito e também 
é virtual, ݅ ൏ Ͳ, ela se aproximará. O ângulo ߠ 
pode ser dado por: ߠ ؆ ݋݄ 
(11.3) 
Logo, οߠ ؆ െ ݋݄ଶ ή ο݋ 
(11.4) 
Que conduz a οߠ ൐ Ͳ. O aumento angular é dado 
por: 
݉ఏ ൌ ߠߠ଴ 
(11.5) 
 
Observando a figura 11.1-1, teremos: 
 ߠ଴ ؆ ݄ʹͷ 
(11.6) 
 
Logo, a expressão (11.5) fica: 
 ݉ఏ ൌ ʹͷ݋ 
(11.7) 
 
Que conduz a: 
 ο݉ఏ ؆ െʹͷ݋ଶ ή ο݋ 
(11.8) 
 
A expressão (11.8) mostra que ο݉ఏ ൐ Ͳ. 
 
b) Para uma situação utilizável, a imagem deve ser 
formada no ponto próximo (Pp)�ሺ݅ ൌ െʹͷ�ܿ݉ሻ, 
para maior conforto do olho do observador. 
 
c) Com isso, utilizando o resultado de (11.1), 
teremos: 
 ݋ ൌ ʹͷ݂ʹͷ ൅ ݂ 
(11.9) 
 
Substituindo (11.9) em (11.7), teremos: 
 ݉ఏ೘žೣ ൌ ʹͷʹͷ݂ʹͷ ൅ ݂ � ׵ ݉ఏ೘žೣ ൌ ͳ ൅ ʹͷ݂ 
(11.10) 
 
d) O aumento linear é dado por (7.7): 
 ݉ ൌ ݄ᇱ݄ ൌ െ݅݋ ൌ ʹͷʹͷ݂ʹͷ ൅ ݂ � 
ʹ 
௣ܲ ܨଵ ߠ 
O ݄�݅ ՜ െλ 
 
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׵ ݉ ൌ ͳ ൅ ʹͷ݂ ൌ ݉ఏ೘žೣ 
(11.11) 
 Questão 12
Um objeto inclinado. Um lápis com ͳ͸ǡͲ�ܿ݉ de 
comprimento é colocado formando um ângulo de ͶͷǡͲι com a horizontal e seu centro está situado a ͳͷǡͲ�ܿ݉ acima do eixo ótico e a ͶͷǡͲ�ܿ݉ de uma 
lente com distância focal igual a ʹͲǡͲ�ܿ݉, como 
indica a figura 12.1. (A figura não se encontra em 
escala.) Suponha que o diâmetro da lente seja 
suficientemente grande para que a aproximação 
de raios paraxiais seja válida. A) Onde está a 
imagem do lápis? (Indique o local onde se formam 
as imagens dos objetos puntiformes A, B e C 
localizados, respectivamente, na extremidade da 
borracha, na ponta e no centro do lápis.) B) Qual o 
comprimento da imagem? (Ou seja, qual é a 
distância entre as imagens dos pontos A e B?) C) 
Faça um desenho esquemático para mostrar a 
orientação da imagem. 
 
Figura 12.1 
Resolução: 
A) Previamente, determinaremos as posições dos 
pontos A, B e C. Logo, teremos: ݋஺ ൌ Ͷͷ ൅ Ͷξʹ ؆ ͷͳ�ܿ݉; ݋஻ ൌ Ͷͷ െ Ͷξʹ ؆ ͵ͻ�ܿ݉; ݋஼ ൌ Ͷͷ�ܿ݉ 
 (12.1) 
Agora, utilizando a equação de Gauss, (7.2), 
poderemos determinar a posição dos pontos A , B 
e C. Logo, utilizando os dados (12.1), teremos: ݅஺ ൌ ͷͳ ή ʹͲͷͳ െ ʹͲ ؆ ͵͸�ܿ݉ 
݅஻ ൌ ͵ͻ ή ʹͲ͵ͻ െ ʹͲ ؆ Ͷͳ�ܿ݉ 
 ݅஼ ൌ Ͷͷ ή ʹͲͶͷ െ ʹͲ ൌ ͵͸�ܿ݉ 
(12.2) 
 
Agora, vamos determinar as alturas, das imagens 
dos pontos, com relação ao eixo ótico da lente. 
Para isso, vamos utilizar as ampliações lineares 
para as imagens dos pontos que serão dadas por 
(7.7). Assim, utilizando os dados (12.1) e (12.2), 
teremos: 
 ݉஺ ൌ െ͵͸ͷͳ ؆ െͲǡ͸ͷ ݉஻ ൌ െͶͳ͵ͻ ؆ െͳǡͳ ݉஼ ൌ െ͵͸Ͷͷ ൌ െͲǡͺ 
(12.3) 
 
