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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Física 4 – Questões 08 Questão 1 Considere a figura de interferência produzida pelos raios difratados num dispositivo de fenda dupla. Iluminamos as fendas com feixe colimado numa direção que forma um ângulo ߙ com a direção da normal ao plano das fendas. Obtenha a condição para os máximos da figura de interferência produzida num anteparo paralelo ao plano das fendas. Resolução: Considere a figura 1.1 abaixo. Figura 1.1 Pode-se observar na figura que antes de alcançar as fendas, a diferença nos caminhos é dada por: ݀�ݏ݁݊ߙ (1.1) Após ultrapassar as fendas, a diferença é dada por: ݀�ݏ݁݊�ߠ (1.2) Assim, tomando a diferença total, teremos: ݀�ݏ݁݊ߙ ݀�ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ߣ (1.3) Em que m é um número inteiro para fornecer o máximo de interferência. Questão 2 Num dispositivo de fenda dupla, as fendas estão separadas por uma distância igual a 150 vezes o comprimento de onda da luz que as atravessa. Calcule: (a) A separação angular entre o primeiro e o segundo máximos; (b) A distância linear entre o primeiro e o segundo máximos, supondo que o anteparo se encontre a 50 cm de distância das fendas. Resolução: a) Pode-se encontrar a separação angular utilizando a relação (1.2). Assim, teremos: Para o primeiro máximo: ͳͷͲߣ ή ݏ݁݊�ߠଵ ൌ ͳ ή ߣ� ݏ݁݊�ߠଵ ؆ ͲǡͲͲ ߠଵ ؆ Ͳǡ͵ͺι (2.1) Para o segundo máximo: ͳͷͲߣ ή ݏ݁݊�ߠଶ ൌ ʹ ή ߣ� ݏ݁݊�ߠଶ ؆ ͲǡͲͳ͵Ͷ ߠଶ ؆ Ͳǡι (2.2) De (2.1) e (2.2), teremos: οߠ ൌ ߠଶ െ ߠଵ ؆ Ͳǡ͵ͻι (2.3) b) Para a determinação da separação linear, podemos utilizar a seguinte relação: ݕ ൌ ݉ߣܦ݀ (2.4) Em que ݕ é a distância linear (separação referente à ordem m), ܦ é a distância do anteparo e ݀ é a separação das fendas. Assim, teremos: Para o primeiro máximo: ߙ ߙ ߠ ߠ ݀ ݀ݏ݁݊�ߙ ݀ݏ݁݊�ߠ www.profafguimaraes.net 2 ݕଵ ൌ ͷͲߣͳͷͲߣ� ݕଵ ൌ ͳ͵ ܿ݉ (2.5) Para o segundo máximo: ݕଶ ൌ ͳͲͲߣͳͷͲߣ� ݕଶ ൌ ʹ͵ ܿ݉ (2.6) Logo, de (2.5) e (2.6), teremos: οݕ ൌ ݕଶ െ ݕଵ ൌ ͳ͵ ܿ݉ (2.7) Questão 3 Cobrimos uma das fendas da experiência de Young com uma placa delgada de vidro de índice de refração n e de espessura t. (a) Qual é a condição para ocorrer interferência construtiva? (b) Calcule a espessura t, sabendo que ݊ ൌ ͳǡͷǢ ݀ ൌ ʹͲͲͲͲՀǡ ߠ ൌ ͵ͲιǢ݉ ൌ ͵Ǣ �ߣ ൌ ͷͲͲͲՀ Resolução: a) Considere a figura 