A posição do ponto A com relação ao eixo ótico da 
lente vale ͳͷ െ Ͷξʹ�ܿ݉. Assim, a imagem do ponto 
A estará abaixo do eixo segundo uma distância 
dada por: 
 ݄Ԣ஺ ൌ Ͳǡ͸ͷ ή ൫ͳͷ െ Ͷξʹ൯ ؆ ͸ǡͳ�ܿ݉ 
(12.4) 
 
O ponto B se localiza segundo uma distância do 
eixo igual a ͳͷ ൅ Ͷξʹ�ܿ݉. Assim, a imagem do 
ponto Bestará abaixo do eixo, a uma distância de: 
 ݄Ԣ஻ ൌ ͳǡͳ ή ൫ͳͷ ൅ Ͷξʹ൯ ؆ ʹʹǡ͹�ܿ݉ 
(12.5) 
 
O ponto C se localiza segundo uma distância do 
eixo igual a ͳͷ�ܿ݉. Assim, a imagem do ponto C 
estará abaixo do eixo, a uma distância de: 
 ݄Ԣ஼ ൌ Ͳǡͺ ή ͳͷ ൌ ͳʹ�ܿ݉ 
(12.6) 
 
B) Para determinar o comprimento da imagem 
tomaremos as diferenças entre as posições dos 
pontos A e B. Assim, teremos: 
 ݈ᇱ ൌ ඥሺ݅஻ െ ݅஺ሻଶ ൅ ሺ݄Ԣ஻ െ ݄Ԣ஺ሻଶ 
 
ͳͷǡͲ�ܿ݉ ͶͷǡͲι 
ͶͷǡͲ�ܿ݉ 
ܣ ܥ 
ܤ 
 
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݈ᇱ ൌ ඥͺଶ ൅ ͳ͸ǡ͸ଶ ؆ ͳͺ�ܿ݉ 
(12.7) 
C) A figura 12.2 abaixo ilustra a situação (fora de 
escala). 
 
Figura 12.2 
 Questão 13
Para refração em uma interface esférica, a 
primeira distância focal ݂ é definida como o valor 
de ݋ correspondente a ݅ ൌ λ, como mostra a 
figura 13.1a. A segunda distância focal ݂ǯ é 
definida como o valor de ݅ correspondente a ݋ ൌ λ, como mostra a figura 13.1b. A) Prove que ௡ೌ௡್ ൌ ௙௙ᇱ. B) Prove que a relação geral entre a 
distância do objeto e a distância da imagem é dada 
por 
݋݂ ൅ ݂Ԣ݅ ൌ ͳ 
 
Figura 13.1 
Resolução: 
A) Vamos utilizar a relação (4.1). Na figura 13.1a 
teremos: 
 ݊௔݂ ൌ ݊௕ െ ݊௔ݎ 
(13.1) 
 
Na figura 13.1b teremos: 
 ݊௕݂Ԣ ൌ ݊௕ െ ݊௔ݎ 
(13.2) 
 
De (13.1) e (13.2), teremos: 
 ݊௔݂ ൌ ݊௕݂ᇱ � ׵ ݊௔݊௕ ൌ ݂݂Ԣ 
(13.3) 
 
B) Se utilizarmos as relações (13.1) e (13.2) em 
(4.1), teremos: 
 ݊௔݋ ൅ ݊௕݅ ൌ ݊௔݂ 
(13.4) 
 
Como também: 
 ݊௔݋ ൅ ݊௕݅ ൌ ݊௕݂Ԣ 
(13.5) 
 
Somando (13.4) e (13.5) e com auxílio de (13.3), 
teremos: 
 ʹ݊௕ ൬݊௔݊௕ ή ͳ݋ ൅ ͳ݅൰ ൌ ݊௕ ൬݊௔݊௕ ή ͳ݂ ൅ ͳ݂ᇱ൰� ʹ ൬ ݂݂ᇱ ή ͳ݋ ൅ ͳ݅൰ ൌ ൬ ݂݂ᇱ ή ͳ݂ ൅ ͳ݂ᇱ൰�� ׵ ݋݂ ൅ ݂Ԣ݅ ൌ ͳ 
(13.6) 
 
 
 
 
 
 
݊௔ ݊௕ ܨ 
݋ ൌ ݂ 
݅ ൌ λ 
ሺܽሻ 
 
 
݊௔ ݊௕ ܨԢ 
݅ ൌ ݂Ԣ 
݋ ൌ λ 
ሺܾሻ 
 
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 Questão 14
Distância focal de uma Lente Zoom. A figura 
14.1 mostra uma versão simples de uma lente 
zoom. A lente convergente possui distância focal ଵ݂ e a lente divergente possui distância focal ଶ݂ ൌ െȁ ଶ݂ȁ. As duas lentes estão separadas por 
uma distância ݀ variável que é sempre menor do 
que ଵ݂. O módulo da distância focal da lente 
divergente satisfaz à desigualdade ȁ ଶ݂ȁ ൐ ሺ ଵ݂ െ ݀ሻ. 
Para determinar a distância focal efetiva da 
combinação das duas lentes, considere um feixe 
de raios paralelos com raio ݎ଴ entrando na lente 
convergente. A) Mostre que o raio do feixe 
diminui para o valor ݎԢ଴ ൌ ݎ଴ ሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ଵ݂Τ no ponto 
onde ele penetra na lente divergente. B) Mostre 
que a imagem I’ se forma a uma distância ݅Ԣଶ ൌ ȁ ଶ݂ȁሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ሺȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ൅ ݀ሻΤ à direita da lente 
divergente. C) Se os raios que emergem da lente 
divergente e que atingem a imagem puntiforme 
final são estendidos para trás, para a esquerda da 
lente divergente, eles acabam se expandindo e 
atingindo o raio original em algum ponto Q. A 
distância entre a imagem final I’ e o ponto Q é a 
distância focal efetiva f da combinação das duas 
lentes; ou seja, se as duas lentes fossem 
substituídas por uma única lente situada no ponto 
Q com distância focal f, os raios paralelos 
incidentes seriam focalizados formando I’. Mostre 
que a distância focal efetiva é dada por ݂ ൌ ଵ݂ȁ ଶ݂ȁ ሺȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ൅ ݀ሻΤ . D) Sabendo que ଵ݂ ൌ ͳʹǡͲ�ܿ݉ǡ ଶ݂ ൌ െͳͺǡͲ�ܿ݉ e que a distância d 
pode ser ajustada entre zero e ͶǡͲ�ܿ݉, descubra a 
distância focal máxima e a distância focal mínima 
para essa combinação. Qual é o valor da distância 
d para obter ݂ ൌ ͵ͲǡͲ�ܿ݉? 
 
Figura 14.1 
Resolução: 
A) Vamos utilizar a semelhança de triângulos para 
resolver o estreitamento do raio. Observando a 
figura 14.1, podemos concluir que os triângulos 
BDG e CDE são semelhantes. Logo, teremos: 
 ݎ଴ݎᇱ଴ ൌ ଵ݂ଵ݂ െ ݀�� ׵ ݎԢ଴ ൌ ݎ଴ሺ ଵ݂ െ ݀ሻଵ݂ 
(14.1) 
 
B) Aplicando a equação de Gauss para a segunda 
lente, teremos: 
 ͳ݋ଶ ൅ ͳ݅Ԣଶ ൌ ͳ݂ଶ 
(14.2) 
 
Para a segunda lente, a imagem formada pela 
primeira lente será seu objeto. A localização desse 
objeto, de acordo com a figura 14.1, será: െሺ ଵ݂ െ ݀ሻ, pois esse objeto será virtual. 
Subtituindo em (14.2), teremos: 
 െ ͳሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ൅ ͳ݅Ԣଶ ൌ െ ͳȁ ଶ݂ȁ ׵ ݅Ԣଶ ൌ ȁ ଶ݂ȁሺ ଵ݂ െ ݀ሻȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ൅ ݀ 
(14.3) 
 
C) Utilizando a semelhança de triângulos para os 
triângulos AI’Q e CI’E, teremos: 
 ݎ଴ݎԢ଴ ൌ ݂݅Ԣଶ 
(14.4) 
 
Com o auxílio dos resultados (14.1) e (14.3), 
teremos: 
 ଵ݂ଵ݂ െ ݀ ൌ ݂ሺȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ൅ ݀ሻȁ ଶ݂ȁሺ ଵ݂ െ ݀ሻ ׵ ݂ ൌ ଵ݂ȁ ଶ݂ȁȁ ଶ݂ȁ െ ଵ݂ ൅ ݀ 
(14.5) 
 
D) Utilizando (14.5), para Ͳ ൏ ݀ ൏ Ͷ�ܿ݉, teremos: 
 
 
 
ݎ଴ ݎԢ଴ 
ଵ݂ 
ܳ 
݂ ݀ ݅Ԣଶ 
ܣ ܤ ܥ ܫԢ ܦ ܧ ܩ 
 
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௠݂ž௫ ൌ ͳʹ ή ͳͺͳͺ െ ͳʹ ൌ ͵͸�ܿ݉ǡ ݀ ൌ Ͳ 
(14.6) 
௠݂À௡ ൌ ͳʹ ή ͳͺͳͺ െ ͳʹ ൅ Ͷ ؆ ʹͳǡ͸�ܿ݉ǡ ݀ ൌ Ͷ�ܿ݉ 
(14.7) ݂ ൌ ͵Ͳ�ܿ݉ ֜ ݀ ൌ ͳʹ ή ͳͺ͵Ͳ െ ͸ ׵ ݀ ൌ ͸ͷ �ܿ݉ ൌ ͳǡʹ�ܿ݉ 
(14.8) 