3.1 a seguir. Figura 3.1 Observa-se da figura 3.1 que as duas fendas possuem materiais transparentes, a primeira com um material de índice ݊ଵ (azul) e a segunda com um material de índice ݊ଶ (cinza). Ambas de mesma espessura (t). Quando se determina o intervalo de tempo para a luz atravessar tais materiais, devemos utilizar a seguinte relação: οݐ ൌ ݐݒ � Ǣ ݊ ൌ ܿݒ οݐ ൌ ݊ ή ݐܿ (3.1) O termo (݊ ή ݐ) em (3.1), é o caminho óptico percorrido pela luz. Devemos determinar a diferença de caminho óptico. Logo: ݐሺ݊ଶ െ ݊ଵሻ (3.2) Uma vez fora dos meios transparentes, a diferença no caminho é dada por (1.2). Assim, a diferença total será: ݐሺ݊ଶ െ ݊ଵሻ ݀�ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ߣ (3.3) Para o máximo. Agora, sendo um dos meios o ar, de (3.3), teremos: ݐሺ݊ െ ͳሻ ݀�ݏ݁݊�ߠ ൌ ݉ߣ (3.4) b) Utilizando os dados numéricos em (3.4), teremos: Ͳǡͷݐ ʹͲͲͲͲ�ݏ݁݊͵Ͳι ൌ ͵ ή ͷͲͲͲ ݐ ൌ ͳͲͲͲͲ�Հ (3.5) Questão 4 Numa experiência de Young, sabe-se que o campo elétrico num ponto P do anteparo é a soma dos campos ܧଵ ൌ ܧݏ݁݊ሺ߱ݐሻ, com ܧଶ ൌ ͷܧݏ݁݊ሺ߱ݐ ߶ሻ. Dar a amplitude do campo elétrico resultante. Resolução: Deseja-se encontrar o campo resultante que tenha a seguinte forma: ܧோ ൌ ܧݏ݁݊ሺ߱ݐ ߚሻ (4.1) Em que: ܧோ ൌ ܧଵ ܧଶ (4.2) www.profafguimaraes.net 3 Assim, teremos: ܧோ ൌ ܧሾݏ݁݊�߱ݐ ͷሺݏ݁݊߱ݐ ή ܿݏ߶ ܿݏ߱ݐ ή ݏ݁݊߶ሻሿ� ܧோ ൌ ܧሺͳ ͷܿݏ߶ሻݏ݁݊߱ݐ ͷܧݏ݁݊߶ܿݏ߱ݐ (4.3) Comparando (4.3) com (4.1), teremos: ܧܿݏߚ ൌ ܧሺͳ ͷܿݏ߶ሻ (4.4) e ܧݏ݁݊ߚ ൌ ͷܧݏ݁݊߶ (4.5) Agora, utilizando (4.4) e (4.5), teremos: ܧଶ ൌ ܧଶሾሺͳ ͷܿݏ߶ሻଶ ʹͷݏ݁݊ଶ߶ሿ� ܧ ൌ ܧሺͳͲܿݏ߶ ʹሻଵଶ (4.6) Questão 5 As duas fontes luminosas puntiformes, da figura 5.1 emitem ondas coerentes. Mostre que são hipérboles as curvas (como a dada) que unem os pontos cuja defasagem entre os raios ݎଵ e ݎଶ é constante. (Sugestão: Uma defasagem constante implica uma diferença constante entre os valores de ݎଵ e ݎଶ.) Figura 5.1 Resolução: Observando a figura 5.1, podemos escrever as coordenadas do ponto P que será ሺݕǡ ݔሻ. Para a obtenção dos máximos, teremos, em P: ݎଵ െ ݎଶ ൌ ݉ߣ (5.1) Em que m é um número inteiro positivo. Em qualquer ponto da curva, sempre teremos a diferença dada por (5.1). Assim, para (5.1), teremos: ඨݔଶ ൬ݕ ݀ʹ൰ଶ െඨݔଶ ൬ݕ െ ݀ʹ൰ଶ ൌ ݉ߣ� ඨݔଶ ൬ݕ ݀ʹ൰ଶ ൌ ݉ߣ ඨݔଶ ൬ݕ െ ݀ʹ൰ଶ (5.2) Em que ݎଵ ൌ ටݔଶ ቀݕ ௗଶቁଶ e ݎଶ ൌ ටݔଶ ቀݕ െ ௗଶቁଶ. De (5.2), poderemos escrever: െʹ݉ߣ ή ඨݔଶ ൬ݕ െ ݀ʹ൰ଶ ൌ ሺ݉ߣሻଶ െ ʹݕ݀� ሺ݉ߣሻଶݔଶ െ ݕଶሺ݀ଶ െ ሺ݉ߣሻଶሻ ൌ ሺ݉ߣሻଶͶ ሺሺ݉ߣሻଶ െ ݀ଶሻ ݕଶሺ݉ߣሻଶ Ͷൗ െ ݔଶሺ݀ଶ െ ሺ݉ߣሻଶሻ Ͷൗ ൌ ͳ (5.3) No resultado de (5.3), pode-se escrever: ܽଶ ൌ ሺ݉ߣሻଶ Ͷൗ (5.4) E ܾଶ ൌ ሺ݀ଶ െ ሺ݉ߣሻଶሻ Ͷൗ (5.5) Assim, (5.3) representa a equação de uma hipérbole, dada por: ݕଶܽଶ െ ݔଶܾଶ ൌ ͳ (5.6) Em (5.3), para cada ݉ teremos uma hipérbole. ݎଶ ݎͳ ܨʹ ܨͳ ܲ ݀ ݔ ݕ www.profafguimaraes.net 4 Questão 6 Na figura 6.1 a fonte emite luz monocromática de comprimento de onda ߣ. Seja F uma fenda muito estreita numa tela opaca I. Um espelho plano, cuja superfície inclui o eixo da lente mostrado, está localizado a ma distância h abaixo de F. A tela II está no plano focal da lente. (a) Determinar a condição para franjas de brilho máximo e mínimo sobre a tela II em função do ângulo usual ߠ, do comprimento de onda ߣ e da distância h. (b) Aparecem as franjas somente na região A (acima do eixo da lente), somente na região B (abaixo do eixo da lente), ou em ambas as regiões A e B? Explicar. Figura 6.1 Resolução: a) Podemos considerar a existência de outra fenda (F’) abaixo do espelho plano, devido à imagem formada por ele. A fenda F’ se encontra a uma distância h abaixo do espelho. Assim, podemos encontrar as condições de máximos e mínimos de forma semelhante ao que é feito para duas fendas. No entanto, devemos recordar que na reflexão, a fase sofre inversão, logo, devemos considerar esse fato e acrescentar meio comprimento de onda para uma interferência construtiva. Logo, teremos para o máximo: ʹ݄ݏ݁݊ߠ ൌ ߣ ൬݉ ͳʹ൰ (6.1) E para o mínimo: ʹ݄ݏ݁݊ߠ ൌ ߣ݉ (6.2) b) A fenda F’ não é exatamente uma fonte de luz, logo, não teremos nenhuma emissão de luz para a região B, a não ser uma pequena parcela de luz proveniente de F que consegue atravessar o eixo óptico da lente sem desvio. Mas não ocorre nenhuma formação de figuras de interferência em B. Questão 7 Tome como referência a questão 4. Suponha que a diferença de fase entre ܧଵ e ܧଶ seja igual a Ͳι. (a) Determine a equação da onda resultante. (b) Obtenha o valor médio da intensidade luminosa I da onda resultante. Resolução: a) Utilizando a relação (4.6), teremos: ܧ ൌ ܧሺͳͲ ή ܿݏͲι ʹሻభమ ܧ ؆ ͷǡͷܧ (7.1) Agora, utilizando (4.4), por exemplo, teremos: ͷǡͷܧܿݏߚ ൌ ܧሺͳ ͷܿݏͲιሻ ܿݏߚ ؆ Ͳǡ͵ ֜ ߚ ؆ ͷͳι (7.2) Agora, utilizando os resultados de (7.1) e (7.2), em (4.1), teremos: ܧோ ൌ ͷǡͷܧݏ݁݊ሺ߱ݐ ͷͳιሻ (7.3) b) Para o valor médio da intensidade, teremos: ܫ ҧ ן ܧோଶതതതത (7.4) Lembrando que ݏ݁݊ଶߙതതതതതതതത ൌ ଵଶ, então (7.4) nos fornece:ܫ ൌ ͳͷǡͷܧଶߤ߳ (7.5) Em que ߤ߳ é a constante de proporcionalidade. Vide 4-04, questão 13. h F Espelho Fonte Região A Região B I II www.profafguimaraes.net 5 Questão 8 Mostre que a semilargura οߠ das franjas de interferência da fenda dupla é dada por οߠ ൌ ߣ ʹ݀Τ , quando ߠ for suficientemente pequeno, de forma que se possa admitir ݏ݁݊ߠ ؆ ߠ. Resolução: Seja ߠ o ângulo para um máximo e ߠାభమ o ângulo para o mínimo consecutivo. Esses ângulos marcam o centro das respectias posições de máximos e mínimos. Assim, tomando a diferença teremos: ݀ ቂݏ݁݊ߠାభమ െ ݏ݁݊ߠቃ ൌ ൬݉ ͳʹ൰ ߣ െ ݉ߣ ݀ ቂݏ݁݊ߠାభమ െ ݏ݁݊ߠቃ ൌ ʹߣ (8.1) Considerando ݏ݁݊ߠ ؆ ߠ, teremos para (8.1): οߠ ൌ ߠାభమ െ ߠ ؆ ʹ݀ߣ (8.2) Questão 9 Uma das fendas de um sistema de fenda dupla é mais larga que a outra, de forma que a amplitude da luz que atinge a parte central do anteparo, proveniente apenas de uma delas (agindo sozinha), é igual ao dobro da correspondente à outra fenda, também considerada isoladamente. Deduzir a expressão ܫఏ (em termos de ߠ). Resolução: Vamos utilizar aqui, o mesmo procedimento da questão 4. Tanto que: ܧோ ൌ ܧݏ݁݊߱ݐ ʹܧݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ߶ሻ (9.1) Em que ܧோ é a resultante da soma dos componentes elétricos da luz. Utilizando, ݏ݁݊ሺܣ ܤሻ ൌ ݏ݁݊ܣܿݏܤ ܿݏܣݏ݁݊ܤ, em (9.1), teremos: ܧோ ൌ ݏ݁݊߱ݐሾܧሺͳ ʹܿݏ߶ሻሿ ܿݏ߱ݐʹܧݏ݁݊߶ (9.2) Procuramos uma solução dada por: ܧோ ൌ ܧఏݏ݁݊ሺ߱ݐ ߚሻ (9.3) Assim, comparando (9.2) e (9.3), teremos: ܧఏܿݏߚ ൌ ܧሺͳ ʹܿݏ߶ሻ (9.4) E também: ܧఏݏ݁݊ߚ ൌ ʹܧݏ݁݊߶ (9.5) Utilizando (9.4) e (9.5), teremos: ܧఏଶ ൌ ܧଶሺͷ Ͷܿݏ߶ሻ (9.6) A intensidade por sua vez, é proporcional ao quadrado do componente do elétrico da luz. Assim, podemos escrever: ܫఏ ן ܧఏଶ (9.7) Agora, utilizando (9.6) e (9.7), podemos escrever: ܫఏ ן ܧଶሺͷ Ͷܿݏ߶ሻ (9.8) Em (9.8), o ângulo ߶ representa a diferença de fase, que os dois sinais possuem para produzir as franjas de interferências. Esse ângulo está relacionado com a diferença de caminho (pense em uma regra de três simples, por exemplo), sendo que para o primeiro máximo teremos: ߶ ൌ ʹߨߣ ሺ݀ ή ݏ݁݊ߠሻ (9.9) Logo, para ߠ ൌ Ͳ, teremos: ߶ ൌ Ͳ ֜ ܫఏ ൌ ܫ ן ͻܧଶ (9.10) Assim, poderemos escrever (9.8) da seguinte forma: www.profafguimaraes.net 6 ܫఏ ൌ ܫͻ ቈͷ Ͷܿݏ ቆʹߨߣ ሺ݀ ή ݏ݁݊ߠሻቇ (9.11) Ou ainda, considerando ܿݏ߶ ൌ ʹܿݏଶ థଶ െ ͳ, teremos para (9.11): ܫఏ ൌ ܫͻ ቈͳ ͺܿݏଶ ቆߨߣ ሺ݀ ή ݏ݁݊ߠሻቇ (9.12) Questão 10 Considere o problema de determinar a soma ܣଵݏ݁݊ሺ߱ݐ ߶ଵሻ ܣଶݏ݁݊ሺ߱ݐ ߶ଶሻ ڮ ܣݏ݁݊ሺ߱ݐ ߶ሻ do diagrama de fasores. (a) Mostrar que a soma pode ser sempre escrita na forma ܤݏ݁݊߱ݐ ܥܿݏ߱ݐ. (b) Mostrar que ܤଶ ܥଶ ሺܣଵ ܣଶ ڮ ܣሻଶ. (c) Quando, no item (b) vale o sinal de igual? Resolução: a) Seja a resultante dada por: ܴ ൌ ܣଵݏ݁݊߱ݐܿݏ߶ଵ ܣଵݏ݁݊߶ଵܿݏ߱ݐ ܣଶݏ݁݊߱ݐܿݏ߶ଶܣଶݏ݁݊߶ଶܿݏ߱ݐ ڮ ܣݏ݁݊߱ݐܿݏ߶ ܣݏ݁݊߶ܿݏ߱ݐ (10.1) Ou ainda: ܴ ൌ ሾܣଵܿݏ߶ଵ ܣଶܿݏ߶ଶ ڮ ܣܿݏ߶ሿݏ݁݊߱ݐ ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ڮ ܣݏ݁݊߶ሿܿݏ߱ݐ (10.2) Logo, poderemos escrever ܴ ൌ ܤݏ݁݊߱ݐ ܥܿݏ߱ݐ, em que: ܤ ൌ ܣଵܿݏ߶ଵ ܣଶܿݏ߶ଶ ڮ ܣܿݏ߶Ǣ ܥ ൌ ܣଵݏ݁݊߶ଵ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ڮ ܣݏ݁݊߶ (10.3) b) Esperamos encontrar uma solução com a seguinte forma: ܴ ൌ ܴݏ݁݊ሺ߱ݐ ߚሻ� (10.4) Em que: ܤ ൌ ܴܿݏߚǢ ܥ ൌ ܴݏ݁݊ߚ (10.5) Agora, de (10.5), teremos: ܴଶ ൌ ܤଶ ܥଶ� (10.6) Utilizando o resultado (10.3) em (10.6), teremos: ܴଶ ൌ ሾܣଵܿݏ߶ଵ ܣଶܿݏ߶ଶ ڮ ܣܿݏ߶ሿଶ ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ڮ ܣݏ݁݊߶ሿଶ (10.7) Ao não ser que todos os ângulos ߶ sejam iguais, sempre teremos: ܴଶ ൌ ሾܣଵܿݏ߶ଵ ܣଶܿݏ߶ଶ ڮ ܣܿݏ߶ሿଶ ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ڮ ܣݏ݁݊߶ሿଶ൏ ሺܣଵ ܣଶ ڮ ܣሻଶ (10.8) Caso os ângulos ߶ sejam iguais, teremos: ܴଶ ൌ ሾܣଵܿݏ߶ଵ ܣଶܿݏ߶ଶ ڮ ܣܿݏ߶ሿଶ ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ڮ ܣݏ݁݊߶ሿଶൌ ሺܣଵ ܣଶ ڮ ܣሻଶ (10.9) Logo, poderemos escrever: ܴଶ ൌ ሾܣଵܿݏ߶ଵ ܣଶܿݏ߶ଶ ڮ ܣܿݏ߶ሿଶ ሾܣଵݏ݁݊߶ଵ ܣଶݏ݁݊߶ଶ ڮ ܣݏ݁݊߶ሿଶ ሺܣଵ ܣଶ ڮ ܣሻଶ (10.10) c) Vide a resolução do item (b). Questão 11 A luz branca possui no espectro visível, ao ser refletida após incidir normalmente sobre uma bolha de sabão, um só máximo de interferência (com ߣ ൌ ͲͲͲ�Հ) e um único mínimo na extremidade violeta do espectro. Calcular a espessura da película, sabendo que ݊ ൌ ͳǡ͵͵. Resolução: Sejam os comprimentos de ondas de interferências máxima e mínima, dados por: www.profafguimaraes.net 7 ߣ௫ ൌ ͲͲͲՀǢ�ߣÀ ൌ ͶͷͲͲՀ�� (11.1) A reflexão que ocorre na interface ar/bolha de sabão sofre inversão de fase. Logo, para interferências máximas teremos: ʹ݀݊ ൌ ൬݉௫ ͳʹ൰ ߣǢ݉௫ ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡڮ (11.2) E para as interferêncisa mínimas: ʹ݀݊ ൌ ݉ÀߣǢ�݉À ൌ Ͳǡ ͳǡ ʹǡ ڮ (11.3) Utilizando (11.2) e (11.3), teremos: ͶͷͲͲ݉À ൌ ͲͲͲ ൬݉௫ ͳʹ൰ ͳͷ݉À െ ʹͲ݉௫ ൌ ͳͲ (11.4) Em (11.4), ݉À��݉௫ são inteiros, e nesse caso, poderemos escolher ݉À ൌ ʹ��݉௫ ൌ ͳ. Esses valores satisfazem (11.4). Assim, utilizando (11.3), teremos: ݀ ൌ ͶͷͲͲͳǡ͵͵ ؆ ͵͵ͺ͵ǡͷՀ (11.5) Questão 12 Vidro não refletor. As lentes são, frequentemente, recobertas por películas finas de substâncias transparentes, como � ଶ�ሺ ൌ ͳǡ͵ͺሻ, para reduzir e reflexão na superfície do vidro, aproveitando o fenômeno de interferência. Considere que seja nula a intensidade da reflexão, para a luz de comprimento de onda de ͷͷͲͲ�Հ, em incidência normal. Calcular a taxa com que fica reduzida a reflexão, devido ao revestimento, para os comprimentos de onda de ͶͷͲͲ�Հ�݁�ͷͲͲ�Հ. Resolução: Entre o vidro e o ar é colocada uma película de � ଶ�ሺ ൌ ͳǡ͵ͺሻ. Desta forma, ocorrem duas reflexões, uma na interface ar/película e a outra na interface película/vidro. Ambas com inversão de fase. Para essas interferências, podemos aplicar a relação dada por (9.9), aqui escrita como: ߶ ൌ ʹߨߣ ή ߜ (12.1) Em que ߶ é a diferença de fase e ߜ é a diferença de caminho. Para ߣ ൌ ͷͷͲͲ�Հ, a diferença de fase deve ser necessariamente igual a ߨ. Caso contrário, teríamos uma quantidade pequena de intensidade de luz refletida por esse comprimento de onda. Assim, utilizando esses resultados em (12.1), teremos: ߜ ൌ ͷͷͲͲʹ Հ (12.2) A intensidade devido à interferência será dada por: ܫథ ൌ ܫܿݏଶ ߶ʹ (12.3) Para ߣଵ ൌ ͶͷͲͲ�Հ, teremos: ߶ଵ ൌ ʹߨͶͷͲͲ ή ͷͷͲͲʹ ؆ ͳǡʹʹߨ�ݎܽ݀ (12.4) Que equivale a uns ʹʹͲι. Logo, de (12.3): ܫథଵ ൌ ܫଵܿݏଶͳͳͲι ൌ Ͳǡͳͳܫଵ (12.5) Fica reduzida de 88%. E para ߣଶ ൌ ͷͲͲ�Հ ߶ଶ ൌ ʹߨͷͲͲ ή ͷͷͲͲʹ ؆ Ͳǡͺͷߨ�ݎܽ݀ (12.6) Cerca de ͳͷʹǡ͵ι. Assim: ܫథଶ ൌ ܫଶܿݏଶǡʹι ൌ ͲǡͲͷܫଶ (12.7) Uma redução em torno de 94%. www.profafguimaraes.net 8 12 cm 0,048 mm y Questão 13 Sabemos que o campo elétrico da luz refletida em uma superfície depende da razão entre os índices de refração de dois meios. Seja ݊ଵ o índice de refração do meio onde se encontra uma fonte de luz e ݊ଶ o índice de refração de um outro meio que está separado do primeiro por uma interface plana. Desejamos eliminar o feixe refletido sem, no entanto, eliminar o feixe transmitido. Podemos usar para isto uma película transparente de tal modo que ocorra interferência destrutiva entre o feixe que provém da reflexão da interface superior da película e o feixe refletido na interface inferior da película. (a) Qual deve ser o índice de refração da película para se obter a maior eliminação possível dos feixes refletidos? (b) Calcule a espessura aproximada da película para eliminar a parte mais intensa do feixe refletido, sabendo que o feixe monocromático incidente possui comprimento de onda iguala ߣ. Resolução: a) Utilizando o que foi sugerido pelo texto, temos: ܧ ൌ ݊ଵ݊ଶ ή ܧ (13.1) Em que ܧ é o campo elétrico refletido. E ݊ଵ ൏ ݊ଶ. Assim, colocando-se a película, podemos escrever: ܧଵǡ ൌ ݊ଵ݊ ή ܧ (13.2) E ܧǡଶ ൌ ݊݊ଶ ή ܧ� (13.3) Quando a luz refletida pela interface 2 atingir a interface 1, para se eliminar os raios refletidos os campos devem ter a mesma intensidade. Logo: ܧଵǡ ൌ ܧǡଶ ݊ଵ݊ ή ܧ ൌ ݊݊ଶ ή ܧ ݊ ൌ ඥ݊ଵ݊ଶ (13.4) No entanto, para esse estudo, se faz necessário a utilização do coeficiente de reflexão, que é dado por: ܴଵǡଶ ൌ ܧଵǡଶܧ ൌ ݊ଵ െ ݊ଶ݊ଵ ݊ଶ (13.5) Veja por exemplo, Alonso e Finn, edição de 1972 (5ª reimpressão) pág. 359, volume II; editora Edgard Blucher. Ou Sears e Zemansky (Young e Freedman), Física IV, Ótica e Física Moderna, Ed. Pearson, 10ª edição, 2004. Para esse caso, espera- se que os coeficientes de reflexão sejam iguais, ou seja, o coeficiente de reflexão da interface 1, seja igual ao coeficiente da interface 2. Logo: ܴଵǡ ൌ ܴǡଶ ݊ଵ െ ݊݊ଵ ݊ ൌ ݊ െ ݊ଶ݊ ݊ଶ ݊ ൌ ඥ݊ଵ ή ݊ଶ (13.6) b) Utilizando a relação (12.1), teremos: ߶ ൌ ߨ ൌ ʹߨߣ ή ʹ݊ݐ ݐ ൌ ߣͶ݊ (13.7) Questão 14 Uma fonte extensa de luz (ߣ ൌ ͲͲͲՀ) ilumina perpendicularmente duas placas de vidro de 12cm de comprimento que se tocam, numa das extremidades e na outra estão separadas por um arame de 0,048 mm de diâmetro (figura 14.1). Quantas franjas claras aparecem ao longo dos 12cm de extensão? Figura 14.1 Resolução: Na interface vidro/ar do vidro de cima não fornece uma reflexão com inversão de fase. Mas a www.profafguimaraes.net 9 reflexão na interface ar/vidro no vidro inferior ocorre com inversão de fase. Assim, para uma interferência construtiva, teremos: ʹݕ ൌ ൬݉ ͳʹ൰ ߣ (14.1) Utilizando os dados numéricos em (14.1), teremos: ʹ ή ͲǡͲͶͺ ή ͳͲିଷ ൌ ൬݉ ͳʹ൰ ͲͲͲ ή ͳͲିଵ ݉ ൌ ͳͷͻ (14.2) Questão 15 O diâmetro do décimo anel claro, produzido em um dispositivo de anéis de Newton, passa de 1,50 para 1,20 cm quando se introduz um líquido entre a lente e a placa. Determine o índice de refração do líquido. Resolução: Os raios dos anéis de Newton são dados por: ݎ ൌ ඨ൬݉ ͳʹ൰ ߣܴ (15.1) Em que ܴ representa o raio de curvatura da lente utilizada para produzir as interferências. Para ݉ ൌ ͳͲ, temos: ͳǡͷͲʹ ൌ ඨʹͳʹ ή ߣ ή ܴ (15.2) Com a introdução do líquido, para esse mesmo valor de ݉, teremos: ͳǡʹͲʹ ൌ ඨʹͳʹ ή ݊ߣ ή ܴ (15.3) Em que ݊ é o índice de refração do líquido. Utilizando (15.1) e (15.2), teremos: ͳǡͷͲͳǡʹͲ ൌ ξ݊ ݊ ൌ ͳǡͷʹͷ (15.4) Questão 16 Na experiência dos anéis de Newton, utilize o resultado (15.1) para mostrar que a diferença entre os raios de anéis adjacentes é igual a οݎ ൌ ݎାଵ െ ݎ ؆ ଵଶටఒோ . Suponha ݉ ب ͳ e use o teorema binomial. Resolução: Utilizando (15.1), temos: ݎାଵ െ ݎ ൌ ඨ൬݉ ͵ʹ൰ ߣܴ െ ඨ൬݉ ͳʹ൰ ߣܴ ൌ ξ݉ߣܴ ൬ͳ ͵ʹ݉ ൰భమ െ ൬ͳ ͳʹ݉ ൰భమ൩ (16.1) Aplicando a expansão binomial ሺͳ ݔሻ ؆ ͳ ௫ଵǨ Ǣ ݔ ൏ ͳ, teremos: ݎାଵ െ ݎ ؆ ξ݉ߣܴ ͳ Ͷ͵݉ െ ͳ െ ͳͶ݉൨ ݎାଵ െ ݎ ؆ ξ݉ߣܴʹ݉ ൌ ͳʹඨߣܴ݉ (16.2) Questão 17 Na experiência dos anéis de Newton, utilize o resultado (15.1) e a questão 16 a fim de mostrar que a área entre anéis adjacentes é dada, para ݉ ب ͳ, por ܣ ൌ ߨߣܴሺൌ ݑ݉ܽ�ܿ݊ݏݐܽ݊ݐ݁ሻ. www.profafguimaraes.net 10 Resolução: Procedendo de maneira semelhante ao que foi efetuado na questão anterior, temos: ܣାଵ െ ܣ ൌ ߨሺݎାଵଶ െ ݎଶሻ ൌ ߨ ൬݉ ͵ʹ൰ ߣܴ െ ൬݉ ͳʹ൰ ߣܴ൨ ܣାଵ െ ܣ ൌ ߨߣܴ (17.1) Questão 18 Uma câmara hermeticamente fechada, de 5,0 cm de comprimento e com janelas de vidro, é colocada num dos braços de um interferômetro de Michelson, como mostra a figura 18.1. Utiliza-se luz de ͷͲͲͲ�Հ. O ar é lentamente evacuado da câmara por meio de uma bomba de vácuo. Enquanto o ar está sendo removido, observam-se 60 franjas passarem pela vista. A partir destes dados, determinar o índice de refração do ar à pressão atmosférica. Figura 18.1 Resolução: Antes da remoção do ar temos, para as franjas de interferências: ʹ݀݊ ൌ ݉ߣ (18.1) Em que ݀ representa a diferença de caminho ݀ ൌ ݈ଵ െ ݈ଶ. Removendo-se o ar, temos: ʹ݈݊ଵ െ ʹ݊ߜ െ Ͳǡͳ ൌ ሺ݉ Ͳሻߣ (18.2) Em (18.2), ݈ଶ ൌ ߜ ͷ, ou seja, é a parte do caminho 2 que possui ar mais a parte sem ar. Utilizando (18.1) em (18.2), teremos: ʹ݈݊ଵ െ ʹ݊ߜ െ Ͳǡͳ ൌ ʹ݈݊ଵ െ ʹ݊ሺߜ ͲǡͲͷሻ Ͳߣ ݊ ൌ ͲߣͲǡͳ ͳ (18.3) Utilizando o comprimento de onda fornecido pela questão, teremos: ݊ ൌ Ͳ ή ͷͲͲͲ ή ͳͲିଵͲǡͳ ͳ ൌ ͳǡͲͲͲ͵ (18.4) Fonte Espelho Espelho Saída para a bomba de vácuo Observador 5 cm
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